Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους 4. Παρεμβολή και πολυωνυμική προσέγγιση 5. Θεωρία προσεγγίσεων 6. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων 2

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αριθμητική Ανάλυση με εφαρμογές σε Mtl και MτhemZc, των Γ. Παπαγεωργίου και Χ. Τσίτουρα, εκδ. Συμεών Αριθμητική Ανάλυση, των Κ. Κυταγιά και Λ. Βρυζίδη, εκδ. Ολυμπιάς 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ανάπτυξη και μελέτη βασικών αριθμητικών (υπολογιστικών) μεθόδων (αλγορίθμων) για την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων (των μαθηματικών και της μηχανικής που έχουν συνεχείς μεταβλητές) Υλοποίηση των τεχνικών στον υπολογιστή μέ χρήση αριθμητικών πράξεων. Υπολογισμός προσεγγιστικών λύσεων για προβλήματα που είναι δύσκολο (ή αδύνατο) να βρούμε ακριβείς λύσεις. Μελέτη σφάλματος στην προσέγγιση των λύσεων (ακρίβεια λύσεων). 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μας ενδιαφέρει η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου (αλγορίθμου) για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Τι είναι αλγόριθμος; Ø σειρά λογικών εντολών που υλοποιούν μία αριθμητική μέθοδο 5

ΣΤΟΧΟΣ Μαθηματική και υπολογιστική προσομοίωση φαινομένων και διεργασιών. ComptZol erodymics 6

ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Χρήση εμπορικού λογισμικού που περιέχει αριθμητικές μεθόδους. Απαραίτητη η γνώση της βασικής θεωρείας για καλύτερη χρήση και αξιολόγηση. Οι αριθμητικές μέθοδοι αποτελούν ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Υπάρχουν προβλήματα που δεν λύνονται από έτοιμο λογισμικό και συνεπώς πρέπει να κατασκευάσουμε δικά μας προγράμματα υπολογιστικών μεθόδων. Στόχος η ü μείωση της πολυπλοκότητας (υπολογιστικής, μνήμης, υλοποίησης), ü αύξηση της ταχύτητας των υπολογισμών, ü της ακρίβειας των λύσεων και ü της ελαχιστοποιήσης των αριθμητικών σφαλματων. 7

ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Παραδειγματα Ø MATLAB 8

Αριθμητική κινητής υποδιαστολής & Σφάλματα στους υπολογισμούς 9

ΣΦΑΛΜΑ Στα περισσότερα προβλήματα (στη μηχανική) δεν μπορούμε να βρούμε τις πραγματικές, ακριβείς λύσεις Οι αριθμητικές μέθοδοι μας δίνουν προσεγγιστικές λύσεις, κοντά στις αναλυτικές (ακριβείς) Πόσο σφάλμα υπάρχει στους υπολογισμούς μας; Ποιά είναι η ανοχή σφάλματος; 10

Πηγές σφαλμάτων 1. Σφάλματα που προκύπτουν κατά το σχηματισμό του μαθηματικού μοντέλου 2. Σφάλματα στα δεδομένα εισαγωγής (π.χ. μετρήσεις) 3. Σφάλματα αποκοπής ή στρογγύλευσης 11

Ορισμός ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Απόλυτο σφάλμα (πραγματικό σφάλμα) Σχετικό σφάλμα Αν είναι μία προσέγγιση του (πραγματική τιμή), το απόλυτο σφάλμα είναι η ποσότητα ε α = και το σχετικό σφάλμα η ποσότητα ε σ = /, 0 12

ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Τι γίνεται αν δεν ξέρουμε την πραγματική τιμή ; Οι αριθμητικές μέθοδοι υλοποιούν (συνήθως) επαναληπτικές διαδικασίες για τον υπολογισμό μιάς προσέγγισης του, δηλ. για. Η +1 προσέγγιση υπολογίζεται με βάση την. Τότε ε σ = σφάλμα ε σ = +1 / +1 Επί τις εκατό (%) σφάλμα : ε σ 100 13

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Υπολογιστές: Δυαδική αναπαράσταση πληροφορίας 0,1! εκαδικό σύστημα (572.58) 10 = 5 10 2 +7 10 1 +2 10 0 +5 10 1 +8 10 2 Βάση (αρίθμησης) β=10 Ψηφία : 0, 1, 2... 9!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 14

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πως θα γραφεί ως πολυώνυμο της βάσης β ο αριθµός Χ ; ακεραιος Ενας κλασματικός αριθμός γενικά γράφεται με βαση β ως: Με α i < β, θετικούς, ακέραιους. Κ,Ν πεπερασμένα! 15

