() Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος - Στα χωροθετικά υποδείγματα διαφοροποιημένου προϊόντος, οι καταναλωτές είναι ετερογενείς (δηλαδή έχουν διαφορετικές προτιμήσεις μεταξύ τους ή βρίσκονται εγκαταστημένοι σε διαφορετικά σημεία γύρω από τις επιχειρήσεις) και αγοράζουν μόνο μία από τις διαθέσιμες ποικιλίες του προϊόντος. - Παράδειγμα. Έστω ότι υπάρχουν δύο επιχειρήσεις-καντίνες, που βρίσκονται εγκαταστημένες σε διαφορετικά σημεία κατά μήκος μιας παραλίας και πουλάνε παγωτά στους λουόμενους-καταναλωτές. - Αν οι επιχειρήσεις πουλάνε το αγαθό-παγωτό στην ίδια τιμή (p =p ), τότε κάθε καταναλωτής δεν είναι αδιάφορος αν θα αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση ή από την επιχείρηση αλλά θα προτιμήσει να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση που βρίσκεται πιο κοντά σε αυτόν. Στην περίπτωση αυτή, το αγαθό δεν είναι ομοιογενές αλλά, αντίθετα, υπάρχει γεωγραφική διαφοροποίηση (geographical differentiation) του προϊόντος.
- Τα δύο βασικά υποδείγματα γεωγραφικής διαφοροποίησης ή χωροταξικού ανταγωνισμού (spatial competition) είναι το υπόδειγμα τηςγραμμικήςπόλης(hotelling, 99) και το υπόδειγμα της κυκλικής πόλης (Salop, 979). (α) Το Υπόδειγμα της Γραμμικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Hotelling (Hotelling, Harold 99, Stability in Competition) - Υποθέτουμε μια πόλη (παραλία) που παριστάνεται από ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους L=. 0 a x -b - Υπάρχουν δύο επιχειρήσεις (καντίνες), οι οποίες πουλάνε το ίδιο φυσικό αγαθό (παγωτό). - Οι συναρτήσεις κόστους των επιχειρήσεων, είναι: c( q) = c q c ( q ) = c q, όπου q i είναι η ποσότητα που παράγει η επιχείρηση i=,.
- Κάθε επιχείρηση i=, πουλάει το προϊόν της σε τιμή p i. -H επιχείρηση είναι εγκαταστημένη στο σημείο α και η επιχείρηση είναι εγκαταστημένη στο σημείο -b, όπου: 0 α b (δηλαδή υποθέτουμε ότι η επιχείρηση είναι εγκαταστημένη αριστερά της επιχείρησης ) - Παρατήρηση. Καθώς αυξάνεται η απόσταση (-α-b) μεταξύ των επιχειρήσεων, αυξάνεται η (γεωγραφική) διαφοροποίηση του προϊόντος. (i) Αν α=b=0 (δηλαδή -b=), υπάρχει μέγιστη διαφοροποίηση του προϊόντος (οι επιχειρήσεις βρίσκονται εγκαταστημένες στα δύο αντίθετα άκρα της πόλης). (ii) Αν α+b= (δηλαδή α=-b), υπάρχει ελάχιστη διαφοροποίηση του προϊόντος (οι επιχειρήσεις βρίσκονται εγκαταστημένες στο ίδιο ακριβώς σημείο της πόλης). 3
- Υπάρχει ένα συνεχές (continuum) καταναλωτών, οι οποίοι βρίσκονται ομοιόμορφα κατανεμημένοι στην πόλη διάστημα [0,]. - Υποθέτουμε μοναδιαία ζήτηση (unit demand) του αγαθού εκ μέρους των καταναλωτών δηλαδή, κάθε καταναλωτής είτε αγοράζει μία μονάδα του αγαθού από κάποια εκ των επιχειρήσεων, είτε δεν αγοράζει καθόλου το αγαθό. - Κάθε καταναλωτής αποκομίζει ακαθάριστο πλεόνασμα (χρησιμότητα) s από την αγορά μιας μονάδας του αγαθού. - Το συνολικό κόστος για έναν καταναλωτή που αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση i είναι η τιμή (p i ) που πληρώνει συν το κόστος μεταφοράς