ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής, η οποία έχει: i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. 3) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής με εστίες στον άξονα x'x, συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, αν έχει: i. εστιακή απόσταση 6 και εκκεντρότητα 3, ii. εστιακή απόσταση 0 και εξισώσεις ασύμπτωτων τις y = 4 3 x και y = - 4 3 x, iii. εστιακή απόσταση 4 και ασύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων. 4) Να γράψετε την εξίσωση της υπερβολής με εκκεντρότητα ε = 3 και εστίες Ε'(0, - ) και Ε(0,). 5) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής, η οποία έχει κέντρο Ο(0, 0), εστίες στον άξονα x'x και διέρχεται από τα σημεία: i. M 5, 3 3 5 και Ν 4, 5 ii. M(3,1) και Ν(9, 5) 6) Δίνεται η υπερβολή: 9x -16y =144. Να βρεθούν: i) Τα μήκη των αξόνων, ii) Οι εστίες, iii) Η εκκεντρότητα. 7) Για καθεμία από τις υπερβολές C1 : x -y = l και C : 1 να προσδιορίσετε 9 16 τις κορυφές, τις εστίες και τις ασύμπτωτες. Στη συνέχεια να τις σχεδιάσετε 4 8) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει ασύμπτωτες: y= x και εστιακή 3 απόσταση γ=0. 30
9) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής (C) όταν: Α) Το σημείο Μ (8, 3 3 ) ανήκει στην υπερβολή και η εκκεντρότητα είναι ε= 4 5. 3 Β) Το σημείο Μ (6, 5 ), ανήκει στην υπερβολή και οι ασύμπτωτες είναι: y= 4 3 x. 10) Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη x y + = 1. 5 16 11) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που οι εστίες της συμπίπτουν με τις εστίες της έλλειψης: x y 1 και έχει εκκεντρότητα ε=. 4 1 1) Δίνεται η υπερβολή C : 1και η ευθεία ε: 9x + y -4 = 0. Να βρείτε το 4 9 εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες της C και η ε. 13) Να βρείτε τα σημεία της υπερβολής C : x -y = 4 τα οποία έχουν τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Γ(0, 1). 14) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής C: 4x -9y =36 που έχει μέσον το σημείο Μ (6, ). 15) Δίνεται η υπερβολή C : 1. Να βρείτε: 16 9 i) το ορθογώνιο βάσης, ii) τις ασύμπτωτες, iii) τις τιμές του λ για τις οποίες η ευθεία ε : y = λx δεν έχει κοινά σημεία με την υπερβολή. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 16) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της υπερβολής τετμημένη 3. 6 4 1 στα σημεία της με 17) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων των υπερβολών: ι) x y 1 64 16, στο σημείο (-10, -3), ιι) 5x -64y =1600 στο σημείο (-8, 5). 18) Δίνεται η υπερβολή C: x - 5y - 10 = 0. i. Να βρείτε τις κορυφές, τις εστίες και τις ασύμπτωτες της C. ii. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ 5 π π, εφ t με t -, συνt, ανήκει στη C. iii. Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο Λ ( 10, ). 31
19) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της υπερβολής x -y =16 οι οποίες σχηματίζουν γωνία 10 ο με τον άξονα xx. 0) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C : 8x - 3y = 4, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε : x - y + 1 = 0. 1) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής: x y 1, οι οποίες 16 9 είναι παράλληλες προς την ευθεία 5x-4y-3=0. ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C: 4x - 5y = 0, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία ε: x + y - 6 = 0. 3) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής x -y =-16 οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία ε: x+4y-5=0 καθώς και την απόσταση των δύο εφαπτομένων. 4) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: x + y + =0 εφάπτεται στην υπερβολή C: 3x - 5y = 30 και στη συνέχεια να βρείτε την κάθετη ευθεία στην ε στο σημείο επαφής. 5) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη C: 1και εφάπτεται της ευθείας ε: x - y + 1 = 0. 5 16 6) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C : 8x -y = 8 η οποία απέχει από την εστία Ε(3, 0) απόσταση ίση με. 7) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής x -y =3 που είναι κάθετη στο διάνυσμα: v =(, -1). 8) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής x -y =16, που διέρχονται από το σημείο Μ(-1, -7). 9) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C : 4x - 3y = 1, η οποία 1 διέρχεται από το σημείο Μ 0, 1 30) Θεωρούμε την υπερβολή C : x - y =α, ένα σημείο της M(x1,y1) και την εφαπτομένη ε της C στο Μ. Αν η κάθετη ζ της ε στο Μ, τέμνει τους άξονες χ'χ και y'y στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (ΜΟ) = (ΜΓ) = (ΜΔ). 31) Έστω η έλλειψη C1:x +4y =4 και η υπερβολή C: x -y =. Να δείξετε ότι : οι C1 και C έχουν τις ίδιες εστίες. Στην συνέχεια να βρείτε τα κοινά τους σημεία και να δείξετε ότι οι εφαπτομένες στα σημεία αυτά τέμνονται κάθετα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 3)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος των απoστάσεων από το σημείο Α(5,0) και την ευθεία ε : x = 16 5 ισούται με 5 4. 3
33) Δίνεται η υπερβολή - 1 και η ευθεία δ : x=.να αποδείξετε ότι η υπερβολή γ C είναι το σύνολο (ο γεωμετρικός τόπος) των σημείων Μ για τα οποία το πηλίκο d(m,e) είναι (σταθερό και) ίσο με ε. d(m, δ ) 34) Έστω α, β σταθεροί μη μηδενικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι αν το θ μεταβάλλεται έτσι, ώστε συνθ 0, τότε το σημείο Μ(, βεφθ) ανήκει σε υπερβολή της οποίας συνθ να βρεθεί η εξίσωση. 35) Έστω α, β σταθεροί μη μηδενικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι αν το t μεταβάλλεται έτσι, 1 ώστε t 0, το σημείο Μ(x, y) με x t t και y = β t 1 ανήκει σε υπερβολή. t 36) Έστω τα σημεία Μ (κt t, 3( t 1) ), tr, κ>0. α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των παραπάνω σημείων, β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω γεωμετρικού τόπου που διέρχονται από το σημείο Α (1, 0), γ) Να βρείτε τον κ και τον αντίστοιχο γεωμετρικό τόπο όταν οι εφαπτομένες είναι κάθετες μεταξύ τους. 37) Δίνονται τα σταθερά σημεία Α (-α, 0) και Β (α, 0) και το μεταβλητό σημείο Μ (x, y) του επιπέδου ώστε 1, όπου MA MB MA ο συντελεστής του MA και MB, ο συντελεστής του MB. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ. 38) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ, των οποίων η απόσταση από το σημείο Ε(0,6) είναι τα 3/ της απόστασής τους από την ευθεία (δ): 3y 8 0. 39) Ένα σημείο Μ κινείται ώστε η απόστασή του από το σημείο Α(0,5), να είναι τα 5 3 της απόστασής του από την ευθεία (δ):5y 9 0. Να βρεθούν : α) Ο γεωμετρικός τόπος (C) του Μ. β) Οι εστίες οι ασύμπτωτες και η εκκεντρικότητα της (C). ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 40) Αν η εφαπτομένη της υπερβολής σ' ένα σημείο της Μ, διαφορετικό του Α(α, 0), τέμνει την ευθεία ε1 : x = α στο Κ, να αποδείξετε ότι ΟΚ // Α'Μ. 41) Αν η εφαπτομένη ε της υπερβολής - 1 στο σημείο της Μ τέμνει τις ασύμπτωτες αυτής στα σημεία Γ και Δ, να αποδείξετε ότι το Μ είναι μέσο του ΓΔ. 33
