ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC (Key Stage II) 9 Μαρτίου 2016 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ΩΡΕΣ Λύςεισ : Πρόβλημα 1 (α) Να βρείτε τθν τιμι του για να ιςχφει θ πιο κάτω ςχζςθ: (β) Ο Ανδρζασ τελειϊνει μια εργαςία ςε 10 μζρεσ και ο Βαςίλθσ για να τελειϊςει τθν ίδια εργαςία χρειάηεται 15 μζρεσ. Ο Ανδρζασ εργάηεται μόνοσ του για 4 μζρεσ και μετά αποχωρεί. Πόςεσ μζρεσ κα χρειαςτεί ο Βαςίλθσ για να τελειϊςει το υπόλοιπο μζροσ τθσ εργαςίασ; Αφοφ ο Ανδρζασ τελειϊνει τθν εργαςία ςε 10 μζρεσ τθν μιά μζρα τελειϊνει το τθσ εργαςίασ ζτςι τισ 4 μζρεσ που εργάςτθκε τελείωςε τα Ο Βαςίλθσ ζχει να τελείωςει το υπόλοιπο μζροσ τθσ εραςίασ που είναι τα τθσ εργαςίασ.. Αφοφ ο Βαςίλθσ για να τελειϊνει τθν ίδια εργαςία χρειάηεται 15 μζρεσ, τθν μια μζρα τελειϊνει το τθσ εργαςίασ ζτςι για να τελείωςει που είναι ίςα με τα τθσ εργαςίασ κα χρειαςτεί 9 μζρεσ. Πρόβλημα 2 (α) Πόςοι τριψιφιοι αρικμοί τελειϊνουν ςε 1, 2 ι 4, αν δεν επιτρζπεται θ επανάλθψθ; Για το ψθφίο των μονάδων ζχουμε 3 επιλογζσ το 1,2,4. Για το ψθφίο των εκατοντάδων ζχουμε 9 επιλογζσ, αφοφ δεν μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε το μθδζν και ζτςι αφοφ ζχουμε χρθςιμοποιιςει ιδθ ζνα ψθφίο για τισ μονάδεσ μζνουν 8 επιλογζσ. Για το ψθφίο μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε και το μθδζν. Ετςι ςυνολικά ζχουμε επιλογζσ. των δεκάδων ζχουμε 8 επιλογζσ αφοφ
(β) Σε τρίγωνο, το ςθμείο βρίςκεται πάνω ςτθ, ζτςι ϊςτε ( ) ( ) και το ςθμείο είναι πάνω ςτθν πλευρά ζτςι ϊςτε ( ) ( ). Αν το τρίγωνο ζχει εμβαδόν, να υπολογίςετε το εμβαδόν του. Αφοφ ( ) ( ) το εμβαδόν του είναι το του τριγϊνου δθλαδι 36. Αφοφ ( ) ( ) το εμβαδόν του τριγϊνου είναι το του δθλαδι 12. Πρόβλημα 3 Ζνα δζντρο φυτεφτθκε τθν και είχε φψοσ. Τθν 1 θ χρονιά μεγάλωςε κατά το του φψουσ που είχε τθν, τθ 2 θ χρονιά μεγάλωςε κατά το του φψουσ που είχε τθν, τθν 3 θ χρονιά μεγάλωςε κατά το του φψουσ που είχε τθν, τθν 4 θ χρονιά μεγάλωςε κατά το του φψουσ που είχε τθν και ςυνζχιςε να μεγαλϊνει με το ίδιο μοτίβο. Να βρείτε: (α) το φψοσ του δζντρου τθν 1/1/2016. (β) τθ χρονιά που κατά τθν 1 θ Ιανουαρίου το φψοσ του δζντρου κα γίνει 5m. Τθν 1/1/2000 το δζντρο είχε φψοσ 50 Τθν 1/1/2001 το δζντρο είχε φψοσ 75 Τθν 1/1/2002 το δζντρο είχε φψοσ 100 Τθν 1/1/2003 το δζντρο είχε φψοσ 125... Την 1/1/2016 το δζντρο θα ζχει ύψοσ 450 Την 1/1/2018 το δζντρο θα ζχει ύψοσ 5 Β Τρόποσ Τθν 1/1/2001 κα ζχει φψοσ Τθν 1/1/2002 κα ζχει φψοσ Τθν 1/1/2003 κα ζχει φψοσ Τθν 1/1/2004 κα ζχει φψοσ Μετά από χρόνια κα ζχει φψοσ
