PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015
CUPRINS Înregistrați cel puțin 30 de unități valori specifice ale unor caracteristici (X1, X2, Y) între care să existe cel puțin o legătură logică. Datele prezentate tabelar fac parte din lucrare. Se cer: a) Prezentarea problemei; b) Definirea modelului de regresie; b.1. Formă, variabile, parametrii; b.2. Aproximarea grafică a legăturii dintre variabile. c) Estimarea parametrilor modelului; c.1. Estimarea punctuală; c.2. Estimarea prin intervale de încredere d) Testarea semnificației corelației și a parametrilor modelului de regresie; d.1. Testarea semnificației corelației; d.2. testarea estimatorilor â și b ai modelului de regresie liniară. e) Testarea ipotezelor clasice alemodelului de regresie; e.1. Ipoteze clasice statistice; e.2. Testarea liniarității modelului propus; e.3. Testarea normalității erorilor; e.4. Testarea ipotezei de homoscedasticitate; e.5. Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor. f) Previzionarea valorii variabilei Y în ipoteza modificării variabilei factoriale. 1
a) Prezentarea problemelor Datele culese pe 30 de țări din anul 2014 ilustrează o variabilă independentă notată cu x1, respectiv IDU (indicele dezvoltarii umane), o variabila independenta x2, respectiv PIB/locuitor, și o variabilă dependentă notată cu y, respectiv speranta de viata, pentru a arăta legătura dintre acestea. Ţara Speranţa de viaţă (%) y IDU (%) x1 PIB/loc (%) x2 Albania 76.5 0.818 8.041 Anglia 79.3 0.947 35.13 Armenia 73.6 0.798 5.693 Austria 79.9 0.955 37.37 Belarus 69 0.826 10.841 Belgia 79.5 0.953 34.935 Bosnia 75.1 0.812 7.764 Bulgaria 73.1 0.84 11.222 Cehia 76.4 0.903 24.144 Cipru 79.6 0.914 24.789 Croatia 76 0.871 16.027 Danemarca 78.2 0.955 36.13 Elvetia 81.7 0.96 40.658 Estonia 72.9 0.883 20.361 Finlanda 79.5 0.959 34.526 Franta 81 0.961 33.674 Germania 79.8 0.947 34.401 Grecia 79.1 0.942 28.517 Irlanda 79.7 0.965 44.613 Islanda 81.7 0.969 35.742 Italia 81.1 0.951 30.353 Letonia 72.3 0.866 16.377 Lituania 71.8 0.87 17.575 Luxemburg 74.4 0.96 79.485 Macedonia 74.1 0.817 9.096 Malta 79.6 0.902 23.08 Muntenegru 74 0.834 11.699 Norvegia 80.5 0.971 53.433 Olanda 79.8 0.964 38.694 Polonia 75.5 0.88 15.987 Sursa: IMF World Economic Outlook Database 2014 2
Speranta de viata (%) b) Definirea modelului de regresie: b.1. formă, variabile, parametrii; b.2. aproximarea grafică a legăturii dintre variabile; b.1. Formă, variabile, parametrii: y = a + bxi + ui y = b0+b1x1+b2x2 unde, y = variabila dependentă (speranta de viata); xi = variabila independentă (IDU; PIB/loc); a, b = parametrii modelului (la nivel de populație statistică); ui = variabila reziduală. b.2. Aproximarea grafică a legăturii dintre variabile: 1.2 Modelul de regresie 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 68 70 72 74 76 78 80 82 84 IDU (%) Speranta de viata (y) cu IDU (x1) 3
Speranta de viata (%) Modelul de regresie 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 68 70 72 74 76 78 80 82 84 PIB/locuitor (%) Speranta de viata (y) cu PIB/locuitor (x2) c) Estimarea parametrilor modelului: c.1. Estimarea punctuală; c.2. Estimarea prin intervale de încredere; c.1. Estimarea punctuală: Estimările parametrilor â și b ce rezultă din tabelul ANOVA au următoarele valori: â = 73.13252321 b = 0.111261539 c.2. Estimarea prin intervale de încredere: â t tab Sa < a < â + t tab Sa => â ϵ [48.90903874; 97.35600768] b t tab Sb < b < b + t tab Sb => b ϵ [0.199296186; 0.023226892] Astfel, putem calcula abaterea medie patratică sau abaterea standard (Standard Error din ANOVA) a variabilei reziduale û și a estimatorilor â și b. 4