4) Η εφαπτομένη της υπερβολής - 1 σ' ένα σημείο της Μ τέμνει τους άξονες χ χ και y'y στα σημεία Γ(κ, 0) και Δ(0, λ). Να αποδείξετε 1 - κ λ 43) Η εφαπτομένη ε της υπερβολής - 1 σ' ένα σημείο της Μ τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο Γ. Αν Δ είναι η προβολή του Μ στον άξονα χ'χ, να αποδείξετε ότι (ΟΓ)(ΟΔ)=α. 44) Η εφαπτομένη και η κάθετη αυτής στο σημείο Μ υπερβολής C : - 1 τέμνουν τον άξονα χ'χ στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι (ΟΓ)(ΟΔ) = γ. 45) Αν μια ευθεία παράλληλη στον άξονα χ'χ τέμνει την ισοσκελή υπερβολή C: χ -y = α στα σημεία Γ και Δ, να αποδείξετε ότι ο κύκλος διαμέτρου ΓΔ διέρχεται από το σημείο Α(α, 0). 46) Έστω Γ η προβολή της εστίας Ε(γ, 0) σε μια ασύμπτωτη της υπερβολής C: - 1. Να αποδείξετε ότι (ΕΓ) = β και (ΟΓ) = α. 47) Να αποδείξετε ότι οι προβολές της εστίας Ε(γ, 0) της υπερβολής C: - 1 στις ασύμπτωτές της βρίσκονται πάνω στις ευθείες δ1 : x = γ και δ : - γ 48) Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής C: - 1 της οποίας η ασύμπτωτη ε : y = β x σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 60. α 49) Να βρείτε την εκκεντρότητα μιας ισοσκελούς υπερβολής. y x 50) Οι υπερβολές - 1 και - 1 ονομάζονται συζυγείς και έχουν τις ίδιες ασύμπτωτες. Να αποδείξετε ότι για τις εκκεντρότητες ε1, ε των C1, C αντίστοιχα 1 1 ισχύει + 1. ε ε 1 51) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ασύμπτωτων μιας υπερβολής, η οποία έχει εκκεντρότητα ίση με. 34
5) Αν ω είναι η γωνία των ασύμπτωτων της υπερβολής C: - 1,η οποία περιέχει τον αβ ημιάξονα χ χ, να αποδειχθεί ότι εφω = α β 53) Έστω η υπερβολή C : - 1 με κορυφές τα σημεία Α'(-α, 0), Α(α, 0). Αν οι y x εστίες της υπερβολής C : - 1 βλέπουν το τμήμα ΑΆ υπό γωνία 60, να βρεθούν οι εκκεντρότητες Ι των δύο υπερβολών. 54) Αν ε1 και ε είναι οι εκκεντρότητες δύο συζυγών υπερβολών, να αποδειχτεί ότι: ε1 +ε =ε1.ε. Συζυγείς λέγονται οι υπερβολές: 1 και 1. 55) Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ασύμπτωτες μιας υπερβολής και μιας οποιαδήποτε εφαπτομένης είναι σταθερό.. 56) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή: x -y =α. Μία ευθεία παράλληλη στον xx τέμνει την υπερβολή σε δύο σημεία Γ και Δ. Να δείξετε ότι οι γωνίες ΓΑΔ και ΓΑ Δ είναι ορθές (Α και Α είναι οι κορυφές της υπερβολής). 57) Δίνεται η υπερβολή με εξίσωση: x -y =α και το σημείο της Σ (xo, yo) με xo>0, α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ασύμπτωτων της, β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας δ η οποία είναι κάθετη στην εφαπτομένη ε της υπερβολής στο Σ, γ) Αν Ρ είναι το σημείο τομής της δ με τον xx και η κάθετη από το Σ στην μια ασύμπτωτη της υπερβολής τέμνει τον yy στο Τ. Να δείξετε ότι ΣΤ -ΣΡ =α. C : 1 και μια ευθεία (η), η οποία διέρχεται από την αρχή Ο και τέμνει την (C) στα σημεία Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτομένες της (C) στα Μ και Ν είναι παράλληλες. 58) Δίνεται η υπερβολή 35
59) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων τυχαίου σημείου Μ της υπερβολής C : 1 από τις ασύμπτωτες είναι σταθερό και με ίσο με. 60) Να δειχτεί ότι η απόσταση μιας εστίας της υπερβολής 1 από μία ασύμπτωτή της είναι ίση με β. 61) Έστω Κ και Λ δύο σημεία της υπερβολής - 1. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C στα Κ και Λ είναι παράλληλες μεταξύ τους, αν και μόνο αν η ευθεία ΚΛ διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. 6) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη της υπερβολής C : - 1 και τις ασύμπτωτες αυτής είναι σταθερό και ίσο με αβ. 63) Να αποδείξετε ότι το κοινό σημείο των ευθειών ε1: αy = λβ(α + x) και ε : λαy = β(x-α) όπου α, β θετικές σταθερές, ανήκει στην υπερβολή - 1 για κάθε λ0. 