Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του είναι πραγµατικές και οι ανεξάρτητες ιδοσυναρτήσεις του µπορούν να προσφέρουν ορθοκανονική ϐάση στον χώρο Hilbert εις τον οποίο δρά ο τελεστής και στην περίπτωση της κβαντικής µηχανικής ανήκουν οι καταστάσεις του ϕυσικού συστήµατος. ηλαδή έχουµε το σύνολο των ιδιοτιµών {ω i } και το σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων ψ i, ώστε ˆΩψ i = ω i ψ i, (ψ i, ψ j ) = δ ij () και κάθε κατάσταση, κυµατική συνάρτηση, ψ αναπτύσσεται ως ψ = i c i ψ i (2) όπου c i, µιγαδικοί εν γένει αριθµοί. Η κανονικοποίηση της κυµατικής συνάρτησης δίνει (ψ, ψ) = i c i 2 =. (3) Η ερµηνεία των συντελεστών c i είναι ως γνωστόν, ότι σε µέτρηση του ϕυσικού µεγέθους το οποίο παρίσταται από τον τελεστή ˆΩ, σε ϕυσικό σύστηµα το οποίο ευρίσκεται στην κατάσταση ψ i, η πιθανότητα να ευρεθεί η τιµή ω i είναι c i 2. Λόγω της ορθοκανονικότητος της ϐάσης οι συντελεστές c i δίδεται από το εσωτερικό γινόµενο c i = (ψ i, ψ). (4) Επίσης η κυµατική συνάρτηση γράφεται και ως ψ = i (ψ i, ψ) ψ i. (5) Στά ανωτέρω έχει υποτεθεί ότι ο δείκτης i παίρνει διακριτές τιµές (διακριτό ϕάσµα). Οι τελεστές όµως οι οποίοι παριστούν τα ϕυσικά µεγέθη στην κβαντική µηχανική είναι δυνατόν να έχουν και συνεχές ϕάσµα, δηλαδή το σύνολο των ιδιοτιµών ω να ανήκει σε διάστηµα των πραγµατικών αριθµών I (ω I). Βέβαια οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις ψ ω εξακολουθούν να έχουν την ιδιότητα να είναι ορθογώνιες µεταξύ τους ω ω (ψ ω, ψ ω ) = 0, (6) και να συγκροτούν πλήρες σύστηµα (ϐάση) στον χώρο Hilbert. ηλαδή για κάθε κυµατική συνάρτηση ψ ϑα ισχύει ψ = c(ω)ψ ω dω (7) I

όπου το ολοκλήρωµα αντικαθιστά το άθροισµα της σχέσης (2) επειδή τώρα το σύνολο των ιδιοτιµών µεταβάλλεται σε συνεχές διάστηµα. Στην διακριτή περίπτωση η ορθοκανονικότητα των ιδιοσυναρτήσεων οδηγεί στην (4). Εστω τώρα ότι το ϕάσµα είναι συνεχές και ω 0 µία ιδιοτιµή, ω 0 I. Θεωρώντας το εσωτερικό γινόµενο (ψ ω0, ψ) = c(ω)(ψ ω0, ψ ω )dω, (8) I παρατηρούµε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις του συνεχούς ϕάσµατος δεν έχουν πεπερασµένο µέτρο ψ ω0 = (ψ ω0, ψ ω0 ) /2. Πράγµατι εάν το εσωτερικό γινόµενο (ψ ω0, ψ ω0 ) ήταν πεπερασµένο τότε η συνάρτηση f(ω, ω 0 ) = c(ω)(ψ ω0, ψ ω ) ϑα µηδενιζόταν παντού στο διάστηµα I εκτός από ένα σηµείο, το ω 0, λόγω της ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεων που ανήκουν σε διαφορετικές ιδιοτιµές. Εποµένως το ολοκλήρωµα ϑα είναι µηδέν