Yλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση: y = Αηµωx όπου Α, ω σταθερές και θετικές ποσότητες. Εάν το υλικό σηµείο κατά τον άξονα x κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου v 0, να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την επιτάχυνσή του. ΛΥΣΗ: Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως πρός την αρχή Ο των αξόνων του συστήµατος συντεταγµένων Οxy, θα ισχύει: = x i + y j = v 0 t i + Aµ ("v 0 t) j (1) όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως και x, y οι συντεταγµένες του κατά την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. Παραγω γίζοντας ως προς τον χρόνο δύο φορές την (1), παίρνουµε: d / = v 0 i + Av 0 "#$(v 0 t) j d / = - A v 0 "µ (v 0 t) j a = - A v 0 "µ (v 0 t) j () Από την () παρατηρούµε ότι, η επιτάχυνση a του υλικού σηµείου διευθύνεται παράλληλα προς τον άξονα Οy και η αλγεβρική της τιµή µεταβάλλεται αρµονι κά µε τον χρόνο. Το διάνυσµα θέσεως σωµατιδίου ως προς την αρχή των αξόνων, δίνεται από την σχέση: = kt i + t j όπου k, λ θετικές και σταθερές ποσότητες και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ox και Oy αντιστοίχως. i) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του σωµατιδίου. (α)
ii) Να εκφράσετε την επιτάχυνση και την ταχύτητα του σωµατιδίου σε συνάρτηση µε τον χρόνο t και να βρείτε κατά ποιά χρονική στιγµή η γωνία των διανυσµάτων τους γίνεται ίση µε π/3. ΛΥΣΗ: i) Εάν x, y είναι οι συντεταγµένες του σωµατιδίου κατά την χρονική στιγµή t, τότε συµφωνα µε την δοδείσα σχέση (α) θα έχουµε: x = kt " # y = t $ x = k t " # y = t $ (:) x y = k t t y = x k (1) Η σχέση (1) δηλώνει ότι το σωµατίδιο διαγράφει παραβολική τροχιά της οποίας η µορφή φαίνεται στο σχήµα (1). Εάν v, a είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση αντιστοίχως του υλικού σηµείου κατα την χρονική στιγµή t, θα ισχύουν οι σχέσεις: και v = dx i + dy (" ) j a = d x i + d y (" ) j ( v a ) = 4& t ' ( ) Σχήµα 1 v = k i + t j () a = 0 i + j (3) Eξάλλου για το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων v και a έχουµε τις σχέ σεις: ( v a ) = v a "#$% v a "#$ = 4% t k + 4 t "#$% = 4 t "#$ = %t k + 4% t (4) όπου φ η γωνία των διανυσµάτων αυτών. Eάν t * είναι η χρονική στιγµή για την οποία ισχύει φ=π/3, θα έχουµε µε βάση την (4) ότι: 1 = t * k + 4 t * 1 4 = 4 t * k + 4 t *
k + 4 t * = 16 t * t * = k 3 = 3k 1 Η ταχύτητα ενός σωµατιδίου κινουµένου στο επίπε δο Οxy δίνεται από την σχέση: v = k i + nxj όπου k, n γνωστές σταθερές και i, j οι διανυσµατικές µονάδες των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως. Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του σωµατιδίου και η ακτίνα καµπυλότητας αυτής, ως συνάρτηση της τετµηµένης του x, αν για t=0 είναι x=0 και y=0. ΛΥΣΗ: Από την δοθείσα σχέση (α) προκύπτουν για τις συνιστώσες v x και της ταχύτητας v του σωµατιδίου, οι σχέσεις: (α) v y v x v y = k = nx " # dx/ = k " dy/ = nx # (1) Ολοκληρώνοντας την πρώτη από τις σχέσεις (1) παίρνουµε: x = kt + C 1 = kt () διότι η αρχική συνθήκη x(0)=0 επιβάλει µηδενική τιµή για την σταθερά ολοκλή ρωσης C 1. Η δεύτερη από τις σχέσεις (1), λόγω