υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με ειφύλαξη αντός δικαιώµατος. All rights reserved. Ααγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αοθήκευση και διανοµή της αρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για άσης φύσεως εµορικό ή εαγγελµατικό σκοό. Ειτρέεται η ανατύωση, αοθήκευση και διανοµή για σκοό µη κερδοσκοικό, εκαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υό την ροϋόθεση να αναφέρεται η ηγή ροέλευσης και να διατηρείται το αρόν µήνυµα. - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκαιδευτική Ενότητα 5 η Μελέτη αόκρισης συστήµατος σε αρµονική διέγερση µε ανάλυση Furier Εισαγωγικά στοιχεία Στα ροηγούµενα µαθήµατα ασχοληθήκαµε µε την αόκριση ενός δυναµικού συστήµατος m c k ενός βαθµού ελευθερίας, όταν σε αυτό ασκείται εξωτερική αρµονική διέγερση. Τα βασικότερα συµεράσµατα στα οοία καταλήξαµε είναι τα εξής: Η συχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος, στη µόνιµη αόκριση, ισούται µε τη συχνότητα ταλάντωσης του διεγέρτη. Το λάτος της µόνιµης αόκρισης είναι δυνατόν να είναι µικρότερο, ίσο ή και ολύ µεγαλύτερο της στατικής µετατόισης (θεωρώντας στατική διέγερση), ανάλογα µε την τιµή του λόγου q και την τιµή του λόγου αόσβεσης ζ του συστήµατος. Είσης, εξετάσαµε δύο βασικά τεχνολογικά αραδείγµατα. Στο ρώτο αράδειγµα, µελετήσαµε τον τρόο µε τον οοίο µία εριστρεφόµενη αζυγοστάθµητη µάζα ροκαλεί αρµονική διέγερση σε µία µηχανή. Στο δεύτερο αράδειγµα, γνωρίσαµε τον µηχανισµό µέσω του οοίου η ειβολή µίας κινηµατικής διέγερσης στη βάση µίας µηχανής ροκαλεί αρµονική διέγερση της µηχανής. Και στα δύο αραδείγµατα, η διέγερση ήταν αρµονικής µορφής. Ωστόσο, υάρχουν και άλλα είδη διεγέρσεων. Πιο συγκεκριµένα, µία ρώτη κατηγοριοοίηση των διεγέρσεων είναι η εξής: Περιοδικές διεγέρσεις: ρόκειται για διεγέρσεις, οι οοίες εαναλαµβάνονται χρονικά µε ανοµοιότυο τρόο. Σε αυτήν την κατηγορία, ο λέον χαρακτηριστικός αντιρόσωος είναι η αρµονική διέγερση, ενώ το λέον χαρακτηριστικό τεχνολογικό αράδειγµα είναι οι εριστρεφόµενες µηχανές µε σταθερές στροφές λειτουργίας, όως είναι οι µηχανές ηλεκτροαραγωγής. Οι συγκεκριµένες µηχανές λειτουργούν σε σταθερές στροφές διότι ρέει να αράξουν ρεύµα σταθερής συχνότητας. Σηµειώνεται ότι όλες οι εριοδικές διεγέρσεις είναι δυνατόν να αναχθούν σε αρµονικές διεγέρσεις αξιοοιώντας την ανάλυση Furier. Μεταβατικές διεγέρσεις: ρόκειται για διεγέρσεις, οι οοίες ειβάλλονται σταδιακά ή αότοµα σε µία µηχανή. Χαρακτηριστικά αραδείγµατα αυτής της κατηγορίας είναι η ειβολή ενός κρουστικού φορτίου σε µία κατασκευή, ή η αότοµη διακοή της λειτουργίας µίας µηχανής. Τυχαίες διεγέρσεις (ή, ισοδύναµα, στοχαστικές διεγέρσεις): ρόκειται για διεγέρσεις, η µορφή των οοίων καθορίζεται αό υψηλό οσοστό τυχαιότητας, δηλαδή η εµφάνισή τους δεν ακολουθεί κάοιον, γνωστό σε εµάς, αιτιοκρατικό κανόνα. Σε αυτήν την κατηγορία, υάρχει λήθος χαρακτηριστικών αραδειγµάτων, όως είναι ο σεισµός, τα καιρικά φαινόµενα, ο κυµατισµός της θάλασσας, η διαµόρφωση του οδοστρώµατος, κοκ. Πιο συγκεκριµένα και αναφερόµενοι στο σεισµό, κάθε συγκεκριµένος σεισµός αοτελεί µία µεταβατική διέγερση, την ειτάχυνση της οοίας (ειτάχυνση του εδάφους) είµαστε σε θέση να µετρήσουµε. Ωστόσο, η καταµέτρηση ενός ή ερισσοτέρων σεισµών δεν αοτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη ροκειµένου να ρολέξουµε ακριβώς την χρονική µορφή ενός µελλοντικού σεισµού. Με άλλα λόγια, οι σεισµικές διεγέρσεις, ως σύνολο, - 5.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - δεν ξέρουµε τι θα εριέχουν. Εκείνο, λοιόν, ου µορεί να κάνει ο Μηχανικός είναι, βάσει της καταγεγραµµένης σεισµικής δραστηριότητας, να εξαγάγει βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά, τα οοία θα χρησιµοοιήσει ροκειµένου να µελετήσει την εάρκεια µίας κατασκευής έναντι σεισµού. Όσον αφορά στον κυµατισµό της θάλασσας, ένα λοίο, εν µέσω κακοκαιρίας, ταλαντώνεται γύρω αό τη θέση ισορροίας του εξ αιτίας των κυµάτων. Κάθε συγκεκριµένο κύµα αοτελεί µία µεταβατική διέγερση. Ωστόσο, εάν θέλουµε να µελετήσουµε στατιστικά ένα λοίο σε τρικυµία, θα ρέει να µελετήσουµε τη συµεριφορά του λοίου στο σύνολο των κυµάτων. Αυτό σηµαίνει ότι θα ρέει να µελετήσουµε τα στατιστικά χαρακτηριστικά του κυµατισµού της θάλασσας. Τέτοια χαρακτηριστικά αοτελούν το ύψος