εκτός και εάν ο συντελεστής c(ω 0 ) απειρίζεται η (ψ ω0, ψ) = 0 για κάθε ψ και για κάθε ω 0 I. Και οι δύο περιπτώσεις αντίκεινται στο ϕασµατικό ϑεώρηµα γιατί πλέον δεν έχει νόηµα το ανάπτυγµα του τυχαίου διανύσµατος στα διανύσµατα ϐάσης. Η ισχύς του ϕασµατικού ϑεωρήµατος οδήγησε τον Dirac στην εισαγωγή της συνάρτησης δ η οποία επεκτείνει την ορθοκανονικότητα στην περίπτωση του συνεχούς ϕάσµατος. Η συνάρτηση δ ορίζεται από τις ακόλουθες ιδιότητες 0, ω ω 0 δ(ω ω 0 ) =, ω = ω 0, και c(ω) δ(ω ω 0 )dω = c(ω 0 ), ω 0 I. I (9) όπου στην ανωτέρω σχέση το διάστηµα I ϑεωρείται ανοικτό οπότε το ω 0 είναι εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος και η συνάρτηση c είναι συνεχής στο διάστηµα I. Με τον ανωτέρω ορισµό η σχέση (8) οδηγεί στην (ψ ω0, ψ) = c(ω)(ψ ω0, ψ ω )dω = c(ω 0 ) (0) I σχέση η οποία αποτελεί επέκταση της (4) στην περίπτωση του συνεχούς ϕάσµατος. Εποµένως η σχέση ορθοκανονικότητας στην περίπτωση αυτή γίνεται (ψ ω, ψ ω ) = δ(ω ω ). () 2 Αναπαραστάσεις της συνάρτησης δ. Παρά το γεγονός ότι η αυστηρή µαθηµατική ϑεµελίωση της συνάρτησης δ γίνεται µε τηυν ϑεωρία των κατανοµών η γενικευµένων συναρτήσεων µία απλή περιγραφή της η οποία κάνει κατανοητή την συµπεριφορά και τις ιδιότητές της είναι ως όριο οικογενείας

συναρτήσεων g(x, ε), όπου x µεταβλητή της κάθε συνάρτησης ( < x < ) και ε παράµετρος. Η συνάρτηση δ µπορεί να κατανοηθεί ως όριο δ(x) = lim ε 0 g(x; ε) (2) εάν lim g(x; ε) = ε 0 και 0, x 0, x 0, g(x; ε) dx =, ε. (3) 2. Αναπαράσταση µε κλιµακωτές συναρτήσεις. Εστω 0, x > ε, g(x; ε) = (4) x < ε. 2ε Η ανωτέρω οικογένεια συναρτήσεων ικανοποιεί τις συνθήκες της σχέσης (3). Αρκεί να δειχθεί ότι για κάθε συνάρτηση f συνεχή στο σηµείο x = 0 ισχύει lim ε 0 f(x)g(x; ε) dx = f(0). (5) Πράγµατι όπου ε ξ ε f(x)g(x; ε) dx = 2ε ε ε f(x) dx = f(ξ ε ) (6) ε και η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του ϑεωρήµατος της µέσης τιµής για το ολοκλήρωµα της συνάρτησης f. Για αρκούντως µικρά ε η συνάρτηση f ϑεωρείται συνεχής σε όλο το διάστηµα [ ε, ε. Προφανώς στο όριο ε 0 το διάστηµα στο οποίο µπορεί να πάρει τιµές το σηµείο ξ ε εκφυλίζεται στο σηµείο x = 0 οπότε δείξαµε ότι lim ε 0 f(x)g(x; ε) dx = f(0). 2.2 Αλλες αναπαραστάσεις Είναι πολύ εύκολο να κατασκευάσουµε αναπαραστάσεις της συνάρτησης δ. Εάν ϑεωρήσουµε οποιαδήποτε οµαλή συνάρτηση g(x) για την οποία ισχύει g(x) dx =

