Folosirea pachetului MathCad în analiza statistică
|
|
- Έχω Βαρνακιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Folosirea pachetului MathCad în analiza statistică George Daniel Mateescu * Corina Saman * Mihai Buneci * Rezumat MathCad-ul ne oferă posibilitatea de a face o analiză a datelor şi de a testa modele posibile într-un mod simplu şi uşor de folosit dacă cunoastem matematica care se afla în spatele modelului. Putem verifica ipotezele modelului regresiei cum ar fi dispersia constantă a erorilor, testarea ipotezelor statistice faţă de coeficienţi, corelaţia erorilor, normalitatea erorilor ca variabile aleatoare. Cuvinte cheie: regresie, ipoteze statistice JEL: C(Time-Series Models), C5(Model Construction and Estimation) Pachetul Mathcad intră în categoria mediilor soft care asistă utilizatorul specialist într-un anumit domeniu. Permite realizarea de calcule matematice foarte complexe precum şi activităţi conexe cum ar fi reprezentări grafice, realizarea unei documentaţii, precum şi posibilitatea de export spre alte medii Windows. Comenzile principale: File: operaţii uzuale privind fişierul ca entitate, deschidere, salvare, tiparire, transmitere prin fax sau poştă electronică Edit: comenzi de dactilografiere inteligentă : ştergere, copiere, etc. View: se referă în special la subseturile de comenzi dedicate pentru diferite operaţii matematice şi care sunt grupate în seturi (palete) ce pot fi activate prin paleta matematică Insert: se referă la obiecte matematice complexe cum sunt grafice de funcţii, tabele (matrici) funcţii (sistemul conţine în formă predefinită cele mai cunoscute funcţii matematice) Format: se referă atât la indicaţii de înfăţişare a lucrării cât şi la formate specifice calculelor matematice (cum este de exmplu numărul de zecimale care se afişează) Math: priveşte comanda de începere a calculelor dar şi indicaţii referitoare la unităţile de măsură Symbolics: reprezintă un element de noutate în raport cu calculele numerice şi conţine elemente de inteligenţă artificială care permit evaluări simbolice (primitive sau derivare simbolică) * Institutul de Prognoză Economică, Academia Romană
2 Window: permite gestiunea mai multor lucrări Help: mediu complex care conţine indicaţii de utilizare Detalierea comenzilor. Tot ceea ce ţine de tratarea fişierului ca entitate, vizualizare, tipărite editare, ferestre, help, sunt foarte asemănătoare cu alte pachete din mediul Windows (Word, Excel, etc.) Paleta matematică, conţine cele mai semnificative comenzi pe următoarele grupe artimetică logică reprezentări grafice matrici şi vectori calcul diferenţial şi integral elemente de programare alfabetul grec evaluarea simbolică Principiul de utilizare este al unei foi de hârtie inteligente în care utilizatorul scrie expresiile matematice în mod obişnuit iar foaia efectuează calculele şi pune rezultatele exact în continurea expresiei. Utilizatorul completează liniile şi coloanele matricii a iar apoi scrie pur şi simplu a - iar foaia de calcul pune rezultatul. Se pot face calcule oricât de complicate aşa cum se vede alăturat. Modul de introducere al expresiilor este free hand a a 3 4. b a T. b b Calcule simbolice d sin( x) dx x 3 cos x cos ( x) x 3 cos x sin( x) x 3 cos x. 3x.. sin x x
3 Reprezentări grafice Se plasează: pe orizontală, jos: variabila şi intervalul (domeniul e definiţie) pe verticală, în stânga, legea de coespondenţă şi codomeniul Mediul Windows este atât de puternic integrat încât permite, de exemplu în Word, editarea direct în pagină prin lansarea implicită în background a pachetului Mathcad! x cos(. x) x Calcule numerice Integrala definită a unei funcţii a cărei primitivă nu este exprimabilă prin funcţii elementare. În cazul funcţiilor ale căror primitive se exprimă prin funcţii elementare se poate apela şi la calculul simbolic e x dx.35 Sisteme de ecuaţii Sistemele de ecuaţii liniare se rezolvă direct prin calcule cu matrici dar se pot rezolva şi ecuaţii sau sisteme de ecuaţii neliniare. Este necesară introducerea unor valori iniţiale pentru x şi y (semnificaţia acestei introduceri poate fi explicată