ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΡΟΜΠΟΤ 3-RRP KAI 3-PRP Σ. Μήτση 1, Κ.-Δ. Μπουζάκης 1, Γκ. Μανσούρ 1, I. Popescu 1 Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ελλάδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Faculy of Mechanics, Universiy of Craiova, Romania Η εργασία παρουσιάζει μια μεθοδολογία επίλυσης της ευθείας κινηματικής των επιπέδων παράλληλων ρομπότ τριών βαθμών ελευθερίας 3-RRP και 3-PRP. Η μέθοδος βασίζεται στην περιγραφή της δομής των παραπάνω επίπεδων μηχανισμών με την βοήθεια των ομάδων Assur. Με δεδομένα τις θέσεις των κινητηρίων μελών προσδιορίζονται η θέση και ο προσανατολισμός των μελών της ομάδας Assur. Η ανάλυση οδηγεί σ ένα μη γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Χρησιμοποιώντας μία διαδικασία διαδοχικής απαλοιφής των αγνώστων, προκύπτει μία τελική πολυωνυμική εξίσωση ογδόου βαθμού. Οι δύο πραγματικές λύσεις της πολυωνυμικής εξίσωσης αντιστοιχούν στους τρόπους συναρμολόγησης του μηχανισμού. Η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόζεται σε ένα παράδειγμα παράλληλου ρομπότ 3-RRP. Λέξεις κλειδιά: Παράλληλα ρομπότ, ευθεία κινηματική, ομάδα Assur 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα ρομπότ παράλληλης κινηματικής χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορους τομείς όπως ιατρική, διαμορφωτικές κατεργασίες, προσομοιωτές πτήσεων κλπ. Λόγω της κινηματικής δομής κλειστής αλυσίδας, οι παράλληλοι μηχανισμοί παρουσιάζουν σε σύγκριση με τους σειριακούς μηχανισμούς πλεονεκτήματα όπως μεγαλύτερη ικανότητα φορτίου, υψηλή ακρίβεια, αυξημένες ταχύτητες και επιταχύνσεις, απλή επίλυση του προβλήματος της αντιστρόφου κινηματικής. Όμως έχουν μικρότερο χώρο εργασίας, δυσκολότερη επίλυση του προβλήματος της ευθείας κινηματικής και δυσκολίες στο σχεδιασμό και έλεγχο τους (Tsai, 1999). Τα επίπεδα παράλληλα ρομπότ αποτελούν μία κατηγορία παράλληλων ρομπότ όπου τα κινητά μέλη εκτελούν κινήσεις μόνο σε παράλληλα επίπεδα με το επίπεδο x-y. Διάφορες μεθοδολογίες επίλυσης της ευθείας κινηματικής επιπέδων παράλληλων ρομπότ παρουσιάζονται στις εργασίες (Gosselin e al, 199), (Merle,1996), (Kong and Gosselin, 1). Στην παρούσα εργασία περιγράφεται μία μέθοδος για την επίλυση της ευθείας κινηματικής των επίπεδων παράλληλων μηχανισμών τριών βαθμών ελευθερίας 3-RRP και 3-PRP, όπου με R συμβολίζεται η άρθρωση περιστροφής και με P η πρισματική άρθρωση. Η μέθοδος λαμβάνει υπόψη ότι οι μηχανισμοί έχουν στη δομή τους την ομάδα Assur τρίτης τάξης RP-RP-RP ( Misi e al, 3), (Misi e al, 8).
. ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΡΟΜΠΟΤ 3-RRP ΚΑΙ 3-PRP Τα επίπεδα παράλληλα ρομπότ 3-RRP και 3-PRP τριών βαθμών ελευθερίας (σχήμα 1) αποτελούνται από τρεις κινηματικές αλυσίδες RRP και αντίστοιχα PRP, οι οποίες συνδέουν την κινούμενη πλατφόρμα P 1 P P 3 με την ακίνητη πλατφόρμα O 1 O O 3 (πλαίσιο). Οι κινητήριες αρθρώσεις που συνδέουν τις τρεις κινηματικές αλυσίδες με το πλαίσιο είναι περιστροφής (R) και αντίστοιχα πρισματικές (P). Παρατηρείται ότι και οι δύο μηχανισμοί, εκτός από το πλαίσιο και τα κινητήρια μέλη, έχουν στη δομή τους την ομάδα Assur τρίτης τάξης RP-RP-RP. Σχήμα 1: Επίπεδα παράλληλα ρομπότ 3-RRP και 3-PRP Το πρόβλημα της ευθείας κινηματικής των παραπάνω μηχανισμών μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: δίδονται οι διαστάσεις των μελών και οι θέσεις των κινητηρίων μελών (οι γωνίες φ ι και οι μετατοπίσεις s ι (i=1,,3) στο σχήμα 1)) και προσδιορίζεται η θέση της κινούμενης πλατφόρμας. Οι παραπάνω μηχανισμοί έχουν αποπλεγμένη γεωμετρία (Misi e al, 3), δηλαδή οι εξωτερικές αρθρώσεις Α 1, Α και Α 3 της ομάδας Assur συνδέονται με μέλη που έχουν γνωστές κινήσεις (εδώ με τα κινητήρια μέλη). Η ανάλυση θέσεων αυτών των μηχανισμών περιέχει τα παρακάτω βήματα: Προσδιορισμός των συντεταγμένων των αρθρώσεων Α i (i=1,,3) ως προς το ακίνητο καρτεσιανό σύστημα του μηχανισμού: [ ] [ cosϕ sinϕ ] r = x y = x + l y + l για μηχανισμό 3-RRP (1) Ai Ai Ai Oi OiAi i Oi OiAi i [ ] [ cosϕ sinϕ ] r = x y = x + s y + s για μηχανισμό 3-PRP () Ai Ai Ai Oi oi i Oi oi i Προσδιορισμός της θέσης των μελών της ομάδας Assur με τη μέθοδο που θα παρουσιαστεί στο παρακάτω κεφάλαιο. 3. ΟΜΑΔΑ ASSUR ΤΡΙΤΗΣ ΤΑΞΗΣ RP-RP-RP Στο σχήμα παρίσταται η ομάδα Assur τρίτης τάξης (τριάδα) RP-RP-RP με τρεις εξωτερικές αρθρώσεις περιστροφής και τρεις εσωτερικές πρισματικές αρθρώσεις. Η
συμβολική μορφή της τριάδας ορίζεται ως A 1 C 1 -A C -A 3 C 3, όπου A i C i (i=1,,3) είναι τα δυαδικά μέλη, το πρώτο και δεύτερο σύμβολο του δυαδικού μέλους αναφέρονται αντίστοιχα στην εξωτερική και εσωτερική άρθρωση. Οι διαστάσεις P 1 P, P P 3, P 3 P 1 της κινούμενης πλατφόρμας και οι συντεταγμένες των εξωτερικών αρθρώσεων περιστροφής Α 1, Α και Α 3 ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι γνωστές. Επειδή η κινούμενη πλατφόρμα συνδέεται με τα υπόλοιπα μέλη της τριάδας με πρισματικές αρθρώσεις, οι πλευρές του τριγώνου Β 1 Β Β 3 παραμένουν σταθερές κατά την κίνηση του μηχανισμού και είναι γνωστές από τη γεωμετρία της κινούμενης πλατφόρμας. Συνεπώς, οι διαστάσεις l 1 =B 1 BB, l =B B 3B, l 3 =B 3 BB1και οι γωνίες α 1, α, α 3 μπορούν να θεωρηθούν ως γεωμετρικά δεδομένα της ομάδας Assur. Σχήμα : Ομάδα Assur τρίτης τάξης RP-RP-RP Η ανάλυση θέσεων της ομάδας Assur μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: για δεδομένη θέση των εξωτερικών αρθρώσεων Α 1 (x A1, y A1 ), Α (x A, y A ) και Α 3 (x A3, y A3 ) και δεδομένα εισόδου τα μήκη l 1, l, l 3 και τις γωνίες α 1, α, α 3, να προσδιορισθούν οι συντεταγμένες