Abaterea medie pătratică a variabilei reziduale (Stb0)Su = 9.730510928 Abaterea medie pătratică a estimatorului (Stb1)Sa = 11.80579209 Abaterea medie pătratică a estimatorului (Stb2)Sb = 0.042905419 In urma acestor calcule, rezultă că funcția modelului de regresie liniară este: Comentarii: y i= b0 + b1 x1 + b2 x2 11.80579209>0 => x1 crește Dacă x1 crește cu o unitate, Y se modifică cu 11.80579209 unități. 0.042905419>0 => x2 crește Dacă x2 crește cu o unitate, Y se modifică cu 0.042905419 unități. d) Testarea semnificației corelației și a parametrilor modelului de regresie: d.1. Testarea semnificației corelației; d.2. Testarea estimatorilor a și b ai modelului de regresie liniară. d.1. Testarea semnificației corelației: Prin compararea lui Significance F și a pragului de semnificație = 0.05 rezultă că: Significance F= 7.51142E08 > = 0.05 => modelul nu este de încredere. Coeficientul de Corelație Multiple R = 0.838646867 (0,75 0,95) => o legătură puternică. Coeficientul de Determinare R Square = 0.703328568 ne arată faptul că variabilele independente x1 (IDU) si x2 (PIB/loc) influențează variabila dependentă y (speranta de viata) în proporție de 70,33%, restul de 30,77% fiind alți factori. d.2. Testarea estimatorilor a și b ai modelului de regresie liniară: Estimatorii modelului de regresie â si b sunt semnificativi diferiți de 0, cu pragul de semnificație = 0.05 dacă sunt respectate urmatoarele relații: 5
ta = a Sa = 73.13252321 11.80579209 = 6.194630795 tα; n3 = t0.05; 27 tstudent = 2.052 ta > tstudent => estimatorul a semnificație = 0.05. tb = b Sb = 0.111261539 0.042905419 = 2.593181542 tα; n3 = t0.05; 27 tstudent = 2.052 este semnificativ diferit de 0, cu pragul tb < tstudent => estimatorul b nu este semnificativ diferit de 0, cu pragul semnificație = 0.05. Se compara Pvalue pentru â si b cu pragul de semnificatie = 0.05: Pvalue â = 1.26886E06 > = 0.05 rezultă că estimatorul â nu este semnificativ din punct de vedere statistic; Pvalue b = 0.015171423 < = 0.05 rezultă că estimatorul b este semnificativ din punct de vedere statistic. 6
e) Testarea ipotezelor clasice ale modelului de regresie; e.2. Testarea liniarității modelului propus; e.3. Testarea normalității erorilor; e.4. Testarea ipotezei de homoscedasticitate; e.5. Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor. liniara. e.2. Testarea liniarității modelului propus: Coeficientul de corelație liniară (rx1, x2, y) din ANOVA = 0.849649586. Calculăm raportul de corelație (Rx1, x2, y) = 0.849649586. Deoarece rx1, x2, y= Rx1, x2, y = 0.849649586 se poate spune ca legatura dintre variabile este Se verifica semnificația raportului de corelatie Rx1, x2, y. El este semnificativ dacă: F calculat F l,r1, nr Fcalculat = (n2) * R2 = (302) * 0.703328568 = 32.00488708 > 1 R 2 F0.05, 1, 28 = 9.78424, 1 0.703328568 Raportul de corelație Rx1, x2, y este semnificativ. Pentru ca Rx1, x2, y 0, = 0.05, modelul descrie corect dependența dintre salariul mediu pe economie și PIBul pe cap de locuitor. e.3. Testarea normalității erorilor: Obs Predicted Y Residuals 1 72.83713258 3.66286742 2 79.25726424 0.042735764 3 71.63572421 1.964275789 4 79.59309857 0.306901427 5 73.11066046 4.110660456 6 79.71775537 0.217755375 7 72.42915689 2.670843112 8 74.09212513 0.992125134 9 77.26175249 0.861752485 10 77.99444655 1.605553452 11 75.82462166 0.175378343 12 79.73106288 1.531062882 13 79.59293325 2.107066752 14 76.22000442 3.320004425 15 80.20205648 0.702056484 16 80.44311636 0.556883638 17 79.3383739 0.461626102 18 79.62737418 0.527374179 19 79.51855648 0.181443524 20 80.79808768 0.901912316 21 80.0812907 1.018709298 22 75.4200175 3.120017503 7
