Εφαρμογή της γενικής λύσης

Εφαρμογή της γενικής λύσης Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 1 x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U = 1 kx 1 + 1 k 1 ( x x 1 ) + 1 kx Υπολογίζουμε τα V jk : V 11 = U x 1 0 = k + k 1 V = U x U = 1 ( k + k 1 )x 1 + 1 ( k + k 1 )x k 1 x 1 x 0 = k + k 1 V 1 = U x 1 x 0 = k 1 = V 1 Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: T = 1 m!x 1 + 1 m!x Αλλά είδαμε ότι: T = 1 j,k M jk!x j!x k Από την χαρακτηριστική εξίσωση παίρνουμε: k + k 1 Mω k 1 ω = k + k 1 ± k 1 k 1 k + k 1 Mω M m 11 = m = M m 1 = m 1 ω 1 = k + k 1 M ω = k M

Κανονικές συντεταγμένες ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 q Η γενική λύση για την κίνηση της συντεταγμένης q j είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διαφόρων όρων καθένας από τους οποίους εξαρτάται από μια ξεχωριστή συχνότητα. q Τα ιδιοδιανύσματα a είναι επίσης ορθοκανονικά μεταξύ τους: 0 s M jk a j a ks = δ s = j,k 1 = s q Για να αποφύγουμε το περιορισμό από την αυθαίρετη κανονικοποίηση χρησιμοποιούμε κάποιο συντελεστή κλίμακας που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και μπορούμε να γράψουμε την κίνηση της q j (t): q j (t) = ( ) = α a j e i ω t δ β a j e iω t q Ορίζουμε τώρα την ποσότητα η : έτσι ώστε: q j ( t) = a j η t ( ) Τα η ικανοποιούν εξισώσεις της μορφής: όπου β είναι ο συντελεστής κλίμακας η = β e iω t κανονικές συντεταγμένες!! η + ω η q Υπάρχουν n ανεξάρτητες τέτοιες εξισώσεις, και οι εξισώσεις κίνησης εκφρασμένες σε κανονικές συντεταγμένες γίνονται διαχωρίσιμες

Μεθοδολογία ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 3 q Επιλογή γενικευμένων συντεταγμένων και εύρεση των Τ και U σύμφωνα με το συνηθισμένο τρόπο των προβλημάτων με Lagangian. U = 1 V jk q j q k V jk = U j,k q j q k 0 T = 1 M jk!q j!q k M jk = m jk ( q l 0 ) j,k q Αντικατάσταση των V jk και M jk σαν πίνακες n x n και χρησιμοποίηση της εξίσωσης M!!q = Vq για εύρεση των n τιμών των ιδιοσυχνοτήτων ω q Για κάθε τιμή ιδιοσυχνότητας ω, προσδιορισμός των λόγων α 1 :α :α 3 : :α n αντικαθιστώντας στην εξίσωση: ( V ji ω M ji ) a j j q Αν χρειαστεί, προσδιορίζονται οι σταθερές κλίμακας β i από αρχικές συνθ. q Προσδιορισμός των κανονικών συντεταγμένων η i με κατάλληλους γραμ. συνδυασμούς των q j συντεταγμένων που φαίνονται να ταλαντώνουν στην συγκεκριμένη ιδιοσυχνότητα ω i. H κίνηση για τη συγκεκριμένη κανονική συντεταγμένη ονομάζεται nomal mode. Η γενική κίνηση του συστήματος είναι υπέρθεση όλων των nomal modes.

Παράδειγμα ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 4 Εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων, ιδιοδιανυσμάτων και κανονικών συντεταγμένων του συστήματος που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Υποθέτουμε ότι k 1 = k x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Στο παράδειγμα της σελ. 14 στο 1 ο βήμα βρήκαμε τα Τ και U και τους πίνακες M και V: V = k + k 1 k 1 k 1 k + k 1 Ιδιοσυχνότητες: και M = m 0 0 m Χρησιμοποιώντας την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ιδιοσυχνότητες: όπου m 11 = m = m k + k 1 mω k 1 ω = k + k ± k 1 1 k 1 k + k 1 mω m ω 1 = k m ω = k + k 1 m = 3k m

