ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν ο καιρός είναι καλός, γεγονός που συµβαίνει µε πιθανότητα /3, η συνιστώσα του ϑορύβου, W, ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά, W N(, ). Οταν ο καιρός είναι κακός, η συνιστώσα του ϑορύβου, W, ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά 9, W N(, 9). Υπολογίστε τη συν.πυκν.πιθανότητας της τ.µ. X και την πιθανότητα η X να πάρει τιµές µεταξύ και 3. Βοήθεια : Χρησιµοποιείστε το ϑεώρηµα ολικής πιθανότητας παίρνοντας ως διαµέριση του δειγµατοχώρου τις καιρικές συνθήκες και εκφράστε την Ϲητούµενη πιθανότητα P ( X 3) συναρτήσει των τιµών Φ() και Φ(/3) της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής της τυπικής κανονικής κατανοµής. (α) Εστω G το γεγονός ο καιρός είναι καλός. ίνεται ότι P (G). Για να ϐρούµε την 3 PDF της X, πρώτα ϐρίσκουµε την PDF της W, καθώς X s+w +W. Ξέρουµε ότι αν ο καιρός είναι καλός, τότε W N (, ), ενώ αν ο καιρός είναι κακός W N (, 9). Για να ϐρούµε την PDF της W χρησιµοποιούµε το ϑεώρηµα Ολικής Πιθανότητας για συναρτήσεις πυκνότητας : f W (w) P (G) f W G (w) + P (G c ) f W G c(w) 3 e w + π 3 3 w π e 9 Στη συνέχεια πραγµατοποιούµε την αλλαγή µεταβλητών X + W για να ϐρούµε την PDF της X: f X (x) f W (x ) 3 e (x ) + π 3 3 (x ) π e 9. (ϐ) Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την PDF που ορίστηκε στο προηγούµενο ερώτηµα για να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη πιθανότητα 3 f X (x) dx. Είναι όµως ευκολότερο να µεταφράσουµε το γεγονός { X 3} χρησιµοποιώντας το W και µετά να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα Ολικής Πιθανότητας. Εχουµε ότι P ( X 3) P ( + W 3) P ( W )
και από το ϑ. Ολ. Πιθ. P ( W ) P (G)P ( W G) + P (G c )P ( W G c ) }{{}}{{} a b Καθώς δεσµεύοντας είτε πάνω στη G ή στη G c η τυχαία µεταβλητή W είναι Gaussian, οι δεσµευµένες πιθανότητες a και b µπορούν να εκφραστούν µέσω της συνάρτησης Φ. εσµεύοντας πάνω στη G έχουµε W N (, ) οπότε a Φ() Φ( ) Φ(). εσµεύοντας πάνω στη G c έχουµε W N (, 9) οπότε ( ( b Φ Φ 3) ) ( Φ. 3 3) Εποµένως η τελική απάντηση είναι η : P ( X 3) 3 (Φ() ) + 3 ( ( ) Φ. 3) Ασκηση. Η συνεχής τυχαία µεταβλητή X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { a( x) για x, f X (x) αλλιώς. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της σ.π.π. της X και υπολογίστε τη σταθερά a. (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (6X > 5X ). (γ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) της X, F X (x). (α) Πρέπει + f(x)dx a( x)dx (ax a x ) a a a Εναλλακτικά, πρέπει η επιφάνεια του τριγώνου µε ϐάση και ύψος a να είναι ίση µε a a. Η γραφική παράσταση της PDF της X ϕαίνεται στο Σχήµα. (ϐ) P ( 6X > 5X ) P ( 6X 5X > ) P ((3X )(X ) > ) ( P X > ) ( + P X < ) 3 ( P 3 X ) 3 ( x)dx 9 36
