5. ΔΙΕΛΕΥΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΑΙ XΡONIKA AMETABΛHTO ΣΥΣΤΗΜΑ 5.. Γειά περί γραμμιώ αι χροιά αμετάβλητω συστημάτω 5... Ορισμός Γραμμιό είαι έα σύστημα το οποίο, ότα στη είσοδό του εμφαιστεί έα σήμα Α x (t) + Α x (t), η απόρισή του (δηλαδή το σήμα εξόδου του) είαι το σήμα Α y (t) + Α y (t) όπου y (t), y (t) οι απορίσεις του συστήματος στα μεμοωμέα σήματα x (t) αι x (t). A x (t) + A x (t) Γραμμιό σύστημα A y (t) + A y (t) Χροιά αμετάβλητο είαι έα σύστημα του οποίου η συμπεριφορά δε μεταβάλλεται από το χρόο. Σε έα τέτοιο σύστημα, α y(t) είαι η απόριση σε σήμα εισόδου x(t), η απόριση στο χροιά μετατοπισμέο σήμα x(tt o ) είαι το σήμα y(tt o ). Βασιή (αι πολύ χρήσιμη) ιδιότητα τω γραμμιώ αι χροιά αμετάβλητω συστημάτω είαι ότι η απόρισή τους σε ημιτοοειδές σήμα εισόδου είαι, επίσης, ημιτοοειδές σήμα αι μάλιστα της ίδιας συχότητας. Έα γραμμιό σύστημα μπορεί α ετελέσει πρόσθεση αι αφαίρεση σημάτω, πολλαπλασιασμό σήματος επί σταθερά, παραγώγιση αι ολολήρωση. 5... Απόριση γραμμιού αι χροιά αμετάβλητου συστήματος Γειά Η απόριση εός γραμμιού αι χροιά αμετάβλήτου συστήματος προσδιορίζεται για συγεριμέα σήματα εισόδου. Έτσι: Α το σήμα εισόδου είαι ο ρουστιός παλμός δ(t), η απόριση χαρατηρίζεται ως «ρουστιή». Α το σήμα εισόδου είαι το βηματιό σήμα u(t), η απόριση χαρατηρίζεται ως «βηματιή». Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.
Α το σήμα εισόδου είαι το παλμιό σήμα p(t), η απόριση χαρατηρίζεται ως «παλμιή». Α το σήμα εισόδου είαι το ημιτοοειδές σήμα c(t), η απόριση χαρατηρίζεται ως «αρμοιή». Κρουστιή απόριση συάρτηση μεταφοράς Έστω h(t) η απόριση (σήμα εξόδου) του συστήματος ότα στη είσοδό του εφαρμοστεί ό ρουστιός παλμός δ(t). Η h(t) οομάζεται «ρουστιή απόριση» του συστήματος. «ρουστιή» είσοδος δ(t) h(t) «ρουστιή» απόριση Η ρουστιή απόριση h(t) εός συστήματος μπορεί α θεωρηθεί ως έα είδος «απόρισης ααφοράς», υπό τη έοια ότι μπορεί α χρησιμοποιηθεί για το υπολογισμό της απόρισης y(t) του συστήματος για οποιοδήποτε σήμα εισόδου x(t). Πράγματι, μπορεί α αποδειχθεί ότι y(t) = h(τ).x(tτ).dτ = h(t)x(t) (5.) δηλαδή η απόριση y(t) δίεται από τη συέλιξη της ρουστιής απόρισης h(t) αι του σήματος εισόδου x(t). x(t) h(t) y(t) = h(t)x(t) Πεδίο t Ο μετασχηματισμός Fourier Η() της ρουστιής απόρισης h(t) οομάζεται συάρτηση μεταφοράς (transer unction) του συστήματος. Με βάση το ορισμό του μετασχηματισμού Fourier, προύπτει ότι Η() = h(t).e j.π.t. (5.) αι, ατίστροφα, ότι h(t) = H().e j.π.t. (5.3) Οι όροι «ρουστιή», «βηματιή», «παλμιή» αι «αρμοιή» συιστού χαρατηρισμό με βάση το σήμα εισόδου (δ(t), u(t), p(t) αι c(t), ατίστοιχα). Εξυπαούεται ότι τα σήματα εισόδου δε είαι, ατ αάγη, «ρουστιά», «βηματιά», «παλμιά» ή «αρμοιά». Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.
