ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αγαπητέ αναγνώστη

Άλγεβρα Α Λυκείου Σημειώσεις ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 05-06

Αγαπητέ αναγνώστη ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σκοπός των σημειώσεων που ακολουθούν δεν είναι σε καμία περίπτωση να υποκαταστήσουν το σχολικό βιβλίο. Άλλωστε έχουν γραφεί με δεδομένο ότι έχει πρώτα μελετηθεί αυτό Ο στόχος τους είναι να δώσουν για μεν τους μαθητές να επιλύσουν περισσότερες ασκήσεις για την περαιτέρω κατανόηση της ύλης, και να τους εντάξουν στο ύφος των ασκήσεων που θα τους ζητηθούν στις προαγωγικές εξετάσεις. Επίσης είναι μια ευκαιρία ώστε να απαλλαγούν από σκόρπιες σημειώσεις και φυλλάδια που δίνονται από τους διδάσκοντες κατά την διάρκεια της χρονιάς και να είναι όλα αυτά συγκεντρωμένα σε ένα. Για δε το σχολείο είναι μια ευκαιρία ώστε να μειώσει το κόστος των φωτοτυπιών στις δύσκολες εποχές που περνάμε. Τέλος θα πρέπει να τονίσουμε την εξαιρετική συνεργασία μεταξύ των μαθηματικών του ου Ενιαίου Λυκείου ώστε να μπορέσουμε να φτάσουμε στο συγκεκριμένο αποτέλεσμα.

Το λεξιλόγιο της Λογικής ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πρόταση (ή ισχυρισμός): Πρόταση στα μαθηματικά είναι κάθε έκφραση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αποκλειστικά ως αληθής ή ψευδής. Οι προτάσεις διακρίνονται σε απλές και σύνθετες. Απλή πρόταση: Δεν αναλύεται σε άλλες προτάσεις. (Συμβολίζεται με κάποιο γράμμα p, q κ.λ.π.) π.χ. «p»: Ο αριθμός είναι πρώτος. (Α) «q»: (Ψ) Σύνθετη πρόταση: Μπορεί να χωριστεί σε δύο ή περισσότερες απλές προτάσεις. π.χ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες μεταξύ τους και διχοτομούν τις γωνίες του. Σύνθετες προτάσεις: Η κατασκευή μιας σύνθετης πρότασης από απλές γίνεται με τη εισαγωγή διαφόρων συνδέσμων, όπως: και, η, αν, είτε, τότε, αν και μόνον αν, τότε και μόνον τότε, όχι, δεν, Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Άρνηση ( η αντίθετη μιας πρότασης) Έστω μία πρόταση «p». Άρνηση της πρότασης «p» ονομάζουμε την πρόταση «όχι p». Οι προτάσεις «p» και «όχι p» έχουν αντίθετες τιμές αληθείας. (βλ. δίπλα πίνακα αληθείας) Παρατήρηση: Για την αντίθετη μιας πρότασης συχνά χρησιμοποιούμε τη λέξη «δεν». p Α Ψ όχι p Ψ Α Σύζευξη Έστω οι προτάσεις «p», «q». Σύζευξη της πρότασης «p» με την πρόταση «q» ονομάζουμε την πρόταση «p και q» Η πρόταση «p και q» αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις «p», «q» είναι ταυτοχρόνως αληθείς. (βλ. δίπλα πίνακα αληθείας) p q p και q Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ομοίως ορίζεται η σύζευξη «Ρ και Ρ και... και Ρ Κ» και είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που όλοι οι ισχυρισμοί Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι αληθείς. Αν ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι ψευδής, τότε και η σύζευξη «Ρ και Ρ και... και Ρ Κ» είναι ψευδής. Διάζευξη Έστω οι προτάσεις «p», «q». Διάζευξη της πρότασης «p» με την πρόταση «q» ονομάζουμε την πρόταση «p ή q» Η πρόταση «p ή q» αληθεύει στην περίπτωση που μία τουλάχιστον από τις δύο προτάσεις «p», «q» είναι αληθής. (βλ. πίνακα δίπλα) p q p ή q Α Α Α Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Επισήμανση Ομοίως ορίζεται η διάζευξη «Ρ ή Ρ ή... ή Ρ Κ» και είναι αληθής στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι αληθής. Προφανώς η διάζευξη «Ρ ή Ρ ή... ή ΡΚ» είναι ψευδής μόνο όταν όλοι οι ισχυρισμοί Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι ψευδείς. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Συνεπαγωγή Έστω οι προτάσεις «p», «q». Συνεπαγωγή με υπόθεση «p» και συμπέρασμα «q» ονομάζουμε την πρόταση «αν p τότε q» η οποία συμβολίζεται p q H συνεπαγωγή «p q» θεωρείται ψευδής μόνο όταν η υπόθεση p είναι αληθής και το συμπέρασμα q είναι ψευδές. Σε κάθε άλλη περίπτωση θεωρούμε ότι η συνεπαγωγή «p q» είναι αληθής. Επισήμανση: Ώστε μια συνεπαγωγή αποτελείται από δύο μέρη: την ό p και το έ q ( ά ) ( ά ό ) p q p q Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Αντίστροφη συνεπαγωγή Αν εναλλάξουμε την υπόθεση με το συμπέρασμα μιας συνεπαγωγής,τότε έχουμε την αντίστροφη συνεπαγωγή. Δηλαδή για την συνεπαγωγή p q η αντίστροφη συνεπαγωγή είναι qp Προσοχή!!! Το αντίστροφο μιας συνεπαγωγής (θεωρήματος-πρότασης) δεν είναι γενικά αληθής πρόταση. Ισοδυναμία Ένα θεώρημα και το αντίστροφό του αποδίδονται με τις συνεπαγωγές: p q (λέγεται και ευθύ) και q p (αντίστροφο) Στην περίπτωση που και οι δύο παραπάνω συνεπαγωγές θεωρήματα είναι αληθείς, λέμε ότι έχουμε διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναμία: Συμβολίζουμε : p q και διαβάζουμε: p ισοδυναμεί q H ισοδυναμία p q διαβάζεται ακόμα και ως εξής: Αν p τότε q και αντιστρόφως p αν και μόνον αν q (ή αλλιώς) p τότε και μόνον τότε q Επισήμανση: Όλοι οι ορισμοί είναι ισοδυναμίες Επισήμανση: Σύμφωνα με τον ορισμό της συνεπαγωγής, αν οι ισχυρισμοί p και q είναι ψευδείς, τότε οι ισχυρισμοί «p q» και «q p» είναι αληθείς, οπότε η ισοδυναμία «p q» θα είναι αληθής. Επομένως η ισοδυναμία «p q» είναι αληθής όταν και οι δύο ισχυρισμοί p και q είναι αληθείς ή και οι δύο είναι ψευδείς. Η αντίθετο-αντίστροφη συνεπαγωγή Έστω η συνεπαγωγή : p q Αντιστρέφοντας την συνεπαγωγή για τις αντίθετες προτάσεις παίρνουμε την : όχι q όχι p Αν η πρώτη συνεπαγωγή είναι αληθής τότε θα είναι αληθής και η αντίθετο-αντίστροφή της. Δηλαδή οι δυο εκφράσεις p q, οχι q οχι p p q οχι q οχι p Παραδείγματα: είναι ισοδύναμες:. Να γράψετε τις παρακάτω συνεπαγωγές συμβολικά και να εξετάσετε για ποιες ισχύει και η αντίστροφη. Σε όσες δεν ισχύει το αντίστροφο να προσθέστε μια συνθήκη ώστε να γίνουν ισοδυναμίες. i ) Αν x=4 τότε x =6. ιι) Aν x 0 τότε Λύση 0 x 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

i ) x 4 x 6. Δεν αληθεύει ii ) x 0 Όμως x 0 0 x 4 x 6 x 4.Όμως x 4. Δεν αληθεύει 0 x 4 x 0. 0 x 4 x 0 p q q p. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι: Λύση p q p q ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ x 6 x 0 οχιp οχιq q p p q q p Α Α Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α Α Α. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι: p q p ή q Λύση [ταυτολογία] p q p και q οχι(p και q) οχιp οχιq (οχιp)ή(οχιq) p q p ή q Α Α Α ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Α Α Α Α Α 4. Να γράψετε με λόγια τις ισοδυναμίες «p q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς η ψευδείς, όταν: i) p: Το σημείο Σ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ. q : To σημείο Σ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΒ ii) p: : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π είναι παράλληλες, q : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π δεν έχουν κοινό σημείο iii) p : Δύο τρίγωνα είναι ίσα q : Δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά Λύση i) Έχουμε: p q : Ένα σημείο Σ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ αν και μόνο αν ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΒ Η ισοδυναμία είναι αληθής, αφού οι συνεπαγωγές «p q» και «q p» είναι αληθείς. ii) Έχουμε: p q: Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π είναι παράλληλες, αν και μόνο αν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο Η ισοδυναμία είναι αληθής, αφού οι συνεπαγωγές «p q» και «q p» είναι αληθείς iii) Έχουμε: p q: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν ίσα εμβαδά. Η ισοδυναμία είναι ψευδής αφού η συνεπαγωγή «q p» είναι ψευδής.

Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Ο αριθμός 5 είναι περιττός και ο αριθμός 8 είναι άρτιος. Σωστό Λάθος.... Ο αριθμός 7 είναι άρτιος ή είναι διαιρέτης του 49. Σωστό Λάθος.... Το αξίωμα είναι μία πρόταση που την δεχόμαστε σαν αληθή Σωστό Λάθος... 4. Όλοι οι ορισμοί είναι ισοδυναμίες Σωστό Λάθος... 5. Το αντίστροφο μιας συνεπαγωγής είναι γενικά αληθής πρόταση. Σωστό Λάθος... 6. Όλα τα γνωστά μας θεωρήματα είναι συνεπαγωγές. Σωστό Λάθος... Ασκήσεις. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι απλές και ποιες σύνθετες; i) Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. ii) Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο, δεν μπορεί να είναι ισόπλευρο. iii) Οι αριθμοί και 4 είναι διαιρέτες του 7. 4. Να βρείτε τις απλές προτάσεις από τις οποίες αποτελείται κάθε μία από τις επόμενες σύνθετες προτάσεις. i) Αν ο αριθμός α είναι άρρητος και ο αριθμός β είναι ρητός, τότε ο αριθμός είναι άρρητος. ii) Αν οι γωνίες ω και φ είναι κατά κορυφήν, τότε είναι ίσες και αντίστροφα. iii) Αν και τότε.. Να γράψετε τις παρακάτω συνεπαγωγές συμβολικά και να εξετάσετε για ποιες ισχύει και η αντίστροφη. Σε όσες δεν ισχύει το αντίστροφο να προσθέστε μια συνθήκη ώστε να γίνουν ii ) ισοδυναμίες. Αν 0 τότε 0. ιι) Aν τότε 4. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι pq p [ο λογικός τύπος είναι ταυτολογία]. 5. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι: p ή q p q ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ [ταυτολογία] 6. Να γράψετε με λόγια τις ισοδυναμίες «p q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς η ψευδείς, όταν: i) p: Το τραπέζιο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ ΓΔ. q : To τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ ΓΔ ii) p: : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π τέμνονται, q : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π έχουν ένα μόνο κοινό σημείο iii) p : Δύο τρίγωνα είναι ίσα. q : Δύο τρίγωνα είναι όμοια.

5 ΣΥΝΟΛΑ Ορισμός του συνόλου: Σύνολο ονομάζουμε κάθε συλλογή αντικειμένων, τα οποία προέρχονται από την εμπειρία μας ή από την νόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται με σαφήνεια το ένα από το άλλο. (Cantor) Στοιχεία ή μέλη του συνόλου ονομάζονται τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο ( ο συμβολισμός των συνόλων γίνεται με κεφαλαία γράμματα, ενώ των στοιχείων με μικρά ) Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α. Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α. Ένα σύνολο παριστάνεται με τους ακόλουθους δύο τρόπους : Mε αναγραφή των στοιχείων του: Γράφουμε δηλαδή τα στοιχεία του συνόλου ένα - ένα (και μία φορά το καθένα ) ανάμεσα σε δύο άγκιστρα και χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, χωρίζοντάς τα με κόμμα. Με περιγραφή των στοιχείων του: Αναφέρουμε δηλαδή μια χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων, που να εξασφαλίζει όμως ότι αυτά είναι καλά καθορισμένα και διακρίνονται μεταξύ τους. Βασικά σύνολα στα Μαθηματικά : {0,,,...} : Σύνολο των φυσικών αριθμών. {...,,,0,,,...} : Σύνολο των ακεραίων. α {x / x,με α,β β, β 0} : Σύνολο των ρητών {x / x ή x άρρητος} : Σύνολο των πραγματικών * {0} ( Γενικά ο αστερίσκος σαν εκθέτης στα δεξιά του συνόλου δηλώνει ότι το σύνολο δεν περιέχει το 0 ) {0,,,,...} (Γενικά το «+» ως δείκτης δηλώνει ότι το σύνολο περιέχει μόνο τους θετικούς αριθμούς και το 0 ) Ίσα σύνολα: λέγονται δύο σύνολα Α και Β όταν αυτά έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε : A=B. Πχ. τα σύνολα : A={x Z / x<0 } και Ζ-* είναι ίσα. Υποσύνολο ενός συνόλου Α λέγεται ένα σύνολο Β, όταν κάθε στοιχείο του συνόλου Β ανήκει στο Α. ( συμβολισμός : Β Α ) Πχ. Ν Ζ Q R Kενό : λέγεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο ( συμβολισμός : ή { } ) ( Το κενό σύνολο είναι μοναδικό και θεωρείται υποσύνολο κάθε συνόλου ) Βασικό σύνολο : λέγεται το ευρύτερο σύνολο, με τα υποσύνολα του οποίου εργαζόμαστε. Συμβολίζεται συνήθως με Ω. Τα διαγράμματα Venn είναι μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων όπου με ένα ορθογώνιο συμβολίζεται το βασικό σύνολο, μέσα στο οποίο κάθε κλειστή καμπύλη γραμμή συμβολίζει ένα σύνολο με στοιχεία όσα στοιχεία του βασικού συνόλου περικλείονται μέσα στη κλειστή αυτή γραμμή. Πράξεις με σύνολα Ένωση δύο συνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων Α, Β. Συμβολίζεται A B Δηλ. Α Β={xΩ / xa ή xb } ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Τομή δύο συνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων Α και Β. Συμβολίζεται Α Β Δηλ. Α Β x Ω / x A x B 6 Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α λέγεται το σύνολο που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που δεν ανήκουν στο Α. Συμβολίζεται Α Δηλ. Α ={xω / xa }. Δίνονται τα σύνολα Α = { -, κ } και Β = { κ, - }. Να προσδιοριστεί ο κ έτσι ώστε: i) Να ορίζονται τα σύνολα Α και Β ii) Να ισχύει Α=Β. Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε να ορίζονται τα σύνολα: i ) Α={, λ } i i ) Β={, λ, λ }. Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα: i ) Α={,,, 0,,, } ii) Β={0,, } 4. Να εξετάσετε ποια σχέση έχουν τα σύνολα : Α x : x x B x : x x 0. (i) και (ii) 6 Α x : x 0 και B x : x 0 (iii) Α x : x x 0 και B x Z : x x 5. Δίνονται τα σύνολα Α=(,] και Β =(, + ). Να βρείτε τα σύνολα Α, Β, Α Β, Α Β, Α, Β. 6. Δίνονται τα σύνολα Α=[,] και Β =(,5). Να παρασταθούν με περιγραφή τα σύνολα Α, Β, Α Β, Α Β, Α, Β. 7. Δίνονται τα σύνολα Α = { χr/ < χ < 5 }, Β = { χz/ χ < 6 } και Γ = { χr/ χ 4 ή χ > }, Να υπολογίσετε και να γράψετε με περιγραφή τα σύνολα: Α Β, Α Β, Α Γ, Α Γ, Γ Β, Γ Β, 8. Δίνονται τα σύνολα Α = { 0,,, 5,6 }, Β = {, 4, 5, 6 } και Γ = { 0,,, 4}. Να συγκριθούν τα σύνολα: (i). α) (Α Β) Γ και (Α Γ) (Β Γ) β) (Α Β) Γ και (Α Γ) (Β Γ) (ii) Ισχύον γενικά τα παραπάνω συμπεράσματα; Αιτιολογήστε την απάντησή σας (iii) Διατυπώστε έναν κανόνα για να θυμάστε τα συμπεράσματα σας. 9. Δίνονται τα σύνολα Ω = { 4,,, 7, 9, 4 }, Α = {, 7, 9 } και Β = { 4,, 7}. Να συγκριθούν τα σύνολα: (i). α) (Α Β) και Α Β β) (Α Β) και Α Β (ii) Ισχύον τα παραπάνω συμπεράσματα για οποιαδήποτε σύνολα Α και Β; Αιτιολογήστε την απάντησή σας 0. (ι) Να βρείτε όλα τα υποσύνολα των συνόλων: Α 0,, Β,, και Γ,, 5, 7 (ii) Υπάρχει σχέση μεταξύ του πλήθους των στοιχείων του συνόλου με το πλήθος των υ- ποσυνόλων του. Μπορείτε να μαντέψτε την σχέση; (iii) Αν ναι, κάντε επαλήθευση της σχέσης με ένα δικό σας παράδειγμα σε ένα σύνολο 4 στοιχείων. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