των κυµάτων, η αόσταση των διαδοχικών κυµάτων και η συχνότητα διαδοχικών κυµάτων. Μέσω αυτών των χαρακτηριστικών, είναι δυνατόν να εριγράψουµε έναν τυχαίο κυµατισµό. Άλλο χαρακτηριστικό αράδειγµα αοτελεί η µελέτη της ανάρτησης των οχηµάτων. Βασικό στοιχείο σε µία τέτοια µελέτη αοτελεί η κυµατοµορφή του οδοστρώµατος. Ωστόσο, κάθε οδόστρωµα έχει τη δική του κυµατοµορφή και εειδή δεν είναι δυνατόν να γνωρίζουµε το σύνολο των δρόµων της γης, άρα και τις αντίστοιχες κυµατοµορφές, ρέει, µε κάοιον τρόο, να αντλήσουµε εαρκή στοιχεία ροκειµένου να λύσουµε το τεχνολογικό ρόβληµα της σχεδίασης των αναρτήσεων των οχηµάτων. Αυτός ο τρόος είναι η χρήση κοινών στατιστικών στοιχείων των οδοστρωµάτων. Σε αυτό το σηµείο διευκρινίζεται ότι κάθε τυχαία διέγερση είναι δυνατόν, µέσω της ανάλυσης φάσµατος, να αναχθεί σε ένα σύνολο αρµονικών διεγέρσεων. Στο λαίσιο του µαθήµατος υναµική Μηχανών Ι θα γνωρίσουµε καλύτερα τις εριοδικές και τις µεταβατικές διεγέρσεις, ενώ οι τυχαίες διεγέρσεις θα εξετασθούν στο λαίσιο του µαθήµατος υναµική Μηχανών ΙΙ. ιευκρινίζεται ότι η αόκριση σε αρµονική διέγερση αοτελεί τη βάση µε την οοία αναλύουµε όχι µόνον τις εριοδικές διεγέρσεις αλλά και το σύνολο της δυναµικής συµεριφοράς των µηχανών. Ανάλυση εριοδικής συνάρτησης κατά Furier Μία εριοδική συνάρτηση εριγράφεται αό την ακόλουθη µαθηµατική σχέση: f ( t) f ( t+ T P ) () όου t είναι η ελεύθερη µεταβλητή και T P είναι η ερίοδος. Βάσει της ανάλυσης Furier, η εριοδική συνάρτηση µορεί να ανατυχθεί σε σειρά σύµφωνα µε την ακόλουθη εξίσωση: ( + ) + cs( Ω ) + si( Ω ) f t f t T a a t b t () Η συχνότητες Ω των όρων του ανατύγµατος αοτελούν ακέραια ολλαλάσια µίας συχνότητας Ω, η οοία καλείται βασική συχνότητα. Με άλλα λόγια, ισχύει: Ω Ω (3) - 5.4 -
Ο συνδυασµός των Εξ.(,3) δίδει: Η, δε, βασική συχνότητα ορίζεται ως: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ( + ) + cs( Ω ) + si( Ω ) f t f t T a a t b t (4) Ω T όου T είναι η ερίοδος εανάληψης. Οι συντελεστές a, a και b ορίζονται ως εξής: (5) a T T T b f t t dt (6) f ( t) dt T a f ( t) cs( Ωt) dt T si( Ω ) T Η φυσική σηµασία των ανωτέρω αραστάσεων είναι αρκετά ενδιαφέρουσα. Πιο συγκεκριµένα, η Εξ.(4) ληροφορεί τον τρόο µε τον οοίο µία εριοδική διέγερση είναι δυνατόν να εκφρασθεί ως υέρθεση αρµονικών διεγέρσεων. Με άλλα λόγια, εάν σε µία κατασκευή ασκείται µία εριοδική διέγερση, τότε αυτό είναι ισοδύναµο µε την άσκηση µίας εαλληλίας αρµονικών διεγέρσεων, οι συχνότητες των οοίων είναι ολλαλάσιες της βασικής συχνότητας Ω. Οι συντελεστές a ληροφορούν σχετικά µε το βαθµό οµοιότητας της συνάρτησης f µε συνηµίτονο, ενώ οι συντελεστές b ληροφορούν σχετικά µε το βαθµό οµοιότητας της συνάρτησης f µε ηµίτονο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΗ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Η µαθηµατική ερµηνεία των ανωτέρω αραστάσεων είναι, είσης, αρκετά ενδιαφέρουσα. Πιο συγκεκριµένα, εάν θεωρήσουµε µία οοιαδήοτε συνάρτηση f ως διάνυσµα σε ένα χώρο συναρτήσεων και είσης θεωρήσουµε µία βάση του χώρου αό τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ηµίτονο και συνηµίτονο, τότε η σειρά Furier αοτελεί τον τρόο µε τον οοίο η συνάρτηση f εριγράφεται συναρτήσει της εν λόγω βάσης (ή, ισοδύναµα, εριγράφει τις ροβολές της συνάρτησης f στο σύστηµα βάσης). Οι, δε, συντελεστές a και b αοτελούν τα εσωτερικά γινόµενα της συνάρτησης f µε τις συναρτήσεις βάσης. Σηµειώνεται ότι η ενασχόληση µε την ανάλυση Furier, στην αρούσα φάση, αοσκοεί και στην εξοικείωση µε έννοιες, τις οοίες θα συναντήσουµε σε εόµενη Εκαιδευτική Ενότητα, όταν θα εξετάσουµε την ανάλυση σε ιδιοανύσµατα (ισοδύναµα, ανάλυση σε ιδιοδιανύσµατα). Η ιδιοανυσµατική ανάλυση αοτελεί µία τεχνική, η οοία χρησιµοοιείται σε ευρύτατο φάσµα τεχνολογικών εφαρµογών. Εκτός των συναρτήσεων ηµιτόνου και συνηµιτόνου, υάρχει λήθος άλλων συναρτήσεων, τις οοίες είναι δυνατόν να χρησιµοοιήσουµε ροκειµένου να ανατύξουµε µία συνάρτηση σε - 5.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - σειρά. Μία σύγχρονη ροσέγγιση του θέµατος αοτελούν οι λεγόµενες συναρτήσεις κυµατιδίων (wavelets), µε τις οοίες είναι δυνατόν να εριγράψουµε και µεταβατικά φαινόµενα. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οοίο οι συναρτήσεις κυµατιδίων χρησιµοοιούνται ευρύτατα σε τεχνολογικές εφαρµογές µε µεταβατικές διεγέρσεις. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Αναφορικά µε την αξιοοίηση της ανάλυσης Furier σε ροβλήµατα δυναµικής, έστω το γνωστό, λέον, µονοβάθµιο σύστηµα m c k και έστω ότι θέλουµε να καταγράψουµε τη µόνιµη αόκρισή του σε σειρά Furier. Όως φαίνεται και αό την Εξ.(), αρκεί να εκτιµήσουµε την αόκριση του συστήµατος σε κάθε µία αό τις αρµονικές διεγέρσεις του ανατύγµατος Furier και στο τέλος να αθροίσουµε τις εί µέρους συνεισφορές. Μία ολύ βασική αρατήρηση σχετικά µε την ανάτυξη µίας συνάρτησης κατά Furier αφορά στο λήθος των ααιτουµένων όρων της σειράς. Αό µαθηµατικής αόψεως, ααιτείται ένα άειρο λήθος όρων (βλ. Εξ.()). Ωστόσο, αό την οτική γωνία του Μηχανικού και για τεχνολογικές εφαρµογές, ααιτείται µόνον ένα µικρό λήθος τέτοιων όρων, ροκειµένου να διαµορφωθεί µία αοδεκτή ροσέγγιση της συνάρτησης (δηλαδή µία ροσέγγιση στην οοία θα συµµετέχουν µόνον όροι µε ουσιαστική συµβολή). Αυτό καθίσταται κατανοητό µε τη βοήθεια του διαγράµµατος ( H vs q), δηλαδή του διαγράµµατος Συντελεστού υναµικής ιέγερσης συναρτήσει του λόγου q (βλ. Σχήµα & Εκαιδευτική Ενότητα 3 / Σχήµα ). H 3.5 ZONE I ZONE II ZONE III.5.5.5.5.5 3 q Σχήµα : Γραφική αράσταση του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης H συναρτήσει του λόγου q Αό το Σχήµα ροκύτει ότι όσο µεγαλύτερος είναι ο λόγος q, δηλαδή όσο µεγαλύτερη είναι η συχνότητας της διέγερσης αό την φυσική ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, τόσο µικρότερο είναι το λάτος της αόκρισης του συστήµατος. Συνεώς, η συµβολή των αρµονικών υψηλοτέρας τάξεως (δηλαδή, των αρµονικών ου σχετίζονται µε υψηλές συχνότητες διέγερσης) στην αόκριση των κατασκευών καθίσταται ολύ µικρή, άρα, αό τεχνικής αόψεως, είναι δυνατόν να αµελήσουµε όρους της σειράς Furier, στους οοίους εµλέκονται οι εν λόγω αρµονικές (αρµονικές µε αµελητέα συµβολή). - 5.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εφαρµογή Έστω η συνάρτηση F( t ) του Σχήµατος, δηλαδή έστω µία ηµιτονοειδής συνάρτηση, στην οοία διατηρείται µόνον το θετικό τµήµα. Σχήµα : Γραφική αράσταση της εξεταζόµενης συνάρτησης F( t ) Η µαθηµατική εξίσωση της συνάρτησης F( t ) είναι: F t F si Ωt t T / T / < t T (7) Είσης, έστω ότι η συνάρτηση F( t ) αεικονίζει τη διέγερση ενός συστήµατος, η φυσική ιδιοσυχνότητα του οοίου έστω ότι, για τις ανάγκες του αραδείγµατος, ισούται µε: 8 ω 3T (8) Οµοίως για λόγους αλότητος του αραδείγµατος, έστω ότι το σύστηµα χαρακτηρίζεται αό µηδενική σταθερά αόσβεσης, δηλαδή έστω ότι ισχύει : c (9) Ζητείται η µόνιµη αόκριση του συστήµατος σε ανάτυγµα κατά Furier και µε εαρκές, για τεχνολογικούς σκοούς, λήθος όρων. Λύση Βήµα : Περιγραφή εξωτερικής διέγερσης F( t ) ως ανάτυγµα Furier Αό την Εξ.(4), θα είναι: + cs( Ω ) + si( Ω ) F t a a t b t () Στην ράξη, άντοτε υάρχει αόσβεση, η οοία συµµετέχει µόνο στη µεταβατική αόκριση του συστήµατος. Η είδραση της αόσβεσης, είτε ως υερκρίσιµη είτε ως υοκρίσιµη είδραση, µετά αό κάοιο χρονικό διάστηµα θα άψει να υάρχει. Συνεώς, στη µόνιµη αόκριση δεν υάρχει συµµετοχή της αόσβεσης. - 5.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εοµένως, αρκεί να υολογίσουµε τους συντελεστές a, a και b για διάφορες τιµές του µετρητή. Αό την Εξ.(6), µε χρήση τυολογίου, µετά αό αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων, ροκύτει: T T F a F( t) dt F si( Ω t) dt T T () T : T εριττός a F( t) cs( Ω t) dt F si( Ωt) cs( Ω t) dt F T T : άρτιος T T F, b F( t) si( Ω t) dt F si( Ωt) si( Ω t) dt T T, > (3) () Οι τιµές των συντελεστών a, a και b για διάφορα φαίνονται στον Πίνακα. Πίνακας : Συντελεστές ανατύγµατος Furier a F a a b a + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - F ( F ).667 3 - - - - - - - 3 - - - - - - - - - - - - - - 4 - - - - - - - F ( F ).33 5 5.5 5 - - - - - - - - - - - - - - 6 - - - - - - - F ( F ).57 35.68 7 - - - - - - - - - - - - - - 8 - - - - - - - F ( F ),377 65.676 Αό τον Πίνακα, αρατηρούµε ότι για > 6, υάρχει διαφορά µίας τάξης µεγέθους µεταξύ των συντελεστών του ανατύγµατος Furier για και 8, οότε όροι µε > 6 έχουν αµελητέα συνεισφορά. Συνεώς, το ζητούµενο ανάτυγµα ροκύτει αντικαθιστώντας στην Εξ.() τις τιµές του Πίνακα, µέχρι και τον όρο 6 : F - 5.