Κάοτας χρήση της εξίσωσης (.33) (μετασχηματισμός Fourier συέλιξης σημάτω), προύπτει ότι Y() = H().X() (5.4) δηλαδή προύπτει ότι, στο πεδίο της συχότητας, η απόριση εός συστήματος είαι απλώς το γιόμεο της συάρτησης μεταφοράς του αι του σήματος εισόδου. Το γεγοός αυτό αποτελεί έα αόμη επιχείρημα υπέρ της χρήσης του πεδίου συχότητας για τη μελέτη τω γραμμιώ συστημάτω. X() H() Y() = Η().X() Πεδίο Δεδομέου ότι η φασματιή πυότητα εέργειας αι η φασματιή πυότητα ισχύος εός σήματος m(t) δίοται (ατίστοιχα) από τις σχέσεις G E () = M() αι G P () = M() /T, αποδειύεται εύολα ότι, α G E,x (), G E,y () oι φασματιές πυότητες εέργειας αι G P,x (), G P,y () οι φασματιές πυότητες ισχύος (για τα σήματα εισόδου x(t) αι εξόδου y(t)), τότε G E,y () = Η() G E,x () (5.5) G P,y () = Η() G P,x () (5.6) Από τα παραπάω, προύπτει ότι η συμπεριφορά εός γραμμιού συστήματος μπορεί γειά α προσδιοριστεί με δύο ισοδύαμους τρόπους: Στο πεδίο του χρόου t, μέσω της ρουστιής του απόρισης h(t). Στο πεδίο της συχότητας, μέσω της συάρτησης μεταφοράς Η(). Σημειώεται ότι η Η() είαι γειά μιγαδιή συάρτηση, επομέως για τη πλήρη γραφιή ααπαράστασή της απαιτούται δύο γραφιές παραστάσεις, του μέτρου H() (άρτια συάρτηση) αι της φάσης φ() (περιττή συάρτηση). Συήθως δίεται μόο η παράσταση της H(). Απόριση σε ημιτοοειδές σήμα εισόδου Μπορεί α αποδειχθεί ότι έα γραμμιό αι χροιά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής To α θα ισχύσει η (5.5) ή η (5.6) εξαρτάται από το α τα σήματα εισόδου αι εξόδου είαι σήματα εέργειας ή σήματα ισχύος. Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.3
Ν 0 Κ d y(t) d x(t) b a (5.7) 0 όπου x(t), y(t) τα σήματα εισόδου αι εξόδου ατίστοιχα. Θεωρώτας ότι το σήμα εισόδου x(t) είαι έα ημιτοοειδές σήμα που, στη εθετιή του μορφή, γράφεται ως x(t) = A x e jπ ο t d x(t) (jπ ο ) A x e jπ ο t (5.8) αι ότι, λόγω της γραμμιότητας, το σήμα εξόδου y(t) είαι αι αυτό ημιτοοειδές της ίδιας συχότητας, τότε y(t) = A y e jπ ο t d y(t) (jπ ο ) A y e jπ ο t (5.9) οπότε, με ατιατάσταση στη (5.7), προύπτει ότι A y e jπ ο t = άρα A y = Κ 0 Ν 0 a b Κ 0 Ν 0 a b (jπ (jπ (jπ (jπ o o ) ) o o ) ) A x e jπ ο t A x = Η( o )A x (5.0) Aπό τη σχέση (5.0) προύπτει ότι α στη είσοδο του συστήματος εφαρμοστεί περιοδιό σήμα x(t) = Σ (,) X n.e j.π.n o.t, τότε στη έξοδο του συστήματος εμμφαίζεται έα επίσης περιοδιό σήμα y(t) = Σ (,) Y n.e j.π.n o.t αι, μάλιστα, Y n = Η( n ).X n y(t) = Σ (,) Η( n ).X n.e j.π.n o.t (5.) 5.. Φίλτρα 5... Ορισμός Τα φίλτρα είαι γραμμιά συστήματα τα οποία επιτρέπου τη διέλευση συγεριμέης ζώης συχοτήτω εώ αποόπτου (στη πραγματιότητα εξασθεού ισχυρά) τις υπόλοιπες. Έα φίλτρο χαρατηρίζεται από τη συάρτηση μεταφοράς του H(). Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.4