7 Κεφάλαιο ο Ορισμοί Πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες και του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Δειγματικός χώρος ενός πειράματος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων και συμβολίζεται με Ω. Παρατηρήσεις. Αν,,..., είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης τότε,,...,.. Τα στοιχεία του δειγματικού χώρου λέγονται εξαγόμενα του πειράματος. Αν Ω είναι ένας δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το Ω είναι ενδεχόμενο του πειράματος αφού. Το Ω ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο γιατί πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράματος. Το κενό σύνολο είναι ενδεχόμενο κάθε πειράματος τύχης γιατί είναι υποσύνολο του Ω. Το κενό σύνολο ονομάζεται ειδικότερα αδύνατο ενδεχόμενο γιατί δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος. Πράξεις με ενδεχόμενα. Το ενδεχόμενο που διαβάζεται Α ένωση Β και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β.. Το ενδεχόμενο που διαβάζεται Α τομή Β και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται και το Α και το Β. Το ενδεχόμενο Α που διαβάζεται όχι Α και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α Δύο ενδεχόμενα Α, Β λέγονται ασυμβίβαστα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα ή ξένα μεταξύ τους όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία όταν δηλαδή. Συγκεντρωτικός Πίνακας Πιθανοθεωρία Συνολοθεωρία Διάγραμμα Venn Ενδεχόμενο όταν πραγματοποιείται το σύνολο Α Ενδεχόμενο ότι πραγματοποιείται το σύνολο όχι Α ή Α Υποσύνολο του Ω Συμπλήρωμα του Α Εμφάνιση του ενδεχομένου Α ή Β Ένωση των Α και Β Εμφάνιση του ενδεχομένου Α και Β Τομή των Α και Β Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α- και Β Ξένα μεταξύ τους σύνολα ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Ερωτήσεις συμπλήρωσης Στην Β Στήλη υπάρχουν γραμμοσκιασμένα διαγράμματα Venn των ενδεχομένων Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Συμπληρώσετε την Α Στήλη με το λεκτικό και το συμβολικό του ενδεχομένου και την Γ Στήλη με την πιθανότητά του με τον λογισμό των πιθανοτήτων 8 Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ A Ω B A A A Ω B Ω B Ω B A A A A A Ω B Ω B Ω B Ω B Ω B Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Σωστό Λάθος.... Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του πειράματος. Σωστό Λάθος.... Ένα αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό ενδεχόμενο ή γεγονός. Σωστό Λάθος... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

4. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω. Σωστό Λάθος... 5. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι και αυτός ένα ενδεχόμενο Σωστό Λάθος... 6. Με Ν (Α) συμβολίζουμε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός ενδεχομένου Α. Σωστό Λάθος... 7. Το κενό σύνολο δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Σωστό Λάθος... 8. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν τουλάχιστον δύο αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγονται σύνθετα. Σωστό Λάθος... 9. Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α Β = Α. Σωστό Λάθος... 9 0. Οι εκφράσεις: «πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α ή το Β» και «πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ισοδύναμες. Σωστό Λάθος.... Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε ισχύει η ισότητα Α - Β = Α Β. Σωστό Λάθος Ερωτήσεις τύπου Πολλαπλών Επιλογών. Από τις παρακάτω ισότητες σωστή είναι η Α. Α = Α. Β. Α Α = Ω. Γ. Α Β = Α Β Δ. Ω = Ω.. Ε. (Α ) = Α.. Με βάση το παρακάτω διάγραμμα Venn το σύνολο (Κ Λ ) (Κ Λ) είναι το: 6 Α 4 5 Β Ω Α: {,, } Β: {,, 4, 5} Γ: {,, 6} Δ: {, 4, 5} Ε: { 6 }. Έστω Α = {,, 5} και Β = {, 4, 6} δύο ενδεχόμενα της ρίψης ενός ζαριού μια φορά. Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός τότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α. Α Β. Β. Α. Γ. Β. Δ. Α Β. Ε. Β Α. 4. Αν Κ, Λ ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε: Α: Κ Λ=Ω Β: Κ Λ=Ω Γ: Κ Λ= ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

0 Δ: Κ Λ= Ε: Κ Λ= και Κ Λ=Ω 5. Αν Κ, Λ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε Κ Λ = : Α: Κ Λ Β: Κ Λ Γ: Κ Λ Δ: Κ Λ Ε: κανένα από τα προηγούμενα 6. Θεωρούμε πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω, και δύο ενδεχόμενα Α και Β. Tο γραμμοσκιασμένο μέρος στο παρακάτω διάγραμμα Venn είναι το: Ω Α Β Α: (Α Β) (Β Α) Β: (Α Β) (Α Β) Γ: (Α Β ) (Α Β ) Δ: (Α Β) (Α Β ) Παράδειγμα Ε: (Α Β) (Α Β ). Ρίχνουμε ένα πρώτα ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι. i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. ii) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: Α : «Στο νόμισμα ήρθε Κεφάλι (Κ)» Α : «Στο ζάρι ήρθε ζυγό αποτέλεσμα» Α : «Στο ζάρι ήρθε ή ή 4» iii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα,,,,,, Λύση iv) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα v) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα,. Τι παρατηρείτε;,. Τι παρατηρείτε i) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, θα χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω δεντροδιάγραμμα Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες δυάδες Ω Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω Α Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Α Α Κ,Κ4,Κ6,Γ,Γ4,Γ6 Κ,Κ,Κ4,Γ,Γ,Γ4 iii) Το Α περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το Α περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία υπάρχει Γράμματα (Γ), Δηλαδή: Α Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 Το Α περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το Α περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία υπάρχει μόνο αποτέλεσμα του ζαριού, Δηλαδή Α Κ,Κ,Κ5,Γ,Γ,Γ5 Ομοίως Α Κ,Κ5,Κ6,Γ,Γ5,Γ6 Το ενδεχόμενο Α Α περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α και Α, δηλαδή τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που στην ρίψη του κέρματος ήρθε Κεφάλι και στην ρίψη του Α Α Κ,Κ4,Κ6 ζαριού ζυγό αποτέλεσμα. Το ενδεχόμενο Α Α περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α και Α, δηλαδή τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που στην ρίψη του κέρματος ήρθε Γραμματα και στην ρίψη του Α Α Γ,Γ4,Γ6 ζαριού ζυγό αποτέλεσμα. Ομοίως Α Α Γ,Γ4,Κ,Κ4 iv) Α Α Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6,Γ,Γ4,Γ6, οπότε Α Α Γ,Γ,Γ5. Παρατηρώ ότι Α Α Γ,Γ,Γ5 Α Α Α Α v) Α Α Κ,Κ4,Κ6 οπότε Α Α Κ,Κ,Κ5,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 Παρατηρώ ότι Α Α Κ,Κ,Κ5,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 Ασκήσεις για λύση Α Α Α Α. Έστω ένας τριψήφιος αριθμός 4 x. και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α : «ο αριθμός διαιρείται με το» και Β : «ο αριθμός διαιρείται με το 5». Επιλέγουμε τυχαία το ψηφίο των μονάδων. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα: (i) «ο αριθμός διαιρείται με το και με το 5» (ii) «ο αριθμός διαιρείται με το ή με το 5» (iii) «ο αριθμός διαιρείται μόνο με το» (iv) «ο αριθμός διαιρείται ή με το ή με το 5» (v) «ο αριθμός δεν διαιρείται ούτε με το ούτε με το 5» (vi) «ο αριθμός διαιρείται με έναν το πολύ από τους αριθμούς και 5».. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι συγχρόνως και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α : «το αποτέλεσμα του ζαριού να είναι μικρότερο του 4» και Β : «γράμματα στο νόμισμα και περιττό αποτέλεσμα στο ζάρι». Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω, να υπολογιστούν τα ενδεχόμενα: α) Α β) Β γ) Α Β δ) ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