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Οι Η/Υ χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Έτσι, κάθε αριθμός γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός δυνάμεων του 2. Βαση 2 Δυαδικό σύστημα β=2 με ψηφια 0, 1 16

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Παραδείγματα (101.11) 2 = 12 2 + 02 1 +12 0 +12-1 +12-2 = 5.75 10 (56702) 8 = 58 4 + 68 3 + 78 2 + 08 1 + 28 0 Ένας ακέραιος σ ενα σύστημα με βάση β 1 παραμένει ακέραιος αν εκφραστεί σε άλλο σύστημα με βάση β 2 17

ΑΡΙΘΜΟΙ στους Η/Υ Αν έχουμε έναν Η/Υ που διαθέτει k its για την παράσταση ενός ακέραιου αριθμού, με το πρώτο να παριστάνει το πρόσημο του αριθμού (0 = Θετικός, 1 = Αρνητικός), τότε οι ακέραιοι που μπορούν να παρασταθούν από τον H/Y ανήκουν στο διάστημα [ 2 k 1, 2 k 1 1 ]. Αν ο Η/Υ διαθέτει 16 its (2 ytes) για την παράσταση των ακεραίων, οι ακέραιοι που μπορούν να παρασταθούν θα βρίσκονται στο διάστημα [ 2 16 1, 2 16 1 1] = [ 32768, 32767]. 18

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ Στη μνήμη ενός υπολογιστή είναι αδύνατο να παραστήσουμε αριθμούς με άπειρο πλήθος ψηφίων, γιατί το μέγεθος της μνήμης είναι πεπερασμένο. Αποθηκεύεται μια κατάλληλη προσέγγιση του αριθμού, η οποία εξαρτάται από το πρόβλημα που λύνουμε. 2 = 1.4142135623730950458... 19

ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β, ορίζουμε τον αριθμό σαν Aριθμό Kινητής Yποδιαστολής ( flobg poit ) μήκους ως : X = ±(0.d 1 d 2...d t ) β e, d 1 0 οπου 0.d 1 d 2...d = το κλασματικό μέρος, γνωστό και σαν mbss e = ο εκθέτης β = βάση e : ανήκει στο διάστημα [L, U] με L - U t = καθορίζει την ακρίβεια του συστήματος και 0 d i β 1, i=2,3, Τα d 1 d 2...d t ονομάζονται σημαντικά ψηφία 20

ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Σημαντικά Ψηφία ενός δεκαδικού αριθμού ονομάζονται όλα τα ψηφία του αριθμού, εκτός από τυχόν μηδενικά που υπάρχουν στην αρχή του αριθμού. ü Ο αριθμός 320.7 ü Ο αριθμός 4.60 έχει 4 σημαντικά ψηφία έχει 3 σημαντικά ψηφία ü Ο αριθμός 0.0058 έχει 2 σημαντικά ψηφία Τα σημαντικά ψηφία παίζουν σημαντικό ρόλο στην εσωτερική παράσταση του αριθμού στον Η/Υ. (0.00598) 10 = 0.598 10 2 (111.001) 2 = 0.111001 2 3 21

ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΗΧΑΝΗΣ Η αποθήκευση ενός αριθμού στον Η/Υ γίνεται με αριθμούς κινητής υποδιαστολής. Γιατι; Στον Η/Υ το πρόσημο, ο εκθέτης και η mzss αποθηκεύονται σε διαφορετικά πεδία μιας λέξης κινητής υποδιαστολής. Κάθε πεδίο έχει σταθερό πλάτος. 22

ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΗΧΑΝΗΣ Ο υπολογιστής, λόγο πεπερασμένης μνήμης, προσεγγίζει έναν πραγματικό αριθμό με κάποιον από τους λεγόμενους αριθμούς μηχανής. Οι αριθμοί μηχανής αποτελούν ένα μικρό και πεπερασμένο υποσύνολο των πραγματικών. Το σύνολο αριθμών μηχανής M(β,t,L,U) ορίζεται β = ± f β (t) β e 23

24

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ Σε έναν Η/Υ με k its για τη mfss γίνεται στρογγυλοποίηση ή αποκοπή σε k δυαδικά ψηφία : 0.d 1 d 2...d 0.d 1 d 2...d k ως εξής : Αποκοπή : Αποκόπτονται τα ψηφία d k+1,d k+2,..., d, αποθηκεύονται τα ψηφία d 1,d 2,..., d k. Στρογγυλοποίηση : Προστίθεται στον αριθμό το 2 (k+1) και απ τον νέο αριθμό αποκόπτονται τα ψηφία d k+1,d k+2,..., d και αποθηκεύονται τα ψηφία d 1,d 2,..., d k. 25

