Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012
Ενότητα 6.1 2
Τυπικά δεδομένα Ενότητα 6.3 Δοκιμή με σταθερή ημερήσια 6.050/244 = 24,8 κομμάτια 3
Διευκρίνιση Στον προηγούμενο πίνακα: Η σωρευτική ζήτηση είναι η ζήτηση αθροιστικά μέχρι και το μήνα-i Οι σωρευτικές απαιτήσεις είναι οι απαιτήσεις σε αθροιστικά μέχρι και το μήνα-i ώστε: να καλύπτεται η σωρευτική ζήτηση μέχρι και το μήνα-i να παραμένει στο τέλος του μήνα-i το δεδομένο απόθεμα Ισοδύναμα, από τον ορισμό του αποθέματος, αν pi, di, Ii συμβολίζουν την, ζήτηση και απόθεμα το μήνα i, αντίστοιχα: i i i i I p d p d I i t t t t i t 1 t 1 t 1 t 1 4
Ενότητες 6.3.1 6.3.2 Μήνας Ημέρες ς Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη ποσότητα Σωρευτικές απαιτήσεις Διαφορά (5) - (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 22 24,8 545,6 775,6 450 325,6 0,0 2 20 24,8 496,0 1271,6 900 371,6 0,0 3 23 24,8 570,4 1842,0 1.600 242,0 0,0 4 19 24,8 471,2 2313,2 2.500-186,8 2,2 5 22 24,8 545,6 2858,8 3.450-591,2 5,6 6 22 24,8 545,6 3404,4 4.650-1245,6 9,7 7 20 24,8 496,0 3900,4 5.150-1249,6 8,4 8 23 24,8 570,4 4470,8 5.400-929,2 5,4 ]]] 9 11 24,8 272,8 4743,6 5.650-906,4 5,0 10 22 24,8 545,6 5289,2 5.800-510,8 2,5 11 22 24,8 545,6 5834,8 6.000-165,2 0,7 12 18 24,8 446,4 6281,2 6.050 231,2 0,0 Αρνητικές διαφορές 24,8 x= 0 Κόστος τήρησης αποθέματος 23.408 Κόστος υποαποθέματος 578.480 Συνολικό κόστος 601.888 Το απόθεμα χρησιμοποιείται για την κάλυψη προβλεπόμενης ζήτησης, με αποτέλεσμα αυξημένο κόστος υπο-αποθέματος 5
10000,0 9000,0 8000,0 7000,0 Διαθέσιμη ποσότητα Σωρευτικές απαιτήσεις 6000,0 5000,0 4000,0 3000,0 2000,0 1000,0 0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6
10.000,00 9.000,00 8.000,00 7.000,00 x=15 x=9,73 (βέλτιστο) 6.000,00 5.000,00 4.000,00 x=0 3.000,00 2.000,00 1.000,00 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Αναθεωρημένη ημερήσια ποσότητα ς: 24,8 + χ 7
max Υπολογίζουμε το λόγο: ( διαφορά )/ (σωρευτικές ημέρες ς) για κάθε μήνα Βρίσκουμε τον μέγιστο λόγο = 9,73 Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τιμή δοκιμής για να βρούμε τη βέλτιστη λύση: 24,8 + 9,73 = 34,53 παραγόμενες μονάδες την ημέρα =IF(G7<0;G7/-SUM(B$4:B7);0) 8
Μήνας Ημέρες ς Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη ποσότητα Σωρευτικές απαιτήσεις Διαφορά (5) - (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 22 34,53 759,7 989,7 450 539,7 0,00 2 20 34,53 690,6 1680,3 900 780,3 0,00 3 23 34,53 794,2 2474,5 1.600 874,5 0,00 4 19 34,53 656,1 3130,5 2.500 630,5 0,00 5 22 34,53 759,7 3890,2 3.450 440,2 0,00 6 22 34,53 759,7 4649,8 4.650-0,2 0,00 7 20 34,53 690,6 5340,4 5.150 190,4 0,00 8 23 34,53 794,2 6134,6 5.400 734,6 0,00 9 11 34,53 379,8 6514,5 5.650 864,5 0,00 10 22 34,53 759,7 7274,1 5.800 1474,1 0,00 11 22 34,53 759,7 8033,8 6.000 2033,8 0,00 12 18 34,53 621,5 8655,3 6.050 2605,3 0,00 34,53 x= 9,73 Κόστος τήρησης αποθέματος 223.356 Κόστος υποαποθέματος 16 Συνολικό κόστος 223.372 Ελαχιστοποίηση συνολικού κόστους με συνθήκη: διαφορές 0 Η νέα ημερήσια είναι εντός ορίων ( 35) 9