. Δύο φίλοι παίζουν σκάκι με την εξής συμφωνία: κερδίζει αυτός που θα πάρει πρώτος δύο νίκες ή δύο συνεχόμενες νίκες. Έστω α η περίπτωση να νικήσει ο πρώτος και β να νικήσει ο δεύτερος σε ένα σετ. (i) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. (ii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα: Α : «να τελειώσει ο αγώνας σε δύο σετ». Β : «να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης». (iii) Πόσες το πολύ αναμετρήσεις θα είχε μια τέτοια συνάντηση; (iv) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:, και Β. 4. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο Α = { 0,, } και έναν αριθμό β από το σύνολο Β = {,, 5}. (i) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. (ii) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α : «η εξίσωση αx βx 0 είναι δευτέρου βαθμού» Β : «η ευθεία αx βy είναι παράλληλη στην ευθεία y = x» Γ : «η εξίσωση x αx βx 6 0 έχει ρίζα τον αριθμό». 5. Ένας εκδοτικός οίκος ελέγχει την εκτύπωση ενός λογοτεχνικού βιβλίου. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν δύο ελαττωματικά βιβλία ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 βιβλία. Να βρείτε: (i) Το δειγματικό χώρο Ω. (ii) Τα ενδεχόμενα: Α: Ακριβώς ελαττωματικά βιβλία, Β: τουλάχιστον ελαττωματικά βιβλία, Γ: το πολύ ελαττωματικά βιβλία. 6. Οι ομάδες πετοσφαίρισης του ου Λυκείου και του ου Λυκείου παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε: (i) (ii) (iii) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. Τα ενδεχόμενα: Α: Ακριβώς μία νίκη της ομάδας του ου Λυκείου, Β: καμία νίκη της ομάδας του ου Λυκείου, Γ: τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας του ου Λυκείου. Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια αθλητική συνάντηση; (iv) Τι παρατηρείτε για τα ενδεχόμενα Β και Γ; 7. Σε ένα κουτί υπάρχουν: 0 λευκές σφαίρες αριθμημένες ανά 0 με τους αριθμούς, και. 40 κόκκινες σφαίρες αριθμημένες ανά 0 με τους αριθμούς,, και 4. 0 μπλε σφαίρες αριθμημένες ανά 5 με τους αριθμούς,4,6 και 8. 0 μαύρες σφαίρες αριθμημένες ανά 5 με τους αριθμούς,,,4,5 και 6. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: επιλέγουμε μια σφαίρα με άρτιο αριθμό. Β: επιλέγουμε μια σφαίρα με τον αριθμό. Γ: επιλέγουμε μια κόκκινη σφαίρα με άρτιο αριθμό. Δ: επιλέγουμε μια σφαίρα κόκκινη ή με άρτιο αριθμό. Να υπολογίσετε τα NA,NB,NΓ,ΝΔ ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Έστω Η Έννοια της Πιθανότητας,,..., ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό που τον συμβολίζουμε με i έτσι ώστε να ισχύουν: 0 i i... Τον αριθμό i τον ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου i Αν ορίζουμε ως πιθανότητα του Ρ(Α) το,,..., Ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε το 0. Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων.... Αν τότε δύο ασυμβίβαστα τότε....... Για δύο αντίθετα ενδεχόμενα Α και Α έχουμε.. Αν Α, Β είναι δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα τότε. 4. Επίσης αν για τα ενδεχόμενα Α, Β έχουμε τότε.. Γενικότερα αν έχουμε,,... είναι ανά Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητας Αν Ω είναι ένας δειγματικός χώρος με απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, τότε η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι : ή ευνοικών ώ. ύ ώ ώ Παραδείγματα. Ρίχνουμε ένα πρώτα ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι. i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. ii) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α : «Στο νόμισμα ήρθε Κεφάλι (Κ)» Α : «Στο ζάρι ήρθε ζυγό αποτέλεσμα» Α : «Στο ζάρι ήρθε ή ή 4» iii) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων; Λύση Β : «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α» Β : «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α» Β : «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α» i) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα δεντροδιάγραμμα:, μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε και πινάκα διπλής εισόδου Ζάρι Κέρμα 4 5 6 Κ Κ Κ Κ Κ4 Κ5 Κ6 Γ Γ Γ Γ Γ4 Γ5 Γ6 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

4 Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες δυαδες Ω Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω βλέπουμε ότι έχει x6 απλά ενδεχόμενα Ν Ω άρα Α Α Α Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6, ΝΑ 6 όποτε Κ,Κ4,Κ6,Γ,Γ4,Γ6, ΝΑ 6 όποτε Κ,Κ,Κ4,Γ,Γ,Γ4, ΝΑ 6 όποτε iii) Β Κ,Κ5, ΝΒ όποτε Β Β Γ6, ΝΒ όποτε Γ, ΝΒ όποτε ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΝΑ 6 Ρ Α 0,5 ή 50 Ν Ω 0 0 ΝΑ 6 Ρ Α 0,5 ή 50 Ν Ω 0 0 ΝΑ 6 Ρ Α 0,5 ή 50 Ν Ω ΝΒ Ρ Β 0,67 ή 6,7 Ν Ω 0 0 ΝΒ Ρ Β 0,08 ή 8, Ν Ω 0 0 ΝΒ Ρ Β 0,08 ή 8, Ν Ω 0 0 0 0. Στο ο Λυκείου το 60% των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο, το 40% με το μπάσκετ και το 0% με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: i) Να μην ασχολείται με το μπάσκετ ii) Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ iii) Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο iv) Να ασχολείται με ένα το πολύ από τα παραπάνω αθλήματα. Λύση: Π : «ενδεχόμενο ο μαθητής να ασχολείται με το Ποδόσφαιρο» Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να ασχολείται με το Μπάσκετ» 0 ΡΠΜ 0, 00 Ρ Μ Ρ Μ 0,4 0,6 ή 60 i) 0 0 60 Ρ Π 0,6 00 40 Ρ Μ 0,4 00 ii) Π Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να ασχολείται είτε με ποδόσφαιρο είτε με μπάσκετ» Π Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ» Ρ ΠΜ Ρ Π Ρ Μ Ρ ΠΜ 0,6 0,4 0, 0,8 ή 80. Άρα 0 0 Ρ ΠΜ Ρ ΠΜ 0,8 0, ή 0 Ρ ΜΠ Ρ Μ Ρ ΠΜ 0,4 0, 0, ή 0 Οπότε 0 0 iii) 0 0 iv) Π Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο και το μπάσκετ συγχρόνως». Άρα Ρ ΠΜ 0 ΡΠΜ 0, 0,8 ή 80 0.

5 Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Αν για δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ισχύει, τότε. Σωστό Λάθος.... Αν για δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ισχύει ΡΑ ΡΒ, τότε ΝΑ ΝΒ ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Σωστό Λάθος.... Αν Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω, τότε Ν Α Ν Α. Σωστό Λάθος... 4. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω,.τότε πάντα ισχύει Ν Α Β Ν Α Ν Β Σωστό Λάθος... 5. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω και ΡΑ ΡΒ, τότε Α Β Σωστό Λάθος... 6. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΑ ΡΑ Β. Σωστό Λάθος... 7. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΒ ΡΑ Β. Σωστό Λάθος... 8. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΑ ΡΒ. Σωστό Λάθος... 9. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΑ ΡΒ. Σωστό Λάθος... 0. 0 Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε Ρ Α Ρ Β Ρ Α Β Ρ Α Β. Σωστό Λάθος Ερωτήσεις τύπου Πολλαπλών Επιλογών. Για την πιθανότητα Ρ (Α) κάθε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης ισχύει Α. < Ρ (Α) <. Β. Ρ (Α) >. Γ. Ρ (Α) < 0. Δ. 0 Ρ (Α). Ε. κανένα από τα παραπάνω... Ο απλός προσθετικός νόμος των πιθανοτήτων για δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β είναι Α. Ρ (Α) + Ρ (Β) =Ρ (Α Β). Γ. Ρ (Α) + Ρ (Β) = Ρ (Α Β). Ε. Ρ (Α) Ρ (Β) =Ρ (Α Β). Β. Ρ (Α) + Ρ (Β ) = Ρ (Α Β). Δ. Ρ (Α) Ρ (Β) = Ρ (Α Β).

6 Ασκήσεις για λύση. Ένα παιδί έχει νομίσματα στην τσέπη του τρία των ένα των. πέντε των 0,5. τρία των 0,0. Στην τύχη βγάζει ένα νόμισμα. Βρείτε την πιθανότητα : i) Ένα των. ή ένα των 0,0. (απαντ. ½) ii) Ένα των ή ένα των 0,5. ή ένα των 0,0. (απαντ. /). Από μία καλά ανακατεμένη τράπουλα τραβάμε ένα φύλλο στην τύχη. Βρείτε την πιθανότητα να είναι μπαστούνι ή ρήγας. (απαντ. 4/). Μία οικογένεια έχει τρία παιδιά. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α : «Το πρώτο παιδί να είναι αγόρι» Β : «Έχει παιδιά και των δύο φύλλων» Γ : «χει ακριβώς ένα αγόρι» Δ : «Έχει τουλάχιστον ένα αγόρι» 7 Ποια η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου; (απαντ:,,, ) 4 8 8 4. Σε μία έρευνα των μαθητών της Α Λυκείου διαπιστώθηκε ότι το 60% των μαθητών δεν έχει χαλασμένα δόντια, το 0% δεν είναι υπέρβαρο και το 0% δεν είναι υπέρβαρο ούτε έχει χαλασμένα δόντια. Να βρείτε την πιθανότητα ένας μαθητής της συγκεκριμένης τάξης που επιλέχθηκε τυχαία να είναι υπέρβαρος και να έχει χαλασμένα δόντια. (απαντ : 0.) 5. Τρία άλογα τρέχουν σε μία ιπποδρομία. Το α έχει διπλάσιες πιθανότητες να νικήσει από το β και το β έχει διπλάσιες πιθανότητες από το γ. Βρείτε την πιθανότητα να νικήσει το β ή το γ. 6. Έστω ο δειγματικός χώρος,,, 4 Αν ισχύουν οι σχέσεις : 4 και. Να βρείτε : i) Τα,, και ii) Τα και αν, 4 4 8 7 (απαντ :,,, 4,, ) 5 5 5 5 5 5 7. Ρίχνουμε ένα νόμισμα ν φορές ν N. i) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου «οι ενδείξεις σε δύο οποιεσδήποτε συνεχόμενες ρίψεις είναι διαφορετικές» ii) Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό ρίψεων για τον οποίο η πιθανότητα του Α είναι μικρότερη από (απαντ : α) Ρ(Α)=/ν-, β) ν=6 ) 6 8. Τα ενδεχόμενα Α και Β είναι τέτοια ώστε : ΡΑ, Ρ( Α Β ), Ρ( Α Β ). 4 5 (απαντ : α) /4, β) 7/60, γ) /0 ) Βρείτε τα α) Ρ(Α) β) Ρ(Β) γ) 9. Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ. Δείξτε ότι ισχύει η σχέση : ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ. 0. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α και Β για τα οποία υποθέτουμε Ρ(Α)=α, Ρ(Β)=β, και Ρ Α Β γ. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: «εμφανίζεται ένα ακριβώς από τα Α και Β (απάντ : α+β-γ). Σε μία σφυγμομέτρηση που έγινε τα 5 των ατόμων δήλωσαν ότι γνωρίζουν Αγγλικά, το 4 Γαλλικά και το 5 και τις δύο γλώσσες. Εκλέγουμε στην τύχη ένα άτομο. Να βρείτε την πιθανότητα : ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