numai după ce vor fi însuşite cunoştinţe de analiză numerică). Este posibil ca, uneori, să nu fie obţinută soluţia sistemului daca valorile de start nu satisfac anumite condiţii. În exemlul alăturat semnul se obţine prin selectare din tabelul de operatori de tip logic. Soluţia se obţine prin apelul funcţiei find care are exact acest rol. x 4 y given x 3y x 5 xy. 3 find( x, y) Analiză statistică MathCad-ul ne oferă posibilitatea de a face o analiză a datelor şi de a testa modele posibile într-un mod simplu şi usor de folosit dacă cunoaştem matematica care se afla în spatele modelului. Estimarea, deducţia şi predicţia sunt posibile pentru orice model simulat. Cînd experimentăm modele posibile asociate fenomenelor economice trebuie luate decizii în funcţie de rezultatele obţinute în testarea ipotezelor statistice. In MathCad este suficient să formulăm ipoteza statistică, apoi măsurarea coincidenţei dintre valorile observate şi cele pe care ipoteza statistică le validează ca adevărate se face simplu calculînd statistica asociată ipotezei. Este necesar numai să traducem în formula potrivită ipoteza statistică. Avem un test statistic care este o funcţie a datelor observate. Tinînd cont că ipoteza nulă determină distribuţia de probabilitate a acelui test statistic care apoi determină probabilitate este simplu de construit orice test satistic. In cele ce urmează vom explora posibilităţile de analiză a validităţii unui model de regresie liniară pe care ni le ofera MathCad-ul. Si acestea sunt: estimatori după metoda celor mai mici pătrate, verificare ipotezelor modelului liniar, deducţii asupra parametrilor funcţiei liniare, măsura potrivirii modelului pentru datele observate, analiza tabelei varianţei pentru regresie. Datele folosite în exemplele de mai jos sunt: producţia industrială pi (variatie lunară,%), somajul somaj (rată lunară,%) si inflaţia inf (rată lunară,%) pentru perioada ianuarie - ianuarie.
4 Conditiile impuse de Modelul regresiei Liniare. Variabila dependenta Y este o functie liniara de X.. Variabila eroare ε este componenta aleatoarea a modelului linear. Valorile lui X sunt presupuse fixe. 3. Termenii eroare corespunzatori obsevatiilor sunt necorelati. In plus, pentru orice valori date pentru X, erorile sunt variabile aleatoare normal distribuite cu media zero si dispersie constanta Cautam cei mai buni estimatori pentruintersectia cu axa Ox (β) si panta dreptei (β), in cazul modelului regresiei liniare simple dat prin ecuatia: Y i β β. X i ε i Termenul εi pentru observatia, i, este diferenta masurata pe verticala, dintre punctele observate (X i, Y i ) si linia de regressie. Valuarea lui ε va fi positiva cind valorile observate se gasesc deasupra liniei de regresie si negativa cind se gasesc sub linie. Un exemplu: regresia inflatiei(inf) fata de productia industriala(pi) Reprezentarea grafica: y inf x pi n rows ( pi ) i.. n 4 y i x i Cum gasim aceasta dreapta? Prin metoda celor mai mici patrate. Suma patratelor Residualelor, SSE Vom folosi suma patratelor rezidualelor SSE b, b y i b b. x i i Putem obtine o solutia folosin metoda de rezolvare a sistemelor de ecuatii in Mathcad
5 Valori initiale: b b Blocul ecuatiilor Given nb. b. ( x ) y b. ( x ) b. x xy. b Find b, b b produce estimatorii pentru β si β b.55 b.4 pentru cele mai mici posibile sume de patrate, SSE b, b 8.58 SSE b., b Metoda celor mai mici patrate produce estimatorii cei mai buni - the best linear unbiased estimators (BLUE) - pentru coeficienti. Asta inseamna ca au dispersia minima. In Mathcad sunt dati de functiile: intercept x, y intercept ( ) slope ( x, y ) ( x, y ).55 slope ( x, y ).4 unde primul argument reprezinta variabilaindependenta. Spre deosebire de functia de corelatie ordinea argumentelor este esentiala! intercept ( x, y ) intercept ( y, x ) slope ( x, y ) slope ( y, x ) Linia de regresie pentru exemplu dat are ecuatia y lin ( x ) b b. x se vede pe grafic si de asemenea punctele observate si rezidualele. Punctul dat de valorile medii ale variabilelor aleatore: ( mean ( x ), mean ( y )) (indicat de un patrat) este de asemenea pe linia de regresie.