της () γράφεται: dy = nkt y = nkt / + C y = nkt / (3) διότι η σταθερα ολοκλήρωσης C. είναι µηδενική λόγω της αρχικής συνθήκης y(0)=0. Από τις σχέσεις () και (3) έχουµε: x = k t " y = nkt / # (:) x y = k t nkt = k n y = nx k (3) Aπό την (3) προκύπτει ότι η τροχιά του σωµατιδίου είναι παραβολη (σχήµα ) Εξάλλου η επιτάχυνση a του σωµατιδίου είναι: a = d (" ) v a = d (k i + nxj ) = n dx j = nvx j = nk j (4) Εξάλλου η γωνία φ των διανυσµάτων v και v x ικανοποιεί την σχέση: "# = v y v x = nx k (5)
ενώ το µέτρο της κεντροµόλου επιτάχυνσης a του σωµατιδίου δίνεται από τις σχέσεις: και (5) a = a"#$% = a/ 1 + &' % a = v R = v x + v y R = k + n x R a = a 1 + n x / k = nk (6) k + n x (7) Σχήµα όπου R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο σηµείο µε συντεταγµένες x, y. Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( 6) και ( 7) παίρνουµε: k + n x R = nk R = (k + n x ) 3 / k + n x nk Υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R µε γωνιακή ταχύτητα, της οποίας η αλγεβρική τιµή µεταβάλλεται µε την γωνία φ που διαγράφει η επιβατική του ακτίνα, σύµφωνα µε την σχέση: = 0 - k"ω όπου ω 0, k θετικές και σταθερές ποσότητες. Να εκφράσετε τα µεγέθη ω και φ σε συνάρηση µε τον χρόνο t καθώς και την γωνία των δια νυσµάτων της επιτάχυνσης a και της ταχύτητας v του υλικού σηµεί ου. Να δεχθείτε ότι την χρονική στιγµή t=0 είναι φ=0. ΛΥΣΗ: Eάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ η γωνία φ µεταβάλλε ται κατά dφ, τότε θα ισχύει: = d" 0 - k" = d" d " 0 - k =
d( 0 - k") = -k (1) 0 - k" Ολοκληρώνοντας την σχέση (1) παίρνουµε: ln( 0 - k") = -kt + C () Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t=0 είναι φ=0, οπότε η () δίνει lnω 0 =C µε αποτέλεσµα αυτή να γράφεται: # ln( 0 - k") = -kt + ln 0 ln - k" & 0 % ( = -kt $ ' 0 0 - k" 0 = e -kt 0 - k" = 0 e -kt = " 0 k (1 - e-kt ) (3) Παρατηρούµε από την (3) ότι η γωνία φ αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο από Σχήµα 3 την τιµή µηδέν στην τιµή ω 0 /k, την οποία λαµβάνει ασυµπτωτικά. Παραγωγί ζοντας την (3) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την σχέση: = d" = 0 k ( ) ke-kt = 0 e -kt (4) δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή ω 0 στην τιµή µηδέν, την οποία λαµβάνει ασυµπτωτικά. Εξάλλου εάν v είναι το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου την χρονική στιγµή t, θα ισχύει (4) v = R v = R 0 e -kt (5) Παρατηρούµε ότι το µέτρο της ταχύτητας v µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο, γεγονός που σηµαίνει ότι το υλικό σηµείο έχει επιτρόχια επιτάχυνση a αντίρροπη της v, το δε µέτρο της είναι:
(5) a = dv/ a = d(r" 0 e -kt )/ = Rk" 0 e -kt (6) Εξάλλου το υλικό σηµείο έχει και κεντροµόλο επιτάχυνση a k, της οποίας το µέτρο δίνεται από την σχέση: (5) a = v / R a = R " 0 e -kt / R = R" 0 e -kt (7) Σύµφωνα µε το σχήµα (3) η γωνία θ των διανυσµάτων v και a είναι: θ = π/ + θ 0 µε "# 0 = a (6),(7) a $ "# 0 = Rk$ 0 e-kt kekt = R$ -kt 0 e $ 0 Ένα υλικό σηµείο κινείται στον τρισδιάστατο χώρο διαγράφοντας τροχιά, της οποίας οι παραµετρικές εξισώσεις έχουν την µορφή: x = R"#$t, y = Rµ", z = v 0 t + t / όπου