5... Σηματιοί τύποι φίλτρω Ιδαιό βαθυπερατό (low-pass) φίλτρο Το ιδαιό βαθυπερατό φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση συχοτήτω που είαι χαμηλότερες από μια χαρατηριστιή συχότητα (συχότητα αποοπής) B. H συάρτηση μεταφοράς Η() εός τέτοιου φίλτρου δίεται από τη σχέση Η() = (B < < B) αι Η() = 0 (αλλού) (5.) Η() B 0 B Η ρουστιή απόριση του ιδαιού βαθυπερατού φίλτρου προύπτει με εφαρμογή της (5.3) (αι της ιδιότητας της φασματιής ααπαράστασης εότητα 3.3.3) αι μπορεί α αποδειχθεί ότι είαι η sin(πbt) h(t) = B. πbt (5.3) 3 δ(t) h(t) B Φίλτρο 0 t /B 0 /B Η φυσιή σημασία της (5.8) είαι η αόλουθη: Εά το φίλτρο είχε άπειρο εύρος ζώης, τότε η έξοδος h(t) θα ήτα «πιστό ατίγραφο» της εισόδου δ(t). Όμως, επειδή το φίλτρο έχει πεπερασμέο εύρος ζώης Β, αδυατεί α παραολουθήσει τις απότομες μεταβολές του ρουστιού παλμού εισόδου δ(t), οπότε στη έξοδό του εμφαίζεται έα σήμα h(t) με «ομαλότερη» μεταβολή. 3 Επισημαίεται ότι η ρουστιή απόριση h(t), έτσι όπως δίεται από τη σχέση (5.3), υποοεί ότι, α αι το σήμα εισόδου δ(t) εφαρμόζεται τη χροιή στγμή t=0, το σήμα εξόδου h(t) υφίσταται αι για t<0 (πρι δηλαδή τη εφαρμογή του σήματος εισόδου δ(t)). Προφαώς, αυτό είαι αδύατο, γεγοός που υποδηλώει αι τη αδυαμία υλοποίησης του ιδαιού βαθυπερατού φίλτρου. Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.5
Μπορεί α αποδειχθεί ότι η απόριση ιδαιού βαθυπερατού φίλτρου σε βηματιή είσοδο της μορφής x(t) = Α.u(t) δίεται από το τύπο y(t) = Α.(e t/rc ) (5.4) όπου η «προοδευτιή» αύξηση του y(t) (ατιπαραβαλλόμεη με τη απότομη μετάβαση, από τη τιμή 0 στη τιμή Α, του x(t)) είαι συέπεια του πεπερασμέου εύρους του φίλτρου αι της αδυαμίας του α «παραολουθήσει» τις απότομες μεταβολές (δηλαδή τις μεταβολές υψηλής συχότητας) που υφίσταται τα σήματα εισόδου του. y(t)= Α.u(t) Α 0 t X() R Ιδαιό βαθυπερατό φίλτρο Η() C Y() y(t) Α 0 t Πραγματιό βαθυπερατό φίλτρο H συάρτηση μεταφοράς Η() εός τέτοιου φίλτρου δίεται από τη σχέση H() = j B (5.5) Ισχύει ότι: H() = B (5.6) H max () = H(0) = (5.7) H(B) = 0,7 (5.8) Η σχέση (5.8) δηλώει ότι ως εύρος ζώης Β του βαθυπερατού φίλτρου, μπορεί α θεωρηθεί η συχότητα Β ατά τη οποία η συάρτηση μεταφοράς του φίλτρου μειώεται στο / 70% της μέγιστης τιμής της. Για συχότητες > B, το φίλτρο θεωρείται ότι εισάγει μη αποδετή απόσβεση στα διερχόμεα σήματα (πρατιά τα «αποόπτει»). Υπό Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.6