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ Αν m = 0.6 10 = 0.10011001100110011001100110011... 2 και k = 7, τότε Αποκοπή : m* =0.1001100 2 = 2 1 +2 4 +2 5 = =19/32 =0.59375 10 Στρογγυλοποίηση : m = m + 2 8 : 0.10011001100110011001100110011... 2 + 0.0000000100000000000000000... 2 0.100110101001100110011010110011... 2 Και Αποκοπή σε k = 7 ψηφία : m* =0.1001101 2 = 2 1 +2 4 +2 5 +2 7 = = 77/128 =0.6015625 10 26

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ Να βρεθεί το απόλυτο και το απόλυτο σχετικό σφάλμα στα προηγούμενα παραδειγματα Αν m=0.6 (ο πραγματικός) με αποκοπή: Απόλυτο σφάλμα ε = m* m = 0.59375 0.6 = 0.00625 = 0.0062 Σχετικό σφάλμα 27

ΣΦΑΛΜΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Κατά τη στρογγυλοποίηση ενός δυαδικού αριθμού σε k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλμα στρογγυλοποίησης ε ισχύει : ε = * 1/2 2 k = 2 1 k Κατά τη στρογγυλοποίηση με αποκοπή ενός δυαδικού αριθμού σε k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλμα αποκοπής ε ισχύει πάντοτε: ε = * 2 k 28

ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΗΧΑΝΗΣ (ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ) Ένα σύνολο αριθμών μηχανής M(β,t,L,U) χαρακτηρίζεται από τη βάση β του αριθμητικού συστήματος την ακρίβεια (precisio) t =πλήθος των (επιτρεπόμενων) ψηφίων τουκλάσματος f β (mzss). το άνω, U, και κάτω, L, φράγμα του εκθέτη (epoet) e Z, (ακέραιος), δηλ. L e U με L U. Και M M(β, t, L, U) ={όλοι οι αριθµοί β = ±f β (t) β e } {0} 29

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Για δεδομένα β, t, L, U το σύνολο M είναι πεπερασμένο και έχει κατ άπόλυτη τιμή ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο ( 0) στοιχείο. mi { β } =(0.10 0) β β L = 1 M β βl = β L 1 m { β } = M = = 0.(β 1)(β 1) (β 1) β t k=1 t 1 k=0 (β 1) β k 1 β k t k=1 β U 1 β k β U = β U 1 1 β t β U 30

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Για δεδομένο εκθέτη e η απόσταση, (e) β, μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών (με τον ίδιο εκθέτη) του M είναι σταθερή. Η απόσταση μεταξύ δύο (οποιονδήποτε) διαδοχικών στοιχείων του M δεν είναι σταθερή, λόγω της μεταβολής του εκθέτη e. Έστω M (2, 4, 1, 3) με β=2 τότε : (2) 2 =(0.0001)2 2 = 1 2 422 = 1 4, (3) 2 =(0.0001)2 3 = 1 2 423 = 1 2 31

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Οι παραστάσιμοι αριθμοί είναι πυκνά κατανεμημένοι κοντά στο μηδέν και αραιά κατανεμημένοι μακρυά από το μηδέν. Η διάθεση περισσότερων ψηφίων, t, για την παράσταση της mzss f, αυξάνει την πυκνότητα των αριθμών μηχανής, ενώ για παράσταση του εκθέτη, e, έχει σαν αποτέλεσμα την αύξηση του διαστήματος παραστασής τους. Το πλήθος των αριθμών με τον ίδιο εκθέτη, e, είναι ανεξάρτητο του e και ίσο με 2(β 1)β t 1. Το πλήθος όλων των στοιχείων του M είναι ίσο με 2(U L + 1)(β 1)β t 1. 32

33

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Εάν ϑέλουµε να παραστήσουµε R και < mi M { β } τότε δεν υπάρχει αριθµός µηχανής για να τον παραστήσει και η κατάσταση χαρακτηρίζεται ως υπεκχείλιση (derflow) Εάν ϑέλουµε να παραστήσουµε R και > m M { β } τότε δεν υπάρχει αριθµός µηχανής για να τον παραστήσει και η κατάσταση χαρακτηρίζεται ως υπερχείλιση (overflow) 34