R, ω, v 0, α θετικές και σταθερές ποσότητες. Εάν v, a, a είναι η ταχύτητα, η επιτρόχια επιτάχυνση και η κεντροµόλος επιτάχυνση αντιστοίχως του υλικού σηµείου, να δείξετε τις σχέσεις: a = "("t + v 0) v και a = "R " v +# v ΛΥΣΗ: Εάν v x, v y, v z είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας v του υλικού σηµεί ου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, θα έχουµε τις σχέσεις: v x = dx = d ( R"#$t ) = -R$%µ$t (1) v y = dy = d ( Rµ"t ) = R"#$%"t () v z = dz = d ( v t + 0 t /) = v 0 + t (3) Άρα για το µέτρο της ταχύτητας v του υλικού σηµείου θα έχουµει: v = v x + v y + v z = (-R"µt) + (R#$%t) + (v 0 + &t) v = R ("µ t +#$% t) + (v 0 + &t) = R + (v 0 + &t) (4)
Γιά την αλγεβρική τιµή της επιτρόχιας επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου ισχύει η σχέση: [ ] 1 / = #(v + #t) 0 [ R " + (v 0 + #t) ] -1 / a = d R " + (v 0 + #t) a = "(v 0 + "t) a = "(v0+ "t) R # + (v 0 + "t) v (5) Σχήµα 4 Εξάλλου εάν a x, a y a z είναι οι συνιστώσες της επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου, θα έχουµε τις σχέσεις: a x = dv x = d ( -R"µt ) = -R #$%t (6) a y = dv y = d ( R"#$t ) = -R %µt (7) a z = dv z = d ( v + t 0 ) = (8) Άρα για το µέτρο της επιτάχυνσης a ισχύει: a = a x + a y + a z = (-R "µt) + (-R #$%t) + & a = R 4 ("µ t+#$% t) + & = R 4 + & (9) Το µέτρο της κεντροµόλου επιτάχυνσης a του υλικού ικανοποιεί την σχέση:
a = a - a " (5),(9) a = R " 4 + # - # (v 0 + #t) R " + (v 0 + #t) a = (R " 4 + # )[R " + (v 0 + #t) ] - # (v 0 + #t) R " + (v 0 + #t).. a = R " { " [R " + (v 0 + #t) ] + # } R " + (v 0 + #t) a = "R " v + # v Υλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy το δε διά νυσµα θέσεώς του ως προς την αρχή Ο των αξόνων µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: = x 0 µ"t i +y 0 µ ("t + #) j όπου x 0, y 0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες, φ π/ και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως. Να καθο ρισθούν οι συνθήκες, ώστε το διάνυσµα της ταχύτητας του υλικού σηµείου να είναι διαρκώς κάθετο στο διάνυσµα της επιτάχυνσής του. Ποιά είναι η µορφή της τροχιάς στην περίπτωση αυτή; ΛΥΣΗ: Εάν v είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου θα ισχύει: v = d (" ) / v = x 0 "#$t i +y 0 "#$(t + %) j (1) Η επιτάχυνση a του υλικού σηµείου είναι: a = d v (1) / a = - x 0 "µt i - y 0 "µ(t + #) j () Για να είναι τα διανύσµατα v και a διαρκώς κάθετα µεταξύ τους πρέπει το εσωτερικό τους γινόµενο να είναι µηδέν για κάθε t, δηλαδή πρέπει να ισχύει; ( a v (1),() ) = 0-3 x 0 "#$t%µt- 3 & 0 "#$(t+')%µ(t+')=0 x 0 µ "t + y 0 µ("t + #) = 0 (3) Η (3) την χρονική στιγµή t=0 δίνει: y 0 µ " = 0 µ " = 0 διότι y 0 0. Από την ηµφ=0 προκύπτει φ=0 ή φ=π/. Η περίπτωση φ=0 απορρίπ τεται, διότι τότε η εξίσωση της τροχιάς αντιστοιχεί σε ευθύγραµµη κίνηση του (α)