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F F F F F F t t t t t 3 5 3 + si( Ω ) cs( Ω ) cs( 4Ω ) cs( 6Ω ) (4) Ισοδύναµα, ισχύει: F t F t t t t 3 5 3 + si( Ω ) cs( Ω ) cs( 4Ω ) cs( 6Ω ) (5) Όως φαίνεται και αό την Εξ.(5), τελικά, αό την οτική γωνία του Μηχανικού, χρειαζόµαστε µόνον τις τέσσερεις αρµονικές (Ω, Ω, 4Ω, 6Ω ) για την εριγραφή της F( t ), και όχι άειρο λήθος αρµονικών, όως υαγορεύει η οτική γωνία των µαθηµατικών. Αό το Βήµα, εριγράψαµε την εξωτερική διέγερση F( t ) ως: F( t) F + Ωt Ωt Ωt Ωt α b α α4 α6 si cs ( ) cs ( 4 ) cs ( 6 ) 3 5 35 (6) δηλαδή, ως ανάτυγµα µίας σειράς Furier, στην οοία συµµετέχει µικρό λήθος όρων (συνολικά, έντε όροι). Ειδικότερα, ο ρώτος όρος της σειράς είναι µία σταθερή οσότητα, ενώ οι υόλοιοι τέσσερεις όροι είναι αρµονικές οσότητες. Το εόµενο βήµα είναι να υολογισθεί, για κάθε έναν όρο του ανατύγµατος (συνιστώσα διέγερσης), η αντίστοιχη συνιστώσα της µόνιµης αόκρισης του συστήµατος (συνιστώσα αόκρισης). Βήµα : Υολογισµός εί µέρους συνιστωσών αόκρισης Όως έχει ειωθεί σε ροηγούµενη Εκαιδευτική Ενότητα (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3): η µόνιµη αόκριση ενός συστήµατος, υό την ειβολή µίας χρονικά σταθερής δύναµης F (στατική διέγερση), είναι χρονικά σταθερή (στατική αόκριση) και ισούται µε: F k (7) η µόνιµη αόκριση ενός συστήµατος, υό την ειβολή µίας αρµονικής διέγερσης F cs( Ω t) µε συχνότητα διέγερσης Ω, είναι αρµονικής µορφής µε ιδιοσυχνότητα Ω, δηλαδή ίσης µε αυτήν της διεγείρουσας δύναµης, και ισούται µε: όου x cs( Ω t ϑ ) (8) είναι το λάτος της ταλάντωσης και ϑ είναι η διαφορά φάσης µεταξύ διέγερσης και αόκρισης, ίσης ρος (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3/Πίνακας 3): Ω ζω q Ω ω ζ q ϑ ta ω Ω q ϑ ta (9) - 5.9 -
Σχετικά µε τον υολογισµό του λάτους ταλάντωσης υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: -, ήδη γνωρίζουµε, αό το ορισµό του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης H (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3/Εξ.), ότι ισχύει: H H st () st Η Εξ.() ισχύει όταν στο σύστηµα ειβληθεί µία εξωτερική αρµονική διέγερση. Όταν, ωστόσο, ειβληθούν ερισσότερες εξωτερικές αρµονικές διεγέρσεις, τότε θα ρέει να γραφεί η Εξ.() για κάθε µία αό τις διεγέρσεις αυτές. Συνεώς, για τον οστή αρµονική διέγερση του ανατύγµατος της F( t ) θα είναι: H (), Στην Εξ.(), το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος, οφείλεται στην ειβολή της στατικής δύναµης F,, η οοία οφείλεται στη οστή αρµονική διέγερση του ανατύγµατος της F( t ) και αριθµητικά ισούται µε το λάτος υολογίσουµε το λάτος και το Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης F της διέγερσης αυτής. Συνεώς, για να ρέει να υολογίσουµε το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος, H. Για τον υολογισµό του Ισοδύναµου Στατικού Πλάτους,, αρατηρούµε ότι (βλ.εξ.(6)): α α F F F F () α 3 α F 3 F F F (3) α4 5 4 4 α4 F 5 F F F (4) α6 35 6 6 α6 F 35 F F F (5) Αό τις Εξ.(,3,4,5) είναι φανερό ότι η στατική δύναµη F, γράφεται ως εξής: F F α F (6), Συνεώς, το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος,, το οοίο οφείλεται στην ειβολή µίας στατικής δύναµης F,, ισούται µε: F, αf ( F k),, α (7) k k Για τον υολογισµό του Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης H, ήδη γνωρίζουµε ότι ισχύει (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3/Εξ.): - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - H (8) ( q) + ( ζ q) Για µηδενικό λόγο αόσβεσης ζ, όως στην εξεταζόµενη ερίτωση, ισχύει: H (9) ( q ) Για κάθε έναν όρο του ανατύγµατος της F( t ), ο λόγος q, εξ ορισµού, θα είναι: q Ω ω (3) Ωστόσο, αό την εκφώνηση δίδεται ότι ισχύει (βλ. και Εξ.(8)): 8 ω 3T (3) Είσης, αό την εκφώνηση δίδεται ότι ισχύει: Εξ ορισµού, δε, για την ιδιοσυχνότητα Ω ισχύει: Ω Ω (3) Ω T (33) Ο συνδυασµός των Εξ(3,3,3,33), δίδει: q Ω Ω T 6 q.75 ω ω 8 8 3T (34) Σύνοψη ιαδικασίας Συνοψίζοντας όλα τα αραάνω, καταλήγουµε στην ακόλουθη διαδικασία υολογισµού: Γράφουµε την εξωτερική διέγερση του συστήµατος στη µορφή της Εξ.(6), η οοία εαναλαµβάνεται για λόγους ληρότητας του κειµένου: F( t) F + Ωt Ωt Ωt Ωt α α α α4 α6 si cs ( ) cs ( 4 ) cs ( 6 ) 3 5 35 (35) - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - όου οι συντελεστές α είναι αυτοί ου σηµειώνονται στην Εξ.(35). Για τον σταθερό όρο του ανατύγµατος της Εξ.