6 Valorile observate Linia de regresie Erorile Residuale (mean(x), mean(y)) Estimatori pentru Dispersia Erorilor Suma patratelor rezidualelor SSE poate fi folosita in estimarea dispersiei erorilor σ. Aceasta dispersie masoara imprastierea datelor observate fata de linia de regresie. Un estimator pentru σ in cazul unui esantion de lungime n este mean square error (MSE ), care se calculeaza impartind valuarea lui SSE prin (n - ) MSE SSE b, b n MSE.774 Aceasta definitie urmareste ideea ca dispersia este media sumei patratelor deviatiei fata de linie. Impartim prin (n - ) deoarece am estimat deja cei doi parametrii β si β. Un estimator pentru abaterea standard a erorilor σ este standard error of estimate se_e MSE se_e.88 x pi y inf Erorile reziduale, e, sunt date de: y lin ( x, y ) intercept ( x, y ) slope ( x, y ). x e y y lin ( x, y ) Si estimatorul pentru abaterea standard este deci se_e ( e ) e rows ( e ) se_e ( e ).88
7 Reziduale Standardizate standard_e ( e ) e se_e ( e ) standard_e ( e ).9 Reziduale Studentizate Un alt estimator pentru abaterea standard s a unei variabile X este: x i mean( x ) i.. n leverage. i leverage rows( x ) Var( x ).55 Ajustind rezidualele standardizate obtinem reziduale studentizate e i student_e i se_e ( e ) rows( x ) leverage i unde membrul drept este un estimator pentru abaterea standard a rezidualelor e i. Rezidualele studentizate sunt mai precise in sensul ca indica mai exact diferentele in dispersia erorilor. standard_e ( e ).9 student_e.7 Graficul Rezidualelor Daca datele urmeaza o relatie liniara atunci graficul rezidualelor standardizate (sau studentizate axa (y-axis) fata de valorile X sau fata de valorile previzionate de model nu vor prezenta nici un model evident ci vor fi repartizate aleator. 4 4 standard_e ( e ) i student_e i x i x i 4 standard_e ( e ) i y lin ( x, y) i
8 Daca datele nu respecta modelul liniar reziduale vor prezenta grafic un model(pattern). De exemplu daca generam aleator un esantion de valori dintr-o o serie de date care urmeaza o functie exponentiala: n_esantion nr k.. n_esantion x exp rnd ( nr ) k Si de asemenea erori normale cu dispersia σ: σ ε rnorm ( n_esantion,, σ) y exp exp x exp ε e exp y exp y lin x exp, y exp obtinem urmatorul grafic y exp k x exp k si rezidualele 5 standard_e e exp k x exp k Dispersia Erorilor Constanta Daca dispersia erorilor nu este constanta de la o valoare a lui X la alta, graficul rezidualelor va arata o repartizare crescatoare sau descrescatoare de la stinga la dreapta. Sa vedem un exemplu de care urmeaza o relatie liniara asa cum arata graficul lui Y fata de X si cum arata si coeficientul de corelatie: n_esantion nr k.. n_esantion x link rnd ( nr )
9 σ x lin ε k rnorm n_esantion,, σ k m 8 b y lin m. x lin b ε e lin y lin y lin x lin, y lin k y lin k 5 5 x lin k corr x lin, y lin.966 dispersia erorilor prezinta o tendinta de crestere de la stinga la dreapta. 5 standard_e e lin k x lin k Corelatia Erorilor Putem verifica daca exista corelatie intre termenii alaturati in seria erorilor folosind statistica Durbin-Watson (DW ). e y y lin ( x, y ) rows ( e ) e d e d DW ( e ) d rows ( e ) e d d DW ( e ).867 Valori pentru statistica Durbin-Watson mai mici decit indica corelatie positiva pentru erori si valori mai mari decit o corelatie negativa. Totusi aceasta statistica nu poate da un raspuns decit pentru corelatia termenilor alaturati.