23 75.57925627 3.779256271 24 75.27298146 0.87298146 25 72.64661913 1.453380867 26 77.30700224 2.29299776 27 73.60025824 0.399741759 28 78.97602484 1.523975162 29 80.103981 0.303981004 30 76.48726483 0.987264828 Tabel residual output din excel Reprezentarea grafica a reziduurilor (ei) in functie de (predicted Y): 5 4 3 2 1 0 70 1 72 74 76 78 80 82 2 3 4 5 Se calculeaza intervalul [ ttab Se; ttab Se] unde, Grafic preluat din excel Se = Eroarea standard a modelului (preluat din Summary output) ttab = tα/2; n3 = t0.25; 27 = 0.684 Se = 1.948109 RESIDUALS => Intervalul este: [1.33251; 1.332506] Punctele de pe grafic nu se incadreaza intre cele doua limite ale intervalului (vezi benzile rosii de pe grafic), deci nu se respecta ipoteza de normalitate a erorilor. Se poate considera ca erorilor provin dintro distributie care nu este normala. 8
e.4. Testarea ipotezei de homoscedasticitate: Se reprezinta grafic patratele reziduurilor (ei²) = pe axa OY; in functie de valorile variabilei X (pe axa OX): ei (Residuals) x1 x2 ei² 3.66286742 0.818 8.041 13.4166 0.042735764 0.947 35.13 0.001826 1.964275789 0.798 5.693 3.858379 0.306901427 0.955 37.37 0.094188 4.110660456 0.826 10.841 16.89753 0.217755375 0.953 34.935 0.047417 2.670843112 0.812 7.764 7.133403 0.992125134 0.84 11.222 0.984312 0.861752485 0.903 24.144 0.742617 1.605553452 0.914 24.789 2.577802 0.175378343 0.871 16.027 0.030758 1.531062882 0.955 36.13 2.344154 2.107066752 0.96 40.658 4.43973 3.320004425 0.883 20.361 11.02243 0.702056484 0.959 34.526 0.492883 0.556883638 0.961 33.674 0.310119 0.461626102 0.947 34.401 0.213099 0.527374179 0.942 28.517 0.278124 0.181443524 0.965 44.613 0.032922 0.901912316 0.969 35.742 0.813446 1.018709298 0.951 30.353 1.037769 3.120017503 0.866 16.377 9.734509 3.779256271 0.87 17.575 14.28278 0.87298146 0.96 79.485 0.762097 1.453380867 0.817 9.096 2.112316 2.29299776 0.902 23.08 5.257839 0.399741759 0.834 11.699 0.159793 1.523975162 0.971 53.433 2.3225 0.303981004 0.964 38.694 0.092404 0.987264828 0.88 15.987 0.974692 Tabel preluat din Excel 9
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 x 1 IDU 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Grafic Excel 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 x 2 PIB/locuitor 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Grafic Excel Daca graficul se incadreaza intro banda, atunci erorile sunt homoscedastice. Procedura grafica este insa aproximativa, fiind sugestiva doar pentru esantioanele de volum mare. 10
e.5. Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor: Din Residual Output preluam erorile estimate (residuals). Obs Predicted Y (Y^) Residuals (ei) 1 72.83713258 3.66286742 2 79.25726424 0.042735764 3 71.63572421 1.964275789 4 79.59309857 0.306901427 5 73.11066046 4.110660456 6 79.71775537 0.217755375 7 72.42915689 2.670843112 8 74.09212513 0.992125134 9 77.26175249 0.861752485 10 77.99444655 1.605553452 11 75.82462166 0.175378343 12 79.73106288 1.531062882 13 79.59293325 2.107066752 14 76.22000442 3.320004425 15 80.20205648 0.702056484 16 80.44311636 0.556883638 17 79.3383739 0.461626102 18 79.62737418 0.527374179 19 79.51855648 0.181443524 20 80.79808768 0.901912316 21 80.0812907 1.018709298 22 75.4200175 3.120017503 23 75.57925627 3.779256271 24 75.27298146 0.87298146 25 72.64661913 1.453380867 26 77.30700224 2.29299776 27 73.60025824 0.399741759 28 78.97602484 1.523975162 29 80.103981 0.303981004 30 76.48726483 0.987264828 Se aplica statistica Durbin Watson (DW). Testul DurbinWatson (DW) consta in calcularea termenului empiric: ei e(i1) ei e(i1) [ei e(i1)]² ei² 3.66286742 13.4166 0.042735764 3.66286742 3.620131655 13.1053532 0.001826 1.964275789 0.042735764 1.921540025 3.692316067 3.858379 0.306901427 1.964275789 1.657374362 2.746889777 0.094188 4.110660456 0.306901427 4.417561883 19.51485299 16.89753 0.217755375 4.110660456 3.892905081 15.15470997 0.047417 11