με το οποίο επιβαρύνεται για να διανύσει την απόσταση (d) που τον χωρίζει από την επιχείρηση. - Υποθέτουμε ότι το κόστος μεταφοράς του κάθε καταναλωτή που βρίσκεται στο σημείο x [0,] είναι μια τετραγωνική συνάρτηση της διανυόμενης απόστασης: t d, όπου t > 0. - Δηλαδή, το κόστος μεταφοράς του καταναλωτή x [0,] είναι: t ( x a), αν ο καταναλωτής αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση t ( b x), αν ο καταναλωτής αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση
- Άρα, η συνολική χρησιμότητα του καταναλωτή x είναι: U = s p t( x a), αν ο καταναλωτής αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση U = s p t b x, αν ο καταναλωτής αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση x x ( ) - Υπόθεση. Καμία επιχείρηση δεν αποτελεί μονοπώλιο στην αγορά. Δηλαδή: i U ( x= a) U ( x= a) p p + t( a b) () x x (ο καταναλωτής που βρίσκεται στην ίδια θέση με την επιχείρηση προτιμά να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση ) i U ( x= b) U ( x= b) p p + t( a b) () x x (ο καταναλωτής που βρίσκεται στην ίδια θέση με την επιχείρηση προτιμά να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση ) (),() t( a b) p p t( a b) (3) - Υπόθεση. Ολόκληρη η αγορά καλύπτεται (εξυπηρετείται), δηλαδή όλοι οι καταναλωτές προτιμούν να αγοράσουν το αγαθό από κάποια εκ των επιχειρήσεων, παρά να μην αγοράσουν καθόλου το αγαθό. 5
- Το παίγνιο μεταξύ των επιχειρήσεων, είναι δυναμικό και έχει την εξής χρονική διάρθρωση: Στάδιο : Οι επιχειρήσεις, επιλέγουν ταυτόχρονα τις θέσεις εγκατάστασης α, b. Στάδιο : Οι επιχειρήσεις, επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιμές p,p στις οποίες πουλάνε το προϊόν τους. * * * * - Υπολογίζουμε την ισορροπία ( a, b, p, p) του παιγνίου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της προς-τα-πίσω επαγωγής. Στάδιο. Οι επιχειρήσεις, επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιμές p,p. - Δηλαδή: Κάθε επιχείρηση i=, επιλέγει την τιμή (p i ) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένες τις θέσεις εγκατάστασης α,b και θεωρώντας δεδομένη την τιμή (p j ) που επιλέγει η επιχείρηση j και θεωρώντας δεδομένη τη συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει για το προϊόν της [q i =q i (p i,p j,α,b)]. - Γιαναλύσουμετοπρόβλημαμεγιστοποίησηςτωνκερδώνγιακάθε επιχείρηση i, εξάγουμε πρώτα τη συνάρτηση ζήτησης που 6 αντιμετωπίζει κάθε επιχείρηση για το προϊόν της. Δηλαδή:
- Βήμα. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για κάθε καταναλωτή x [0,] και υπολογίζουμε τη συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει κάθε επιχείρηση για το προϊόν της. i Για x x x a, είναι: U U p p t[( a b)( + a b x)] x x (ισχύει υπό την υπόθεση ) Όλοι οι καταναλωτές x [0, a] αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση. i Για a x b, είναι: a b p p Ux Ux x a+ + = x t( a b) Όλοι οι καταναλωτές x [ a, x) αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση και όλοι οι καταναλωτές x ( x, b] αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση. i Για b x, είναι: U U p p t( a b)(+ a b x) (ισχύει υπό την υπόθεση ) 7