7 i) Να μην γνωρίζει ούτε Αγγλικά, ούτε Γαλλικά ii) Να γνωρίζει μόνο Αγγλικά iii) Να γνωρίζει μόνο Αγγλικά ή μόνο Γαλλικά. 4 5. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν : ΡΑ Β 5 Ρ Α Β (απαντ : Ρ(Β)=/, Ρ(Α)=8/5, Ρ(Α Β )=/5, Ρ(Α Β)=4/5 ), ΡΒ καιρα Β τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α), ΡΑ Β,. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν 4 ΡΑ, ΡΒ, ΡΑ Β. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : 5 5 Γ : να μη πραγματοποιηθεί το Α Δ : να πραγματοποιηθούν και το Α και το Β Ε : να πραγματοποιηθεί μόνο το Β Ζ: να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β Η: να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β 7 (απαντ : ΡΓ, ΡΔ, ΡΕ, ΡΖ, ΡΗ ) 0 0 5 0 4. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω μερα, ΡΒ 4 i) Να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ii) Να αποδείξτε ότι : α) ΡΑ Β β) ΡΑ Β 4 4 5. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα ποδοσφαίρου του σχολείου του είναι 6 ενώ για την ομάδα μπάσκετ είναι. Η πιθανότητα να εκλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 5. Ποια η πιθανότητα των ενδεχομένων : 0 i) Α: Να επιλεγεί τουλάχιστον σε μία από τις δύο ομάδες ii) Β: Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου iii) Γ: Να επιλεγεί μόνο σε μία από τις δύο ομάδες (απαντ : Ρ(Α)=4/5, Ρ(Β)=/5, Ρ(Γ)=/6) 6. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β υποσύνολα Ρ Α 0,8 Ρ Β 0,7. Να αποδείξτε ότι : του Ω. Έστω και i) ΡΑ Β,0 ΡΑ Β ii) Το ενδεχόμενο (Α B) δεν είναι το κενό. (Δ ΔΕΣΜΗ 994) Ω ω, ω, ω. 7. Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Να δείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός α 0 ώστε να ισχύουν: Ρω, Ρω α 5, Ρω α α Ω ω, ω, ω, ω. 8. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με 4 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α ω, ω, ω με και Β ω, ω με Ρ Α 5 4 Ρ Β. 0 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

8 Να βρεθούν οι πιθανότητες: Ρω, Ρω 4 (απαντ : Ρ(ω)=/4 Ρ(ω4)=/5) καιρβ 0,4. 9. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με ΡΑ 0, Να αποδείξτε ότι: 0,4 ΡΑ Β 0,7. 0. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ΡΑ 0,5 και ΡΒ 0,7. Να αποδείξτε ότι 0, ΡΑ Β 0,5. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγμ. χώρου Ω. Να δείξτε ότι: ΡΑ ΡΑ Β ΡΒ. Να αποδείξτε ότι δεν υπάρχει ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου ώστε να ισχύει :. ΡΑ Ρ Α 4. Μία αυτοκινητοβιομηχανία έκανε μία έρευνα για ένα τύπο αυτ/του που παράγει. Η έρευνα έδειξε ότι : α) Η πιθανότητα το αυτ/το να έχει πρόβλημα στα φρένα είναι 0,05 β) Η πιθανότητα να έχει πρόβλημα στο ψυγείο είναι 0,06 γ) Η πιθανότητα να έχει και στο ψυγείο και στα φρένα είναι 0,0 Να βρεθεί η πιθανότητα : i) Το αυτοκίνητο να έχει πρόβλημα στα φρένα ή στο ψυγείο. ii) Το αυτοκίνητο να έχει πρόβλημα μόνο στα φρένα ή μόνο στο ψυγείο. 4. Μετά από έρευνα που αφορούσε τους κατοίκους μιας χώρας είχαμε τα αποτελέσματα : Το 0% δεν γνωρίζει ανάγνωση το 5% δεν γνωρίζει γραφή και το 5% δεν γνωρίζει ούτε ανάγνωση ούτε γραφή. Ποια η πιθανότητα ένας κάτοικος να γνωρίζει ανάγνωση και γραφή; 5. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ω, ω, ω ενός πειράματος τύχης : Αν, και Ρ ω λ ημθ 6 Ρ ω ημθ λ θ 0,π και τις πιθανότητες των 6. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ω, ω, ω, ω 5 Ρ ω λ ημθ. Να βρείτε λ και ω, ω, ω (Υπ : Άθροισμα= 4 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν α, β ώστε να ισχύουν: ενός πειράματος τύχης. Ρ ω α α 4 β, Ρ ω 5 αβ, Ρ ω β α, Ρ ω αβ β 4 λ ημθ 0... ) 7. Τα δυνατά αποτελέσματα ω, ω, ω ενός πειράματος τύχης πραγματοποιούνται με σχετικές συχνότητες,,. Να βρείτε το λ ώστε οι σχετικές συχνότητες λ λ λ λ 6 αυτές να αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες των ενδεχομένων ω, ω, ω. 8. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αποδείξτε ότι: Ρ Α Ρ Β Ρ Α Ρ Β Ρ Α Ρ Β 9. Έστω Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω και λ ώστε να ισχύει : ΡΑ ΡΑ 4λ 4. Δείξτε ότι λ 4 0. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=α και Ρ(Β)=β όπου α+β<. Να δείξτε ότι Α,Β δεν είναι ξένα μεταξύ τους.. Για το ενδεχόμενο Α ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση: Ρ Α Ρ Α κ, κ. Δείξτε ότι Ρ(Α )=0. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

9 Κεφάλαιο ο Αναλογίες Παραγοντοποίηση Απλοποιήσεις Είναι η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μία αλγεβρική παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο. Μέθοδοι Παραγοντοποίησης i) Κοινός παράγοντας Π.χ. αβ + αγ α β + α γ = α (β + γ), αβ - αγ α β - α γ = α (β - γ) ii) -α β - αβγ + β -α α β - α β γ + β β (-α - αγ + ) -β (α + αγ - ) Ομαδοποίηση (ή βγάζω κοινούς παράγοντες κατά ομάδες) Π.χ. αβ + αγ + κβ + κγ α β + α γ + κβ + κγ α (β + γ) + κ(β + γ) (β + γ)(α + κ) iii) Με τη βοήθεια Ταυτοτήτων. Διαφορά τετραγώνων α -β = (α + β)(α -β)..άθροισμα κύβων α + β = (α +β)(α - αβ +β ).Διαφορά κύβων α -β = (α -β)(α + αβ +β ) 4.Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος 5.Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς. Να γίνουν οι πράξεις : α + αβ + β = (α + β) α - αβ + β = (α -β) x + α + β x + α β = x α x β Ασκήσεις για λύση 6 4 4 5 5 Α) ( x yz ) (x y z ) ( xy z ) 7 6 x yz 4x y z xy. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) xy 4y 4x ii) x x x iii) v) viii) 7 xy Β) 7 5 Γ) xy z x x iv) xy vi) x x x 4 x 8 vii) 5 4 α α α α α ix) y ω yω x) x x xy x y βx αβ x αx 7 4 x 8x x 8 4 xi) αβ α β 4αβ x y z xiii) xii) x y αy α xiv) 75x xv) 4 α α xvi) α β xvii) 8 8 5x 0x xviii) 4x 4x xxi) x x xxii) α( α y) β( x α) x( α y). Να κάνετε τις πράξεις αφού πρώτα αναπτύξετε τις ταυτότητες μόνες τους β) x x x x α) x x x x 4 4 4. Να γίνουν οι πράξεις : α) χψ χ ψ χψ χ ψ β) χ χ 4 χ 5. Να γίνουν γινόμενα : α) 6χ 6χ χ β) α χ χ γ) 6. Όμοια οι παραστάσεις : α) 9χ αχ 4α β) 4χ χ γ) 5χ 4 χ 5 4 χ χ 4 χ 4 7. Όμοια α)χ χ χ χ β) γ) χ χ χ χ 5 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ χ χ χ ψ δ) 6χ 8. Να γίνουν επίσης γινόμενο : α) χ χψ ψ β) 4χ 4χψ 5ψ γ) 4 χ 8χ 4 6ψ