Ιδιοδιανύσματα Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα χρησιμοποιούμε την εξίσωση: ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 5 ( όπου α j οι συνιστώσες j του ιδιοδιανύσματος a V ji ω M ji )a j τo οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοσυχνότητα ω j V 11 ω M 11 V 1 ω M 1 a 1 ( V 1 ω M 1 V ω M a = V 11 ω M 11 )a 1 + ( V 1 ω M 1 )a ( V 1 ω M 1 )a 1 + ( V ω M )a εξισώσεις για κάθε τιμή του, αλλά μπορούμε να βρούμε μόνο το α 1 /α επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τη μια εξίσωση. k Για =1, δηλαδή την 1 η ιδιοσυχνότητα: ω1 = αντικαθιστώντας τα V ij, M ij m έχουμε (χρησιμοποιούμε k 1 = k) : k k m m a 11 + ka 1 ka 11 ka 1 a 11 1 = 1 άρα: a a 1 = a 11 1 1 (1) k+k ω 1 M 11 V 1 1 =V 11 Ανάλογα για τη η ιδιοσυχνότητα ω k + k 1 3k m m = k 3k m m a 1 + ka ka 1 ka a 1 1 = 1 άρα: a a = a 1 ()

Ιδιοδιανύσματα - Ορθοκανονικότητα ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 6 Αφού τα a 1 και a είναι ορθοκανονικά θα έχουμε: M jk a j a ks = δ s = M 11 a 1 a 1s + M 1 a 1 a s + M 1 a a 1s + M a a s s M11a1 a1 + M1a1 a + M1aa1 + M aa = 1 = s j,k Αντικαθιστώντας α j στην εξίσωση και αφού Μ 1 =0 και Μ 11 = Μ = m: M 11 a 1 a 1 + M 1 a 1 a + M 1 a a 1 + M a a = 1 = 1, ma 11 + ma 1 = 1 Αλλά α 11 =α 1 οπότε: ma 11 = 1 a 11 = 1 m a 1 = 1 m Κατά τον ίδιο τρόπο βάζοντας για = έχουμε: a = 1 m a = 1 m 1 1 1 1

Κανονικές συντεταγμένες ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 7 Η γενική λύση θα είναι της μορφής: q j ( t) = a j η t ( ) όπου η ( t) β e iω t Επομένως θα έχουμε: μάζα 1: x 1 = a 11 η 1 + a 1 η = a 11 η 1 a η μάζα : x = a 1 η 1 + a η = a 11 η 1 + a η Προσθέτοντας και αφαιρώντας τα x 1 και x έχουμε: η 1 = 1 ( x 1 + x ) η a = 1 ( x 1 x ) 11 a Όταν το σύστημα κινείται κάτω από ένα από τα nomal modes έχουμε: η 1 = 1 ( x 1 + x ) και η ή η = 1 ( x 1 x ) και η a 11 a 1 Όταν η x 1 = x Άρα για mode 1 x 1 και x σε φάση Όταν η 1 x 1 = x Άρα για mode x 1 και x έχουν αντίθετη φάση Σημειωτέον ότι στο πρόβλημα δεν μας δίνονται αρχικές συνθήκες και επομένως δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε το β ούτε την πλήρη λύση

Παράδειγμα βαγονάκι και δυο εκκρεμή ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 8 Δυο όμοια εκκρεμή, το καθένα αποτελούμενο από μια μάζα m εξαρτώμενη από ράβδο αμελητέας μάζας και μήκους l, κρέμονται από βαγονάκι μάζας M, που κινείται σε οριζόντια λεία σιδηροτροχιά. q (α) Να γραφεί η Lagangian Η ταχύτητα της μάζας των εκκρεμών είναι: M x x i = x + l sinθ i υ x i =!x + l θ! i cosθ i l όπου i=1, l θ 1 m θ m y i = l cosθ i Η T θα είναι: υ i y = l! θ i sinθ i T = 1 M!x + 1 m υ 1x T = 1 M!x + 1 m!x + l!θ 1 cos θ 1 + l!x!θ 1 cosθ 1 + l!θ 1 sin θ 1 + +!x + l!θ cos θ + l!x!θ cosθ + l!θ sin θ T = 1 M!x + 1 m!x + l!θ 1 +!θ Για μικρές γωνίες θ 1 και θ : cosθ i! 1 θ i Επειδή Τ περιέχει όρους της μορφής!x!θ i αναπτύγματος θα είχαμε όρους!x!θ i θ i ( ) + l!x (!θ 1 cosθ 1 +!θ cosθ ) T = 1 M!x + 1 m!x + l!θ 1 +!θ cosθ i! 1 +υ 1y +υ x +υ y κρατώντας και τον ο όρο του που είναι πολύ μικροί. ( ) + l!x (!θ 1 +!θ ) Επομένως: (1)