τότε µε απλή αλλαγή µεταβλητής y = εx κατασκευάζουµε την οικογένεια συναρτήσεων, µετονοµάζοντας την µεταβλητή y σε x, g(x; ε) = ε g(x ). (7) ε Εύκολα αποδεικνύεται ότι η οικογένεια αυτή αποτελεί αναπαράσταση της συνάρτησης δ ικανοποιώντας τις συνθήκες (3). Οι πλέον συνήθεις αναπαραστάσεις της συνάρτησης δ οι οποίες προκύπτουν µε την προαναφερθείσα µέθοδο είναι οι ακόλουθες δ(x) = lim ε 0 2π ε e x2 2ε 2 x δ(x) = lim ε 0 e 2ε 2 ε δ(x) = lim ε 0 π ε x 2 +ε 2 (8) δ(x) = lim ε 0 π x sin x ε 2.3 Ιδιότητες της συνάρτησης δ Εύκολα αποδεικνύονται οι ιδιότητες της συνάρτησης δ: δ(x) = δ( x) f(x) δ(x) = f(0) δ(x) δ(a x) = a δ(x) (9) δ(x 2 a 2 ) = {δ(x a) + δ(x + a)} 2 a Εάν µία συνάρτηση έχει αριθµήσιµο πλήθος απλών ϱιζών ρ i, δηλαδή f(ρ i ) = 0 και f (ρ i ) = df dx x=ρ i 0 ισχύει ότι δ(f(x)) = i f (ρ i ) δ(x ρ i). (20) Οι ανωτέρω ταυτότητες εννοούνται ότι ισχύουν σε ολοκληρώµατα µε οµαλές συναρτήσεις. Επίσης µπορεί να δειχθεί ότι δ(x) = d θ(x), (2) dx όπου θ(x) η συνάρτηση ϐήµατος θ(x) = 0, x < 0, 2, x = 0,, x > 0. (22)

3 Ανάπτυγµα Fourier - Αναπαράσταση της συνάρτησης δ µε σειρά. Για συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηµα [, L είναι γνωστό το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier f(x) = f n L x, (23) όπου οι συντελεστές Fourier δίνονται από την σχέση f n = L nπ i f(x)e L x dx. (24) Το ανωτέρω ανάπτυγµα έχει γραφεί χρησιµοποιώντας την µιγαδική µορφή των συναρτήσεων της ϐάσης. Επίσης είναι γνωστό ότι ισχύει το ανάπτυγµα ισχύει και για τις τιµές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήµατος όταν f(l) = f(). Εάν αυτό δεν ισχύει η σειρά συκλίνει στην ενδιάµεση τιµή (f(l) + f()). 2 Αντικαθιστώντας την έκραση των συντελεστών στο ανάπτυγµα έχουµε f(x) = [ L f(x )e i nπ L x dx L x (25) και µεταθέτοντας το άθροισµα µε το ολοκλήρωµα καταλήγουµε στην σχέση [ L f(x) = f(x ) L (x x ) dx. (26) Βλέπουµε ότι η συνάρτηση στην αγκύλη, ολοκληρούµενη µε κάθε συνάρτηση στο διάστηµα [, L επιλέγει την τιµή της σε ένα σηµείο (το x). ηλαδή δ(x x ) = L (x x ) (27) σχέση η οποία και εκφράζει την πληρότητα του ορθοκανονικού συστήµατος των συναρτήσεων e n (x) = L x, n =..., 2,, 0,, 2,.... (28) Το ότι η (26) οδηγεί στην (27) ϕαίνεται ως εξής. (, L). Τότε από την σχέση f(x 0 ) = L [ f(x ) Εστω ένα σηµείο x 0 στο διάστηµα L (x 0 x ) Θεωρούµε τώρα αυθαίρετη µεταβολή της συνάρτησης, δηλαδή έστω f (x) = f(x) + δf(x) dx. (29)