υλικού σηµείου, γεγονός που απορρίπτει την περίπτωση ( a v ), οπότε αναγ καστικά πρέπει φ=π/. Τότε η σχέση (3) γράφεται: x 0 µ "t + y 0 µ("t + #) = 0 (x 0 - y 0 )µ"t = 0 (4) Για να ισχύει η (4) για κάθε t, πρέπει: x 0 - y 0 = 0 x 0 =y 0 Άρα οι συνθήκες που εξασφαλίζουν ( a v ) είναι φ=π/ και x 0 =y 0. Τότε το διά νυσµα θέσεως του υλικού σηµείου θα περιγράφεται σε συνάρτηση µε τον χρόνο t από την σχέση: = x 0 µ"t i +y 0 µ ("t + # /) j = x 0 µ"t i +y 0 #$%"t j = x 0 (µ "t + #$% "t) = x 0 = x 0 δηλαδή το µέτρο του είναι σταθερό, που σηµαίνει ότι η τροχιά είναι περι φέρεια κέντρου Ο και ακτίνας x 0. Υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη κίνηση της οποίας οι παραµετρικές εξισώσεις έχουν την µορφή: x = αηµωt και y = βσυνωt όπου α, β, ω, θετικές και σταθερές ποσότητες και t η παράµετρος χρόνος. Να βρεθεί η εγκάρσια και η ακτινική συνιστώσα της ταχύ τητας του υλικού σηµείου την χρονική στιγµή t=π/ω. ΛΥΣΗ: Για την ακτινική συνιστώσα v της ταχύτητας v του υλικού σηµείου ισχύει η σχέση: v = d / (1) όπου το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. Εάν (x, y) είναι η συντεταγµένες του σηµείου κατά την στιγµή αυτή θα ισχύει: = x + y = "µ #t +$ %&' #t () Διαφορίζοντας την σχέση () παίρνουµε: d= " #µ"t$%&"t + ' " $%&"t(-#µ"t) d = (" - # )$%&t'µt
d = (" ( - # )$%&t'µt 1 + * - = (" - # )$%&t'µt ), " 'µ t +# $%& t (3) Η (3) για t=π/ω δίνει; d$ # & " % t= ' / ( = (() - * )+,-('/).µ ('/) ).µ ('/) +* +,- ('/) = 0 Σχήµα 5 Για την εγκάρσια συνιστώσα v της ταχύτητας v του υλικού σηµείου ισχύει: v = v - v η οποία για t=π/ω, λόγω της (4) δίνει: v = v v = (dx/) + (dy/) t= " /# v = ("#$%&#t) +(-'#(µ#t) = # " $%& #t +' $%& #t v = " # $%& (' / ) +( )µ (' / ) = "( Ένα υλικό σηµείο κινείται σε περιφέρεια ακτίνας R και την χρονική στιγµή t=0 βρίσκεται στο άκρο B µιάς διαµέτρου AB έχοντας µηδενική ταχύτητα. Kατά την κίνηση του υλικού σηµείου η επιβατική του ακτίνα ως προς το άκρο A της διαµέτρου AB στρέ φεται δεξιόστροφα µε γωνιακή επιτάχυνση ', της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε την γωνία φ των διανυσµάτων και AB σύµφωνα µε την σχέση:
'= k"#$% οπου k θετική σταθερή ποσότητα. Nα εκφράσετε το µέτρο της επιτά χυνσης του υλικού σηµείου, σε συνάρτηση µε την γωνία φ. ΛYΣH: Eάν M είναι η θέση του υλικού σηµείου κατά την τυχαία χρονική στιγ µή t, τότε µεταξύ των γωνιών φ και θ θα ισχύει η σχέση: = "/ d = 1 d" d = v R (1) όπου v το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t. Όµως το πηλίκο dφ/ αποτελεί το µέτρο ω A της γωνιακής ταχύτητας περισ τροφής του διανύσµατος περί το A κατά την στιγµή t, οπότε η σχέση (1) γράφεται: A = v/r v = R A () Σχήµα 6 Εξάλλου για το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης ' ισχύει η σχέση: '= d A k "#$ = d% A d$ d$ k"#$ = (d% A / d$)% A A d A = k"#$%d% d ( A /) = kd("µ#) (3) Oλοκληρώνοντας την (3) έχουµε: A / = k"µ# + C (4) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για φ=0 ισχύει ω A =0, οπότε η (4) δίνει C=0. Άρα η (4) γράφεται: A = k"µ# (5)