(35): αναγνωρίζουµε στην εν λόγω εξίσωση την αντίστοιχη στατική δύναµη F (στην εξεταζόµενη εφαρµογή είναι F ( F ) ), υολογίζουµε την αντίστοιχη σταθερή αόκριση αό την Εξ.(7) (στην εξεταζόµενη εφαρµογή είναι ( F k) ( F k). Για κάθε αρµονικό όρο του ανατύγµατος της Εξ.(35): αναγνωρίζουµε στην εν λόγω εξίσωση τον αντίστοιχο συντελεστή α, εκτιµούµε το λάτος της αρµονικής δύναµης F αό τις Εξ.(6,35), εντοίζουµε την αντίστοιχη συχνότητα διέγερσης Ω αό την Εξ.(35), υολογίζουµε το λόγο q αό την Εξ.(34), υολογίζουµε το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος αό την Εξ.(7), υολογίζουµε το Συντελεστή υναµικής ιέγερσης H αό την Εξ.(8), υολογίζουµε το λάτος της αόκρισης αό την Εξ.(), και υολογίζουµε τη διαφορά φάσης ϑ αό την Εξ.(9). Με βάση τα ροαναφερθέντα, σχηµατίζεται ο Πίνακας. Πίνακας : Στοιχεία για τον υολογισµό αρµονικών συνιστωσών αόκρισης α, ( ) ( 3 ) 4 ( 5 ) 6 ( 35 ) F α k q ( Ω ) ω F k F 3 k F 5 k F 35 k H H, ϑ.75 ( 6 7 ).5 ( 4 5 ) 3. ( 8 ) 8 F 7 k 8 F 5 k F 6 k 4.5 8 ο 8 ο 8 ο Με βάση τον Πίνακα, ο λόγος των συντελεστών για τα λάτη και 4 είναι: 8 8 5 5 3 6 6 (36) Αυτό σηµαίνει ότι η συµβολή του όρου 4 είναι 3 φορές µικρότερη αό τη συµβολή του όρου 6, οότε αό τεχνολογικής αόψεως, είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι η συµβολή των όρων µε 4 είναι αµελητέα. - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Πιο λετοµερής ανάλυση σχετικά µε τους υολογισµούς των µεγεθών του Πίνακα αρατίθεται στο Παράρτηµα Β. Βήµα 3: Άθροιση όλων των εί µέρους συνιστωσών αόκρισης του Βήµατος Η συνολική µόνιµη αόκριση x( t ) του συστήµατος γράφεται ως εξής: όου (37) + cs( Ω ) x t t ϑ είναι η αόκριση ου οφείλεται στο σταθερό όρο του ανατύγµατος F( t ) (βλ. Εξ.(6), ος όρος), είναι το λάτος της ταλάντωσης ου ροκαλείται αό τον οστό όρο του ανατύγµατος της F( t ) και ϑ είναι η αντίστοιχη διαφορά φάσης. Μία ροσέγγιση για τη συνολική µόνιµη αόκριση x( t ) του συστήµατος βρίσκεται αθροίζοντας τις εί µέρους αοκρίσεις του Βήµατος. Λαµβάνοντας υ όψιν τις Εξ.(7,8), καθώς και τον Πίνακα, ροκύτει (αµελώντας όρους µικρής συµµετοχής): si( ϑ ) cs( 4 ϑ ) x t + Ωt + Ωt (38) 4 4 Αντικαθιστώντας στην Εξ.(38) µε στοιχεία αό τον Πίνακα, ροκύτει: F 8 F 8 F x t t t k 7 k 5 k + si( Ω ) cs( Ω ) (39) Αό την τριγωνοµετρία, είναι γνωστό ότι ισχύει: cs ( a ) cs( a) (4) Αό το συνδυασµό των Εξ.(39,4), µετά αό εκτέλεση ράξεων, ροκύτει ότι η ροσέγγιση για τη συνολική µόνιµη αόκριση x( t ) του εξεταζοµένου συστήµατος ισούται µε: F 8 8 x t + si( Ω t) + cs( Ωt) (4) k 7 5 Αό την Εξ.(4), καθίσταται φανερό ότι η αόκριση x( t ) είναι µία σύνθεση αρµονικών ταλαντώσεων γύρω αό τη θέση, η οοία καθορίζεται αό τον σταθερό όρο του ανατύγµατος F( t ) (βλ. Εξ. 6, ος όρος). Παρατηρήσεις. Αό την Εξ.(4) ροκύτει ότι, αό τεχνολογικής αόψεως, τελικά χρειάζονται µόνον τρεις όροι για την εριγραφή της συνολικής µόνιµης αόκρισης x( t ), σε αντίθεση µε την µαθηµατική ροσέγγιση, η οοία ααιτεί τη χρήση αείρου λήθους όρων. - 5.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: -. Ο σταθερός όρος a στην Εξ.() εκφράζει µία Ισοδύναµη Στατική Φόρτιση, δηλαδή είναι ο µέσος όρος της δύναµης, η οοία ασκείται στο σύστηµα κατά τη διάρκεια του εξεταζόµενου χρονικού διαστήµατος. 3. Αό την τριγωνοµετρία, είναι γνωστό ότι ισχύει: ( a) ( a ) si cs + (4) Με άλλα λόγια, µεταξύ της συνάρτησης ηµίτονο και της συνάρτησης συνηµίτονο υάρχει, συνεώς κάθε ηµιτονοειδής οσότητα γράφεται ως διαφορά φάσης συνηµιτονοειδής και αντίστροφα. Συνεώς, για τον ηµιτονοειδή όρο του ανατύγµατος της F( t ), η διέγερση είναι της µορφής: και η αντίστοιχη αόκριση είναι: F si Ω t F cs Ω t+ (43) ( ϑ ) ( ϑ ) ( ϑ ) cs Ω t+ cs Ωt + si Ωt (44) 4. εν γνωρίζουµε εκ των ροτέρων οιο είναι το λήθος των όρων ου ααιτούνται για την εαρκή ανάτυξη µίας συνάρτησης F( t ) κατά Furier. Ωστόσο, το ααιτούµενο λήθος όρων σχετίζεται µε το βαθµό οµοιότητας της συνάρτησης F( t ) µε τη συνάρτηση ηµίτονο (ή, ισοδύναµα, µε τη συνάρτηση συνηµίτονο). Συνεώς, όσο µεγαλύτερη είναι αυτή η οµοιότητα, τόσο λιγότεροι όροι ααιτούνται. Για αράδειγµα, έστω οι συναρτήσεις του Σχήµατος 3. Μεταξύ αυτών, διαισθητικά, εκτιµούµε ότι η συνάρτηση του Σχήµατος (3β) ααιτεί τους ερισσότερους όρους, ενώ η συνάρτηση του Σχήµατος (3α) ααιτεί τους λιγότερους όρους, µεταξύ των εν λόγω συναρτήσεων, για την