τη έοια αυτή, για το βαθυπερατό φίλτρο, το εύρος ζώης Β του σήματος ταυτίζεται με τη συχότητα αποοπής. Η() / -B B Το «πραγματιό» βαθυπερατό φίλτρο που περιγράφηε παραπάω μπορεί α θεωρηθεί ως ειδιή περίπτωση μιας ευρύτερης «οιογέειας» φίλτρω που οομάζοται φίλτρα Butterworth. Τα φίλτρα αυτά έχου συάρτηση μεταφοράς της μορφής H() = ( j B n ) (5.9) της οποίας το μέτρο ισούται με H() = ( B n ) (5.0) όπου Β η συχότητα αποοπής. Η παράμετρος n αποτελεί τη τάξη του φίλτρου αι, όσο μεγαλύτερη είαι τόσο η συάρτηση μεταφοράς προσεγγίζει αυτή του ιδαιού βαθυπερατού φίλτρου (για n, προύπτει η ιδαιή συάρτηση μεταφοράς (5.)). Το ιδαιό βαθυπερατό φίλτρο αποτελεί, ουσιαστιά, «οριαή ατάσταση» του πραγματιού βαθυπερατού φίλτρου. Παράδειγμα πραγματιού βαθυπερατού φίλτρου Στο ύλωμα του σχήματος, α Z C = /π.c η σύθετη ατίσταση του πυωτή, με εφαρμογή διαίρεσης τάσης προύπτει οπότε Z Y() = X(). Z C C R =... = X(). j..πrc ( 4 ) 4 Η μορφή της συγεριμέης συάρτησης μεταφοράς είαι χαρατηριστιή τω φίλτρω ου βαθμού (ο παροομαστής είαι πολυώυμο ου βαθμού). Φίλτρα με περισσότερο «απότομες» χαρατηριστιές (που προσομοιάζου αλύτερα στο ιδαιό φίλτρο) έχου συαρτήσεις μεταφοράς με παροομαστή υψηλότερου βαθμού βλ. εξίσωση (5.0). Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.7
Y() H() = = X() j..πrc Συγρίοτας τη παραπάω σχέση με τη εξίσωση (5.5) προύπτει ότι Β = πrc X() R C Y() Εργαστηριαός υπολογισμός συχότητας αποοπής (εύρους ζώης) Β βαθυπερατού φίλτρου ος τρόπος Η είσοδος αι η έξοδος του φίλτρου διασυδέοται σε παλμογράφο. Στη είσοδο του φίλτρου, εφαρμόζεται ημιτοειδές σήμα x(t) = A x cos(π.t) = t A x cos(π. ). Δεδομέου ότι το φίλτρο είαι παθητιό, το σήμα εξόδου είαι T ημιτοοειδές ίδιας συχότητας (αι περιόδου) αι διαφέρει από το σήμα εισόδου t μόο ως προς το πλάτος. Συεπώς, y(t) = A y cos(π.t) = A y cos(π. ) T Η περίοδος Τ του σήματος εισόδου μειώεται προοδευτιά από το χρήστη (το πλάτος Α x παραμέει αμετάβλητο). Για άθε τιμή της περιόδου Τ, αταγράφεται το πλάτος A y του σήματος εξόδου. Α Τ c η τιμή της περιόδου για τη οποία Α y Ax 0,707.A x, τότε Β ος τρόπος Στο φίλτρο, εφαρμόζεται βηματιή είσοδος (της μορφής x(t) = Α.u(t)). Στη απόριση y(t) του φίλτρου, μετριέται ο χρόος αόδου (rise time) τ r (ορίζεται ως το χροιό διάστημα ώστε το σήμα εξόδου y(t) α αυξηθεί από το 0% στο 90% της τιμής του). Ισχύει η παραάτω προσεγγιστιή σχέση: 0,35 Β τ r. T c (5.) Ιδαιό ζωοπερατό (band-pass) φίλτρο H συάρτηση μεταφοράς Η() εός τέτοιου φίλτρου δίεται από τη σχέση Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.8