Eπομζνωσ τθν 1/1/2016 κα ζχει φψοσ Πότε κα ζχουμε φψοσ ; Γνωρίηουμε ότι. Επομζνωσ κα ζχει φψοσ μετά από 18 χρόνια, δθλαδι τθν 1/1/2018. Πρόβλημα 4 Ο Ανδρζασ περπατά ανά λεπτό και κζλει να περπατιςει από το ςπίτι του μζχρι τθν είςοδο του Δθμαρχείου τθσ πόλθσ του. Όμωσ επειδι ικελε να φτάςει 15 λεπτά πιο γριγορα αφξθςε τθν ταχφτθτά του ςε ανά λεπτό. Να βρείτε τθν απόςταςθ από το ςπίτι του μζχρι τθν είςοδο του Δθμαρχείου. Αν ο Ανδρζασ περπατά ανά λεπτό τότε για να περπατιςει ζνα μζτρο κζλει του λεπτοφ. Αν ο Ανδρζασ περπατά ανά λεπτό τότε για να περπατιςει ζνα μζτρο κζλει του λεπτοφ, ζτςι για κάκε μζτρο που κα περπατά με τθ νζα ταχφτθτα κα κερδίηει - = = του λεπτοφ, ζτςι κα διαιρζςουμε το 15 με το Πρόβλημα 5 Στο πιο κάτω ςχιμα δίνεται ζνα ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο. Τα εμβαδά των τριγϊνων και είναι και, αντίςτοιχα. Αν γνωρίηουμε επιπλζον ότι το εμβαδόν του ορκογωνίου είναι, να υπολογίςετε το εμβαδόν του ςκιαςμζνου τριγϊνου.
Φζρουμε τθν διαγϊνιο θ οποία χωρίηει το ορκογϊνιο ςε δφο τρίγωνα που το κάκε ζνα ζχει εμβαδό αφοφ το εμβαδό του ορκογωνίου είναι Αφοφ το εμβαδό του τριγϊνου είναι και το εμβαδό του τριγϊνου είναι και τα δφο τρίγωνα ζχουν κοινό φψοσ το ( ). Αφοφ το εμβαδό του τριγϊνου ΓΔΗ είναι και το εμβαδό του τριγϊνου ΑΓΗ είναι και τα δφο τρίγωνα ζχουν κοινό φψοσ ΔΓ το ( ). Αν κζςουμε όπου και όπου τότε κα ζχουμε ότι,, και. Το εμβαδό του είναι ( ). Το εμβαδό του τριγϊνου είναι ( ) Το εμβαδό του τριγϊνου ΓΕΗ ( ) ( ) Β τρόποσ Φζρουμε τθ διαγϊνιο. Αυτό ιςχφει αφοφ θ διαγϊνιοσ μοιράηει το εμβαδό του ορκογωνίου ςτθ μζςθ. Το εμβαδό του τριγϊνου είναι το του εμβαδοφ του τριγϊνου ΑΒΓ, επομζνωσ ( ) και το εμβαδό του τριγϊνου ΓΔΗ είναι είναι τα του εμβαδοφ του τριγϊνου ΑΓΔ, επομζνωσ ( ). Φζρουμε τα τμιματα και. Το εμβαδόν του τριγϊνου είναι, αφοφ θ διαγϊνιοσ του ορκογωνίου μοιράηει το εμβαδό του ςε δφο ίςα μζρθ. Επομζνωσ ζχουμε: αφοφ ( ) αφοφ ( )
( ) ( )