των σημείων Β 1, Β και Β 3 της κινούμενης πλατφόρμας. Οι θέσεις των μελών της τριάδας περιγράφεται με μικρό αριθμό παραμέτρων, όπως οι μετατοπίσεις s 1, s και s 3 (βλέπε σχήμα ), έτσι ώστε να προκύψει μικρός αριθμός εξισώσεων. Λαμβάνοντας υπόψη τα τρίγωνα Α 1 Β Α, Α Β 3 Α 3 και Α 3 Β 1 Α 1 (Σχήμα 3), καταστρώνονται οι παρακάτω εξισώσεις: (s1+ l 1) + s + (s1+ l 1)scosα = la1a (3) (s + l ) + s + (s + l )s cosα = l (4) 3 3 3 AA3 (s + l ) + s + (s + l )s cosα = l (5) 3 3 1 3 3 1 1 A3A1 όπου: l A1A = (xa x A1 ) + ( ya ya1 ) (6) l A A3 = (xa3 x A ) + ( ya3 ya ) (7) l A3 A1 = (xa1 x A3 ) + ( ya1 ya3 ) (8) Μετά από μετασχηματισμούς, οι εξισώσεις (3)-(5) παίρνουν τη μορφή:
s + s + a s s + a s + a s + a = (9) 1 11 1 1 1 13 14 s + s + a s s + a s + a s + a = (1) 3 1 3 3 3 4 s + s + a s s + a s + a s + a = (11) 3 1 31 3 1 3 3 33 1 34 όπου οι συντελεστές a ij (i=1,,3 και j=1,,3,4) εξαρτώνται από τα δεδομένα της ομάδας Assur. Το σύστημα των τριών μη γραμμικών εξισώσεων (3)-(5) επιλύεται εφαρμόζοντας διαδοχικά το θεώρημα του Sylveser. Επειδή η μεταβλητή s εμφανίζεται μόνο στις εξισώσεις (9) και (1), με τη χρήση αυτής της μεθόδου, αυτή η μεταβλητή απαλείφεται από τις εξισώσεις (9) και (1). Προκύπτει: Σχήμα 3: : Κινηματικό μοντέλο ομάδας Assur τρίτης τάξης RP-RP-RP F 1(s 1,s 3 ) = (1) Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, απαλείφεται η μεταβλητή s 3 από τις εξισώσεις (11) και (1) και προκύπτει μία τελική πολυωνυμική εξίσωση ογδόου βαθμού με άγνωστη τη μεταβλητή s 1 : 8 i Ps i 1= (13) i= οπού οι συντελεστές της εξίσωσης (13) εξαρτώνται μόνο από τα δεδομένα της ομάδας Assur. Η εξίσωση (13) παρέχει οκτώ ρίζες της μεταβλητής s 1, από τις οποίες ο μέγιστος αριθμός πραγματικών λύσεων είναι δύο (Chung, 5), (Pelecudi, 1975). Οι πραγματικές λύσεις αντιστοιχούν στους τρόπους συναρμολόγησης της ομάδας Assur. Κατά συνέπεια, ο μέγιστος αριθμός τρόπων συναρμολόγησης της ομάδας Assur RP-RP- RP και των επίπεδων παράλληλων ρομπότ 3-RRP και 3-PRP είναι δύο. Για κάθε πραγματική τιμή της μετατόπισης s 1, υπολογίζονται οι μετατοπίσεις s, s 3 και οι συντεταγμένες των σημείων B 1, B, B 3 της κινούμενης πλατφόρμας. Οι συντεταγμένες του σημείου B 1 είναι (βλέπε Σχήμα 3): [ ] [ ϕ ϕ ] r = x y = x + s cos y + s sin (14) B1 B1 B1 A1 1 1 A1 1 1
όπου: φ 1 = θ 1 + γ 1 (15) με θ 1 = aan [(y A -y A1 )/(x A -x A1 )] και τη γωνία γ 1 προσδιορισμένη με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων για το τρίγωνο A 1 BBA : sin γ 1 = s sinα / l A1A (16) Οι συντεταγμένες των σημείων B and B 3 είναι αντίστοιχα : [ ] [ ϕ ϕ ] [ ] [ ϕ α ϕ α ] r = x y = x + l cos y + l sin (17) B B B B1 1 1 B1 1 1 r = x y = x + l cos( + ) y + l sin( + ) (18) B3 B3 B3 B1 3 1 1 B1 3 1 1 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόζεται σε έναν επίπεδο συμμετρικό παράλληλο μηχανισμό 3-RRP, όπου Ο 1 Ο = Ο Ο 3 = Ο 3 Ο 1, Ο 1 Α 1 =ΟΑ =ΟΑ 3, l 1 =l =l 3 και α 1 =α =α 3 (βλέπε σχήμα 1). Τα γεωμετρικά δεδομένα και οι θέσεις των κινητηρίων μελών ΟΑ i (i=1,,3) δίδονται στον Πίνακα 1.