H κεντροµόλος επιτάχυνση a του υλικού σηµείου έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: a = v /R () a = 4R " A /R (5) a = 8kR"µ# (6) Eξάλλου το µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου δίνεται από την σχέση: a = R d" K = R d(" ) A = R d" A Tο µέτρο της επιτάχυνσης a είναι: = Rk #$%& (7) a = a + a " (6) a = 64k R µ " + 4k R #$% " (7) a = kr 16µ " +#$% " = kr 15µ " + 1 H κίνηση υλικού σηµείου ως προς ένα τρισορθογώ νιο σύστηµα αξόνων Οxψz περιγράφεται από τις παραµετρικές εξισώ σεις: x = 3αηµωt, y=4αηµωt, z=5ασυνωt όπου α, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Να δείξετε ότι η κίνηση του υλίκού σηµείου είναι επίπεδη και να καθορίσετε το επίπεδο της κίνησής του. ii) Να δείξετε ότι η τροχία του υλικού σηµείου είναι κυκλική και να καθορίσετε την εξίσωσή της στο σύστηµα Οxyz. iii) Να δείξετε ότι η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατευθύνεται διαρκώς προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς του. ΛYΣH: i) Έστω 1,, τα διανύσµατα θέσεως του υλικού σηµείου κατά τις χρονικές στιγµές 0, π/ω και t αντιστοίχως. Οι συντεταγµένες των διανυσ µάτων αυτών, συµφωνα µε τις δεδοµένες σχέσεις, είναι (0, 0, 5α), (3α, 4α, 0) και (3αηµωt, 4αηµωt, 5ασυνωt), οπότε η ορίζουσά τους [Σ] θα είναι: [] = 0 0 5" 3" 4" 0 3"#µ$t 3"#µ$t 5"%&'$t = 5"(1" #µ$t - 1" #µ$t) = 0
που σηµαίνει ότι τα διανύσµατα 1,, είναι συνεπίπεδα, δηλαδή κάθε στιγµή το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ανήκει στο επίπεδο των δια νύσµάτων 1,, γεγονός που εξασφαλίζει την επίπεδη κίνηση του υλικού σηµείου. Εξάλλου το επίπεδο των 1,, διέρχεται από τον άξονα Οz, οπότε θα είναι κάθετο στο επίπεδο Οxy και θα το τέµνει κατά την ευθεία (ε), η οποία έχει παραµετρικές εξισώσεις: x = 3αηµωt, y=4αηµωt Από τις εξισώσεις αυτές µε διαίρεση κατά µέλη παίρνουµε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία έχει την µορφή: x/y = 3/4 y = 4x/3 ii) Tο διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου κατά την τυχαία χρονική στιγµή t έχει την µορφή: = x i + y j + z k = 3"µ#t i + 4"µ#t j + 5$%&#t k = (3"µ#t) + (4"µ#t) + (5$%&#t) = 9 "µ #t+ 16 "µ #t + 5 $%& #t = 5 Σχήµα 7 δηλάδη κάθε στιγµή η απόσταση του υλικού σηµείου από την αρχή Ο του συ στήµατος συντεταγµένων είναι σταθερή. Αυτό σηµαίνει ότι η τροχιά του είναι περιφέρεια κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας 5α, η οποία ανήκει στο επίπεδο των 1,. Η εξίσωση της περιφέρειας αυτής θα προκύψει αν απαλοίψουµε τον χρό νο t µεταξύ των παραµετρικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση του υλικού σηµείου, οπότε θα έχουµε: x + y = 7"µ#t' ( z = 5$%&#t ) (x + y) / 7 = "µ #t' ( z /5 = $%& #t ) (+ )
(x + y) 49 + z 5 = 1 (1) Η σχέση (1) αποτελεί την εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου, στο σύστη µα συντεταγµένων Οxyz. iii) H επιτάχυνση a του του υλικού σηµείου κατά την τυχαία χρονική στιγµή t είναι: a = d = d x i + d y j + d z k a = d (3"µ#t) i + d (4"µ#t) d (5$%&#t) j + k a = -3" #µ"t i - 4" #µ"t j - 5" $%&"t k a = - (3"#µt i + 4"#µt j + 5"$%&t k ) = - δηλαδή το διάνυσµα της επιτάχυνσης είναι κάθε στιγµή αντίρροπο του διανύσ µατος, που σηµαίνει ότι διαρκώς κατευθύνεται προς το σηµείο Ο (σχήµα 7). Ένα υλικό σηµείο κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας R, ελκόµενο από ένα σηµείο Α της περιφέρειας, µε αποτέλεσ µα η επιτάχυνσή του a να κατευθύνεται προς το σηµείο αυτό (επίπε δη κεντρική κίνηση). Αποδεικνύεται ότι στην διάρκεια της κίνησης αυτής το µέτρο του διανύσµατος θέσεως του υλικού σηµείου ως