f X (x) f X ( x) ( x) X Σχήµα : Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση, υποερώτηµα (α). f X (x) f X ( x) ( x) /3 ½ X Σχήµα : Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση, υποερώτηµα (ϐ). (γ) F X (x) για x < F X (x) x F X (x) για x > ( t)dt t t x x x για x 3
Τελικά :, x < F X (x) x x, x, x > Ασκηση.3 Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F X (u) της τ.µ. X ϕαίνεται στο Σχή- µα (3)...75.5.5 F (u) X. u 5 5 Σχήµα 3: Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F X (u) της τ.µ. X Άσκησης 3. Υπολογίστε τα ακόλουθα : (α) P (X ). (ϐ) P (X ). (γ) P (X > ). (δ) P (X ). (ε) P ( X 5.). (στ) Κατανοµή, f X (x), της X. Τι είδους µεταβλητή είναι η X; (Ϲ) Μέση τιµή, E[X]. (α) P (X ) F X ().5 (ϐ) P (X ) F X ().75 (γ) P (X > ) P (X ).75.5 (δ) P (X ) P (X > ) + P (X ).5 +.5.5 (ε) P ( X 5.) P (4.9 X 5.) F X (5.) F X (4.9).55 4
(στ) Παρατηρώντας τις ασυνέχειες στην F X (u), συµπεραίνουµε ότι η X είναι µικτή τ.µ. Παίρνει τις τιµές X 5,, 5 µε µη-µηδενικές πιθανότητες : P (X 5) P (X ) P (X 5).5 Επίσης, καθώς F X (x) x για x < 5, παραγωγίζοντας παίρνω ότι f X (x), για x < 5 Η γραφική παράσταση της σ.π.π. της X ϕαίνεται στο Σχήµα 4. f X (x).5.5 5 5 x Σχήµα 4: Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση 3. (Ϲ) E[X] 5 xdx +.5(5 + + 5) 5 x +.5 3 8.5 Ασκηση.4 Η τυχαία µεταβλητή X είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε παράµετρο λ X, δηλαδή ορίζεται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) e x, x οθέντος ότι X x, η τυχαία µεταβλητή Y ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ Y x, δηλαδή η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι : f Y X (y x) xe xy, y Με A συµβολίζουµε το γεγονός {X }. (α) Υπολογίστε την δεσµευµένη συν. πυκν. πιθανότητας f X A (x A) και συγκρίνετε την µε την περιθωριακή f X (x). (ϐ) Βρείτε την f X,Y (x, y), δηλ. την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των X 5
και Y. (γ) Βρείτε την f Y (y), δηλ. την περιθωριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y. Αφού η Χ ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ, { e f X (x) x, αν x, αλλιώς (α) Εστω Α το γεγονός ότι X. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της δεσµευµένης συν.πυκν.πιθ., f X (x) f X A (x X ) P (X ), αν x, αλλιώς Πρώτον, υπολογίζουµε την P (X A). Ολοκληρώνοντας την συν. πυκν. πιθανότητας της X στο σύνολο A, f X (x)dx e x dx e x ( e ) e Κατά συνέπεια A f X A (x X ) { e x, αν x, αλλιώς Παρά το ότι δεσµεύσαµε στο γεγονός X > η συν. πυκν. πιθανότητας εξακολουθεί να είναι εκθετική µε παράµετρο λ. Αυτό εξηγείται από την ιδιότητα αµνησίας της εκθετικής τυχαίας µεταβλητής. Για παράδειγµα, αν χρησιµοποιούσαµε την κατανοµή αυτή για να µοντελοποιήσουµε τον χρόνο που περνά µέχρι να συµβεί ένα γεγονός, ακόµα και αν πε- ϱιµέναµε Τ χρονικές µονάδες, η πιθανότητα του να συµβεί το γεγονός εξακολουθεί να χει την ίδια κατανοµή, δηλαδή δεν υπάρχει µνήµη για το αν συνέβη το γεγονός τις πρώτες Τ χρονικές στιγµές ή όχι. (ϐ) Τώρα πρέπει να υπολογίσουµε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των x, y.