ανάτυξη κατά Furier.,,,,,9,9,9,9,8,8,8,8,7,7,7,7,6,6,6,6 F(t),5 F(t),5 F(t),5 F(t),5,4,4,4,4,3,3,3,3,,,,,,,,, 3 4 5 6 7 8 9 t, 3 4 5 6 7 8 9 t, 3 4 5 6 7 8 9 t, 3 4 5 6 7 8 9 t (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 3: Θετικά ορισµένες συναρτήσεις F( t ) : (α) ηµιτονοειδής αλµός, (β) τετραγωνικός αλµός, (γ) τριγωνικός αλµός και (γ) κατά τµήµατα ολυωνυµικός αλµός Ακριβέστερα, δεν µιλάµε για µικρότερο ή µεγαλύτερο λήθος όρων αλλά για ρυθµό µείωσης των όρων συναρτήσει της τάξης της αρµονικής. Τεχνολογικές εφαρµογές Η ανάλυση Furier έχει ολύ µεγάλη αξία σε λήθος τεχνολογικών εφαρµογών, δύο χαρακτηριστικές εκ των οοίων είναι οι ανεµογεννήτριες (Α/Γ) και το ηδάλιο των λοίων. - 5.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Έστω µία τυική µορφή Α/Γ οριζοντίου άξονα, η οοία εδράζεται σε έναν κατακόρυφο υλώνα (βλ. Σχήµα 4α) και έστω ότι φυσάει σταθερός άνεµος κάθετα στο είεδο ου ορίζουν τα τερύγια της (Α/Γ). Εάν τα τερύγια της (Α/Γ) είναι ακίνητα, τότε ο υλώνας θα δέχεται ένα, χρονικά σταθερό, καµτικό φορτίο (στατική φόρτιση). Εάν, όµως, τα τερύγια της (Α/Γ) εριστρέφονται, τότε ο υλώνας θα δέχεται ένα, χρονικά µεταβαλλόµενο, καµτικό φορτίο (δυναµική φόρτιση) λόγω της διαδοχικής κάλυψης και αοκάλυψης του υλώνα αό τα τερύγια (όταν ένα τερύγιο είναι µροστά αό τον υλώνα, τον καλύτει / κρύβει αό τον άνεµο). Το εν λόγω φορτίο είναι εριοδικό µε συχνότητα ίση ρος το γινόµενο του λήθους των τερυγίων εί την ταχύτητα εριστροφής (σε µία Α/Γ µε ένα τερύγιο και σε µία λήρη εριστροφή του άξονα της Α/Γ, ο υλώνας καλύτεται µία φορά, αλλά σε µία Α/Γ µε τερύγια και σε µία λήρη εριστροφή του άξονα της Α/Γ, ο υλώνας καλύτεται φορές). Συνεώς, η, µε αυτόν τον τρόο, δυναµική διέγερση του υλώνα συνίσταται στην εµφάνιση διαφόρων αρµονικών συνιστωσών διέγερσης. ιευκρινίζεται ότι σε µία τυική (Α/Γ), το µήκος των τερυγίων είναι συγκρίσιµο του ύψους του υλώνα (βλ. Σχήµα 4α), συνεώς η δυναµική φόρτιση του υλώνα, µε τον τρόο ου αναφέρθηκε ροηγουµένως, είναι σηµαντική. Ένα δεύτερο χαρακτηριστικό τεχνολογικό αράδειγµα αοτελεί το ηδάλιο στα λοία. Πιο συγκεκριµένα, ροκειµένου ένα λοίο να εκτελέσει έναν ελιγµό (αλλαγή ορείας) κατά τον λου του, το ηδάλιο τοοθετείται σε εστραµµένη, ως ρος τον διαµήκη άξονα του λοίου, θέση. Εξ αιτίας της εριστροφής της έλικας (ροέλα), ανατύσσεται δυναµική φόρτιση στο ηδάλιο, µε τρόο αντίστοιχο µε αυτόν της (Α/Γ). Σε αυτές, λοιόν, τις εριτώσεις, η σχεδίαση ρέει να είναι τέτοια, ώστε να αοφεύγεται ο συντονισµός, δηλαδή η ιδιοσυχνότητα της κατασκευής να µην ταυτίζεται µε τη συχνότητα των εν λόγω διεγέρσεων. Σε διαφορετική ερίτωση, εµφανίζονται ολύ ισχυρές, θέτοντας σε κίνδυνο την ακεραιότητα της κατασκευής. τερύγιο ηδάλιο τερύγια έλικας υλώνας (α) Σχήµα 4: (α) Ανεµογεννήτρια οριζοντίου άξονα και (β) ηδάλιο λοίου (β) - 5.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Μέχρι στιγµής είδαµε ότι µε τη σειρά Furier είναι δυνατόν να αναλύσουµε µία οοιαδήοτε εριοδική διέγερση σε αρµονικές συνιστώσες. Συνεώς, ξέρουµε λέον ώς να διαχειριστούµε µία εριοδική διέγερση. Ωστόσο, οι διεγέρσεις δεν είναι άντοτε εριοδικές. Σε ερίτωση, λοιόν, µη-εριοδικής διέγερσης, αρκεί, µε κάοιον τρόο, να µετατρέψουµε τη µη-εριοδική διέγερση σε εριοδική. Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουµε ένα χρονικό αράθυρο σηµαντικά µεγαλύτερης διάρκειας αό τη χρονική διάρκεια εξέλιξης του µηεριοδικού φαινοµένου ου θέλουµε να µελετήσουµε. Για αράδειγµα, ο σεισµός είναι ένα µη-εριοδικό φαινόµενο µικρής διάρκειας,.χ. ενός λετού. Ωστόσο, αό την οτική γωνία του Μηχανικού, είναι δυνατόν να τον θεωρήσουµε ως εριοδικό φαινόµενο µε ερίοδο,.χ. µισής ώρας. Η ειλογή της εριόδου γίνεται µε κριτήριο την εξασφάλιση εαρκούς χρόνου ώστε το διεγειρόµενο σύστηµα,.χ. κτήριο, να έχει ηρεµήσει λήρως. Το µαθηµατικό εργαλείο, µε το οοίο αναλύουµε µη-εριοδικά φαινόµενα (συµεριλαµβανοµένων και των µεταβατικών φαινοµένων), είναι ο λεγόµενος µετασχηµατισµός Furier. Πρόκειται για τη µαθηµατική εέκταση της ανάτυξης σε σειρά Furier, όταν η ερίοδος τείνει στο άειρο, κάτι µε το οοίο θα ασχοληθούµε σε εόµενη Εκαιδευτική Ενότητα. - 5.6 -