Αιτιολόγηση Έστω 24,8 κομμάτια η ημερήσια και w i, i = 1,,12 οι ημέρες ς. Η μηναία είναι: 24,8w i, i = 1,,12. Η διαθέσιμη ποσότητα είναι: 230 + αρχικό απόθεμα. i t=1 24,8w t, i = 1,,12. Το 230 είναι το Αν οι σωρευτικές απαιτήσεις είναι r i, i = 1,,12, έχουμε αρνητικές διαφορές όπου r i 230 + 24,8w i t=1 t Συνεπώς, με αναθεωρημένη ημερήσια 24,8 + x, θα πρέπει: i r i 230 + 24,8 + x w t, i = 1,,12 t=1 x i w t t=1 r i 230 + 24,8w t i t=1, i = 1,,12 x i w t t=1 max i=1,,12 r i 230 + 24,8w t i t=1 x max i=1,,12 r i 230 + i t=1 w t i t=1 24,8w t 10
Σημείωση: Αν το μόνο κριτήριο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους και δεν θεωρείται απαγορευτική η εμφάνιση υπο-αποθέματος μπορεί να υπάρχει ακόμα καλύτερη λύση Αυτό εξαρτάται από τη σχέση κόστους τήρησης αποθέματος και κόστους υπο-αποθέματος Στο παράδειγμα υπάρχει πράγματι καλύτερη τέτοια λύση Η τελική απόφαση είναι θέμα στρατηγικής της επιχείρησης Μήνας Ημέρες ς Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη ποσότητα Σωρευτικές απαιτήσεις Διαφορά (5) - (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 22 33,24 731,4 961,4 450 511,4 2 20 33,24 664,9 1626,2 900 726,2 3 23 33,24 764,6 2390,8 1.600 790,8 4 19 33,24 631,6 3022,4 2.500 522,4 5 22 33,24 731,4 3753,8 3.450 303,8 6 22 33,24 731,4 4485,1 4.650-164,9 7 20 33,24 664,9 5150,0 5.150 0,0 8 23 33,24 764,6 5914,6 5.400 514,6 9 11 33,24 365,7 6280,3 5.650 630,3 10 22 33,24 731,4 7011,6 5.800 1211,6 11 22 33,24 731,4 7743,0 6.000 1743,0 12 18 33,24 598,4 8341,4 6.050 2291,4 33,243242 x= 33,243242 Κόστος τήρησης αποθέματος 184.908 Κόστος υποαποθέματος 16.487 Συνολικό κόστος 201.395 11
Άσκηση Μήνας Ημέρες ς Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη ποσότητα Ζήτηση Απόθεμα ασφαλείας 30% (6) Σωρευτικές απαιτήσεις (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 20 400 2 26 600 3 22 600 4 22 600 5 23 500 6 22 700 7 23 600 8 18 500 9 18 700 10 20 500 11 16 500 12 19 400 Διαφορά (5) - (8) Ελαχιστοποίηση συνολικού κόστους με συνθήκη: διαφορές 0 Αρχικό απόθεμα 500 μονάδες Μοναδιαίο κόστος τήρησης αποθέματος = μοναδιαίο κόστος υποαποθέματος = 50 / μονάδα/ μήνα Να συμπληρωθούν τα κενά στον παραπάνω πίνακα και να βρεθούν το κόστος τήρησης αποθέματος, το κόστος υποαποθέματος και το συνολικό κόστος 12