2.670843112 0.217755375 2.888598487 8.344001221 7.133403 0.992125134 2.670843112 3.662968247 13.41733638 0.984312 0.861752485 0.992125134 0.130372649 0.016997028 0.742617 1.605553452 0.861752485 2.467305938 6.087598589 2.577802 0.175378343 1.605553452 1.43017511 2.045400844 0.030758 1.531062882 0.175378343 1.706441224 2.911941652 2.344154 2.107066752 1.531062882 3.638129634 13.23598723 4.43973 3.320004425 2.107066752 5.427071177 29.45310156 11.02243 0.702056484 3.320004425 2.617947941 6.85365142 0.492883 0.556883638 0.702056484 1.258940122 1.584930231 0.310119 0.461626102 0.556883638 0.095257536 0.009073998 0.213099 0.527374179 0.461626102 0.989000281 0.978121557 0.278124 0.181443524 0.527374179 0.708817703 0.502422537 0.032922 0.901912316 0.181443524 0.720468792 0.51907528 0.813446 1.018709298 0.901912316 0.116796982 0.013641535 1.037769 3.120017503 1.018709298 4.138726801 17.12905953 9.734509 3.779256271 3.120017503 0.659238769 0.434595754 14.28278 0.87298146 3.779256271 2.906274811 8.44643328 0.762097 1.453380867 0.87298146 2.326362327 5.411961675 2.112316 2.29299776 1.453380867 0.839616893 0.704956527 5.257839 0.399741759 2.29299776 1.893256001 3.584418285 0.159793 1.523975162 0.399741759 1.124233403 1.263900744 2.3225 0.303981004 1.523975162 1.827956166 3.341423744 0.092404 0.987264828 0.303981004 0.683283824 0.466876784 0.974692 TOTAL 180.9710294 89.05184 DW = 30 t=2 (u t u t 1 ) 2 n t=1 u t2 = 30 [ei e(i 1)]2 t=2 n t=2 ei² DW = 180.9710294 89.05184 DW = 2.032198749 12
Decizia: Se citesc valorile d1, d2 din tabel (alfa = 0,05; n = 30; k = 2): d1 = 1.284 d2 = 1.57 Regiunile de decizie pentru DW sunt urmatoarele: => 0 d1 autocorelare pozitiva a erorilor d1 d2 indecizie d2 (4 d2) neautocorelare a erorilor (ipoteza modelului de regresie) (4 d2) (4 d1) indecizie (4 d1) 4 autocorelare negativa a erorilor 0 d1 = 1.284 d1 d2 = 0.286 d2 (4 d2) = 0.86 (4 d2) (4 d1) = 0.286 (4 d1) 4 = 1.284 DW = 2.032198749 > d1 si d2 si nu se incadreaza in niciunul din intervalele de decizie, asa incat nu se poate lua nicio decizie cu privire la corelarea erorilor. Se poate trage concluzia ca erorile nu sunt autocorelate, adica ei nu depinde de ei1. f) Previzionarea valorii variabilei Y în ipoteza modificării variabilei factoriale. y i= b0 + b1 x1 + b2 x2 Comentarii: 10%>0 => x1 crește Dacă x1 crește cu o unitate, Y se modifică cu 0.10 unități. 50%>0 => x2 crește Dacă x2 crește cu o unitate, Y se modifică cu 0.50 unități. Concluzii Modelul de regresie multiplă estimat sa dovedit a fi unul precis are un coeficient de determinare mare R 2 = 0.703328568, adică speranta de viata se explică în măsură de aproape 70% de către variabilele independente incluse în model. În plus, sunt perfect verificabile 13
ipotezele metodei celor mai mici pătrate (MCMMP) erorile sunt homoscedastice, nu sunt autocorelate, iar variabilele nu sunt coliniare. Valoarea testului F este suficient de mare pentru a determina validitatea globală a modelului pentru un prag de semnificaţie de cel puţin Significance F = 7.51142E08, cu mult mai mare decât α ales. 14