Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : a a = a a.. Για τυχαίους πραγµατικούς α, β ισχύει η ισοδυναµία : α + β = 0 α=β= 0. Για οποιονδήποτεα 0 ισχύει η ισοδυναµία : x α x α 6. Για οποιονδήποτε πραγµατικό x ισχύει η ισοδυναµία : d(x, 0) x 7. Για οποιονδήποτε πραγµατικό x ισχύει η ισοδυναµία : d(x,) x 8. Μπορούµε να βρούµε πραγµατικούς α,β για τους οποίους να ισχύει : α + β 0 9. Για τυχαίους πραγµατικούς α, β ισχύει η ισοδυναµία : α+β = α + β αβ> 0 0. Για κάθε πραγµατικό α ισχύει ότι: α = α = α.. Για τυχαίους πραγµατικούς α, β ισχύει η ισοδυναµία : α = β α = β. Για τυχαίους πραγµατικούς α, β ισχύει η ισοδυναµία : α < β α < β. Για τυχαίο πραγµατικό α ισχύει η συνεπαγωγή: <α< α <. Για τυχαίο πραγµατικό α ισχύει η συνεπαγωγή: α > α>. Για τυχαίο πραγµατικό α ισχύει η συνεπαγωγή: < α < α> 0
6. Για οποιουσδήποτε x, y, ισχύει η συνεπαγωγή: x< y 7 x+ y 7. Για οποιουσδήποτε x, y, w πραγµατικούς ισχύει : x y+ w = y x w 8. Η εξίσωση x x = είναι αδύνατη 9. Για τυχαίους πραγµατικούς α, β ισχύει η συνεπαγωγή: α+ β= 0 α = β 0. Η ανίσωση 000 x x + x είναι αδύνατη.. Για όλους τους πραγµατικούς α,β ισχύει : α β α + β. Αν η απόσταση δύο τυχαίων αριθµών α,β στον άξονα των πραγµατικών αριθµών είναι ίση µε τότε: α β =. Για οποιονδήποτε πραγµατικό x ισχύει η ισοδυναµία : x + x + x = 0 x=. Μπορούµε να βρούµε πραγµατικούς αριθµούς α,β για τους οποίους να ισχύει α+β = α β.. Για κάθε πραγµατικό x µε x > ισχύει ότι : x = x 6. Για κάθε πραγµατικό x ισχύει d(x, x) = x+ 7. Για κάθε πραγµατικό α ισχύει : α α =α. α+ Θ έ µ α τ α Π ο λ λ α π λ ή ς Ε π ι λ ο γ ή ς x. Για κάθε πραγµατικό x η παράσταση ισούται µε: x + Α. Β. x Γ. x +. Ε. -. Αν < a< η παράσταση a + a+ ισούται µε: Α. a Β. - Γ.. a. Αν x+ + y + z+ = 0 τότε: Α. x =, y =, z = Β. x=, y=, z= Γ. x=, y=, z=. x=, y=, z=
. Η ισότητα: x = (x ) αληθεύει, αν και µόνο αν : Α. x< 0 Β. x Γ. x. είναι αδύνατη στο R.. Ο αριθµός, π ισούται µε: Α.., π Β. 0 Γ. (, π ). Κανένα από τα προηγούµενα 6. Η ισότητα x + = x + αληθεύει, αν και µόνο αν : Α. x= Β. x= ή x= Γ. Αληθεύει για κάθε πραγµατικό x.. εν αληθεύει για κανένα πραγµατικό x. 7. Για κάθε πραγµατικό x η παράσταση Α. ( x ) Β. x 8 ισούται µε: x 8 Γ. 8 x. 8 x 8. Η ισότητα x+ y = x + y αληθεύει, αν και µόνο αν: Α. xy 0 Β. xy 0 Γ. x, y R. x= y= 0 9. Η ισότητα x 7 + x+ = 0 αληθεύει, αν και µόνο αν : Α. εν αληθεύει για κανένα πραγµατικό x Β. Αληθεύει για κάθε πραγµατικό x. Γ. x= 7. x= 0. Η ισότητα x+ y = x + y είναι αληθής µόνον όταν: Α. y < 0 Β. y 0 Γ. xy 0. x 0. Η ανισότητα x + x 0 είναι αληθής αν και µόνον αν: Α. x < 0 Β. x 0 Γ. x <. x R. Αν ξέρετε ότι η απόσταση της εικόνας του α από την εικόνα του 0, στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, είναι διπλάσια από την απόσταση των εικόνων του β µε του 6 τότε είναι βέβαιο ότι: Α. α= (6 β ) Β. α = β-6 Γ. α = 6. α ( β 6) =. Αν β-6<α-γ<β+6 τότε ισχύει σίγουρα : Α. α+γ β < 6 Β. α γ β < 6 Γ. α γ+β > 6. α+γ+β > 6. Η ισότητα x+ = αληθεύει, αν και µόνο αν : Α. εν αληθεύει για κανένα πραγµατικό x Β. Αληθεύει για κάθε πραγµατικό x. Γ. x= ή x=. x=. Η ανισότητα x+ 0 αληθεύει, αν και µόνο αν : Α. εν αληθεύει για κανένα πραγµατικό x Β. Αληθεύει για κάθε πραγµατικό x. Γ. x=. x>