0 9. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : i) χ χ iii) α α β β iv) α β α β v) vi) α 5α α 4α ii)χψ 6χω αψ αω α β α β 0. Επίσης οι παραστάσεις : i) χ 4χ χ 4χ ii)χ 5 94χ 5 iii) χ 6 χ 4 iv) χ ψ α χψ. Αν α+β=5 και αβ=4 Να βρείτε τις παραστάσεις α) α β β) α β γ) 4 4. Να βρείτε τους αριθμούς α,β ώστε να ισχύει : α β α β α β [Κάνω απλοποίηση σε κλάσμα μόνο παραγόντων, αφού δηλαδή έχω παραγοντοποιήσει αριθμητή και παρονομαστή]. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) x 5 α α α α, ii) (β α), iii) 4β 9α x x x x x 4 iv) x 6 x xy y x y (x 6)(x x) 5α βγ, v), vi), vii) x 0x 5 x y x y (x x)(x 4x) 0αβ γ x x α xα viii), ix) 4x x α xα 8x, x) xw 8x w, xi) (x )(x 4) ( x)(x 6) x 4 Αναλογίες Κάθε ισότητα κλασμάτων ονομάζεται αναλογία. Π.χ. 4 8 ή x α β γ. 5 0 6 x α β γ Στην αναλογία α γ, τα α,δ λέγονται άκροι όροι, ενώ τα β,γ μέσοι όροι. β δ Ιδιότητες αναλογιών: (ΠΑΝΤΑ, υπό την προϋπόθεση ότι τα κλάσματα ορίζονται) i) α γ αδ β γ (τα «χιαστί» γινόμενα είναι ίσα) β δ ii) α γ α β δ γ ή β δ γ δ β α iii) α γ κ α γ,κ 0, αλλά και α γ α γ,λ 0 β δ κ β δ β δ λ β λ δ iv) α γ α β γ δ β δ β δ v) α γ α γ β δ α β γ δ vi) Αν α γ ε... χ λ β δ ζ ψ γ... ε... χ β δ ζ ψ β δ ζ... ψ Αν δίνεται ότι οι αριθμοί x,y είναι ανάλογοι προς τους α,β, τότε ισχύει: x y ή x α α β y β 4. Να βρεθούν θετικοί αριθμοί που είναι ανάλογοι με τους αριθμούς,, 4 και το άθροισμά τους είναι 6., ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

5. Αν α, να βρεθεί ο λόγος β 4 7α 4β. α 5β 6. Να βρεθούν οι x, y, w αν είναι ανάλογοι των, 4, 7 και επιπλέον x y w 0. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από τον β, και γράφουμε α>β, όταν πάνω στον άξονα χ χ βρίσκεται δεξιότερα από αυτόν. Τότε για την διαφορά ισχύει α-β>0 Κανόνες προσήμου στις ανισότητες ι) Αν α>0 και β>0 τότε α+β>0 ιι) Αν α<0 και β<0 τότε α+β<0 ιιι) Αν α,β ομόσημοι (δηλαδή και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί ) τότε αβ >0 και α 0 β ιν) Αν α, β ετερόσημοι ( δηλαδή ένας θετικός και ένας αρνητικός) τότε αβ<0 και α 0 β ν) Επίσης α 0. Ιδιότητες Ανισοτήτων ι) Μεταβατική ιδιότητα α>β και β>γ τότε α>γ ιι) Πρόσθεση αριθμού σε ανισότητα α>β ιιι) Πολλαπλασιασμός ενός αριθμού σε μια ανισότητα α>β Αν γ>0 τότε αγ>βγ και α β γ γ Αν γ<0 τότε αγ<βγ και α β γ γ ιν) Πρόσθεση ανισοτήτων μπορεί να γίνει μόνο όταν έχουν ίδια φορά: α β τότε α+γ>β+δ γ δ ν) Πολλαπλασιασμός κατά μέλη ανισοτήτων μόνο όταν έχουν ίδια φορά και οι αριθμοί είναι θετικοί: α β 0 γ δ 0 τότε α γ β δ νι) Οι ανισότητες δεν αφαιρούνται και δεν διαιρούνται. νιι) Για θετικούς αριθμούς έχουμε α β 0 τότε α ν β ν. Παραδείγματα. Δείξτε ότι για κάθε α,β R α β 4 β ισχύει: Λύση: Μεταφέρουμε τους όρους στο ο μέλος και προσπαθούμε να δείξουμε ότι το άθροισμα είναι μη αρνητικό: [τέλειο τετράγωνο ή άθροισμα μη αρνητικό που προκύπτει από ταυτότητες και ιδιότητες των πράξεων] α β 4 β α β 4β 4 α β 4β 4 0 α β 0 Όμως α 0 β 0 σχύει η αρχική σχέση α β 4β ι- άρα α β 0 και επειδή χρησιμοποιήσαμε ισοδυναμίες ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

. Αν α β και y x, δείξτε ότι: α βx y αx βy Λύση: Μεταφέρουμε τους όρους στο ο μέλος και προσπαθούμε να δείξουμε ότι το γινόμενο είναι μη αρνητικό: [γινόμενο μη αρνητικό που προκύπτει είτε από ταυτότητες είτε από τα δεδομένα με ιδιότητες των πράξεων] α β x y αx βy αx αy βx βy αx βy 0 αy βx αx βy 0 xβ α yβ α 0 β αx y 0 α β β α β α 0 άρα β αx y 0 και επειδή χρησιμοποιήσαμε ισο- Όμως y x x y x y 0 δυναμίες ισχύει η αρχική σχέση α βx y αx βy. Αν α β να συγκριθούν οι αριθμοί: Α α β και Β αβ βα Λύση: Σχηματίζουμε την διαφορά Α Β και προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο της παράστασης Α Β α β αβ βα α β αβ βα α α β β α β Όμως α β α β α β α β α β α β α β άρα α βα β 0 οπότε Α Β α β 0 α β α β 0 0ν 8 4. Αν ν φυσικός με ν, δείξτε ότι: Α ν Λύση: Σε ένα κλάσμα με θετικούς όρους αν μικρύνουμε τον παρονομαστή γίνεται μεγαλύτερο οπότε Α ν 0ν 8 0ν 8 ν Σε ένα κλάσμα με θετικούς όρους αν μεγαλώσουμε τον αριθμητή γίνεται μεγαλύτερο οπότε 0ν 8 0ν 8ν 0ν 8 8ν 0ν 8 6 αφού ν 8ν 4 8 ν ν ν ν ν ν 6 6 6 Όμως ν ν ν ν 0ν 8 6 Άρα λοιπόν Α και από την μεταβατική ιδιότητα Α<. ν ν Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών. Αν 0<α<β τότε: Α. α β β α Β. α β β α Γ. α β Δ. β α β α α β α. Αν 0 β, τότε Α. α β > 0 Β. α β < 0 Γ. α > 0 Δ. β > 0. Η ανίσωση (x ) > 0 αληθεύει για κάθε χ με: Α. χ> Β. 0<χ< Γ. xr Δ. χ 4. Η σχέση α +β = 0 ισχύει αν και μόνο αν: Α. α = β = 0 Β. α <0 και β < 0 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Γ. α 0 ή β 0 Δ. για κάθε α,β R 5. Η σχέση α +β > 0 ισχύει αν και μόνο αν: Α. α = β = 0 Β. α <0 και β < 0 Γ. α 0 ή β 0 Δ. για κάθε α,β R 6. Το σύνολο x R / α x β είναι το διάστημα: Α. α,β Β. α,β Γ. α,β Δ. α,β 7. Το διάστημα α,β αναπαριστά το σύνολο: Α. x R / α x β Β. x R / α x β Γ. x R / α x β Δ. x R / α x β 8. Η ανίσωση x 5 συμβολίζεται με διάστημα x,5 x,5 Α. Β. Γ. x 5, Δ. x 5, 9. Οι ανισώσεις < x < 9 και < x < 0 συναληθεύουν όταν: Α. x (,0) Β. x (,9) Γ. x (,) Δ. x (9,0) 0. Αν x α,β, τότε: Α. x,α β, Β. x,α β, Γ. x,α β, Δ. x,α β,. Αν x,,, τότε το x ανήκει στο διάστημα: Α., Β., Γ., Δ.,. Για τα διαστήματα α,β, α,β ισχύει: Α. α,β α,β Β. α,β α,β Γ. α,β α,β Δ. α,β α,β α,β. Για τα διαστήματα α,β, α,β ισχύει: Α. α,β α,β α,β Β. α,β α,β α,β Γ. α,β α,β α,β Δ. α,β α,β α,β Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Ισχύει: x 0 x=0. Σωστό Λάθος.... Αν α β και β α τότε α=β. Σωστό Λάθος.... Για κάθε α, β ισχύει: α β 0. Σωστό Λάθος... 4. Αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ Σωστό Λάθος... 5. Ισχύει: α > β α > β. Σωστό Λάθος... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