10 R masura pentru dependenta cauzala intre variabila independenta si cea dependenta Dependenta dintre variabile se poate exprima prin covarianta E X µ. x Y µ y care de obicei se calculeaza normalizat prin coeficientul de corelatie ρ, ρ E X µ. x Y µ y σ. x σ y rows ( pi ) i ρ pi.inf pi i µ. pi inf i µ inf σ. pi σ inf. n ρ pi.inf.38 corr ( pi, inf ).38 rows ( pi ) 6 y inf x pi Erorile reziduale, e, sunt date de: y lin ( x, y) intercept ( x, y ) slope ( x, y ). x e y y lin ( x, y) Si estimatorul pentru abaterea standard este deci se_e ( e ) e rows ( e ) se_e ( e ).88 R pi.inf ( e ) R pi.inf. ( y mean ( y )) Ipoteza statistica H : β se poate testa folosind statistica t t b se_b ( x, y ) urmeaza o distributie t student cu(n - ) grade de libertate. Valuarea se_b(x,y) este abaterea standard a erorii pentru parametrul b se_b ( x, y ) se_e ( e ) se_b ( x, y ).4 ( x mean ( x )) t x, y, β slope ( x, y ) β se_b ( x, y ) t( x, y, ).643 Să incercăm şi o regresie multiplă. Datele folosite sunt producţia industrială pi (variaţie lunară,%), şomajul şomaj (rată lunară,%) şi inflaţia inf (rată lunară,%) pentru perioada ianuarie - ianuarie. In ordinea dată ele se regăsesc şi in matricea DATE.
11 Variabila dependenta inflatia, adica : y DATE < > marimea esantionului: n rows ( DATE ) Numarul coloanelor ce reprezinta variabilele indepedente(productia industriala si somajul): x_col p rows ( x_col ) p Matricea X a variabilelor indepedente: X for for X i.. n X i, j x_col X < j > DATE < j > Vectorul parametrilor estimati: b X T X.. X T. y Ecuatia regresiei si erorile reziduale ylin X. b e y ylin Suma patratelor erorilor si abaterilor: SSE e T. e suma patratelor erorilor suma patratelor abaterii date de regresie: SSR ( ylin mean ( y ) ) T. ( ylin mean ( y ) ) suma patratelor abaterii/deviatiei totale SST SSE SSR Gradele de libertate Cum avem (p + ) parametrii de estimat avem grl_erori n ( p ) grl_erori 3 grade de libertate asociate cu suma patratelor erorilor. Suma patratelor abaterii/deviatiei date de regresie are grl_regresie p grl_regresie grade de libertate deoarece in formula sunt p variabile independente.
12 Suma patratelor abaterii/deviatiei totale are grl_total n grl_total 5 grade de libertate si grl_erori grl_regresie grl_total Pentru a estima dispersia impartim suma patratelor la nr. de grade de libertate. Media abaterilor patratice pentru erorile reziduale MSE SSE grl_erori este o estimatie pentru dispersia erorilori σ, sau abaterea neexplicata de regresie. (Vom identifica SSE ca fiind primul element din vector.) Alti doi estimatori pentru dispersia care este explicata de modelul regresiei respectiv dispersia totala sunt: MSR SSR grl_regresie MST SST grl_total Testul F In cazul ipotezei nule H : nu avem model de tip regresie multipla MSR statistica F MSE grade de libertate. are o distributiie F cu n grl_regresie si n grl_erori Valuarea p-value a testului este data de : p_val pf ( F, n, n ) p_val.63 R SSR SST si R_ajustat MSE MST dau masura potrivirii modelului de regresie liniara. Analiza Abaterilor GradeLibertate SS MS F R grl_regresie SSR 4.48 MSR.4 F 3.7 R.3 grl_erori 3 SSE 6.6 MSE.77 p-value R_ajustat.45 grl_total 5 SST.67 MST.87 p_val.63 Abaterea explicata de regresia liniara ( MSR) este mai mare decit cea datorata erorilor reziduale (MSE). Diferenta este destul de mare (valoarea p-value este suficient de mica) pentru a respinge ipoteza nula.