6. Αν x, ψ τότε όλες οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η παράσταση x ψ + x ψ Α. {0} Β.{0,} Γ.{-,}. {,0, } είναι: 7. Αν x 0 και ψ 0, ποιο από τα παρακάτω συµπεράσµατα είναι σε κάθε περίπτωση σωστό; Α. x + ψ = x+ψ Β. x + ψ = x ψ Γ. x + ψ > x ψ. ψ x = ψ x Θ έ µ α τ α Α ν τ ι σ τ ο ί χ ι σ η ς Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε το ίσο του στη στήλη (Β). Στήλη (Α) Στήλη (Β). x < Ι. < x<. d( x,) ΙΙ. x ή x. d( x,) ΙΙΙ. x ή x Θ έ µ α τ α Π λ ή ρ ο υ ς Α ν ά π τ υ ξ η ς. Να γραφούν οι παραστάσεις χωρίς την χρήση της απόλυτης τιµής: Α = x + x x+ αν x > Β = α β + α γ β + γ α αν α < β < γ Γ = + x + x x + + x. Αν < λ < αποδείξτε ότι η παράσταση Α = λ+ + λ λ είναι ανεξάρτητη του λ.. Αν < α<, να βρείτε µεταξύ ποιών αριθµών περιέχεται η τιµή της παράστασης: K= α α+ + α 7 α. Αν < α<, να βρείτε τις ακέραιες τιµές που µπορεί να πάρει η παράσταση: Λ= α + α α+ + α. Να γραφεί χωρίς απόλυτη τιµή η παράσταση x + x + x x όταν 0<x<. 6. Αν α,β,γ πραγµατικοί αριθµοί µε α<γ και β<γ να δείξετε ότι η παράσταση α β + α γ γ β A= παίρνει τις τιµές 0 η. β α 7. Αν <x< να δείξετε ότι: x = x+ 8. Να απλοποιηθεί η παράσταση: ( α+ β ) ( α β ) και στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι: 999 000 999 000 + = 000 999 000 999
9. Αν για x, y 0 ισχύει xy + xy= 0, να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: 0. Να δείξετε ότι νόηµα η ισότητα.. Να αποδείξετε ότι: x y A= +. x y x 9ψ+ x ψ+ z + 9 = 8, για τις τιµές των x,z,ψ για τις οποίες έχει x 9ψ ψ x z Α. a β α + β Β.. Να αποδειχθεί ότι: a+ a = a+ a. (α + ) (α ) + α + α. Αν x y < και x y < να δείξετε ότι: x y <. d y,0 d x+ y < 8.. Αν d( x,0) < και ( ) <, να δειχτεί ότι ( ) α, α. Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού x για οποίες αληθεύει η ισότητα : x = x+ 6. Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού x για οποίες αληθεύει η ανισότητα : x 7 < 7. i) Να αποδείξετε ότι: + α + α α + α α = +,α 0 ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε α 0,β R ισχύει : α + α + α + α >β β 8. Να διατάξετε από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο τους αριθµούς: x, x, x, x +, x, χρησιµοποιώντας τα σύµβολα > και µε κατάλληλο τρόπο. 9. Να βρείτε τα α, β ώστε ( α 00 + 0)( β 00 + 0) = 000. 0. ίνονται οι πραγµατικοί α, β, γ για τους οποίους ξέρετε ότι: α β+ + γ γ + = 0 µε γ > 0, i) Να δείξετε ότι γ= και ότι β ii) Αν επιπλέον ξέρετε ότι για κάθε πραγµατικό x ισχύει: d(x, 006) α + β, να βρεθεί ο β.
Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Ισχύει ότι:. Ισχύει ότι: = 8 8 8 ( ) =. Ισχύει ότι: (6 ) = ( + ). Για οποιουσδήποτε, µη αρνητικούς πραγµατικούς α, β ισχύει η ισοδυναµία α>β α > β. Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς ισχύει ότι: 8 8 6 α. β =αβ. 6. Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς α,β µε αβ. 0 ισχύει: αβ=. α. β, ν N ν ν ν 7. Για οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό α έχει νόηµα να γράφουµε α =α α 8. Οι παραστάσεις α καια έχουν νόηµα για τις ίδιες τιµές του πραγµατικού α. 9. Οι παραστάσεις α καια έχουν νόηµα για τις ίδιες τιµές του πραγµατικού α. * 0. Ισχύει ότι 6 7. 9= 7 Θ έ µ α τ α Π ο λ λ α π λ ή ς Ε π ι λ ο γ ή ς. Αν 0 a η τιµή της παράστασης α + α είναι:. Αν Α. α Β. α Γ.. καµία από τις προηγούµενες. α α β+ α β= α β και β > 0 τότε: Α. α = 0 Β. α 0 Γ. α 0. α < 0 6
. Αν α + β αβ β + α = 0 τότε: Α. α = β Β. α β Γ. α β. Για όλους τους πραγµατικούς x, y η παράσταση. α < β 8 8x y ισούται µε: Α. 9 x y Β. x y Γ. x y. 8xy. Η ισότητα ( α ) = ( α ) έχει νόηµα αν και µόνο αν: Α. α R Β. α = Γ. α. α Θ έ µ α τ α Α ν τ ι σ τ ο ί χ ι σ η ς. Να γίνει αντιστοίχιση κάθε αριθµού της στήλης Α µε τον ίσο του στη στήλη Β : Στήλη Α.. ( ) Στήλη Β Α. 7 Β. -.. 8 ( ) Γ.. Ε.. Να γίνει αντιστοίχιση κάθε αριθµού της στήλης Α µε τον ίσο του στη στήλη Β : Στήλη Α. ( ) Β. Στήλη Β. 6 Γ... ( 7). Ε. 7. ( ) Ζ. Θ έ µ α τ α Π λ ή ρ ο υ ς Α ν ά π τ υ ξ η ς. Αν < x< να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης a + aβ + β αν = 6 + 9+ x x+. A x x α = και β = 7. 7+. Να βρεθεί το λάθος στις παρακάτω ισότητες: ( ) = ( ) = ( ) = 8 0 6 (όµως 8< 0 και δεν ορίζεται ο 8, ενώ ορίζεται ο 0 ( ) 6 ) 7
. Έστω η παράσταση Γ= y 7 y. Α. Να βρεθεί για ποιες τιµές του y ορίζεται η παράσταση Γ. Β. Να τραπεί σε ισοδύναµη µε ρητό παρανοµαστή.. Α. Να τραπεί το κλάσµα,( x > 0) σε ισοδύναµο µε παρανοµαστή χωρίς ριζικό. 7 x Β. Όµοια για το κλάσµα:. 6. Να υπολογιστεί ο ακέραιος x ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: ( x ) x 0 + = και ( x) x 0 + =. 7. Αν β α α α = β όπου α 0 και α, να αποδειχθεί ότι: β = α +. 8. Να αποδειχθεί η ισότητα: + 9 = +. 9. Να συγκρίνετε τους αριθµούς Α) + 7 και + Β) και Γ) και + 0. Να αποδειχθεί η ανισότητα: ( + ) > ( + ).. Αν 0< a< να συγκριθούν µεταξύ τους οι αριθµοί:. Να συγκριθούν οι αριθµοί: A=, B =, Γ=, =.. a,,, a, a α 8