HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

Transcript

1 HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας

2 Μιγαδικά εκθετικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα Τόσο στο συνεχή, όσο και στο διακριτό χρόνο, τα μιγαδικά εκθετικά σήματα αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις (eigefuctio) ΓΧΑ συστημάτων j Σε διακριτό χρόνο, για x[ ] = e ω η έξοδος είναι: ( k) [ ] = [ ] [ ] = [ ] = ( ) k= k= y hkx k hke e H e όπου He ( ) = hke [ ] k = k Ιδιοσυνάρτηση (Eigefuctio) Ιδιοτιμή (Eigealue) x[] h[] είναι η απόκριση συχνοτήτων (frequecy respose) του συστήματος και είναι γενικά μιγαδικός αριθμός: He ( ) = H( e ) + jh ( e ) R = He ( ) e I H( e ) Παράδειγμα: Το σύστημα καθυστέρησης y[ ] = x[ d ] έχει απόκριση συχνοτήτων j j d He ( ω ) e ω = και έχουμε: H ( e ) = cos( ω ) H( e ) = 1 R d H ( e ) = si( ω ) H( e ) = ω I d d

3 Μιγαδικά εκθετικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα Σημείωση: Και για x[ ] = z, z έχουμε: [ ] [ ] y = hmz m = m= = hmz [ ] z = H( z) z m= όπου: m x[] h[] m H ( z ) = h [ m ] z συνάρτηση μεταφοράς (trasfer fuctio) m= Η παραπάνω σχέση είναι ο μετασχηματισμός Ζ της κρουστικής απόκρισης (στη συνέχεια). Άρα για να πάρουμε την απόκριση συχνοτήτων αντικαθιστούμε z=e Όπως και πριν: 3

4 Μιγαδικά εκθετικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα Όπως γνωρίζουμε, κάθε σήμα μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα μιγαδικών εκθετικών σημάτων, δηλ: x[] T{.} j k x [ ] = ae ω k k επομένως η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος θα είναι: ωk y [ ] = ah k ( e ) e k Παράδειγμα j k Α x A e e e e Σύμφωνα με τα προηγούμενα: A [ ] ( ) j j j j y H e e e ϕ ω ω ϕ = + H( e ) e e j ω0 0 [ ] cos( 0 ) ( j ϕ jϕ = ω + ϕ = + ) 0 0 Όμως για h[] πραγματικό ισχύει He ( ) = H*( e ) άρα: 0 0 y [ ] = AH( e ) cos( ω + ϕ+ H( e )) 0 Η έξοδος είναι επίσης συνημιτονοειδής με την ίδια συχνότητα με μέτρο και φάση j 0 που μετασχηματίζονται από το μέτρο και την φάση του He ( ω ) 4

5 Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Για τα συστήματα διακριτού χρόνου, η απόκριση συχνοτήτων είναι περιοδική με περίοδο καθώς x[] j( ω+ π) j( ω+ π) k k jk ( ) = [ ] = [ ] = ( ) He hke hke e He και γενικά: k= k= h[] j( ω r) j He ( π ω ) = He ( ), r Αυτό συμβαίνει καθώς τα σήματα διακριτού χρόνου ω ( ) και ω+ π e e είναι πανομοιότυπα Επομένως χρειάζεται να προσδιορίσουμε την απόκριση συχνοτήτων μόνο μεταξύ 0 και ή π και π. Συνήθως προσδιορίζουμε την απόκριση για π ω π Χαμηλές συχνότητες: κοντά στο 0 (ή πιο γενικά κοντά στο ±m όπου m ακέραιος) Υψηλές συχνότητες: κοντά στο ±π (ή πιογενικάκοντάστο±πm κοντά όπου m περιττός ακέραιος) 5

6 Ιδεατά φίλτρα διακριτού χρόνου Χαμηλοπερατό (lowpass) Υψιπερατό (highpass) Ζωνοφρακτικό (badstop) Ζωνοπερατό (badpass) 6

7 Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Παράδειγμα Σύστημα κινητού μέσου Απόκριση συχνοτήτων: M 1 y [ ] = x [ k] M + M + 1 k= M1 M 1 1 x[] h [ ] = δ [ k ] = M + M k= M 1, M1 M = M1+ M + 1 0, αλλιώς M 1 H( e ) = he [ ] = e M + M + 1 Για Μ 1 =0 (αιτιατό σύστημα) και χρησιμοποιώντας την έχουμε: k= N1 M ( M + 1) e He ( ) = e = =... = M + 1 = 0 M e 1 si[ ω ( M + 1) / ] M = e / M + 1 si( ω /) 1 = 1 = M 1 h[] ] Συνήθως σε ανάλογες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε Μετασχηματισμό μ Fourier ή Ζ (ΗΜΥ30 και στη συνέχεια) N N N k 1 1 k a a + a =, N N 1 a 1 7