Η() = ( L < < H ) αι Η() = 0 (αλλού) (5.) A H() H L L H Πραγματιό ζωοπερατό φίλτρο Το ιδαιό ζωοπερατό φίλτρο αποτελεί «οριαή ατάσταση» του πραγματιού ζωοπερατού φίλτρου. Η συάρτηση μεταφοράς H() του τελευταίου φαίεται στο σχήμα που αολουθεί. H() A Α/ H L L H 5.3. Άλλα γραμμιά υλώματα 5.3.. Διαφοριστής (dierentiator) dx(t) Πεδίο χρόου: y(t) = K (5.3) Πεδίο συχότητας: Y() = K(j.π).X() (5.4) (βλ. εξίσωση 3.3) Y() H() = = K(j.π) (5.5) X() 5.3.. Ολοληρωτής (integrator) Πεδίο χρόου: y(t) = K x(t). (5.6) Πεδίο συχότητας: K Y() = X() (5.7) jπ Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.9
(βλ. εξίσωση 3.33) Y() K H() = = X() jπ (5.8) 5.4. Συστήματα που δε εισάγου παραμόρφωση Έα σύστημα που δε εισάγει παραμόρφωση, απλώς πολλαπλασιάζει το σήμα εισόδου επί μια σταθερά αι το μετατοπίζει χροιά. Ισχύει δηλαδή ότι y(t) = K.x(t t o ) (5.9) Με χρήση τω ιδιοτήτω του μετασχηματισμού Fourier, προύπτει ότι Y() = K.X().e jπ t o (5.30) Συεπώς η συάρτηση μεταφοράς εός τέτοιου συστήματος δίεται από το τύπο Y() H() = = Ke jπ t o (5.3) X() Η εξίσωση (5.3) δηλώει ότι η συάρτηση μεταφοράς εός συστήματος που δε εισάγει παραμόρφωση έχει σταθερό μέτρο H() = K (για όλες τις συχότητες) αι φάση φ() = π..t o που είαι γραμμιή συάρτηση της συχότητας. Με βάση τα παραπάω, έα ιδαιό βαθυπερατό, υψιπερατό ή ζωοπερατό φίλτρο δε εισάγει παραμόρφωση ότα ολόληρο το εύρος ζώης του προς επεξεργασία σήματος είαι ετός της ζώης διέλευσης του φίλτρου. 5.5. Οι τηλεπιοιωιαές ζεύξεις ως ζωοπερατά συστήματα Κάθε τηλεπιοιωιαή ζεύξη επιτρέπει τη διέλευση μιας συγεριμέης ζώης συχοτήτω. Υπό τη έοια αυτή, οι ζεύξεις συμπεριφέροται ως (πραγματιά) ζωοπερατά φίλτρα αι χαρατηρίζοται από έα εύρος ζώης λειτουργίας Β = Η L (5.3) Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.0
όπου L, H η χαμηλή αι υψηλή συχότητα αποοπής. Η ιδιότητα αυτή τω τηλεπιοιωιαώ ζεύξεω υποδηλώει απλώς τη αδυαμία τους α «παραολουθού» τις πολύ αργές αι τις πολύ γρήγορες μεταβολές τω μεταδιδόμεω σημάτω. Η αδυαμία αυτή εδηλώεται με τη εισαγωγή απόσβεσης στις χαμηλότερες αι τις υψηλότερες αρμοιές τω σημάτω, γεγοός που οδηγεί στη παραμόρφωση τω σημάτω αθώς αυτά μεταδίδοται μέσω της τηλεπιοιωιαής ζεύξης. x(t) πομπός μέσο δέτης y(t) H() H() A Α/ - H - L L H 5.5. Ασήσεις Άσηση Να εξεταστεί α τα συστήματα που περιγράφοται από τις παραάτω εξισώσεις είαι γραμμιά ή/αι χροιά αμετάβλητα. dx(t) (α) y(t) = x(t) + (β) y(t) = x (t) (γ) y(t) = t.x(t) Λύση (α) Θεωρώ ως είσοδο το σήμα A x (t) + A x (t). Τότε, η έξοδος είαι ίση με d[a x(t) A x (t)] [A x (t) + A x (t)] + = dx(t) dx (t) [A x (t) + A ] + [A x (t) + A ] = A y (t) + A y (t) Άρα το σύστημα είαι γραμμιό. Το σύστημα είαι χροιά αμετάβλητο γιατί α, στο σήμα εισόδου x(t), τεθεί t tτ, τότε το σήμα εξόδου είαι το y(tτ) (β) Θεωρώ ως είσοδο το σήμα A x (t) + A x (t). Τότε, η έξοδος είαι ίση με [A x (t) + A x (t)] = A x (t) + A x (t) + A A x (t)x (t) A y (t) + A y (t) Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.