4 6. Αν βδ 0, τότε: α γ αδ β γ. β δ Σωστό Λάθος... 7. Αν α, τότε α>β. β Σωστό Λάθος... 8. Ισχύει η ισοδυναμία: x y 0 x y 0 Σωστό. Λάθος.... 9. Αν α<0<β, τότε α β. Σωστό. Λάθος.... 00 0. Αν α<β<0, τότε α 00 β. Σωστό. Λάθος..... Ο αριθμός α είναι εσωτερικό σημείο του α,β αφού α α,β. Σωστό. Λάθος..... Ο αριθμός α β είναι εσωτερικό σημείο του α,β. Σωστό. Λάθος.... α,β α,β.. Το ανοικτό διάστημα α,β δεν έχει άκρα αφού Σωστό. Λάθος.... α,β α α,β β. 4. Ισχύει: Σωστό. Λάθος.... α, x R / x α. 5. Ισχύει: Σωστό. Λάθος.... 6. Ισχύει: R. Σωστό. Λάθος...., 7. Το σύνολο R, σαν διάστημα γράφεται Σωστό. Λάθος....,α α, α. 8. Ισχύει: Σωστό. Λάθος....,α α, R α 9. Ισχύει: Σωστό. Λάθος.... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

5 0. Αν α<β, τότε,β α, α,β. Σωστό. Λάθος.... Ερωτήσεις Αντιστοίχισης Συμπλήρωσης Σε κάθε σύμβολο της στήλης Α να αντιστοιχίσετε μέσα στο το γράμμα της στήλης Γ που δίνει το αντίστοιχο διάστημα και στο... της στήλης Β να γράψετε την αντίστοιχη ανισότητα. Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ. [,0]. (,0]. (, ) 4. (, ] 5. (,+ ) 6. [,+ ). Να δείξετε ότι :. Να δείξετε ότι : α β (α β) x 4x 4. Ασκήσεις για λύση. Για χ να αποδείξετε ότι ι) χ 5 ιι) 5 χ 4. Να δείξετε ότι: i) 5. Να δείξετε ότι : i) x 4x 5 0 ii) χ 0. ιιι) x x 0 iii) x x 6 0. (α β )(x y ) (αx βy) ii) 0(x y ) (0x y) ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

6. Αν x και y, να δείξετε ότι: i) (x - )(y - ) < 0 ii) xy + 6 > x + y 6 7. Για ποιές τιμές των πραγματικών αριθμών α, β ισχύει: (α + 5) + (β - ) = 0 ; 8. i) Αν α > 0 τότε α.[το άθροισμα δυο θετικών αντίστροφων είναι ] α ii) Αν α < 0 τότε α.[το άθροισμα αρνητικών αντίστροφων είναι ] α 9. Αν α < < β να δείξετε ότι: i) (α - )(β - )(α -β) > 0 ii) α + β > αβ + α. 0. Να αποδείξετε ότι : ι) α 4 4α ιι) α α 0 ιιι) α 4α 0 ιν) α β 6α 9 α β γ α β γ. Αν x < και y να δείξετε ότι x y xy. ν) α. Για κάθε πραγματικό α να αποδείξετε ότι : α) α α 5 β) 4. α. i) αν α,β ετερόσημοι, τότε α β β + α και ii) αν α,β ομόσημοι, τότε α β β + α. x y x 4. Αν 0 < x < y να διατάξετε κατά σειρά μεγέθους τους αριθμούς,, y x 5. Να δείξετε ότι α β γ αβ βγ γα. 6. Αν <α < 6, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι αριθμοί: i) α - ii) α - 5 i ii) α y xy 7. Αν < x < και < y < 5, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι αριθμοί: i) x + y ii) x - y iii) x y iv) x y v) x + y vi) x - y 8. Αν < x < να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η παράσταση: 9. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τους χ και ψ χ ψ 0 ιι) ι) 0. Αν ισχύει η σχέση. Αν ισχύει η σχέση χ ψ 4χ 6ψ 0 ιιι) x y x 4y 0, να δείξετε ότι x y.. vii) A x. x 4χ ψ 4χ ψ 0 4 5 α 0β 6αβ β 0, να δείξετε ότι α και β. x - y. Αν α,β 0 και α β, να δείξετε ότι: i) β ii) αβ (πότε ισχύει το = ;) iii) α β. Να γράψετε σε μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τους πραγματικούς αριθμούς οι οποίοι ικανοποιούν τις παρακάτω ανισότητες: i) x 0 ii) x 0 iii) x ή x 9 iv) x και x v) x και x vi) x και x vii) x 0 και x 5 4. Αν χ [,4] να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκεται η παράσταση ι) Α=χ-4 ιι) Β=χ- ιιι) Γ=-4χ. 5. Αν χ και ψ 5 να βρείτε μεταξύ ποιόν ορίων περιέχεται κάθε μία από τις παρακάτω παραστάσεις : ι) χ ψ ιι) χ ψ ιιι) χ ψ ιν) χ ψ ν) χ ψ ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

7 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού χ που συμβολίζεται με χ ορίζεται ένας νέος α- x αν x 0 ριθμός με τον εξής τρόπο x x αν x 0 Παρατήρηση : Στον προηγούμενο τύπο η ισότητα μπορεί να εμφανιστεί σε οποιοδήποτε από τους κλάδους Παρατήρηση : Ο αριθμός -χ είναι θετικός γιατί κρύβεται και ένα (-) μέσα στο χ Επομένως η απόλυτη τιμή του χ είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. Παρατήρηση : Γενικά το (πλην) πριν από ένα γράμμα που παριστάνει αριθμό σημαίνει ο α- ντίθετος του αριθμού που παριστάνει το γράμμα Γεωμετρικά με τον όρο απόλυτη τιμή ορίζουμε την απόσταση του αριθμού χ από το 0 (αρχή του άξονα) δηλαδή πόση απόσταση έχει ο αριθμός αυτός από το 0. Επεκτείνοντας τον παραπάνω γεωμετρικό ορισμό με τον όρο -(-) την απόσταση του α- ριθμού από το - Δηλαδή όταν έχουμε χ- εννοούμε την απόσταση του τυχαίου αριθμού χ από το. Επειδή η απόσταση ονομάζεται distance είναι λογικό η απόσταση του χ από το να συμβολίζεται και ως d(x,)= x- Ιδιότητες της απόλυτης τιμής. χ χ είναι φανερό ότι αφού οι αριθμοί χ, -χ είναι συμμετρικοί από το 0 να έχουν και την ίδια απόσταση. Με επέκταση της παραπάνω ιδιότητας και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι αριθμοί χ- και -χ είναι αντίθετοι (παρατηρήστε ότι έχουν άθροισμα 0) έχουμε ότι χ χ δηλαδή μέσα στο απόλυτο μπορούμε να αλλάζουμε τα πρόσημα όποτε θέλουμε. χ χ και χ χ. α α Επειδή και ο αριθμός α είναι μη αρνητικός και ο να απολείψουμε το απόλυτο Επεκτείνοντας το παραπάνω α είναι μη αρνητικός μπορούμε 4. χ θ (όπου θ θετικός αριθμός ) χ θ χ θ ή χ θ. Επειδή = και - = είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε όλους τους αριθμούς που να μας δίνουν απόλυτη τιμή, ε- πομένως θα είναι ο ή ο -. Γεωμετρικά οι αριθμοί αυτοί που έχουν απόσταση από το 0 θα είναι ο και ο - χ ν χ ν ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