Όλοι οι καταναλωτές επιχείρηση. x [ b,] αγοράζουν το αγαθό από την - Η παραπάνω ανάλυση οδηγεί στα εξής συμπεράσματα: (i) Οι καταναλωτές που βρίσκονται αριστερά του σημείου αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση, δηλαδήησυνάρτησηζήτησηςπου αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της είναι: q p p a b x a a b p p t( a b) (,,, ) = = + + (4) Ο πρώτος όρος (α) παριστάνει τους καταναλωτές που βρίσκονται αριστερά της επιχείρησης και αποτελούν την κατεχόμενη αγορά (turf) της επιχείρησης. Οδεύτεροςόρος(-α-b)/ δείχνει ότι οι μισοί από τους καταναλωτές που βρίσκονται ανάμεσα στις δύο επιχειρήσεις αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση (εφόσον οι επιχειρήσεις πουλάνε το προϊόν τους στην ίδια τιμή). ( p p )/ t( a b) Ο τρίτος όρος παριστάνει τις επιπτώσεις των τιμών 8 στη ζήτηση που αντιμετωπίζει για το προϊόν της η επιχείρηση. x
(ii) Ο καταναλωτής που βρίσκεται στο σημείο είναι αδιάφορος αν θα αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση ή από την επιχείρηση. (iii) Οι καταναλωτές που βρίσκονται δεξιά του σημείου αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση, δηλαδή η συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της είναι: q p p a b x b (,,, ) = = + + (5) x a b p p t( a b) Ο πρώτος όρος (b) παριστάνει τους καταναλωτές που βρίσκονται δεξιά της επιχείρησης και αποτελούν την κατεχόμενη αγορά (turf) της επιχείρησης. Οδεύτεροςόρος(-α-b)/ δείχνει ότι οι μισοί από τους καταναλωτές που βρίσκονται ανάμεσα στις δύο επιχειρήσεις αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση (εφόσον οι επιχειρήσεις πουλάνε το προϊόν τους στην ίδια τιμή). ( p p )/ t( a b) Ο τρίτος όρος παριστάνει τις επιπτώσεις των τιμών στη ζήτηση που αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της. x 9
Βήμα. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση και βρίσκουμε τις συναρτήσεις άριστης αντίδρασης των επιχειρήσεων,. max Π = pq cq = ( p c) q { p } Επιχείρηση a b p p st.. q = q( p, p, a, b) = a+ + t( a b) p 0 a b p p max Π ( p, p) = ( p c)[ a+ + ] { p } t( a b) st.. p 0 -H λύση του PMP είναι: (PMP ) t( a b)( b+ a) + p p( p ) = + c (6) (Συνάρτηση άριστης αντίδρασης της επιχείρησης ) 0
- Παρατήρηση. Γιαναικανοποιείταιηυπόθεση, πρέπει: p t( a b) p p + t( a b) c+ t( a b)(3a+ b ) p c+ t( a b)(3 a 3 b) (7) (6) Επιχείρηση max Π = pq cq = ( p cq ) { p } a b p p st.. q = q( p, p, a, b) = b+ + t( a b) p 0 max Π ( p, p) = ( p c)[ b+ + ] { p } st.. p 0 a b p p t( a b) (PMP ) -H λύση του PMP είναι:
t( a b)( a+ b) + p p( p ) = + c (8) (Συνάρτηση άριστης αντίδρασης της επιχείρησης ) - Παρατήρηση. Γιαναικανοποιείταιηυπόθεση, πρέπει: p t( a b) p p + t( a b) c+ t( a b)( a+ 3b ) p c+ t( a b)(3 3 a b) (9) p = p ( p ) p p ( p ) = Βήμα 3. Ένας συνδυασμός τιμών είναι μια ισορροπία κατά ash στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου αν η τιμή p αποτελεί την άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p και η τιμή p αποτελεί την άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή (8) ( p, p ) - Για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά την ισορροπία, λύνουμε ως προς p,p το σύστημα εξισώσεων: p :