8 Μετασχηματισμός Fourier σημάτων ΔΧ Ο Μετασχηματισμός Fourier για σήματα διακριτού χρόνου προσδιορίζει την αναπαράσταση ενός σήματος x[] ως γραμμικό συνδυασμό μιγαδικών εκθετικών σημάτων και ορίζεται από το ζεύγος εξισώσεων: (1) Μετασχηματισμός Fourier Discrete Time Fourier Trasform (DTFT) () Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier Εδώ το ω είναι συνεχής μεταβλητή και κυμαίνεται μεταξύ π και π (ή ή μεταξύ 0 και ), ενώ το είναι διακριτή μεταβλητή. Στα επόμενα (Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT) θα δούμε πως μπορούμε να μετατρέψουμε και τη μεταβλητή συχνότητας σε διακριτή για χρήση σε Η/Υ κλπ. Η δεύτερη εξίσωση (() εξίσωση σύνθεσης) εκφράζει το σήμα ως υπέρθεση απείρως μικρών μιγαδικών εκθετικών σημάτων της μορφής: 1 j ω X ( e ) e dω Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μιγαδικός αριθμός, δηλ μπορεί να γραφτεί ως: 8 Η πρώτη εξίσωση (1) είναι η αναπαράσταση σε σειρές Fourier του περιοδικού σήματος Χ(e ) ενώ η () είναι η εξίσωση που δίνει τους συντελεστές αυτής της αναπαράστασης

9 Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Η απόκριση συχνοτήτων ενός ΓΧΑ συστήματος ΔΧ είναι ο Μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής του απόκρισης, δηλ: j ω j ω H ( e ) = h [ e ] = x[] x[] [ ] h[] ] Η[e ] ] 1 π h [ ] = H( e ) e dω π Ποια είναι τα σήματα που μπορούν να αναπαρασταθούν με τις εξισώσεις (1), ()? Θα πρέπει να συγκλίνει το άθροισμα: Ικανή συνθήκη: j δηλ. X ( e ω ) <, ω Επομένως πρέπει το σήμα ΔΧ x[] να είναι απολύτως αθροίσιμο (absolutely summable) 9

10 10 Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ x[] h[] ] Συνέπειες: Όλες οι ευσταθείς ΦΕΦΕ ακολουθίες έχουν Μετασχηματισμό Fourier. Όλα τα συστήματα FIR με πεπερασμένες τιμές x[] [ ] έχουν πεπερασμένη και συνεχή απόκριση συχνοτήτων Τι γίνεται για τα συστήματα IIR? Εξαρτάται από τη μορφή της h[] Παράδειγμα: = 0 = 0 Η[e ] ] x[ ] = a u[ ] 1 X( e ) = a e = ( ae ) =, αν ae < 1 a < 1 1 ae Τι γίνεται όταν δεν πληρείται η συνθήκη? Για τα σήματα π.χ. που είναι τετραγωνικά αθροίσιμα, δηλ: = x [ ] < ο MF δεν συγκλίνει κατ ανάγκη ομοιόμορφα, δηλ τα αθροίσματα: δεν είναι κατ ανάγκη ίσα για κάθε ω, αλλά η διαφορά τους X( e ) = x[ e ] έχει μηδενική συνολική ενέργεια, δηλ: = M XM ( e ) = x[ e ] = M π lim M X( e ) XM( e ) dω = 0 π

11 Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Παράδειγμα: Ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο 1 ωc 1 c c hlp[ ] = e dω [ e e ] = = ωc si( ω c ) =, - << < π 11 Το σύστημα αυτό δεν είναι αιτιατό και δεν είναι απολύτως αθροίσιμο, αλλά είναι τετραγωνικά αθροίσιμο. Τι γίνεται με την απόκριση συχνοτήτων M του? j si( c) j H ( ω ω ω M e ) = e = M π Η αρχική απόκριση συχνοτήτων είναι ασυνεχής. Στα σημεία ασυνέχειας έχουμε ταλαντώσεις όσο αυξάνουμε το Μ των οποίων το πλάτος γύρω από το σημείο ασυνέχειας δεν μεταβάλλεται (φαινόμενο μ Gibbs) αλλά ησυνολική ενέργεια μεταξύ των δύο τείνει στο μηδέν για Μ > π lim M He ( ) HM( e ) dω = 0 π

12 Μετασχηματισμός Fourier σημάτων ΔΧ Παράδειγμα: Σταθερή ακολουθία x[ ] = 1 Για X ( e ) = πδ ( ω ω0 + π r ) όπου r= π ω π 0 X( e ) = πδ( ω+ πr) r= 1 π 1 π x [ ] = X ( e ) e d ω πδ ( ω ω0 π re ) d ω = π + = π 1 π = πδ ( ω ω0) e dω e = π r= 0 1