στην εκφώνηση αναφέρεται ότι δοθέντος x X, Η Y είναι µια εκθετικά κατανεµηµέµη τυχαία µεταβλητή µε παράµετρο λ Y x. Ετσι, { xe f Y X (y X x) xy, αν x, y, αλλιώς Χρησιµοποιώντας τον ορισµό των δεσµευµένων P DF s, και άρα f Y X (y X x) f X,Y (x, y) f X (x) f X,Y (x, y) f Y X (y X x)f X (x). Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω P DF s έχουµε { xe f X,Y (x, y) x(y+), αν x, y, αλλιώς 6
(γ) Για να ϐρούµε την περιθωριακή PDF της Y, ολοκληρώνουµε την από κοινού P DF των X και Y πάνω σε όλα τα x. Ετσι, f Y (y) x f X,Y (x, y)dx xe x(y+) dx x y + e x(y+) + e x(y+) dx y + (y + ) e x(y+) (y + ) όπου χρησιµοποιήσαµε ολοκλήρωση κατά µέλη. Εποµένως, η περιθωριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ είναι {, αν y (y+) f Y (y), αλλιώς Ασκηση.5 Οι τυχαίες µεταβλητές X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { c, αν y < x f X,Y (x, y), αλλιώς Εστω A το γεγονός X / και B το γεγονός Y < X. Συνίσταται να χρησιµοποιείσετε διαγράµµατα για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις. Είναι οι X και Y ανεξάρτητες ; Εξηγείστε. Υπολογίστε την τιµή του c. Υπολογίστε την P (A). Υπολογίστε την P (B). Υπολογίστε την P (B A). Υπολογίστε την P (A B). Υπολογίστε την E[XY ]. Ας κοιτάξουµε το παρακάτω για να ελέγξουµε την ανεξαρτησία. f X (x) Οµοίως f X,Y (x, y)dy x cdy cx, για x f Y (y) cdx c( y) για x y Προφανώς f X,Y (x, y) f X (x)f Y (y) Εποµένως, οι X και Y δεν είναι ανεξάρτητες. 7
Ο όγκος κάτω από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, και στο χωρίο που ο- ϱιζουν οι (X, Y ) (τρίγωνο που ορίζεται από τα σηµεία (, ), (, ), (, )), πρέπει να ισούται µε. ( ϐάση ύψος ) f X,Y (x, y)dxdy c c c Αρα c /. Πρίν προχωρήσουµε στα επόµενα ερωτήµατα, ας σχεδιάσουµε το διδιάστατο επίπεδο των τ.µ. X, Y. Από την εκφώνηση έχουµε οτι y < x, άρα σίγουρα ϑα µας χρειαστεί η ευθεία y x και επίσης η x (ως άνω όριο του χωρίου που ορίζεται η κατανοµή). Επίσης, από τα ενδεχόµενα που ορίζονται στην εκφώνηση, ϑα πρέπει να σχεδιάσουµε την y x, καθώς και την x /. Ολα αυτά µας χρειάζονται για να ορίσουµε τα χωρία που ικανοποιούν τις ανισότητες. Ολες αυτές οι ευθειες, καθώς και µερικά χρήσιµα χωρία, έχουν παρασταθεί στο Σχηµα (5). Y x/ yx y-x C5 C4 (½, ½) C C3 C / X Σχήµα 5: Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση 5. Εχοντας ϐρει στο πρώτο ερώτηµα την περιθωριακή συνάρτηση πιθανότητας f X (x), και έχοντας c /, µπορούµε πολύ εύκολα να πούµε οτι P (X /) / f X (x)dx / x xdx 4 / 6 5 6 Οµως ας προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη πιθανότητα κατ ευθείαν από την από κοινού κατανοµή. P (A) P (X /) P (X /, Y < X ) 8