µε την µόνη συνθήκη δf(x 0 ) = 0. Εποµένως f (x 0 ) = f(x 0 ) = L [ [ f(x ) + δf(x ) L (x 0 x ) dx. (30) Εποµένως L [ [ δf(x ) L (x 0 x ) dx = 0 και επειδή η συνάρτηση δf(x) είναι αυθαίρετη εκτός του σηµείου x 0 συµπεραίνουµε ότι [ L L (x 0 x ) dx = 0 όταν x x 0. Άρα λόγω της (29) έπεται η (27) δεδοµένου ότι το x 0 µπορεί να είναι οποιοδήποτε σηµείο του διαστήµατος (, L). 4 Μετασχηµατισµός Fourier - Ολοκληρωτική αναπαράσταση της συνάρτησης δ Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier ισχύει για συναρτήσεις ορισµένες σε πεπερασµένο διάστηµα, οι οποίες επεκτείνονται σε περιοδικές συναρτήσεις σε όλο τον χώρο. Για τις συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται σε όλο τον χώρο ισχύει αντίστοιχο ανάπτυγµα µε την σειρά να αντικαθίσταται από ολοκλήρωµα. Αυτό µπορεί να γίνει κατανοητό µε την ακόλουθη οριακή διαδικασία. Στην σειρά Fourier οι συχνότητες των συναρτήσεων ϐάσης ισαπέχουν κατά π/l. Εποµένως στο όριο L περιµένουµε η απόστασή τος να τείνει στο µηδέν οδηγώντας σε συνεχές ϕάσµα συχνοτήτων και εν συνεπεία αντικατάσταση του αθροίσµατος µε ολοκλήρωµα. Ειδικότερα ϑέτοντας π L δk f(x) = f n e in δk x = 2π 2π και f(n δk) = f n = L δk 2π = δk οι (23-24) γράφονται f(n δk)e i nδk x δk, f(n δk) = f n δk (3) f(x)e in δk x dx. (32) Εποµένως στο όριο L έχουµε τον (ολοκληρωτικό) µετασχηµατισµό Fourier ο οποίος αντιστρέφεται ως f(x) = f(k) = 2π f(k) e i k x dk (33) f(x)e i k x dx. (34) Η διαδικασία αυτή αναπτύσσεται στο ϕυλλάδιο µε τίτλο Βοήθηµα Θεωρίας-Fourier το οποίο είναι αναρτηµένο στην ηλεκτρονική τάξη από τους συνδιδάσκοντες Α. Καρανίκα - Π. Σφήκα. Συνιστάται η µελέτη και του ϕυλλαδίου αυτού για πληρέστερη κατανόηση των µετασχηµατισµών Fourier και της συνάρτησης δ.

όπου όπως είναι ϕανερό τα n δk αποτελούν διαµέριση της συνεχούς µεταβλητής k. Αντικαθιστώντας την (34) στην (33) έχουµε f(x) = [ f(x ) e i k (x x ) dk 2π (35) ϐλέπουµε µε ϐάση το επιχείρηµα του προηγούµενου εδαφίου ότι δ(x x ) = 2π που είναι και µία ολοκληρωτική αναπαράσταση της συνάρτησης δ e i k (x x ) dk (36) 5 Ιδιοσυναρτήσεις της ϑέσης και της ορµής Από την εξίσωση ιδιοτιµών για το τελεστή τηε ϑέσης συνάγεται ότι ˆx ψ 0 (x) = x 0 ψ 0 (x) x ψ 0 (x) = x 0 ψ 0 (x) (x x 0 )ψ 0 (x) = 0 (37) και εποµένως ψ 0 (x) = δ(x x 0 ). (38) Η ανωτέρω συνάρτηση είναι η κανονικοποιηµένη ιδιοσυνάρτηση της ϑέσης όπως ϕαίνεται από την κάτωθι σχέση (ψ 0, ψ ) = δ(x x 0 )δ(x x )dx = δ(x 0 x ) (39) η οποία είναι η () για τις ιδιοτιµές της ϑέσης. Η τιµή της κυµατικής συνάρτησης σε κάθε σηµείο πλέον είναι ο συντελεστής του αναπτύγµατος της κατάστασης του σωµατιδίου στις ιδιοσυναρτήσεις