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Υολογισµός ολοκληρωµάτων υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για τον συντελεστή a : T T T / T F a F si( Ω t) dt si( Ω t) dt F si( Ω t) dt+ F si( Ωt) dt T T T T T / T Ο δεύτερος όρος µηδενίζεται, διότι στο διάστηµα t, T µηδενική τιµή. F t έχει, η συνάρτηση Αλλαγή µεταβλητών: dt τ Ωt dτ Ωdt dt Ω t τ τ Ω t t T T T t τ T Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dτ F a siτ T T Ω Ω siτ dτ Αό τυολόγιο: Χρήσιµη οσότητα: si ax dx ax + C a ( cs ) Ω T T Ω T T Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dτ F F a siτ siτ dτ [ csτ] T Ω ΩT T Ω F F F Ω T F [ cs cs ] [ ] T T T Ω Ω Ω F a - 5.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για τον συντελεστή a : T T a F( t) cs( Ω t) dt F si( Ωt) cs( Ω t) dt T T T / F si( Ωt) cs( Ω t) dt+ F si( Ωt) cs( Ωt) dt T T T / T Ο δεύτερος όρος µηδενίζεται, διότι στο διάστηµα t, T µηδενική τιµή. Αλλαγή µεταβλητών: όως και ροηγουµένως F t έχει, η συνάρτηση Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dt F a si( τ) cs( τ ) si( τ) cs( τ ) dτ T Ω ΩT Αό τυολόγιο: cs a b x cs a b x si( bx) cs ( ax) dx + + C, a b a b a+ b ( x) ( x) ( x) ( x) ( ) Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F a si( τ) cs( τ ) dt ΩT cs ( a b) x cs ( a b) x si( bx) cs ( ax) dx + + C, a b ( a b) ( a+ b) cs cs b, a F x + x τ x T Ω + F cs cs + si si ΩT ( x) ( x) ( x) ( x) ( + ) cs cs si si F cs x cs x + si x si x cs x cs x si x si x ( + ) ( ) T Ω + ( + ) cs( x) cs( x) + si( x) si( x) ( ) cs( x) cs( x) si( x) si( x) ( )( ) F T Ω + F Ω ( ) + + cs x cs x + + + si x si x T + - 5.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ( ( x) ( x) ) ( x) ( x) ( ) F cs cs + si si a T Ω F cs cs si si + ΩT ( ) ( ) F ( cs( ) cs( ) ) ( si( ) si( ) ) + ΩT ( ) F ( cs cs ) ( cs( ) cs( ) ) T ( Ω ) F F ( cs )( ) cs + T ( ) T Ω Ω ( ) F F cs cs + ( ) ( ) + Εάν εριττός: F F F a cs cs [ ] a + + + Εάν άρτιος: a F F F cs cs( ) [ ] + + + a ( ) F - 5.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για τον συντελεστή b : T T b F( t) si( Ω t) dt F si( Ωt) si( Ω t) dt T T T / F si( Ωt) si( Ω t) dt+ F si( Ωt) si( Ωt) dt T T T / T Ο δεύτερος όρος µηδενίζεται, διότι στο διάστηµα t, T µηδενική τιµή. Αλλαγή µεταβλητών: όως και ροηγουµένως F t έχει, η συνάρτηση Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dt F b si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) dτ T Ω ΩT ιακρίνουµε δύο εριτώσεις: Περίτωση Α: Ισχύει: F dt F b si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) dτ T Ω ΩT F F b si( τ) si( τ) dτ si ( τ) dτ ΩT ΩT Αό τυολόγιο: ( ax) x si si ( ax) dx + C 4a Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F b si ( τ) dτ ΩT si( ) a F τ τ b x si( ax) T Ω 4 si ( ax) dx + C 4a F b ΩT si si( ) F Ω T 4 4 T Ω F F b b - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Περίτωση Β: > Τριγωνοµετρική ταυτότητα: si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) + cs( τ) cs( τ ) + si( τ) si( τ ) cs( τ) cs( τ ) si( τ) si( τ ) + cs( τ) cs( τ ) cs( τ) cs( τ ) si( τ) si( τ ) cs( τ τ) cs( τ + τ) cs ( ) τ cs ( + ) τ Άρα ισχύει: F cs ( ) cs ( ) F τ + τ b si( τ) si( τ ) dτ + dτ ΩT ΩT ( ) τ ( + ) F cs cs τ dτ + dτ ΩT F si ( ) si τ + ( + ) τ ΩT ( ) ( + ) F si ( ) τ si ( ) τ + + T Ω ( ) ( + ) F si si si si + + + T Ω + + F si ( ) si ( ) si ( + ) si ( + ) ΩT + ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) F si si + + T Ω + ( + ) si ( ) + ( ) si ( + ) ( )( ) F T Ω + F ( + ) si ( ) + ( ) si ( + ) ΩT b ( ) - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Λετοµερής υολογισµός αρµονικών συνιστωσών αόκρισης Με βάση όσα αναφέρονται στις σελίδες (8-), συµληρώνουµε τον Πίνακα Β., µε τις συµµετέχουσες, στην εξεταζόµενη εφαρµογή, συνιστώσες διέγερσης καθώς και τις αντίστοιχες αοκρίσεις τους. Πίνακας Β.: Συµµετέχουσες συνιστώσες διέγερσης και αντίστοιχες συνιστώσες αόκρισης Συνιστώσα διέγερσης Εξίσωση Περιγραφή υολογισµού Στατική φόρτιση F F µέτρου F Αρµονική διέγερση F si Ωt λάτους F και συχνότητας Ω Αρµονική διέγερση F cs Ωt λάτους F 3 3 και συχνότητας Ω Συνιστώσα αόκρισης Εξίσωση Περιγραφή υολογισµού F k ( si( Ωt ϑ) ) ( cs t ϑ ( Ω ) Στατική αόκριση Αρµονική αόκριση λάτους, µε συχνότητα Ω και διαφορά φάσης θ Αρµονική αόκριση λάτους, µε συχνότητα Ω και διαφορά φάσης ϑ 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - F 5 4 cs( 4Ωt) Αρµονική διέγερση λάτους F 5 και συχνότητας 4Ω ( 4 cs 4 t ϑ4 ( Ω ) Αρµονική αόκριση λάτους 4, µε συχνότητα 4Ω και διαφορά φάσης ϑ 4 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - F 35 6 cs( 6Ωt) Αρµονική διέγερση λάτους F 35 και συχνότητας 6Ω ( 6 cs 6 t ϑ6 ( Ω ) Αρµονική αόκριση λάτους 6, µε συχνότητα 6Ω και διαφορά φάσης ϑ 6 Τελικά, αό το συνδυασµό των Εξ(7,,8,34), ροκύτει το λάτος της ταλάντωσης : F α k ( q) + ( ζ q) (Β.) Ακολουθεί λετοµερής υολογισµός για κάθε µία συνιστώσα αόκρισης. Ειδικότερα: Για τον ρώτο όρο του ανατύγµατος (σταθερός όρος), αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι το µέτρο της στατικής δύναµης είναι F ( F ) µόνιµης αόκρισης είναι:, οότε η αντίστοιχη συνιστώσα - 5. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F k Για τον δεύτερο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης,, Ω είναι Ω ΩΩ, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): (Β.), η αντίστοιχη συχνότητα η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): q q (Β.3).75.75 ϑ (για ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q ζ ϑ ta ϑ q.75< q και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.): (Β.4) F F F k k k ( q ) (.565).75, F F F.43 k.4375 k.4375 k Για τον τρίτο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης (Β.5),, 3, η αντίστοιχη συχνότητα Ω είναι Ω Ω, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): q q (Β.6).75.5 ϑ (για ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q ζ ϑ ta ϑ q.5> q και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.): (Β.7) F F F 3 3 k k k ( q ) (.5).5, - 5.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F F 3 3 F.533 k (.5) k.5 k (Β.8) Για τον τέταρτο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι 4, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης,,4 5, η αντίστοιχη συχνότητα Ω είναι Ω 4 4Ω, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): q q (Β.9) 4.75 3. η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): ϑ (για 4 ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q 4 ζ ϑ4 ta ϑ q 4 4 3> q4 (Β.) και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.): F F F 5 5 k k k ( q ) ( 9) 4 3,4 4 F F 5 5 F 4.66 k ( 8) k 8 k (Β.) Για τον έµτο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι 6, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης,,6 35, η αντίστοιχη συχνότητα Ω είναι Ω 6 6Ω, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): q q (Β.) 6.75 4.5 η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): ϑ (για 6 ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q 6 ζ ϑ6 ta ϑ q 6 6 4.5> q6 (Β.3) και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.): - 5.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F F F 35 35 k k k ( q ) (.5) 6 4.5,6 6 F F 35 35 F 6.97 (Β.4) k ( 9.5) k 9.5 k Συγκρίνοντας µεταξύ τους τα λάτη, 4, 6 διαιστώνουµε ότι: F F F.533 4.66, 6.97 k k k (Β.5) Συνεώς, οι όροι 4 και 6 εµφανίζουν ολύ µικρή συµµετοχή και, αό τεχνολογική ροσέγγιση, αµελούνται. - 5.5 -
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Ανάτυγµα συνάρτησης F( t ) κατά Furier υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για την καλύτερη κατανόηση της ανάτυξης της συνάρτησης F( t ) κατά Furier, αρατίθενται οι γραφικές αραστάσεις των συνιστωσών. Πίνακας Γ.: Αρµονικές συνιστώσες του ανατύγµατος της F( t ) κατά Furier,,,,,,,,,,,8,8,8,8,8,6,6,6,6,6,4,4,4,4,4,,,,,,,,,, -, -, -, -, -, -,4 -,4 -,4 -,4 -,4 -,6 3 4 5 6 7 8 9 -,6 3 4 5 6 7 8 9 -,6 3 4 5 6 7 8 9 -,6 3 4 5 6 7 8 9 -,6 3 4 5 6 7 8 9 (Αρµονική Συνιστώσα #) (Αρµονική Συνιστώσα #) (Αρµονική Συνιστώσα #3) (Αρµονική Συνιστώσα #4) (Αρµονική Συνιστώσα #5) Πίνακας Γ.: Προσέγγιση της διέγερσης F( t ) (καµύλη µε κόκκινο χρώµα) χρησιµοοιώντας εερασµένο λήθος όρων του, κατά Furier, ανατύγµατος της F( t ),,,,,,,,,8,8,8,8,6,6,6,6,4,4,4,4,,,,,,,, -, 3 4 5 6 7 8 9 -, 3 4 5 6 7 8 9 -, 3 4 5 6 7 8 9 -, 3 4 5 6 7 8 9 (Προσέγγιση µε όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #) (Προσέγγιση µε 3 όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα # + (Αρµονική Συνιστώσα #3) (Προσέγγιση µε 4 όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #3) + (Αρµονική Συνιστώσα #4) (Προσέγγιση µε 5 όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #3) + (Αρµονική Συνιστώσα #4)+ (Αρµονική Συνιστώσα #5) - 5.6 -