Η περιοχή που ορίζεται από το {X /, Y < X } ϕαινεται στο Σχήµα (5) ως η περιοχή που αποτελείται από τα χωρία C, C, δηλ. C C. Σε αυτήν την περιοχή, το X είναι πάντα µεγαλύτερο του / (και προφανώς µικρότερο του, από τον ορισµό), ενώ ταυτόχρονα το Y < X (η περιοχή κάτω και δεξιά από την ευθεία y x). Με περισσότερη λεπτοµέρεια, το χωρίο που ικανοποιεί την {X /} είναι αυτό που ορίζεται δεξιότερα της κατακόρυφης ευθείας x /, δηλ. περιλαµβάνει τα χωρία C, C, C5. Το χωριο που ικανοποιεί την { Y < X } είναι αυτό που ορίζεται κάτω από την ευθεία y x, δηλ. περιλαµβάνει τα χωρία C, C, C3. Το χωρίο που ικανοποιεί την τοµή των δυο παραπάνω γεγονότων είναι η τοµή των χωρίων, δηλ. το C C. Άρα P (A) P (X /) P (X /, Y < X ) / y x dx 6 5 6 / x x dx 4 / / x dydx Ας ϐρούµε τώρα το χωρίο που ορίζεται από το γεγονός B {Y < X}. Η ευθεία y x που έχουµε σχεδιάσει ϑα µας ϐοηθήσει. Τα χωρία C, C3, C4 είναι αυτά που ικανοποιούν το γεγονός B, γιατι τα σηµεία (X, Y ) των χωρίων αυτών έχουν πάντα Y < X. Οµως από εκφώνηση έχουµε ότι Y < X. Άρα P (B) P (Y < X) P ( X, Y < X) y x dx 4 4 x dx x x 4 x dydx Προσέξτε ότι εδώ ΕΝ µπορούµε να δουλέψουµε µόνο µε την f Y (y), όπως κάναµε µε την f X (x) στο προηγούµενο ερώτηµα, γιατι το Ϲητούµενο γεγονός εµπλέκει και τις δυο τ.µ. Εχουµε Οµως P (B A) P (A B)/P (A) P (X / Y < X)/P (X /) P (X /) 5 6 από προηγούµενο ερώτηµα. Στο Σχήµα (5), το γεγονός {A {X /} B {Y < X}} αντιστοιχεί στην τοµή των χωρίων που ορίζουν τα A, B. Για το γεγονός A, είδαµε παραπάνω ότι το χωρίο που του αντιστοιχεί είναι το C C. Για το γεγονός B, ειδαµε επίσης ότι αντιστοιχεί στο χωρίο C C3 C4. Άρα η τοµή τους είναι το 9
χωρίο C. Οπότε P (B A) P (X / Y < X)/P (X /) 6 P (X / Y < X) 5 6 x 6 y dydx x dx 6 x dx 5 / 5 / 5 / 6 ( x ) 5 x 6 4 / 5( 4 4 + ) 6 6 5 6 5 Εχουµε Οµως P (A B) P (A B)/P (B) P (X / Y < X)/P (Y < X) P (Y < X) 4 από προηγούµενο ερώτηµα. Παραπάνω ϐρήκαµε και την πιθανότητα P (X / Y < X). Άρα εύκολα έχουµε 6 P (A B) P (A B)/P (B) P (X / Y < X)/P (Y < X) /6 /4 4 Εχουµε E[XY ] xyf X,Y (x, y)dxdy y xy dxdy 4 y(4 y )dy Ασκηση.6 Η τυχαία µεταβλητή X είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε παράµετρο λ X, δηλαδή ορίζεται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) e x, x (α) Παράγετε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της f Z (z), όπου Z e 3X (ϐ) Οι τυχαίες µεταβλητές X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { c, αν y < x f X,Y (x, y), αλλιώς Να παραχθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της f Z (z), όπου Z Y X. (α) Η CDF της Z είναι : F Z (z) P (Z z) P (e 3x z) P (X ln z 3 ) ln z 3 e x dx e x ln z/3 e ln z 3 z 3