t( a b)( b+ a) + p + c p = p( p) = t( a b)( a+ b) + p + c p = p( p) = - Η λύση του συστήματος είναι: p p = c+ = c+ t( a b)(3 + a b) 3 t( a b)(3 a+ b) 3 - Αντικαθιστούμε τις τιμές ισορροπίας στις συναρτήσεις ζήτησης (4), (5) και βρίσκουμε τις ποσότητες ισορροπίας: q q 3 + a b = 6 3 a+ b = 6 3
- Τα κέρδη των επιχειρήσεων, στην ισορροπία είναι: π π = ( p c) q = = ( p c) q = t( a b)(3 + a b) 8 t( a b)(3 a+ b) 8 - Σύνοψη. Η ισορροπία κατά ash στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου (όπου οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται ως προς τις τιμές) είναι: t( a b)(3 a b) t( a b)(3 a b) ( p ( a, b), p ( a, b)) = c+ +, c+ + 3 3 3+ a b 3 a+ b ( q ( a, b), q ( a, b)) =, 6 6 (0) ( )(3 ) ( )(3 ) ( (, ), (, )) t a b + a b, t π ab π ab a b a + b = 8 8 4
- Παρατήρηση. () i q / a > 0 Δηλαδή: Καθώς η επιχείρηση μετακινείται προς τα δεξιά αποσπά μεγαλύτερο μερίδιο αγοράς και, επομένως, πουλάει μεγαλύτερη ποσότητα προϊόντος. ( ii) q / b < 0 Δηλαδή: Καθώς η επιχείρηση μετακινείται προς τα αριστερά αποσπά μεγαλύτερο μερίδιο αγοράς και, επομένως, η επιχείρηση πουλάει μικρότερη ποσότητα προϊόντος. - Όμοια, ισχύει: ( iii) q / a < 0 ( iv) q / b > 0 5
- Παρατήρηση. p > MC = c π > π p > MC = c > 0 0 Δηλαδή: Η (γεωγραφική) διαφοροποίηση του προϊόντος αναιρεί το παράδοξο του Bertrand, καθώς επιτρέπει στις επιχειρήσεις να πουλάνετοπροϊόντουςσετιμήυψηλότερηαπότοοριακόκόστος και, επομένως, να εξασφαλίζουν θετικά κέρδη στην ισορροπία. - Παρατήρηση 3. Αν α+b=, υπάρχει ελάχιστη διαφοροποίηση του προϊόντος (οι επιχειρήσεις βρίσκονται εγκαταστημένες στο ίδιο ακριβώς σημείο) δηλαδή, το προϊόν είναι ομογενές και ισχύει το παράδοξο του Bertrand: p = p = c= MC π = π = 0 6
- Παρατήρηση 4. Η παραπάνω ισορροπία ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες (7) και (9): (7) c+ t( a b)(3a+ b ) p c+ t( a b)(3 a 3 b) (9) c+ t( a b)( a+ 3b ) p c+ t( a b)(3 3 a b) max{ a+ 5,5 b a+ b} < 3 () - Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την ισορροπία στο πρώτο στάδιο του παιγνίου αγνοώντας τη συνθήκη () και επαληθεύουμε εκ των υστέρων ότι η λύση ικανοποιεί, πράγματι, αυτή τη συνθήκη. Στάδιο : Οι επιχειρήσεις, επιλέγουν ταυτόχρονα τις θέσεις εγκατάστασης α, b. - Ηεπιχείρηση επιλέγει τη θέση εγκατάστασης α κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη τη θέση εγκατάστασης b της επιχείρησης και αναμένοντας την ισορροπία στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου [ p = p ( a, b), q = q ( a, b), π = π ( a, b)]: 7