64) Αν Μ είναι μεταβλητό σημείο της υπερβολής C : - 1, να αποδείξετε ότι το μέσο Ν του τμήματος ΟΜ ανήκει σε άλλη υπερβολή της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. 65) Δίνεται η υπερβολή C : - 1 και σημείο της Μ(x1,y1) διαφορετικό από τις κορυφές της. Έστω ε η εφαπτομένη της C στο Μ και ε' η κάθετη στην ε στο Μ. Αν η ε' τέμνει τους άξονες χ'χ και y'y στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα και Ν το μέσο του ΓΔ, τότε : i) να βρείτε την εξίσωση της ε', ii)να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ, Δ, Ν, iii)να αποδείξετε ότι όταν το Μ μεταβάλλεται, το Ν ανήκει σε υπερβολή C1 της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα. 66) Έστω η υπερβολή C: - 1, σημείο της Μ διαφορετικό των κορυφών της και έστω ε η εφαπτομένη της C στο Μ. Αν η κάθετη της ε στο Μ τέμνει τους άξονες χ χ και y'y στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το σημείο Ν για το οποίο το τετράπλευρο ΟΓΝΔ είναι παραλληλόγραμμο ανήκει σε υπερβολή C, καθώς το Μ μεταβάλλεται. 36
67) Έστω Μ μεταβλητό σημείο της υπερβολής C : - 1 διαφορετικό των κορυφών της. Να αποδείξετε ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου που σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C στο Μ,την ευθεία ΟΜ και τον άξονα χ χ ανήκει σε άλλη υπερβολή της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. 68) Να αποδείξετε ότι μια έλλειψη και μια υπερβολή που έχουν τις ίδιες εστίες τέμνονται κάθετα (δηλαδή σε κάθε κοινό σημείο τους έχουν κάθετες εφαπτόμενες). 69) Έστω η υπερβολή C : - 1. Να αποδείξετε ότι: i) αν η ευθεία ε: y = λx + κ εφάπτεται της C, τότε ισχύει α λ - β = κ, ii) το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών της C από μεταβλητή εφαπτομένη της είναι σταθερό και ίσο με β. 70) Δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται κάθετα στο μέσο τους. Να βρεθεί το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει (ΜΑ)(ΜΒ) = (ΜΓ)(ΜΔ) 71) Δίνονται δύο κύκλοι C1, C με κέντρα Κ1, Κ και ακτίνες R1, R αντίστοιχα, οι οποίοι βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. Αν R1> R, να αποδείξετε ότι το κέντρο Μ κύκλου C, ο οποίος εφάπτεται εξωτερικά και στους δύο κύκλους C1, C ανήκει σε κλάδο υπερβολής. Τι συμβαίνει αν R1=R ; 7) Έστω η υπερβολή C: - 1 και ευθεία ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Κ(0, - β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Αν η ε τέμνει τις ευθείες ε1 : x = - α και ε: x = α στα σημεία Γ ' και Γ αντίστοιχα, να βρείτε : i) την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΓΓ ', ii) τις τιμές του λ για τις οποίες ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από τις εστίες της υπερβολής. 73) Δίνονται οι ημιευθείες ε1: y = λx, ε : y = - λx, με λ > 0, x > 0, και η ευθεία ε που τις τέμνει στα σημεία Α, Β αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε: i) τις συντεταγμένες των Α, Β συναρτήσει των συντεταγμένων του Μ, ii) τον γεωμετρικό τόπο του Μ, όταν η ε μεταβάλλεται έτσι, ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να έχει εμβαδόν ίσο με κ, όπου κ θετική σταθερά. 37
