University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 7 Κεφ. 11 (εκτός 11.0 και 11.4.1) Για κάθε συνάρτηση ισχύει Αν η συνάρτηση είναι αιτιατή (causal) Ησυνάρτισηx[n] καθορίζεται από x e [n] x o [n] για n 0 2 1
Αν η συνάρτηση είναι και σταθερή (stable) Μπορούμε να βρούμε το ΜΦΔΧ Στο πεδίο της συχνότητας Όπου { e } XR( e ) =I x [ n] jx ( e ) =I x [ n] I Αν έχουμε το X R (e ) τότε μπορούμε να βρουμε το X(e ) xe[ n] = II{ XR( e )} x[ n] = 2 xe[ n] u[ n] xe[0] δ[ n] X( e ) =I{ x[ n] } Αλλά και το X Ι (e ) X ( e ) = Im X( e ) = Im I x[ n] I o { } 3 Διακριτός Μετασχηματισμός Hilbert (Discrete Hilbert Transform) Πρωτεύουσες τιμές Cauchy (Cauchy principal values) 4 2
Συναρτήσεις πεπερασμένου μήκους (finite-length) Μια και ο ΔΜΦ υπονοεί περιοδικότητα στο χρόνο Περιοδική συνάρτηση: x [ n] Πεπερασμένη συνάρτηση: x[ n] Περιοδικά αιτιατή συνάρτηση 5 Συναρτήσεις πεπερασμένου μήκους (finite-length) Περιοδικά αιτιατή συνάρτηση Στο πεδίο της συχνότητας 6 3
Συναρτήσεις πεπερασμένου μήκους (finite-length) Μη περιοδική συνάρτηση Αν έχουμε το X R (e ) τότε μπορούμε να βρουμε το X(e ) X( e ) =I x[ n] = X ( e ) + jx ( e ) R I 7 Σχέση μεταξύ πλάτους (amplitude) και φάσης (phase) Μιγαδικό aφσμα (Complex cepstrum) Αν το μιγαδικό cepstrum είναι αιτιατό (causal) 8 4
Μιγαδικά Σήματα (Complex signals) Συνεχούς Χρόνου Αναλυτικά Σήματα (analytic signals) Ορθογώνια Σήματα (quadrature signals) Αιτιατός ΜΦΔΧ μονόπλευρος ΜΦΔΧ 9 Μιγαδικά Σήματα (Complex signals) Μετασχηματιστής Hilbert (Hlibert Transformer) Ο ιδανικός μετασχηματιστής Hilbert δεν υπάρχει και πρέπει να υλοποιηθεί με FIR φίλτρα 10 5
Αποδιαμόρφωση (demodulation) και Στιγμιαία Συχνότητα (instantaneous frequency) x [ n] = A[ n]sin( ω n) r d x [ n] =ℵ x [ n] = A[ n]cos( ω n) i r d s [ n] = x [ n] + jx[ n] = x [ n] + jℵ x [ n] a r i r r ( ) ( ) 2 2 a r i s [ n] = x [ n] + x[ n] = A[ n] { x [ n] } ℵ r φ[ n] = sa[ n] = arctan xr[ n] d ωinst[ n] = φ[ n] = φ[ n] φ[ n 1] dn 11 Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης (single sideband modulation) Διαμόρφωση πλάτους ΑΜ Εύρος ζώνης διπλάσιο του εύρους ζώνης του πληροφοριακού σήματος Άσκοπη σπατάλη ισχύος στο φέρον (carrier) Διαμόρφωση SSB Μεταδίδεταιμόνοημίααπότιςδύο πλευρικές ζώνες Οφέληαπόάποψηισχύοςκαι σπατάλης φάσματος Μειονεκτήματα: πιο πολύπλοκες συσκευές χρήση φίλτρων με απότομες χαρακτηριστικές στις περιοχές αποκοπής δύσκολο να υλοποιηθούν στην πράξη. Signal AM Modulation SSB-SC Modulation f f f 12 6
Ζωνοπερατά Σήματα (bandpass signals) Πραγματικά σήματα (x r [n]) Συμμετρικός ΜΦΔΧ Δεν χρειάζονται οι αρνητικές συχνότητες x[ n] = x [ n] + jℵ x [ n] r Ζωνοπερατό σήμα απλής πλευρικής ζώνης (single sideband) r Πραγματικά (Real) Φανταστικά (Imaginary) 13 Ζωνοπερατά σήματα απλής πλευρικής ζώνης (single sideband) Πραγματικά (Real) Φανταστικά (Imaginary) Single Sideband Modulation via the Hilbert Transform http://www.mathworks.com/products/demos/shipping/signal/hilberttransformdemo.html 14 7
Ψηφιοποίηση ζωνοπερατών (bandpass) σημάτων 1. Ψηφιοποίηση πραγματικού σήματος s c (t) 2. Αφαίρεση συμμετρικού μέρους 3. Αποδεκατισμός Πλεονεκτήματα Μικρότερο σήμα χωρίς αλλοίωση από αναδίπλωση 15 Ψηφιοποίηση ζωνοπερατών (bandpass) σημάτων Ανάκτηση του σήματος 1. Διευρυντής (expander) 2. Φίλτρο 16 8