Επιχείρηση t( a b)(3 + a b) max Π = π ( ab, ) = { α} 8 st.. 0 a b (PMP ) i π t( 3 a b)(3 + a b) Eίναι: = < 0 a 8 Η επιχείρηση επιλέγει: α = 0 () - Ηεπιχείρηση επιλέγει τη θέση εγκατάστασης b κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη τη θέση εγκατάστασης α της επιχείρησης και αναμένοντας την ισορροπία στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου [ p = p ( a, b), q = q ( a, b), π = π ( a, b)]: Επιχείρηση t( a b)(3 a+ b) max Π = π ( ab, ) = { b} 8 st.. 0 b a (PMP ) 8
i π t( a 3 b)(3 a+ b) Eίναι: = < 0 b 8 Η επιχείρηση επιλέγει: b = 0 (3) - Άρα, η ισορροπία στο πρώτο στάδιο του παιγνίου είναι: a = b= 0 (4) - Παρατήρηση. Η λύση(4) ικανοποιεί, πράγματι, τη συνθήκη (). - Αντικαθιστούμε την (4) στην (0) και βρίσκουμε τις τιμές, τις ποσότητες και τα κέρδη των επιχειρήσεων στην ισορροπία: p = p = c+t q π = q = / = π = t / (η τιμή που επιλέγουν οι επιχειρήσεις υπερβαίνει το οριακό κόστος) (οι επιχειρήσεις, μοιράζονται την αγορά) (οι επιχειρήσεις, εξασφαλίζουν θετικά κέρδη στην ισορροπία) 9
- Σύνοψη. Η τέλειακατάυποπαίγνιοισορροπίακατάash (Subgame Perfect ash Equilibrium SPE) του υποδείγματος Hotelling είναι: * * (, ) = (0,0) a b ( p, p ) = ( c+ t, c+ t) * * ( q, q ) = (/, /) * * ( π, π ) = ( t/, t/) * * - Παρατήρηση. Στησυγκεκριμένηπερίπτωση(όπου το κόστος μεταφοράς είναι μια τετραγωνική συνάρτηση της διανυόμενης απόστασης), το αποτέλεσμα-πρόβλεψη του υποδείγματος Hotelling είναι η μέγιστη διαφοροποίηση του προϊόντος (maximal product differentiation), καθώς οι επιχειρήσεις, επιλέγουν να εγκατασταθούν στα δύο αντίθετα άκρα της πόλης [η επιχείρηση εγκαθίσταται στο αριστερό άκρο (α=0) και η επιχείρηση εγκαθίσταται στο δεξί άκρο (b=0, δηλαδή -b=)]. 0
- Γενικά, το αποτέλεσμα του ανταγωνισμού των επιχειρήσεων ως προς τις θέσεις εγκατάστασης εξαρτάται από τη μορφή που έχει η συνάρτηση του κόστους μεταφοράς των καταναλωτών. Αν η συνάρτηση του κόστους μεταφοράς είναι τετραγωνική (όπως εδώ), η πρόβλεψη του υποδείγματος είναι η μέγιστη διαφοροποίηση του προϊόντος (δηλαδή οι επιχειρήσεις εγκαθίστανται στα δύο αντίθετα άκρα της πόλης). Αν η συνάρτηση του κόστους μεταφοράς είναι γραμμική (όπως στο Problem Set 6), η πρόβλεψη του υποδείγματος είναι η ελάχιστη διαφοροποίηση του προϊόντος (δηλαδή οι επιχειρήσεις εγκαθίστανται στο ίδιο ακριβώς σημείο και, πιο συγκεκριμένα, στο κέντρο της πόλης).
Εξήγηση Μέγιστης Διαφοροποίησης Προϊόντος (όταν η συνάρτηση του κόστους μεταφοράς είναι τετραγωνική) - Στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου, οι επιχειρήσεις, επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιμές p,p. Επιχείρηση. { p } - Η FOC του PMP είναι: Π/ p = 0 Επιχείρηση. max Π ( p, p, a, b) = ( p c) q ( p, p, a, b) - Η FOC του PMP είναι: max Π ( p, p, a, b) = ( p c) q ( p, p, a, b) (PMP ) { p } Π / p = 0 - Η ισορροπία κατά ash στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου είναι: t( a b)(3 + a b) t( a b)(3 a+ b) ( p, p) = ( p ( a, b), p ( a, b)) = c+, c+ 3 3 - Αντικαθιστούμε αυτή τη λύση στις συναρτήσεις Π, Π και παίρνουμε τις άριστες τιμές των κερδών ως συνάρτηση των α, b: π ( α, b) = π [ p ( a, b), p ( a, b), a, b)] π ( α, b) = π [ p ( a, b), p ( a, b), a, b)] (PMP )