(αφού y (t) = x (t) αι y (t) = x (t)) Άρα το σύστημα δε είαι γραμμιό. Το σύστημα είαι χροιά αμετάβλητο γιατί α, στο σήμα εισόδου x(t), τεθεί t tτ, τότε το σήμα εξόδου είαι το y(tτ) (γ) Θεωρώ ως είσοδο το σήμα A x (t) + A x (t). Τότε, η έξοδος είαι ίση με t.[a x (t) + A x (t)] = A.tx (t) + A.tx (t)= A y (t) + A y (t) Άρα το σύστημα είαι γραμμιό. Το σύστημα δε είαι χροιά αμετάβλητο γιατί α, στο σήμα εισόδου x(t), τεθεί t tτ, τότε το σήμα εξόδου είαι το t.x(tτ) y(tτ) (αφού y(tτ) = (tτ).x(tτ)) Άσηση Έα γραμμιό σύστημα έχει συάρτηση μεταφοράς τη H() = τ.sa(πτ).e jπτ. Να υπολογιστεί η απόρισή του σε είσοδο δ(t). Λύση x(t) = δ(t) Μ i () = Δ() = Συεπώς Y() = H().X() = τ.sa(πτ).e jπτ = P().e jπτ y(t) = p(tτ) όπου έγιε χρήση της ιδιότητας 4 του μετασχηματισμού Fourier. y(t) τ/ 3τ/ t Άσηση 3 Τόσο η ρουστιή απόριση h(t) όσο αι η είσοδος x(t) εός συστήματος έχου τη μορφή ορθογωιού παλμού ύψους Α= V αι διάρειας τ. Να αποδειχθεί ότι η έξοδός του είαι της μορφής y(t) = τ t ( t τ) y(t) = 0 ( t > τ) Λύση y(t) = h(t)x(t) = h(τ).x(tτ).dτ Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.
Στα δύο σήματα παρουσιάζεται επιάλυψη μόο για τ t : Συεπώς: Για t < τ αι t > τ: y(t) = 0 Για τ t τ: To εμβαδό της επιάλυψης είαι μηδειό για t = τ, αυξάεται για τ t 0, μεγιστοποιείται για t = 0 (τότε ισούται με Ατ =.τ = τ) αι μειώεται για 0 t τ μέχρι που μηδείζεται για t = τ. Συεπώς γ(t) = τ+t (τ t 0) αι γ(t) = τt (0 t τ) ή, σε συεπτυγμέη μορφή, γ(t) = τ t (τ t τ) Άσηση 4 Η φασματιή πυότητα εέργειας εός σήματος X(t) δίεται από το τύπο G x () = 60 (J/Hz) εώ το σήμα αταλαμβάει το φάσμα 0 0 khz. (α) Να υπολογιστεί η εέργεια Ε του σήματος x(t). (β) Το σήμα διέρχεται από γραμμιό σύστημα με συάρτηση μεταφοράς 0 6 Η() =.e jπτ (τ χροιή σταθερά) το οποίο λειτουργεί στις συχότητες 0 5 khz. Να υπολογιστεί η εέργεια Ε ο του σήματος εξόδου. Απατήσεις (α) Ε = [0-0 khz] G x () d = [0-0 khz] 60 d = 0 3 3 0 0kHz = 8 Joule (β) G o () = H() 0 6 G x () =.e jπτ 60 0 = 60 = 6 (J/Hz) Ε o = [0-5 khz] 6d = = 60 4 Joule 0 5kHz 5.6. Παραπομπές Νασιόπουλος Α., Τηλεπιοιωίες, Εδ. Αράυθος, 007: Εότητες.5,.9.7. Κωττής Π., Διαμόρφωση αι Μετάδοση Σημάτω, Εδ. Τζιόλα 003: Κεφάλαιο. Taub H., Schilling D. L., Τηλεπιοιωιαά Συστήματα, Εδ. Τζιόλα 997: Κεφάλαιο. Haykin S., Συστήματα Επιοιωίας, Εδ. Παπασωτηρίου 995: Κεφάλαιο. Γερ. Κ. Παγιατάης: Τηλεπιοιωιαά Συστήματα 5.3