Για αυτά τα δεδομένα, από την επίλυση τη πολυωνυμικής εξίσωσης (13), προκύπτουν δύο πραγματικές και δύο φανταστικές λύσεις για την μετατόπιση s 1 (βλέπε Πίνακα 1). Η θέση και ο προσανατολισμός της κινούμενης πλατφόρμας ορίζεται από τις συντεταγμένες των σημείων Β 1, Β και Β 3 που δίνονται στον Πίνακα. Οι δύο τρόποι συναρμολόγησης του παραλλήλου μηχανισμού που αντιστοιχούν στις πραγματικές λύσεις παρουσιάζονται στο σχήμα 4. Πίνακας 1: Δεδομένα και λύσεις για τον μηχανισμό 3-RRP Δεδομένα x A1 =, y A1 =, x A =14, y A =, x A3 =7, y A3 =11,44, φ 1 =6, φ =1,φ 3 =1, l OA1 = l OA = l OA3 =1, l 1 = l = l 3 =4, α 1 = α = α 3 =6 ο Σχηματισμός s 1 s s 3 1-89.4-11.671-16.5146337 51.6338 61.486-151.39563 3 363.348-14.81i -86.787+388.74i -337.65-3.143ι 4 363.348+14.81i -86.787-388.74i -337.65+3.143ι Πίνακας : Συντεταγμένες σημείων Β 1, Β και Β 3 της κινούμενης πλατφόρμας Σχηματισμός Συντεταγμένες σημείων κινούμενης πλατφόρμας x Β1 y Β1 x Β y B x Β3 y B3 1 71.4338 68.191 41.644 41.4968 79.6569 9.453 5.187 9.636 88.7345 45.8796 56.3883 69.419 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία περιγράφεται μία μέθοδος επίλυσης της ευθείας κινηματικής των επιπέδων παράλληλων ρομπότ 3-RRP και 3-PRP, οι οποίοι περιέχουν στη δομή τους την ομάδα Assur τρίτης τάξης RP-RP-RP. Για την επίλυση των μη
γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιείται μία διαδικασία διαδοχικής απαλοιφής, προκύπτοντας δύο πραγματικές λύσεις, οι οποίες αντιστοιχούν στους τρόπους συναρμολόγησης του μηχανισμού. Σχήμα 4: Τρόποι συναρμολόγησης του επίπεδου παράλληλου συμμετρικού ρομπότ 3- RRP 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Chung, W-Y. (5), The Posiion Analysis of Assur Kinemaic Chain wih Five Links, Mechanism and Machine Theory, 4, pp. 115-19. Gosselin, C. M., Sefrioui, J., Richard, J. M. (199), Soluions Polynomiales au Probleme de la Cinemaique Direce des Manipulaeurs Paralleles Plans a Trois Degree de Libere, Mechanism and Machine Theory, 7, pp. 17-119. Kong, X., Gosselin, C. M. (1), Forward Displacemen Analysis of Third-Class Analyic 3-RPR Planar Parallel Manipulaors, Mechanism and Machine Theory, 36, pp. 19-118. Merle, J-P. (1996), Direc Kinemaics of Planar Parallel Manipulaors, IEEE Inernaional Conference on Roboics and Auomaion, Minneapolis, U.S.A., pp. 3744-3749. Misi, S., Bouzakis, K.-D., Mansour, G., Popescu, I. (3), Posiion Analysis in Polynomial Form of Planar Mechanisms wih Assur Groups of Class 3 Including Revolue and Prismaic Joins, Mechanism and Machine Theory, 38, pp. 135-1344. Misi, S., Bouzakis, K.-D., Mansour, G., Popescu, I. (8), Posiion Analysis in Polynomial Form of Class-hree Assur Groups wih Two or Three Prismaic Joins, Mechanism and Machine Theory, 43, pp. 141-1415. Pelecudi, Chr. (1975), The Precision of Mechanisms, Academic Press, Buchares (in Romanian). Tsai, L-W. (1999), Robo Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulaors, John Wiley & Sons, New York.