13 Corelatia dintre variabilele modelului este data in matricea CORR j.. p k.. p CORR jk, corr DATE <> j, DATE < k > CORR x x x x x x3 Cea mai mare valoare a corelatiei dintre variabilele independente este cea intre variabilele (x and x ) Teste T CORR.68, b.5.5 unde b.96 b b b Forma statisticii t este aceeasi ca si in cazul regresiei simple. In ipoteza nula, urmeaza o distributie t student cu (n - ) grade de libertate. Valuarea se_b este abaterea standard a erorii pentru parametrul b t b se_b Matricea Varianta-Covarianta pentru Parametrii Estimati Fiecare estimatie are o dispersie/varianta dar si o covarianta cu fiecare dintre celelalte estimatii. Acestea se pot reprezenta intr-o matrice Var_Covar_b data de σ. X T X Putem estima varianta necunoscuta σ prin abaterea medie patratica "mean square error: ( MSE),. Var_Covar_b X T. X. MSE b b b Var_Covar_b Var_Covar_b , este covarianta dintre b si b. Pe diagonala matricii este varianta/dispersia estimata a coeficientilor. Var_Covar_b , este o estimatie a variantei/dispersiei lui b.
14 Erorile Standard ale Parametrilor Estimati Prin definitie vectorul cu erorilor standard ale parametrilor estimati poate fi obtinuta astfel: k.. p.9 se_b k Var_Covar_b k, k se_b.4.8 Statistica T t b se_b t Considerind ipoteza nula, H : β k k,,,..., p, fiecare test statistic urmeaza o distributie t student cu n ( p ) 3 grade de libertate, egal cu nr. de grade de libertateal rezidualelor grl_erori 3 Valuarea corespunzatoare p-value poate fi calculata astfel:. t k > p_t k pt t k, grl_erori. pt t k, grl_erori otherwise if Tabelul Coeficientilor Regresiei b b b.5 se_b.4 t.4 p_t.43 b Pentru un nivel de semnificatie α j.5 vom respinge ipoteza nula privind neimportanta pentru model a variabilei pentru care conditia este intercept cond j ( α j p_t j ) cond Daca conditiile impuse de model sunt indeplinite si nu avem multicoliniaritate, cu un nivel de semnificatie α.5 vom pastra in model variabila x si vom exclude x. x x
15 Daca incercam un model de tip inf β β. pi β. somaj ε x DATE < > n rows ( DATE < > ) x DATE < > i.. n y DATE < > Modelul este y β β. x β. x ε este intrinsec nelinear deoarece parametrii apar ca puteri, deci neliniar. In aceste cazuri intrinsec neliniare putem aplica metoda celor mai mici patrate. b b Given i i. y i. b. b. x i. b. x i. y i b b. x i b. x. i x i. b. x i b Find b, b b b.58 b.4 si calculam SSY y SSY 8.67 cu n grade de libertate grl_total n SSE y b b. x b. x SSE 8.54 cu n-p grade de libertate grl_erori n p Pentru variatia explicata de model avem SSR, SSR SSY SSE SSR 64.3 cu p grade de libertate grl_regresie p MSE SSE grl_erori MSR SSR grl_regresie Analiza tabelului variatiilor Grade Libertate SS MS grl_regresie SSR 64.3 MSR 8.65 grl_erori 4 SSE 8.54 MSE.773 grl_total 6 SSY 8.67
16 Matricea Varianta-Covarianta Jacobianul: d, b b. x i b. x i d b J i d, b b. x i b. x i d b J i si inmultind cu media patratelor erorilor obtinem matricea Var_Covar MSE J T.. J Var_Covar Luam apoi radacina patratica din elementele de pe diagonala pentru a obtine erorile standard pentru parametrii estimati j.. p se j Var_Covar j, j se.6.4 ca apoi sa formam intervalele de confidenta pentru b, α t.5 t qt α t, grl_erori int_stinga b b tse. int_dreapta b b tse. si apoi pentru b, int_stinga b b tse. int_dreapta b b tse. Avem α t 95 % siguranta, ca valuarea lui β se afla intre valorile int_stinga b.76 si int_dreapta b.84 si ca valuarea lui β se afla intre valorile Parametrii Estimati int_stinga b.9 si int_dreapta b Erorile Standard Intervalele de incredere b.58 se.6 int_stinga b.76 int_dreapta b.84 b.4 se.4 int_stinga b.9 int_dreapta b Cum intervalul prntru b contine valoarea concluzionam ca acest parametru nu este semnificativ pentru model. Deci modelul nu este potrivit.