προσ ημο ΒΑΣΗ (M_ss) ΕΚΘΕΤΗΣ Στο δυαδικό με β=2 η υποδιαστολή στο 1 ο ψηφίο και πρόσημο στο 1 ο : Η Βαση Β: 0.1000000... 2 <= Β <= 0.1111111... 2 για θετικούς. Και για ν ψηφία στον εκθέτη Ε: - (2 ν- 1-1) < Ε < 2 ν- 1-1 35

Παραδείγματα Για 5 ψηφία στην βάση ο μέγιστος θετικός αριθμός είναι 0.1111 και ο εκθέτης με 4 ψηφία (το 1 ο για πρόσημο) Μέγιστος εκθέτης 0111 = 7, δηλ. 2 7 Π.χ. 0.1111 2 7 = (2-1 + 2-2 + 2-3 + 2-4 ) 2 7 0.0001 2 7 = 2-4 2 7 = 2 3 36

Αριθμοί Κινητής Υποδιαστολής Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί μόνο με δεκαδικό μέρος (ακέραιο μέρος = 0), αφού πολλαπλασιαστεί με κατάλληλη δύναμη της βάσης του αντίστοιχου αριθμητικού συστήματος. Π.χ. 5902.35 10 = 0.590235 10 10 4 1110.101 2 = 0.1110101 2 4 Αριθμός κινητής υποδιαστολής X = ±(0.d 1 d 2...d ) β ε, d 1 0 β = βάση του συστήματος 0.d 1 d 2...d = κλασματικό μέρος ή mbss, με d 1 0 37

Σημαντικά ψηφία Τα d1,d2,..., d καλούνται σημαντικά ψηφία του αριθμού. Σημαντικά Ψηφία (σ.ψ.) ενός δεκαδικού αριθμού ονομάζονται όλα τα ψηφία του αριθμού, εκτός από τυχόν μηδενικά που υπάρχουν στην αρχή του αριθμού. Π.χ. 320.7 έχει 4 σημαντικά ψηφία 4.60 έχει 3 σημαντικά ψηφία 0.0058 έχει 2 σημαντικά ψηφία Τα σημαντικά ψηφία παίζουν ρόλο στην αναπαράσταση ενός αριθμού σττους Η/Υ. 38

Σημαντικά Ψηφία Ενας αριθμός Χ προσεγγίζει τον Χ με d σημαντικά ψηφία αν d είναι ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο ισχύει X=3.141592 Με 2 σ.ψ. X =3.14 : - / =0.000507 < 10-2 /2 X =3.141? 39

Στρογγυλοποίηση Δεκαδικού Κατά τη στρογγυλοποίηση ενός δεκαδικού αριθμού σε k δεκαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλμα στρογγυλοποίησης ε ισχύει : ε = * 1/2 10 k Δηλαδή για 2 δεκαδικά ψηφία το σφάλμα θα είναι έως 1/2 1/100 Στη στρογγυλοποίηση ενός αριθμού σε k δεκαδικά ψηφία, παραλείπουμε τα ψηφία από την k + 1 θέση και μετά. Το ψηφίο της k θέσης το αφήνουμε όπως είναι ή το αυξάνουμε κατά μια μονάδα, αν το μέρος που παραλείπεται είναι μεγαλύτερο από μισή μονάδα της k δεκαδικής τάξης. Στην περίπτωση που το μέρος που παραλείπεται είναι ακριβώς μισή μονάδα της k... Π.χ. = 0.374 στογγυλοποίηση σε k = 2 δ. ψ. *= 0.37, ε= 0.37-0.374 = - 0.004 <1/2 10 2 =0.005 40

Σφάλματα στη παράσταση αριθμών μηχανής Εστω ενας αριθμός =q β k, που έχει περισσότερα σημαντικά ψηφία απ το επιτρεπόμενο πλήθος ψηφίων, t, στο σύστημα παράστασης αριθμών μηχανής. Ποιός είναι ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής M στον ; Αν θεωρήσουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς μηχανής ʹ, ʹ ʹ, μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο, τότε συμβαίνει μια από τις δύο περιπτώσεις: 41

Σφάλματα στη παράσταση Στην περίπτωση (α) ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής είναι ο ʹ και βρίσκεται αν αποκοπούν τα ψηφία d t+1 από το δεκαδικό τμήμα του, δηλ. ʹ =(0.d1d2d3...dt) β k Στην περίπτωση (β) ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής είναι ο ʹ ʹ και βρίσκεται αν προστεθεί η ποσότητα (0.00... 01) = β t στο t δεκαδικό ψηφίο του, δηλ. ʹ ʹ =((0.d1d2d3...dt) + β t ) β k Ισχύει ότι - = β k-t : απόσταση διαδοχικών αρ. μηχανής 42