προς το Α και το µέτρο της αντίστοιχης γωνιακής ταχύτητας ικανο ποιούν την σχέση ω=c, όπου C σταθερή και θετική ποσότητα. Εάν e είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του διανύσµατος να δείξετε την σχέ ση: a = - 8R C e / 5 ΛYΣH: Εάν v είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου κατά την τυχαία χρονική στιγµή t που το διάνυσµα θέσεώς του ως προς το ελκτικό κέντρο είναι, τότε το µέτρο της επιτάχυνσής του a θα ικανοποιεί την σχέση: a = v $ # " R & % + dv $ # & = ' R $ " # % " R & % d' $ + R # & " % " d % a = R 4 + R $ ' # & ( " = R 4 + d % * $ ' # & ) * + -, - (1)
όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του υλικού σηµείου ως προς το κέν τρο Ο της περιφέρειας που διαγράφει. Όµως σε δεδοµένο χρόνο το διάνυσµα θέσεως R του υλικού σηµείου ως προς το κέντρο Ο διαγράφει διπλάσια γωνία σε σχέση µε το διάνυσµα θέσεως, που σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι διπλάσια της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σηµείου ως προς το ελκ τικό κέντρο Α. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: ( " a = R () 4 +4 d % + * $ ' - * # ) & -, ( " = 4R 4 4 + d % + * $ ' - * # ) & -, () Σχήµα 8 Η ακτινική συνιστώσα v της v κατά την διεύθυνση του διανύσµατος έχει αλγεβρική τιµή που ικανοποιεί την σχέση: v = -v"#$ = -v"#(% / - &) = -v'µ& (3) Eξάλλου, έχουµε ως δεδοµένο του προβλήµατος την σχέση ω=c, η οποία µε διαφόριση δίνει: d + d = 0 d Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: = - d d = - d (4) " a = 4R 4 4 + 4 $ # v % " ' = 16R + v % $ ' (5) & # & Όµως από την σχέση (3) έχουµε: v = v µ " = (#R) (1 - $%& ") = 4R # [1 - (/R) ] v = (4R - ) (6) διότι ισχύει =Rσυνφ. Η (5) λόγω της (6) γράφεται:
" a = 16R + (4R - )% " % $ ' = 16R 4 $ 1+ 4R - 1' # & # & 4R a = 16R 4 a = 8R (7) Όµως ισχύει: ω = C ω = C / 4 οπότε η (7) γράφεται: a = 8R C / 5 Εξάλλου το διάνυσµα της επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου κατευθύνεται διαρκώς προς το ελκτικό κέντρο Α, οπότε ισχύει η διανυσµατική σχέση: (8) a = - a e (8) a = - 8R C e / 5 Υλικό σηµείο διαγράφει στο επίπεδο Οxy καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την συνάρτηση y=f(x). i) Εάν v είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου και a η επιτάχυνσή του σε µια τυχαία θεση της τροχιάς του, να δείξετε ότι η ακτίνα καµ πυλότητας ρ της τροχιάς στην θέση αυτή δίνεται από την σχέση: = v 3 v " a ) ii) Με τη βοήθεια της παραπάνω σχέσεως να αποδείξετε την σχέση της διαφορικής Γεωµετρίας: = [1 +(dy/dx) ] 3/ (d y / dx ) όπου dy/dx η πρώτη παράγωγος και d y/dx η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης y=f(x). ΛYΣH: i) H επιτάχυνση a του υλικού σηµείου σε κάθε θέση της τροχιάς του προκύπτει ως συνισταµένη της επιτρόχιας επιτάχυνσής του T (dv/) και της κεντροµόλου επιτάχυνσής του N(v /ρ), όπου T και N τα µοναδιαία διανύσµατα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς και κατά την διεύθυνση της πρώτης καθέτου αντιστοίχως στην θεωρούµενη θέση. Έτσι θα ισχύει η σχέση:
a = T dv + N v ( v a ) ) = v # + % T dv + * + $ N v &, (. " '-. ( v a ) = ( v T ) dv + ( v N ) v " ( v a ) = 0 dv + ( v N ) v " ( v a ) = ( v N ) v " ( v a ) = v N $ "µ # ' & ) % ( v * = v3 * όπου ελήφθη υπ όψη ότι N =1 και ότι τα διανύσµατα v και N είναι µεταξύ τους κάθετα. Από την (1) προκύπτει η αποδεικτέα σχέση: (1) = v 3 v " a ) () ii) Επειδή η κίνηση του υλικού σηµείου είναι επίπεδη ισχύουν οι σχέσεις: v = i x'(t) + j y'(t) και a = i x''(t) + j y''(t) οπότε θα έχουµε: ( v a ) = i j k x'(t) y'(t) 0 x''(t) y''(t) 0 ( v a ) = 0 i - 0 j + [y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t)] k ( v a ) = y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t) (3) όπου x(t), y(t) οι παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του υλικού σηµείου µε παράµετρο τον χρόνο t και i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Οz αντιστοίχως. Όµως µπορούµε να γράψουµε και τις σχέσεις: και dy dx = dy dx = y'(t) x'(t) d y dx = d dy$ # & = d dy$ # & dx " % " % dx (4) d y dx = d y'(t) $ # & " x'(t) % 1 x'(t) (4) d y dx = d y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t) $ # " x'(t) 3 & % y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t) = x'(t) 3 (d y / dx ) (5)
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουµε: ( v a ) = x'(t) 3 (d y / dx ) (6) Ακόµη ισχύει η σχέση: v = [ x' (t) +y' (t)] 1/ v 3 = [ x' (t) +y' (t)] 3/ (7) Η σχέση () µε βάση τις (5) και (7) γράφεται: x'(t) 3 (d y / dx ) = [x' (t) +y' (t)] 3/ = [x' (t) +y' (t)] 3/ x'(t) 3 (d y / dx ) = [1 +y' (t)/x' (t)] 3/ x' 3 (t) x' 3 (t)(d y / dx ) (4) = [1 +(dy/dx) ] 3/ (d y / dx ) Ένα υλικό σηµείο διαγράφει στο επίπεδο Οxy καµ πύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από τις παραµετρικές εξισώσεις: x = ασυνωt και y=βηµωt όπου η παράµετρος t εκφράζει χρόνο, ενώ τα α, β, ω είναι θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Χρησιµοποιώντας το πρώτο συµπέρασµα του προηγούµενου παρα δείγµατος, να βρείτε την ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στην θέση όπου βρίσκεται το υλικό σηµείο κατά την χρονική στιγµή t=π/ω. ii) Nα εκφράσετε το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα της τροχιάς στην θέση αυτή. ΛYΣH: i) Εάν a είναι η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και v η αντίστοιχη ταχύτητά του, τότε η ακτίνα καµπυλότη τας ρ της τροχιάς στην αντίστοιχη θέση Μ, συµφωνα µε το προηγούµενο παρά δειγµα, δίνεται από την σχεση: = v 3 v " a ) Όµως για την ταχύτητα v και την επιτάχυνση a ισχύουν οι σχέσεις: (1)
v = (dx/) i + (dy/) j = -"#µ"t i +$%&'"t j a = (d x/ ) i + (d y/ ) j = -" %&'"t i - $" #µ"t ( ) j * Eξάλλου για το εξωτερικό γινόµενο ( v a ) ισχύει: ( v a ) = i j k -"#$µ#t %&'(#t 0 -"# &'(#t -%# $µ#t 0 () ( v a ) = ("#$ 3 %µ $t + "#$ 3 &'( $t) k = "#$ 3 k ( v a ) = "#$ 3 (3) Σχήµα 9 Για το µέτρο της ταχύτητας v έχουµε την σχέση: ( dx$ v = *# & ) *" % + d' $ + # & - " %, - 1/ = (. / 0µ /t +1 / 34 /t) 1/ v = (" #µ t +$ %&' t) 1/ (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (3) και (4) παίρνουµε: = " 3 (# $µ "t +% &'( "t) 3/ = # $µ "t +% &'( "t #%" 3 #% (5) Eφαρµόζοντας την (5) κατά την χρονική στιγµή t=π/ω παίρνουµε την ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στην αντίστοιχη θέση Β(0, β), δηλαδή ισχύει: B = " 3 (# $µ "t +% &'( "t) 3/ = # $µ () /) +% &'( () /) = # #%" 3 #% % ii) Εάν T είναι το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα της τροχιάς στην τυχαία θέση Μ, θα ισχύει:
T = d ds = d ds = d 1 v T = " $ # dx i + d % j ' & 1 v T = (-"#µ"t i +$"%&'"t j )/v = "(-#µ"t i +$%&'"t (4) j )/v T = (-"#µt i +$%&'t j ) (" #µ t +$ %&' t) = -"#µti +$%&'t j 1/ (" #µ t +$ %&' t) 1/ Η (6) για t=π/ω δίνει: T = -"µ(#/) i +$%&'(#/) j [ "µ (#/) +$ %&' (#/)] = - i = - i 1/ Η τροχιά υλικού σηµείου είναι λογαριθµική έλικα, της οποίας η εξίσωση σε σύστηµα πολικών συντεταγµένων (, θ) έχει την µορφή: = e " µε = "t όπου α, ω θετικές και σταθερές ποσότητες και t η παράµετρος χρό νος. i) Να δείξετε ότι το διάνυσµα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σηµείου έχουν ως προς την πολική του ακτίνα σταθερή διεύ θυνση. ii) Να βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t την ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς και την εξίσωση της τροχιάς που διαγράφει το κέντρο καµπυλότητας της λογαριθµικής έλικας. ΛΥΣΗ: i) Εά v, v είναι η ακτινική και η εγκάρσια συνιστώσα αντιστοίχως της ταχύτητας v του υλικού σηµείου θα έχουµε τις σχέσεις: και v = d = d ( ) e"t = "e "t = " (1) v = d = d ( "t ) = " () Παρατηρούµε ότι κάθε στιγµή ισχύει v = v που σηµαίνει ότι η γωνία των διανυσµάτων v και είναι ίση µε π/4. Εξάλλου εάν a, a είναι η ακτινική και η εγκάρσια συνιστώσα αντιστοίχως της επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου, θα ισχύουν οι σχέσεις:
και a = d - " d % $ ' # & a = d = () e )t - () e )t = 0 (3) + " d % " d % $ ' $ ' = 0 + ()e )t ) = () e )t (4) # & # & Παρατηρούµε από τις σχέσεις (3) και (4) ότι a = a, δηλαδή κάθε στιγµή η γω νία των διανυσµάτων a και είναι π/. (σχήµα 10). Σχήµα 10 Σχήµα 11 ii) Εάν a είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση του υλικού σηµείου τότε το διάνυσ µά της ως κάθετο στο διάνυσµα της ταχύτητας v θα σχηµατίζει γωνία π/4 µε το διάνυσµα της επιτάχυνσης a, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: a = a"#$(%/4) = a / a = "# e #t / = "# e #t (5) Όµως αν ρ είναι η ακτίνα καµπυλότητας της έλικας στην θέση που βρίσκεται το υλικό σηµείο κατά την χρονική στιγµή t θα ισχύει: a = v " = v + v # " = v " = v (1),(5) a " = " # e #t = "e #t = (6) "# e #t Δηλαδή η ακτίνα καµπυλότητας της έλικας αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή προς το άπειρο. Ακόµη παρατηρούµε ότι κάθε στιγµή το κέντρο καµπυλότητας βρίσκεται προς το εσωτερικό µέρος της έλικας επί µιάς ευθείας (Με) που σχηµατίζει γωνία π/4 µε την πολική ακτίνα του υλικού ση µείου και σε απόσταση από την θέση του Μ. Έτσι αν από την αρχή Ο του πολικού άξονα Οx φέρουµε κάθετο επί την πολική ακτίνα, αυτή θα τέµνει την
(Με) στο κέντρο καµπυλότητας Κ του σηµείου Μ (σχ. 10), διότι στο σχηµατιζό µενο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΜ ισχύει: KM = OM = Αν εποµένως 0 είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα επί την πολική ακτίνα, τό τε το διάνυσµα θέσεως K του κέντρου καµπυλότητας Κ θα εκφράζεται µε την σχέση: = "e #t $