17 Bibliografie *** MathCad Resource Center Robert S Pindyck, Daniel L. Rubinfield Econometric Models and Econometric Forecasts, McGraw-Hill,Inc., International Edition 99 Edmond Malinvaud Methodes statistiques de l econometrie, editura Dunod, 964 George Daniel Mateescu Bazele utilizarii calculatoarelor, Editura Donaris 4
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραElemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie
Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005 Subiecte Concepte şi termeni Modelarea măsurării
Διαβάστε περισσότεραPROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru
PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015 CUPRINS Înregistrați
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραRegresie si corelatie
Regresie si corelatie Contet Statistica dispune de o seamă de metode de studiere a dependenţelor dintre două sau mai multe variabile. Printre acestea sunt şi cele cuprinse în "analiza de regresie şi corelaţie".
Διαβάστε περισσότεραRecapitulare - Tipuri de date
Recapitulare - Tipuri de date Date numerice vârsta, greutatea, talia, hemoglobina, tensiunea arterială, calcemia, glicemia, colesterolul, transaminazele etc. valori continue sau discrete numere întregi
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor
ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI Călinici Tudor 1 Obiective educaţionale Înţelegerea procesului de estimare Însuşirea limbajului specific pentru inferenţa statistică Enumerarea estimatorilor fără bias
Διαβάστε περισσότεραMasurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011
1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραDistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala
8.03.011 STATISTICA -distributia normala -distributii de esantionare lectia 7 30 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/index.asp?item=fisiere&id=88 DistributiiContinue
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραPRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ
PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Teste nonparametrice Testele nonparametrice se aplică variabilelor măsurate la nivel nominal sau ordinal. Ele se aplică pe eşantioane mici, nefiind nevoie de presupuneri
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα5 Statistica matematică
5 Statistica matematică Cuvântul statistică afostiniţial folosit pentru a desemna o colecţiededatedesprepopulaţie şi situaţia economică, date vitale pentru conducerea unui stat. Cu timpul, Statistica a
Διαβάστε περισσότεραPOPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE
DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραStatistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015
Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare Călinici Tudor 2015 Obiective educaționale Enumerarea caracteristicilor distribuției normale Enumerarea principiilor inferenței statistice Calculul intervalului
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραCURS: METODE EXPERIMENTALE ÎN FCS
Cunoaşterea în fizică se bazează pe experimente şi măsurători. Pentru verificarea oricărei teorii => experiment => măsurători. Toate măsurătorile sunt afectate de erori. Nu putem măsura ă ceva cu exactitate
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSTATISTICĂ DESCRIPTIVĂ
STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ » Reprezentarea şi sumarizarea datelor» Parametrii statistici descriptivi Centralitate Dispersie Asimetrie Localizare Cuprins Măsuri de centralitate Măsuri de împrăştiere Media Amplitudine
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραLaborator biofizică. Noţiuni introductive
Laborator biofizică Noţiuni introductive Mărimi fizice Mărimile fizice caracterizează proprietăţile fizice ale materiei (de exemplu: masa, densitatea), starea materiei (vâscozitatea, fluiditatea), mişcarea
Διαβάστε περισσότερα