Σφάλματα στη παράσταση Στην περίπτωση β) - <= ½ - = ½ β k-t Και το απόλυτο σχετικό σφάλμα στην παράσταση του Και στην περίπτωση α) για το σφάλμα αποκοπής είναι - / <= β 1 t 43

Μετάδοση σφαλμάτων στους υπολογισμούς Τα σφάλματα μεταδίδονται κατά την εκτέλεση των 4 πράξεων. Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του αθροίσματος ή της διαφοράς 2 ή περισσότερων αριθμών ισούται με το άθροισμα των απολύτων σφαλμάτων αυτών των αριθμών. %! % & % ( % ' * * * * & y! ( & y ) $ ( & y )! ( $ ) & ( y $ y ) y % y 44

Μετάδοση σφαλμάτων Παράδειγµα Εστω υπολογιστής µε M(10, 5, 10, 10) και, y R µε = 5891.26 fl() =0.58913 10 4 t=5 y =0.0773414 fl(y) =0. 77341 4 10 1 =0.77341 10 1 fl()+fl(y) =0. 58913 77341 10 4 z = fl fl()+fl(y) =0.58913 10 4 ( ο αριθµός στον Η/Υ) Οµως + y = 5891.3373414(= z = fl( + y) = fl()+fl(y)) 45

Παράδοξοι υπολογισμοί = 1, = 3 10 5, c = 3 10 5 ( + ) + c = 1! +(+c) = 1.0001! 46

Παράδοξα Εστω υπολογιστής µε M(10, 5, 10, 10) Αν =4 10 5 ( M) τότε fl(1 + ) =fl(1.00004) = 0.100004 10 1 =1, δηλ. 1+ =1!!! Αυτό ϑα ισχύει R µε 0 <<5 10 5. Γενικά R µε 0 <<= 1 2 β1 t. είναι λύση! της 1+ =1 Στον υπολογιστή υπάρχει ένα όριο κάτω από το οποίο οι αριθµοί είναι αµελητέοι, πρακτικά «µηδέν» για την πρόσθεση Το όριο αυτό λέγεται µηδέν ή έψιλον της µηχανής (eps) 47

Σφάλματα στις προσθέσεις Παράδειγμα: έστω = 451852000 και y = 45185100 + y = 1000 Σε υπολογιστή με M (10, 5, 10, 10) και στρογγύλευση : z = fl(fl() + fl(y)) = 0 48

Παράδειγμα: Έστω = 0.45142708 και y = 0.45115944 τότε + y = 0.26764 10 3 Σε υπολογιστή με M (10, 5, 10, 10) και στρογγύλευση : z = fl(fl()+fl(y)) = fl(0.45143 0.45116) = 0.00027 = 0.27000 10 3 σ = z ( + y) + y = 88 10 4 Η εμφάνιση των μηδενικών οφείλεται στη «ακύρωση» των ψηφίων.451 και τη μετατροπή σε αριθμό μηχανής : απώλεια σημαντικών δεκαδικών ψηφίων. 49

Διαδιδόμενο σφάλμα Αποφυγή καταστροφικής ακύρωσης! Να μην κάνουμε αφαίρεση σχεδόν ίσων αριθμών. Εστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το S =1+ k=1 1 k 2 + k = 2 1 +1 αράδειγµα =1999 =19 Τότε για παράδειγμα S 999 = 1.999, S 9999 = 1.9999. 50

Διαδιδόμενο σφάλμα Αλγόριθμος 1 S0 =1, S k = S k 1 + 1 k(k+1), Αλγόριθμος 2 S 0 = 1 (+1), 1 S k = S k 1 + S = S 1 +1 ( k)( k+1) k =1, 2...,, k =1,..., 1, 51

Αλγοριθμικό σφάλμα Σε υπολογιστή µε M(10, 10, L,U) Αλγόριθµος 1 Αλγόριθµος 2 99 1.990000003 1.9900000000 999 1.999000003 1.999000000 9999 1.999899972 1.999900000 Αλγόριθμοι Ευσταθείς και Ασταθείς 52