Μήνας Ημέρες ς Σωρ. ημέρες ς Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη ποσότητα Ζήτηση Σωρ. Ζήτηση Απόθεμα ασφαλείας 30% (6) Σωρευτικές απαιτήσεις (1) (2) (2α) (3) (4) (5) (6) (6α) (7) (8) (9) 1 20 20 400 400 120 520 2 26 46 600 1.000 180 1.180 3 22 68 600 1.600 180 1.780 4 22 90 600 2.200 180 2.380 5 23 113 500 2.700 150 2.850 6 22 135 700 3.400 210 3.610 7 23 158 600 4.000 180 4.180 8 18 176 500 4.500 150 4.650 9 18 194 700 5.200 210 5.410 10 20 214 500 5.700 150 5.850 11 16 230 500 6.200 150 6.350 12 19 249 400 6.600 120 6.720 Διαφορά (5) - (8) Συμπληρώνουμε πρώτα τη στήλη (7) Δημιουργούμε μία νέα στήλη (6α) με τη σωρευτική ζήτηση: Για το μήνα 1: 400 Για το μήνα 2: προηγούμενη τιμή (400)+600 = 1.000 κ.ο.κ. Συμπληρώνουμε τη στήλη (8) με τις σωρευτικές απαιτήσεις = σωρευτική ζήτηση + απόθεμα = άθροισμα τιμών στις στήλες (6α) και (7) Δοκιμάζουμε με αρχική τιμή ημερήσιας ς 6.720/ (άθροισμα στήλης (2), όπως στο προηγούμενο παράδειγμα: 6.720/249 = 27 Ακόμα καλύτερα και για διευκόλυνση, δημιουργούμε μία νέα στήλη (2α) «σωρευτικές ημέρες ς» που θα μας χρειαστεί 13
Μήνας Ημέρες ς Σωρ. ημέρες ς Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη ποσότητα Ζήτηση Σωρ. Ζήτηση Απόθεμα ασφαλείας 30% (6) Σωρευτικές απαιτήσεις Διαφορά (5) - (8) (1) (2) (2α) (3) (4) (5) (6) (6α) (7) (8) (9) 1 20 20 27 540 1.040 400 400 120 520 520 2 26 46 27 702 1.742 600 1.000 180 1.180 562 3 22 68 27 594 2.336 600 1.600 180 1.780 556 4 22 90 27 594 2.930 600 2.200 180 2.380 550 5 23 113 27 621 3.551 500 2.700 150 2.850 701 6 22 135 27 594 4.145 700 3.400 210 3.610 535 7 23 158 27 621 4.766 600 4.000 180 4.180 586 8 18 176 27 486 5.252 500 4.500 150 4.650 602 9 18 194 27 486 5.738 700 5.200 210 5.410 328 10 20 214 27 540 6.278 500 5.700 150 5.850 428 11 16 230 27 432 6.710 500 6.200 150 6.350 360 12 19 249 27 513 7.223 400 6.600 120 6.720 503 Συμπληρώνουμε τη στήλη (3) με την τιμή δοκιμής (27) και υπολογίζουμε τη μηνιαία στη στήλη (4) Συμπληρώνουμε τη στήλη με τη διαθέσιμη ποσότητα (5): Για το μήνα 1: αρχικό απόθεμα +540 = 500+540=1.040 Για το μήνα 2: προηγούμενη τιμή (1.040)+702= 1.742 κ.ο.κ. Υπολογίζουμε τη διαφορά (5)-(8) στη στήλη (9) 14
Αυτή τη φορά όλες οι διαφορές είναι θετικές Δεν έχουμε πουθενά υπο-απόθεμα, αλλά έχουμε κάπως περισσότερο απόθεμα από όσο χρειαζόμαστε Ακολουθούμε τους «ανάποδους» κανόνες: Υπολογίζουμε το λόγο: ( διαφορά )/ (σωρευτικές ημέρες ς) για κάθε μήνα (στήλη 9 / στήλη 2α) Βρίσκουμε τον ελάχιστο λόγο = 1,57 Αφαιρούμε το αποτέλεσμα αυτό από την τιμή δοκιμής για να βρούμε τη βέλτιστη λύση: 27 1,57 = 25,43 παραγόμενες μονάδες την ημέρα Αν θέλουμε ακέραιες ποσότητες, για να αποφύγουμε υπο-αποθέματα, στρογγυλεύμε προς τα πάνω το 25,43: 26 παραγόμενες μονάδες την ημέρα Μήνας Ημέρες Σωρ. Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη Ζήτηση Σωρ. Απόθεμα Σωρευτικές Διαφορά ς ημέρες ποσότητα Ζήτηση ασφαλείας απαιτήσεις (5) - (8) ς 30% (6) (1) (2) (2α) (3) (4) (5) (6) (6α) (7) (8) (9) 1 20 20 27 540 1.040 400 400 120 520 520 26,00 2 26 46 27 702 1.742 600 1.000 180 1.180 562 12,22 3 22 68 27 594 2.336 600 1.600 180 1.780 556 8,18 4 22 90 27 594 2.930 600 2.200 180 2.380 550 6,11 5 23 113 27 621 3.551 500 2.700 150 2.850 701 6,20 6 22 135 27 594 4.145 700 3.400 210 3.610 535 3,96 7 23 158 27 621 4.766 600 4.000 180 4.180 586 3,71 8 18 176 27 486 5.252 500 4.500 150 4.650 602 3,42 9 18 194 27 486 5.738 700 5.200 210 5.410 328 1,69 10 20 214 27 540 6.278 500 5.700 150 5.850 428 2,00 11 16 230 27 432 6.710 500 6.200 150 6.350 360 1,57 12 19 249 27 513 7.223 400 6.600 120 6.720 503 2,02 15
Μήνας Ημέρες ς Σωρ. ημέρες ς Ημερήσια Μηνιαία Διαθέσιμη ποσότητα Ζήτηση Σωρ. Ζήτηση Απόθεμα ασφαλείας 30% (6) Σωρευτικές απαιτήσεις Διαφορά (5) - (8) (1) (2) (2α) (3) (4) (5) (6) (6α) (7) (8) (9) 1 20 20 26 520 1.020 400 400 120 520 500 2 26 46 26 676 1.696 600 1.000 180 1.180 516 3 22 68 26 572 2.268 600 1.600 180 1.780 488 4 22 90 26 572 2.840 600 2.200 180 2.380 460 5 23 113 26 598 3.438 500 2.700 150 2.850 588 6 22 135 26 572 4.010 700 3.400 210 3.610 400 7 23 158 26 598 4.608 600 4.000 180 4.180 428 8 18 176 26 468 5.076 500 4.500 150 4.650 426 9 18 194 26 468 5.544 700 5.200 210 5.410 134 10 20 214 26 520 6.064 500 5.700 150 5.850 214 11 16 230 26 416 6.480 500 6.200 150 6.350 130 12 19 249 26 494 6.974 400 6.600 120 6.720 254 Επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς με τη νέα τιμή 26 Το συνολικό (βέλιστο κόστος) είναι το κόστος τήρησης αποθέματος = 50 χ άθροισμα στήλης (9) = 50 χ 4.538 = 226.900 Αν η μπορεί να έχει συνεχείς τιμές έχουμε ακόμα καλύτερη λύση (25,4 μονάδες και κόστος τήρησης αποθέματος = συνολικό κόστος =179.054 ) 16
Ενότητα 6.4.2 Ένα ενδεικτικό απλούστερο πρότυπο γραμμικού προγραμματισμού μέσω αριθμητικού παραδείγματος Δεν είναι γενικό πρότυπο, αλλά δείχνει τη φιλοσοφία παρόμοιων προτύπων 17
Μεταβλητές απόφασης xi 0, i=1,...,6, η ποσότητα που παράγεται την περίοδο i Ii 0, i=0,...,6, το απόθεμα στο τέλος της περιόδου i (οι μεταβλητές I0 και I6 αντιστοιχούν στο δεδομένο αρχικό και τελικό απόθεμα αντίστοιχα) Δεδομένα pi, i=1,...,6, η τιμή πώλησης την περίοδο i di, i=1,...,6, η ζήτηση την περίοδο i fi, i=1,...,6, το μοναδιαίο κόστος ς την περίοδο i si, i=1,...,6, η δυναμικότητα ς την περίοδο i Ιhold το μοναδιαίο κόστος τήρησης αποθέματος ανά περίοδο Αντικειμενική συνάρτηση: 6 6 5 max Z pidi fixi Ihold Ii i 1 i 1 i 0 18
Περιορισμοί Το απόθεμα στο τέλος της περιόδου i είναι ίσο με το απόθεμα της προηγούμενης περιόδου, πλέον την μείον τις πωλήσεις στην τρέχουσα περίοδο Ii = Ii-1 + xi - di, i=1,...,6 Θέση τιμών για το αρχικό και τελικό απόθεμα I0 = 500 I6 = 500 Η κάθε δίμηνο δεν μπορεί να υπερβαίνει τη δυναμικότητα ς xi si, i=1,...,6 Μη αρνητικότητα μεταβλητών απόφασης xi 0, i=1,...,6 Ii 0, i=0,...,6 19
Η λύση στο Excel με το πρόσθετο (add-in) Solver 20