Παράδειγμα - βαγονάκι και δυο εκκρεμή ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 9 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος προέρχεται από την δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας για τα εκκρεμή και επομένως γράφουμε: U = mgl( 1 cosθ 1 ) + mgl( 1 cosθ ) U = mgl mgl( cosθ 1 + cosθ ) Για μικρές γωνίες θ 1 και θ : cosθ i! 1 θ i U = mgl mgl θ 1 +θ U = mgl θ 1 Επομένως από (1) και () η Lagangian του συστήματος είναι: ( )!x + 1 m l!θ 1 + θ! L = 1 M + m ( +θ ) ( ) + l!x ( θ! 1 + θ! ) mgl q (β) Ποιες οι ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης του συστήματος Ø Οι ιδιοσυχνότητες θα βρεθούν από τις λύσεις της: det U U U θ 1 θ 1 θ θ 1 x Ø Αλλά: [ K ] U U U = [ K ] = θ θ x θ θ 1 U x θ 1 U x θ U x ( ) θ 1 +θ mgl 0 0 0 mgl 0 0 0 0 () {[ K ] [ M ]ω }

Παράδειγμα - βαγονάκι και δυο εκκρεμή Ø Επίσης: [ M ] = ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 10 T T T θ! 1 θ! 1 θ! θ! 1!x ml 0 ml T T T θ! θ! 1 θ! θ! [ M ] =!x 0 ml ml T T T ml ml M + m!x θ! 1!x θ!!x Ø Επομένως η χαρακτηριστική εξίσωση θα γραφεί: mgl ml ω 0 -mlω det 0 mgl ml ω -mlω mlω -mlω -( M + m)ω ω ( M + m) ω ml mgl ω ( ) ( mlω ) ( ml ω mgl) ( ω l g) Mω l ( M + m)g m l Ø Επομένως οι τρεις ιδιοσυχνότητες θα είναι: ω 1 ω = g l και ω 3 = M + m g

Παράδειγμα - βαγονάκι και δυο εκκρεμή q (γ) Ποιοι οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 11 Ø Από την εξίσωση των ιδιοδιανυσμάτων μπορούμε να βρούμε την σχέση που συνδέει τα α 1 :α :α 3 αντικαθιστώντας κάθε τιμή των ω i που βρήκαμε {[ K ] [ M ]ω i } a 1i a i a 3i Εποµένως θα έχουµε: Ø ω = ω 1 όπου a 1i a i a 3i τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην συχνότητα ω i mgl ml ω 0 0 -mlω 0 0 0 mgl ml ω -mlω 0 mlω -mlω -( M + m)ω 0 mgl 0 0 0 mgl 0 0 0 0 a 11 a 1 a 31 0 0 a 11 a 1 a 31 = τυχαια τιµη a 11 a 1 a 31 0 0 1 Εποµένως τα σώµατα (εκκρεµή) είναι ακίνητα ενώ το βαγονάκι κινείται εκτελώντας απλά µεταφορική κίνηση.

Παράδειγμα - βαγονάκι και δυο εκκρεμή g mgl ml 0 -ml g l l Ø ω = ω = g 0 0 g 0 mgl ml -ml g l l l ml g l 0 0 - mg 0 0 - mg -mg - mg -( m + M ) g l -ml g l a 1 a a 3 -( M + m) g l ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 1 a 1 = w a = a 1 a 3 a 1 a a 3 1 1 0 Εποµένως τα σώµατα (εκκρεµή) κινούνται σε αντίθετη φάση ενώ το βαγονάκι παραµένει ακίνητο.

Παράδειγμα - βαγονάκι και δυο εκκρεμή Ø ω = ω 3 = M + m g ( M + m) ( M + m) mgl ml g 0 -ml g ( M + m) ( M + m) 0 mgl ml g -ml g ( M + m) ( M + m) ml g -ml g - M + m ( ) ( ) ( M + m) ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 13 g a 13 a 3 a 33 M + m mgl ml g M a 13 m ( M M + m)ga 33 M a 33 = m( M + m)g mgl ml ( M + m) g M a ml 13 a 33 = M + m Ø 1 η σειρά: ( ) m M + m M m M a 13 m M a 3 M + m Ø 3 η σειρά: ga 13 m ( M M + m)ga M + m 3 ( ) ( ) a 13 ( ) ( M + m) a 33 ( ml) M + m a 13 m M a m 13 M a + m 3 M a 13 a 13 a 3 + a 13 a 3 = a 13

Παράδειγμα - βαγονάκι και δυο εκκρεμή Ø Eποµένως για την 3 η ιδιοσυχνότητα, το ιδιοδιάνυσµα είναι: ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 14 1 1 ml M + m Tα δυο εκκρεµή κινούνται σε φάση ενώ το βαγονάκι κινείται µε αντίθετη φάση Tο κέντρο µάζας του συστήµατος παραµένει ακίνητο