Μετάδοση σφάλματος στον Πολλαπλασιασμό Το μέγιστο απόλυτο σχετικό σφάλμα του γινομένου 2 ή περισσότερων αριθμών ισούται με το άθροισμα των απολύτων σχετικών σφαλμάτων αυτών των αριθμών. 53

Υπολογιστική Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων ΜΕΡΟΣ 2 Ο 54

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με αριθμό εξισώσεων, όσος και ο αριθμός των αγνώστων Πολύ συνηθισμένο πρόβλημα! ΑΧ = Β Α τετραγωνικός πίνακας τάξης B διάνυσμα- στήλη των σταθερών όρων, μήκους Χ διάνυσμα αγνώστων 55

Βασικές έννοιες πινάκων Πίνακες Πίνακας στήλη/γραμμή ή διάνυσμα Πρόσθεση πινάκων Πολλαπλασιασμός Ε=ΑΒ : (mq) X (q) = m 56

Σύστημα εξισώσεων!!!!!!!!!! 57 A A #### ######### #################### $#### $####!!!!!!!! Σε μορφή πινάκων ####A

Επίλυση συστήματος Αν η ορίζουσα του πίνακα det(α) 0 τότε το σύστημα έχει μια λύση Aν υπάρχει ο αντίστροφος του Α : Α - 1, το σύστημα έχει μια λύση Γραμμική άλγεβρα επίλυση με μέθοδο Crmer Υπολογιστικός φόρτος οδηγεί στην χρήση Υπολογιστικων μεθόδων : Ø ΑΜΕΣΕΣ Ø ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 58

Αλγόριθμοι επίλυσης συστημάτων 9! 9! 5 6!!! 59

Μέθοδος Crmer 3-$45-6 A * $ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6 # i )%%%%% A i &'( Ai &'( A * %%%% i $# 77 '891 ':')1; <<'89=7=) $ # i$ i$ ) 60

Εύρεση αντίστροφου?? 6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A i e 6 i %%% i A $ $# %%%%% %%%%%% A $ $ # 7 6 : @ A15 @ 01@A90)))0'015 @ A1B/)))/191/)))/1C ; ' 61

Χρήση τριγωνικού πίνακα 6 73 )1 8 6 9$*::7) ) U $$ $# $ ## # L l l l $$ #$ $ l l ## # l 62

Μέθοδος απαλοιφής Gss Ο πίνακας Α γραφεται ως Οπότε (LU) = Α = LU Και Ly = αν U = y Οπότε για να βρεθει το αρκεί να λυθεί U = y Το οποίο επιλύεται εύκολα! 63

Λύση τριγωνικού συστήματος 4 5 U # # # # ## %$$$$$ $%$$$ & & & $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ # # # # ## $$$$$ $$$$ U 64 Εστω

Λύση τριγωνικού συστήματος # # # # # # $ % &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& $ % ' ' ' ' ' ' 65

Παράδειγμα # ' ' #!)( ' *$$$$$ '$$$$$ '( #! )( '( ' ' ' ' ' # ' # * # *,, #+ + # # 66

Αλγόριθμος 4 &&&&&&&&& ( k && k ' k jk #' ' kk kj j 67

Μέθοδος απαλοιφής Gss Αποτελεσματική Αμεση υπολογιστική μέθοδος 1. Φάση Τριγωνοποίησης του συστήματος 2. Φάση οπισθοδρόμησης (ή πίσω- αντικατάστασης) ;$*<<4 411! # $%&)) #' (&$ ) 4 =6 71>01 ) 68

Τριγωνοποίηση: Βήμα 1 ο i m m m m m m m i i #$$$# #%%%% #%%%%%% & &!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 69 α 11 0 και μεγαλύτερο των α i1 με ανταλλαγή γραμμών Επαύξηση του πίνακα Α με στηλη Πολ/ζω την γραμμή 1 με τον συντελεστή m i1 και μετά την αφαιρώ από την γραμμή 2 μέχρι για να απαλοιφθεί το 1 απ τη γραμμή 2 μεχρι.

Βήμα 2 ο!!!!!! & & i m m m m m m m i i '#$$$# #%%%% #%%%%%% & & & & & ' '! '! ' ' ' ' ' ' '' '!!'!!! 70 α 22 0 με ανταλλαγή γραμμών Απαλοιφή του 2 απο την γραμμή 3 μεχρι K.O.K.

Φάση οπισθοδρόμησης βήματα για αγνώστους Στην συνέχεια οι άγνωστοι i υπολογίζονται με την οπισθοδρόμηση Ξεκινάμε με το και τελευταίο βρίσκεται το 1 71