i - Στο πρώτο στάδιο, εξετάζουμε πώς μεταβάλλονται τα κέρδη της επιχείρησης καθώς μεταβάλλεται η τιμή του α: dπ π p π p / π / / = p, p + p, p + p, p, όπου: da p a p a a ( = 0) π q / p, p = ( p c) / p, p = a a t(3 5 a b)(3 + a b) = > 0 (για 5a+ b< 3) (5) 8 - Δηλαδή: Η αύξηση του α (η μετακίνηση της επιχείρησης προς τα δεξιά) έχει μια άμεση θετική επίπτωση στα κέρδη της επιχείρησης, διότι αυξάνει το μερίδιο αγοράς που κατέχει (δηλαδή αυξάνει τη ζήτηση για το προϊόν της επιχείρησης ). Αυτή η άμεση θετική επίπτωση ονομάζεται αποτέλεσμα ζήτησης (demand effect) ή αποτέλεσμα μεριδίου αγοράς (market share effect) και παρέχει στην επιχείρηση το κίνητρο να εγκατασταθεί πιο κοντά στην επιχείρηση. 3
i π p / ( 4 ) q t + a p, p = ( p c) = p a p 3 t(3 + a b)( + a) = < 0 (6) 9 - Δηλαδή, η αύξηση του α (η μετακίνηση της επιχείρησης προς τα δεξιά) έχει μια έμμεση αρνητική επίπτωση στα κέρδη της επιχείρησης, διότι: Η επιχείρηση αντιδρά μειώνοντας την τιμή του προϊόντος της ( p, δηλαδή αυξάνεται ο ανταγωνισμός των / a< 0) επιχειρήσεων ως προς τις τιμές. Η ζήτηση για το προϊόν της επιχείρησης μειώνεται Τα κέρδη της επιχείρησης μειώνονται ( π / p > 0). ( q / p > 0). Αυτή η έμμεση αρνητική επίπτωση ονομάζεται στρατηγικό αποτέλεσμα (strategic effect) και παρέχει στην επιχείρηση το κίνητρο να εγκατασταθεί πιο μακριά από την επιχείρηση (για να αμβλυνθεί ο ανταγωνισμός των επιχειρήσεων ως προς τις τιμές). 4
- Στη συγκεκριμένη περίπτωση (όπου η συνάρτηση του κόστους μεταφοράς είναι τετραγωνική), το στρατηγικό αποτέλεσμα είναι ισχυρότεροαπότοαποτέλεσμαζήτησης: π p t(3 + a b)( a) π t(3 5 a b)(3 + a b) / p, p = > / p, p = p a 9 a 8 dπ π p π da p a a p, p p, p / / = + = t(3 + a b)( + a) t(3 + a b)(3 5 a b) t(3 + a b)( 3 a b) = + = < 0 9 8 8 Η επιχείρηση επιλέγει την ελάχιστη δυνατή τιμή για το α, δηλαδή α=0. 5
- Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο για την επιχείρηση : i dπ π p π p / π / / = p, p + p, p + p, p, όπου: db p b p b b π b ( = 0) q / = ( p c) / = b t(3 a 5 b)(3 a+ b) = > 0 (για a+ 5b< 3) (7) 8 p, p p, p - Δηλαδή: Η αύξηση του b (η μετακίνηση της επιχείρησης προς τα αριστερά) έχει μια άμεση θετική επίπτωση στα κέρδη της επιχείρησης, διότι αυξάνει το μερίδιο αγοράς που κατέχει (δηλαδή αυξάνει τη ζήτηση για το προϊόν της επιχείρησης ). Αυτή η άμεση θετική επίπτωση ονομάζεται αποτέλεσμα ζήτησης (demand effect) ή αποτέλεσμα μεριδίου αγοράς (market share effect) και παρέχει στην επιχείρηση το κίνητρο να εγκατασταθεί πιο κοντά στην επιχείρηση. 6
i π p / ( 4 ) q t + b p, p = ( p c) = p b p 3 t(3 a+ b)( + b) = < 0 (8) 9 - Δηλαδή, η αύξηση του b (η μετακίνηση της επιχείρησης προς τα αριστερά) έχει μια έμμεση αρνητική επίπτωση στα κέρδη της επιχείρησης, διότι: Η επιχείρηση αντιδρά μειώνοντας την τιμή του προϊόντος της ( p, δηλαδή αυξάνεται ο ανταγωνισμός των / b< 0) επιχειρήσεων ως προς τις τιμές. Η ζήτηση για το προϊόν της επιχείρησης μειώνεται Τα κέρδη της επιχείρησης μειώνονται ( π / p > 0). ( q / p > 0). Αυτή η έμμεση αρνητική επίπτωση ονομάζεται στρατηγικό αποτέλεσμα (strategic effect) και παρέχει στην επιχείρηση το κίνητρο να εγκατασταθεί πιο μακριά από την επιχείρηση (για να αμβλυνθεί ο ανταγωνισμός των επιχειρήσεων ως προς τις τιμές). 7