και η PDF f Z (z) df Z(z) dz 3 z 4 3, για z <. (ϐ) Εχουµε άρα για z <. F Z (z) P (Z z) P (Y/X z) P (Y zx) P ( < X, Y zx) zx zx czx cz czxdx f X,Y (x, y)dydx cdydx f Z (z) df Z(z) dz c Ασκηση.7 Ενας ανθρακωρύχος είναι παγιδευµένος σε στοά από την οποία ξεκινούν τρεις σήραγγες. Η πρώτη από αυτές οδηγεί στην έξοδο µετά από 3 ώρες πορείας. Η δεύτερη οδηγεί πίσω στη στοά (και στο µέρος από το οποίο ο ανθρακωρύχος ξεκίνησε) µετά από 5 ώρες. Η τρίτη οδηγεί επίσης πίσω στη στοά µετά από 7 ώρες. Αν υποθέσουµε ότι ο ανθρακωρύχος επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα κάθε ϕορά µία από τις τρεις σήραγγες (δυστυχώς δεν ϑυµάται τίποτε σχετικά µε το ποια σήραγγα επέλεξε την τελευταία ϕορά...), ποιος είναι ο µέσος χρόνος µέχρι να ϐρει την έξοδο Χρησιµοποιείστε το ϑεώρηµα ολικής µέσης τιµής, ορίζοντας τις κατάλληλες τυχαίες µετα- ϐλητές. Εστω ότι X δηλώνει την ποσότητα χρόνου (σε ώρες) εως ότου ο ανθρακωρύχος να ϕθάσει στην έξοδο. Επίσης, έστω ότι Y δηλώνει την σήραγγα που αρχικά επιλέγει. Είναι : E[X] E[X Y ]P {Y } + E[X Y ]P {Y } + E[X Y 3]P {Y 3} (E[X Y ] + E[X Y ] + E[X Y 3]) 3 Οµως, E[X Y ] 3 E[X Y ] 5 + E[X] E[X Y 3] 7 + E[X] ()
Για να καταλάβετε γιατί το σύνολο εξισώσεων () είναι σωστό, ϑεωρήστε για παράδειγµα την δεύτερη εξίσωση E[X Y ]. Αν ο ανθρακωρύχος διαλέξει την δεύτερη σήραγγα, ϑα ξοδέψει 5 ώρες στην σήραγγα και έπειτα ϑα ξαναγυρίσει πίσω στο ίδιο µέρος από το οποίο ξεκίνησε στην στοά. Αλλά όταν γυρίσει πίσω, το πρόβληµα είναι σαν να ξεκινάει από την αρχή. Οπότε, ο αναµενόµενος επιπρόσθετος χρόνος για να ϕθάσει στην έξοδο ϑα είναι απλώς E[X]. Εποµένως, E[X Y ] 5 + E[X]. Παρόµοιο επιχείρηµα ϑα ισχύει και για τις άλλες εξισώσεις του συνόλου εξισώσεων (). Συνεπώς, E[X] (3 + 5 + E[X] + 7 + E[X]) 3 ή E[X] 5 Ασκηση.8 Εστω ότι η τ.µ. X είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [, 4]. Η X µετασχηµατίζεται στην τ.µ. Y X. (α) ώστε τη γραφική παράσταση του µετασχηµατισµού και ϐρείτε το πεδίο τιµών της Y. (ϐ) Βρείτε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F Y (y), και κατόπιν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f Y (y), της τ.µ. Y. (α) Το πεδίο τιµών της Y είναι το [, 3]. y 4 3 y -x y x+ - 5 x Σχήµα 6: Γραφική παράσταση των y x και y + x (ϐ) Εχουµε ότι : y, F Y (y) P (Y y) y 3, F Y (y) P (Y y)
f X (x). - - 4 5 Σχήµα 7: Γραφική παράσταση της f X (x) x y, F Y (y) P (Y y) P ( y X + y) [( + y) ( y)].4 y 5 y 3, Οπότε έχουµε : Συνεπώς, F Y (y) P (Y y) P ( y X 4) [4 ( y)]. ( + y) 5 y.4 y y F Y (y). ( + y) y 3 y 3 f Y (y) df Y (y) dy.4 y. y 3 αλλού Το Σχηµα (8) δίνει τη γραφική παρασταση της κατανοµής. f Y (y).4. - - 3 4 Σχήµα 8: Γραφική παράσταση της f Y (y) y 3