της ϑέσης. Πράγµατι ψ(x) = ψ(x )ψ x (x)dx = ψ(x )δ(x x )dx. (40) Αυτό ϐέβαια είναι αναµενόµενο λόγω της ερµηνείας της κυµατικής συνάρτησης ως πλάτους πυκνότητας πιθανότητας για την εύρεση του σωµατίου σε στοιχειώδη περιοχή του σηµείου x. Αντίστοιχα για τον τελεστή της ορµής η εξίσωση ιδιοτιµών οδηγεί στην ˆp ψ p (x) = pψ p (x) i d dx ψ p(x) = pψ p (x) ψ p (x) = c p e i px. (4) Η συνθήκη κανονικοποίησης ( ) ψp, ψ p = c p c p e i x (p p)/ dx = δ(p p ) (42) επιβάλλει c p c p = c p = (43)

και εποµένως µε την ελευθερία µίας ϕάσης ανεξάρτητης της ϑέσης, η κανονικοποιηµένη ιδιοκατάσταση της ορµής είναι ψ p (x) = e i px. (44) Κάθε κυµατική συνάρτηση αναπτύσσεται στις ιδιοκαταστάσεις της ορµής ως ψ(x) = ψ(p)e i px dp (45) Η ανωτέρω σχέση και η αντιστροφή αυτής, λόγω ορθοκανονικότητας, ψ(p) = (ψ p, ψ) = ψ(x)e i px dx (46) οδηγεί στο συµπέρασµα ότι τα αναπτύγµατα µίας κατάστασης στις ιδιοσυνατήσεις της ϑέσης και της ορµής συνδέονται µε µετασχηµατισµό Fourier. 6 Εεύθερο σωµάτιο Η Χαµιλτωνιανή ελέυθερου σωµατίου είναι ηλαδή Ĥ = 2m ˆp2. (47) [Ĥ, ˆp = 0 (48) και εποµένως η Χαµιτονιανή και η ορµή έχουν κοινό σύστηµα ιδιοανυσµάτων. Πράγµατι τα ιδιοανύσµατα της ορµής είναι ψ p (x) = e i px (49) και προφανώς Ĥψ p (x) = p2 2m ψ p(x). (50) Βλέπουµε ότι οι τελεστές έχουν τις ίδιες ιδιοσυναρτήσεις αλλά οι ιδιοτιµές τους διαφέρουν και µάλιστα οι ιδιοτιµές της Χαµιλτωνιανής έχουν διπλό εκφυλισµό, στις δύο ανεξάρτητες ιδιοσυναρτήσεις ψ p (x), ψ p (x) αντιστοιχεί η ίδια ιδιοτιµή της ενέργειας p2 2m. Η κυµατική συνάρτηση ελεύθερου σωµατίου ϑα αναπτύσσεται στις ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας ως ψ(x, t) = Εισάγοντας την µορφή αυτή στην εξίσωση παίρνουµε ψ(p, t) e i px dp (5) i ψ(p, t) e i px dp = p 2 2m ψ(p, t) e i px dp (52)

εδοµένου ότι οι ιδιοσυναρτήσεις αποτελούν ϐάση η ισότητα αυτή, ισότητα δύο διανυσµάτων, συνεπάγεται την ισότητα των αντιστοίχων συντελεστών, συνιστωσών. ηλαδή Η λύση των ανωτέρω εξισώσεων είναι απλή ψ(p, t) = ip2 2m. (53) ψ(p, t) = c(p) e ip2 2m t (54) όπου c(p) σταθεροί συντελεστές οι οποίοι και προσδιορίζονται από την αρχική συνθήκη. τότε Πράγµατι εάν και εποµένως ψ(p, 0) = ψ(x, t) = ψ(p, 0) e i px dp (55) c(p) = ψ(p, 0). (56) ( ) ψ(p, 0) e i px p2 2m t dp. (57) Βλέπουµε ότι η κυµατική συνάρτηση ελεύθερου σωµατίου είναι επαλληλία κυµάτων De Broglie. Το πλάτος κάθε κύµατος δίνεται από το ανάπτυγµα της αρχικής κυµατικής συνάρτησης στις ιδιοσυναρτήσεις της ορµής.