74) Έστω η υπερβολή C : - 1. Αν οι εφαπτόμενες της C, οι οποίες διέρχονται από σημείο Μ, σχηματίζουν με τον άξονα x'x γωνίες θ1, θ με εφθ1 εφθ = κ (κ 0 σταθερά),να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει στην υπερβολή C : κ x - y = β + κ α. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 75) Δίνεται η υπερβολή C: 4x -y =4, α) Να βρείτε τις εστίες Ε και Ε και τις ασύμπτωτες ε και ε της C, β) Να βρείτε το σημείο Μ της ευθείας y=-3x+1, ώστε η ΕΜ να είναι παράλληλη στην ε, γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο ΕΜ, δ) Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία της C που έχουν ακέραιες συντεταγμένες είναι τα (1, 0) και (-1, 0). 76) Δίνεται η υπερβολή C με εστίες ( 5,0), ( 5,0) και κορυφές Α (-,0) και Α(,0). α) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της υπερβολής C γ)έστω ότι το σημείο Μ(λ,-λ+8) ανήκει στην υπερβολή C.Να βρείτε : i) τον αριθμό λ ii) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες της C και η εφαπτομένη της C στο Μ 77) Δίνεται η υπερβολή C1 : 1 και η εξίσωση x y y 1 0 (1) 4 3 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο,του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Έστω C o κύκλος που παριστάνει η εξίσωση (1).Να βρείτε i) τις εφαπτομένες της υπερβολής C1 που διέρχονται από το κέντρο του κύκλου C ii) τις κοινές εφαπτομένες των κωνικών τομών C1 και C 78) Δίνεται η υπερβολή C με εστίες (0, 5), (0,5),η οποία διέρχεται από το σημείο Κ(-3,4). α) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C και την εξίσωση της εφαπτομένης ε1 της C στο Κ β) Έστω Λ σημείο της C (διαφορετικό του Κ) τέτοιο,ώστε τα σημεία Κ,Ε,Λ να είναι συνευθειακά.να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Λ και την εξίσωση της εφαπτομένης ε της C στο Λ γ)να βρείτε την απόσταση της εστίας Ε από την εφαπτομένη ε της C στο Λ δ)έστω Μ το σημείο τομής των προηγούμενων εφαπτομένων ε1 και ε της C στα Κ και Λ αντίστοιχα. Να βρείτε : i) τις συντεταγμένες του σημείου Μ ii) τη γωνία των διανυσμάτων και 79) Δίνεται η υπερβολή C1 με εστίες ( 4,0), (4,0) επίσης την εξίσωση : x 1 4 0 (1). και εκκεντρότητα ε=.θεωρούμε 38
α) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C1 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο,του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα γ)έστω C ο κύκλος που παριστάνει η εξίσωση (1) i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των κωνικών τομών C1 και C ii) Έστω ε1 και ε οι εφαπτομένες των C1 και C αντίστοιχα στο κοινό τους σημείο του 1 ου τεταρτημορίου.να βρείτε τις εξισώσεις των ε1 και ε και στη συνέχεια την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι δύο αυτές ευθείες. 80) Δίνεται η έλλειψη C1 : 1 και η υπερβολή C που έχει εκκεντρότητα ε= και 64 48 τις ίδιες εστίες με την έλλειψη C1. α) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C1 β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των κωνικών τομών C1 και C γ) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των C1 και C στο κοινό τους σημείο του 1 ου τεταρτημορίου είναι κάθετες δ) Να βρείτε τις εφαπτομένες της υπερβολής C που διέρχονται από το σημείο Ρ(-,6) ε)έστω ζ1 η εφαπτομένη της έλλειψης C1 στο N(-4,6) και ζ στο Μ(-4,-6) Να βρείτε : i) τις εξισώσεις των ζ1 και ζ ii) τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ζ1και ζ 81) Έστω η παραβολή C : y 8x 1 και η η υπερβολή C με εστίες ( 8,0), (8,0) και κορυφές Α (-4,0) και Α(4,0). α) Να βρείτε την εστία Ε1 και τη διευθετούσα δ της παραβολής C1 β) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C γ) Να βρείτε τις εφαπτομένες της υπερβολής C που είναι παράλληλες στο διάνυσμα v (3, 6) δ) Έστω ε η εφαπτομένη της υπερβολής C στο σημείο της Μ(8,1) και Κ το σημείο τομής της ευθείας ΟΜ με τη διευθετούσα δ της C1.Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ΚΕ είναι κάθετες ε) Έστω ζ η εφαπτομένη της παραβολής C1 στο σημείο της με τεταγμένη -1.Να βρείτε : i) την εφαπτομένη της ζ ii) την οξεία γωνία που σχηματίζουν η εφαπτομένη ζ και η εφαπτομένη ε της C στο Μ(8,1) 39