- Στη συγκεκριμένη περίπτωση (όπου η συνάρτηση του κόστους μεταφοράς είναι τετραγωνική), το στρατηγικό αποτέλεσμα είναι ισχυρότεροαπότοαποτέλεσμαζήτησης: π p t(3 a+ b)( b) π t(3 a+ b)(3 a 5 b) / p, p = > / p, p = p b 9 b 8 dπ π p π db p b b p, p p, p / / = + = t(3 a+ b)( + b) t(3 a+ b)(3 a 5 b) t(3 a+ b)( a 3 b) = + = < 0 9 8 8 Η επιχείρηση επιλέγει την ελάχιστη δυνατή τιμή για το b, δηλαδή b=0. 8
Μεγιστοποίηση Κοινωνικής Ευημερίας και Αξιολόγηση της Ισορροπίας στο Υπόδειγμα του Hotelling - Υποθέτουμε ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής (η κυβέρνηση) επιλέγει τις θέσεις εγκατάστασης (α,b) τωνεπιχειρήσεωνκατάτρόποώστενα μεγιστοποιεί το συνολικό πλεόνασμα (δηλαδή την κοινωνική ευημερία): { α, b} max TS = CS + PS = u( x) + π = u( x) dx + π, όπου: j x [0,] j= 0 j= CS είναι το πλεόνασμα του καταναλωτή και παριστάνεται από το άθροισμα των χρησιμοτήτων όλων των καταναλωτών x [0,]. PS είναι το πλεόνασμα του παραγωγού και παριστάνεται από το άθροισμα των κερδών των επιχειρήσεων,. - Τα κέρδη των επιχειρήσεων, είναι: = pq cq π j = pq + pq c( q+ q) = pq + pq c (9) = p q cq π π j= j 9
- Η χρησιμότητα του καταναλωτή x που αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση είναι: ux ( ) = s p tx ( a) - Η χρησιμότητα του καταναλωτή x που αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση είναι: ux ( ) = s p t( x b) - Το πλήθος (ποσοστό) των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση είναι q και το πλήθος (ποσοστό) των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση είναι q, με: q +q =. - Έστω Α το σύνολο των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση και Β το σύνολο των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση. Τότε: ux ( ) = sq pq t ( x a) x A x A x B ux ( ) = sq pq t ( b x) x B 30
ux ( ) = ux ( ) = ux ( ) + ux ( ) = x [0,] 0 x A x B = s pq pq t ( x a) t ( b x) = x A x A = s pq p q t x a dx t b x dx ( ) ( ) (0) x A x B - Άρα, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας γράφεται ως εξής: { α, b} (9) = + = max TS u( x) dx π j 0 j= (0) s c t ( x a) dx t ( b x) dx x A x B - Δηλαδή, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της ευημερίας είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του συνολικού κόστους μεταφοράς των καταναλωτών στις επιχειρήσεις,: min C { α, b} = t ( x a) dx+ t ( b x) dx, όπου: x A x B 3