8 Παρατήρηση 4 : Πρέπει να τονίσουμε ότι στην συγκεκριμένη ιδιότητα ο θ είναι μη αρνητικός γιατί αλλιώς χ στο ο μέλος έχουμε έναν μη αρνητικό και το ο έναν αρνητικό οι οποίοι πρέπει να είναι ίσοι πράγμα αδύνατο. 5. χ θ. Δηλαδή ζητάμε όλους τους αριθμούς που έχουν απόσταση από το 0 μικρότερη από το θ. Γεωμετρικά χ < σημαίνει όλοι οι αριθμοί με απόσταση από το 0 μικρότερη από. 6. χ θ χ θ ή χ θ Δηλαδή ζητάμε όλους τους αριθμούς που έχουν απόσταση από το 0 μεγαλύτερη από το θ 7. χ ψ χ ψ. Με την βοήθεια αυτής της ιδιότητας μπορούμε να δικαιολογήσουμε ότι 8. χ ψ χ χ αφού χ χ χ χ χ ψ 9. χ ψ χ ψ. Η ιδιότητα αυτή είναι η τριγωνική ανισότητα που σημαίνει ότι το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από τη τρίτη. Η ισότητα ισχύει όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Παρατήρηση 5: Αντικαθιστώντας το ψ με το ψ η προηγούμενη ιδιότητα γίνεται χ ψ χ ψ αφού ψ ψ Παρατήρηση 6 : Συχνά στα μαθηματικά αντί να δηλώσουμε γραπτά ότι από,,κ.τ.λ αριθμούς ο ένας τουλάχιστον δεν είναι 0 χρησιμοποιούμε την ανίσωση χ ψ ζ 0. Παρατήρηση 7 : Η εξίσωση χ ψ ζ 0 σημαίνει ότι και οι αριθμοί είναι 0. Μεθοδολογία για την λύση ασκήσεων Γενικά υπάρχουν κύριες μέθοδοι για την λύση ασκήσεων οι οποίες όμως δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλες πάντα για την λύση ασκήσεων. Μέθοδος του πίνακα : Είναι η μόνη μέθοδος που χρησιμοποιείται πάντα αλλά είναι αρκετά χρονοβόρα. Χρησιμοποιείται για την λύση εξισώσεων ανισώσεων αλλά και εξαγωγή απλώς ενός απολύτου από αυτό. Μηδενίζουμε κάθε απόλυτο και πάνω σε ένα πίνακα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τις ρίζες. Βρίσκουμε το πρόσημο του αριθμού που είναι μέσα στο απόλυτο για να το εξάγουμε από αυτό. Με την βοήθεια των ιδιοτήτων 4,5,6. Υψώνοντας και τα μέλη στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Παραδείγματα. Να λυθεί γεωμετρικά: (i) Η εξίσωση x (ii) Η ανίσωση x (iii) Η ανίσωση x 9 Λύση: Γνωρίζουμε ότι: αν ο πραγματικό αριθμός παριστάνεται με το σημείο Σ τότε η απόλυτη τιμή του αριθμού είναι η απόσταση του Σ από το Ο (αρχή των αξόνων). Άρα: ρ= ρ= ρ= Α Β Γ Δ - - - 0 - - - 0 - - - 0 Σχήμα Σχήμα Σχήμα (i) x σημαίνει ότι ο x βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Α και Β οπότε x ή x. [Σχήμα ] (ii) x σημαίνει ότι ο x βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Γ και Δ οπότε οι λύσεις είναι τα εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ δηλαδή x.[σχήμα ] (iii) x σημαίνει ότι ο x βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Ε και Ζ οπότε οι λύσεις είναι τα εξωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ μαζί με τα Γ κα Δ δηλαδή x ή x.[σχήμα ]. Να λυθεί γεωμετρικά και αλγεβρικά: (i) Η εξίσωση x (ii) Η ανίσωση x Λύση: ρ= ρ= Α Κ Β Γ Δ 0 4 5 6 0 4 5 6 Σχήμα 4 Σχήμα 5 (i) Γεωμετρικά: x σημαίνει ότι ο x απέχει, πάνω στον άξονα των πραγματικών α- ριθμών, από τον πραγματικό αριθμό απόσταση ίση με δύο μονάδες οπότε βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Α και Β οπότε x ή x 5. [Σχήμα 4] Αλγεβρικά: x x ή x x ή x 5 (ii) x σημαίνει ότι ο x απέχει, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, από τον πραγματικό αριθμό απόσταση μικρότερη των δύο μονάδων οπότε βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Γ και Δ οπότε οι λύσεις είναι τα εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ δηλαδή x 5.[Σχήμα 5] Αλγεβρικά: x x x x 5 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

0. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α x x Λύση: Η παράστασή μας απλοποιείται όταν μπορέσουμε να διώξουμε τα απόλυτα. Έτσι x αν x 0 σύμφωνα με τον ορισμό: x, δηλαδή x αν x 0 x αν x x x αν x Οπότε έχουμε δύο περιπτώσεις και. Αν χ τότε: Α=x (x )+ = x x++= x 5 Αν χ< τότε: Α=x ( x+)+ = x+x += x x5 αν x Συνοψίζοντας έχουμε: Α. x αν x 4. Να απλοποιήσετε την παράσταση Δ x x x Λύση: χ+ 0 χ και χ 0 χ x x+ x- - + - 0 + + - - 0 + Δ -4χ+7-6χ+ -χ-7 Δημιουργούνται τρείς περιοχές Αν χ< τότε χ+ = (χ+)=( χ ) και χ = (χ )=( χ+) Δ= x ( x )+( x+)= 4χ 7 Αν χ< τότε χ+ =+(χ+)=(χ+) και χ = (χ )=( χ+) Δ= x (x+)+( x+)= 6x Αν χ τότε χ+ =+(χ+)=(χ+) και χ =+(χ )=(χ ) Δ= x (x+)+(x )= x 7 Επομένως 4x 7 αν x Δ 6x αν x x 7 αν x 5. Να λυθεί η εξίσωση: x 4 + x x Λύση: Απαλλάσσουμε την εξίσωση x+4 + x x = από τα απόλυτα x+4 0 x 4, x 0 x και x 0 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

x x+4 -x x Εξίσωση -4-0 + - 0 + + + + + + 0 - - - 0 + + -= [αδυνατη] χ=- [δεκτή] x= [μη δεκτή] = [ταυτότητα] Αν χ< 4, τότε ( χ 4)+( χ) ( χ)= αδύνατη Αν 4 χ<0, τότε(χ+4)+( χ) ( χ)= χ+6= χ Αν 0 χ<, τότε(χ+4)+( χ) χ= χ+6= χ Αν χ, τότε(χ+4)+(χ ) χ= ταυτότητα Άρα λύσεις είναι χ= ή χ,. Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Ισχύει α α 0. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ Δεκτή γιατί 4,0 απορρίπτεται γιατί 0, Σωστό Λάθος.... Ισχύει x x για κάθε x R. Σωστό Λάθος.... Αν α α, τότε είναι α<0. Σωστό Λάθος... 4. Αν α+β=0, τότε α β. Σωστό Λάθος... 5. Για κάθε πραγματικό x ισχύει 6 6 6 x x x. Σωστό Λάθος... x,αν x 0 6. Για τον πραγματικό x ισχύει x x. x,αν x 0 Σωστό Λάθος... 7. Ισχύει: x 0 x [, ] Σωστό Λάθος... 8. Ισχύει : x + x + για κάθε x R. Σωστό Λάθος...

9. Ισχύει: α β α β Σωστό Λάθος... 0. Ισχύει: α β 0 α β 0 Σωστό Λάθος.... Ισχύει x x 0. Σωστό Λάθος.... Ισχύει: α β 0 α β 0 Σωστό Λάθος.... Ισχύει: α α α α 0 Σωστό Λάθος... 4. Αν x x 4, τότε x=. Σωστό Λάθος... 5. Αν x x 4, τότε ο αριθμός x, πάνω στον άξονα των πραγματικών, βρίσκεται πιο κοντά στον αριθμό. Σωστό Λάθος... 6. Αν d(x,), τότε x< ή x>. Σωστό Λάθος... 7. Αν d( x, ) d( x,5), τότε x=. Σωστό Λάθος... 8. Αν x x,., τότε Σωστό Λάθος... 9. Αν x x,,., τότε Σωστό Λάθος... x,5, τότε x. 0. Αν Σωστό Λάθος... x,5 x, 5,, τότε x. Αν, δηλαδή Σωστό Λάθος... x,5, τότε x x 5 6. Αν Σωστό Λάθος... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

. Πρόταση Σ ή Λ Πρόταση Σ ή Λ a. α=- τότε α = b. α =5 τότε α=5 c. Υπάρχει α ώστε α =-α d. α >0 τότε α>0 e. α = β τότε α=β f. α=-β τότε α = β g. α 0 α 0 h. α +α<0 i. α = β α =β j. α β τότε α<β k. d(α,β)= α+β l. d(α,β)=d(β,α) Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών. Αν α β 0, τότε Α. α=0 ή β=0 Β. α=0 και β=0 Γ. α+β= Δ. α β. Αν α β 0, τότε Α. α > 0 και β > 0 Γ. ισχύει για κάθε α,β R εκτός αν α=β=0. Αν α β α β, τότε Β. ισχύει για κάθε α,β R Δ. α=β=0 Α. α=β Β. α,β ομόσημοι Γ. α,β ετερόσημοι Δ. α > β 4. Η ανίσωση χ 0 ισχύει μόνο όταν: Α. χ=0 Β. χ 0 Γ. χ 0 Δ. χ<0 Ε. κανένα από τα προηγούμενα. 5. Αν x+y =0 τότε: Α. x=y=0 Β. x=0 ή y=0 Γ. χ = 0 και y =0 Δ. x, y αντίθετοι 6. Αν x y x y τότε: Ε. κανένα από τα προηγούμενα. Α. x = y Β. x+y=0 Γ. x= 0 ή y=0 Δ. (x+y) (x y)>0 7. Ισχύει α β α β α β όταν: Ε. κανένα από τα προηγούμενα. Α. α β>0 Β. α β<0 Γ. α β=0 Δ. ποτέ. 8. Η εξίσωση χ = έχει λύσεις Α. χ= 5 ή χ= Β. χ= ή χ= Γ. χ=5 ή χ= Δ. χ= 5 ή χ= Ασκήσεις [Γεωμετρική Λύση] Ομάδα Α. [ Οι παρακάτω ασκήσεις να λυθούν με γεωμετρική προσέγγιση ]. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός x όταν: α) x 0 β) x γ) x δ) x. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός x όταν: α) x 0 β) x γ) x δ) x. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός x όταν: α) x 0 β) x γ) x δ) x ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