i i tx ( a) t( b x) είναι το κόστος μεταφοράς του καταναλωτή x στην επιχείρηση. είναι το κόστος μεταφοράς του καταναλωτή x στην επιχείρηση. (i) Για x [0, a] (δηλαδή για κάθε καταναλωτή που βρίσκεται αριστερά της επιχείρησης ), ισχύει: tx a t b x x a ( ) < ( ) για κάθε [0, ] Κάθε καταναλωτής x [0, a] πρέπει να αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση (ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς). (ii) Για x [ a, b] (δηλαδή για τους καταναλωτές που βρίσκονται μεταξύ των επιχειρήσεων και ), ισχύει: a+ b tx ( a) < t( b x) x< = xˆ Κάθε καταναλωτής x [ a, xˆ ] πρέπει να αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση και κάθε καταναλωτής x [ xˆ, b] πρέπει να αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση. 3
(iii) Για x [ b,] (δηλαδή για κάθε καταναλωτή που βρίσκεται δεξιά της επιχείρησης ), ισχύει: tx a t b x x b ( ) > ( ) για κάθε [,] Κάθε καταναλωτής x [ b,] πρέπει να αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση (ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς). - Συμπέρασμα. Οι καταναλωτές που βρίσκονται στο διάστημα x [0, xˆ ] πρέπει να αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση (δηλαδή q = xˆ) και οι καταναλωτές που βρίσκονται στο διάστημα x [ xˆ,] πρέπει να αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση (δηλαδή q = xˆ ). Άρα: a+ b A= [0, xˆ ] = [0, ] a+ b B= [ xˆ,] = [,] - Επομένως, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας γράφεται τελικά ως εξής: 33
max = ( ) ( ) = TS s c t x a dx t b x dx { α, b} x A x B xˆ = s c t ( x a) dx t ( b x) dx= 0 3 3 3 = s c t[ a + b + ] st.. 0 a b xˆ ( a b) 4 ( a b) 4 3 3 3 max TS = s c t[ a + b + ] { α, b} st.. a b 0 ab, 0 (WMP) -H λύση του WMP (δηλαδή οι άριστες κατά Pareto θέσεις εγκατάστασης των επιχειρήσεων) είναι: a = b = /4, οπότε: xˆ = / q = q = / P P P P P 34
- Συμπέρασμα. Για να μεγιστοποιήσει την κοινωνική ευημερία (δηλαδή για να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος μεταφοράς των καταναλωτών), ο κοινωνικός σχεδιαστής επιλέγει να εγκαταστήσει τις επιχειρήσεις, σείσηαπόστασηαπόταδύοάκρατηςπόλης (α=/4, -b=3/4), οπότε οι επιχειρήσεις, μοιράζονται εξίσου την αγορά: q = q = / (η επιχείρηση εξυπηρετεί τους καταναλωτές x [0,/ ] και η επιχείρηση εξυπηρετεί τους καταναλωτές x [/,]). Αξιολόγηση Ισορροπίας - Έχουμε υπολογίσει παραπάνω την ισορροπία κατά ash στο υπόδειγμα του Hotelling: * * ( a, b ) = (0,0) ( q, q ) = (/, /) * * - Υπολογίσαμε επίσης τη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας: P P ( a, b ) = (/4,/4) ( q, q ) = (/, /) P P 35
- Συμπέρασμα. Η κατανομή της συνολικής ζήτησης μεταξύ των επιχειρήσεων, στην ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto: * P i q = q = / i q * P q = = / - Συμπέρασμα. Οι θέσεις εγκατάστασης των επιχειρήσεων, στην ισορροπία δεν είναι άριστες κατά Pareto: * P i a = 0 a = /4 i * P b = b = 3/4 - Ο βαθμός διαφοροποίησης του προϊόντος (δηλαδή η απόσταση μεταξύ των επιχειρήσεων,) σε ισορροπία είναι: * * b a = (μέγιστη διαφοροποίηση προϊόντος σε ισορροπία) - Ο άριστος κατά Pareto βαθμός διαφοροποίησης του προϊόντος είναι: P P b a = / * * - Άρα: P P b a = > b a = / Ο βαθμός διαφοροποίησης του προϊόντος σε ισορροπία είναι 36 μεγαλύτερος από τον άριστο κατά Pareto βαθμό διαφοροποίησης.