Ασκηση.9 Σε ένα γραµµικό όργανο µέτρησης, η σχέση εισόδου-εξόδου είναι Y GX, όπου τα µεγέθη X, Y, και G συµβολίζουν την είσοδο, την έξοδο, και το κέρδος του οργάνου, αντίστοιχα. Το κέρδος G είναι τ.µ. οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [.5,.5] ενώ η είσοδος X είναι τ.µ. επίσης οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [, ] και είναι ανεξάρτητη της G. (α) Υπολογίστε τη δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Y/X (y/x). Προσέξτε ότι για κάθε δυνατή τιµή X x της εισόδου X, πρέπει να καθορίσετε τις δυνατές τιµές της εξόδου Y καθώς και την έκφραση της f Y/X (y/x). (ϐ) Υπολογίστε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X,Y (x, y). ώστε την γραφική παράσταση όπου η f X,Y (x, y) παίρνει µη µηδενικές τιµές (δηλαδή το πεδίο τιµών των (x, y) στο επίπεδο). (γ) Υπολογίστε και δώστε τη γραφική παράσταση της συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εξόδου Y, f Y (y). (δ) Το όργανο σας δίνει τη µέτρηση Y /. Υπολογίστε και δώστε τη γραφική παράσταση της δεσµευµένης συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εισόδου X, f X/Y (x/y ). (α) εδοµένου του X x, έχουµε f Y X (y x) x f G ( y x) είναι οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [.5x,.5x]. Πιο διαισθητικά, δεδοµένου του X x, έχουµε ότι Y Gx, όπου x µπορεί να το δούµε και ως σταθερά. f Y X (y x) { x, x, αλλιώς (ϐ) Είναι f X,Y (x, y) f Y X (y x)f X (x) x, x y 3x, < x <. (γ) Ειναι f Y (y) f X,Y (x, y)dx y /3y /3y x dx ln(y) ln(y 3 ) ln(3), < y < x dx ln(y 3 ), (δ) Είναι f X,Y (x, /) /x f X Y (x y /) f Y (/) ln(3), /3 x <, αλλιώς 4
Σχήµα 9: Η γραφική παράσταση για το υποερώτηµα (ϐ) της άσκησης 9. Σχήµα : Η γραφική παράσταση για το υποερώτηµα (γ) της άσκησης 9. Σχήµα : Η γραφική παράσταση για το υποερώτηµα (δ) της άσκησης 9. 5
Ασκηση. ύο συνεχείς τ.µ. X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { c, y, x + y f X,Y (x, y), αλλιώς. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού σ.π.π. Υπολογίστε τη σταθερά c και τις περιθωριακές σ.π.π. f X (x) και f Y (y). ώστε τη γραφική παράσταση των δύο σ.π.π. Είναι οι τ.µ. X και Y ανεξάρτητες ; (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος {X Y }. (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος {X + Y }. (δ) Υπολογίστε τις δεσµευµένες σ.π.π. f X/Y (x/y) και f Y/X (y/x). (α) Η περιοχή όπου η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι c ϕαίνεται στο Σχήµα (). Πρόκειται για ένα τρίγωνο µε ϐάση και ύψος. Οι δυο ευθείες y -x+y y - x x+y Σχήµα : Χωρίο ορισµού από κοινού κατανοµής Άσκησης. προέρχονται από τη σχέση x + y x y ( y) x y y x y Για την σταθερά c πρέπει + ( ϐάση ύψος ) f xy (x, y)dxdy c Άρα c. Οσον αφορά τις περιθωριακές, γενικά ισχύει ότι και Από το Σχήµα () ϕαίνεται ότι, f X (x) f Y (y) + + f XY (x, y)dy f XY (x, y)dx c 6
Άρα, Για x, f X (x) Για x, f X (x) Οµοίως για y, f Y (y) +x x cdy + x cdy x. + x, x f X (x) x, x, αλλού. f Y (y) + f XY (x, y)dy y y { ( y), y, αλλού. cdx ( y). ηλαδή, Προφανώς, f XY (x, y) f X (x)f Y (y) και οι τυχαίες µεταβλητές X, Y δεν είναι ανεξάρτητες. f ( ) X x f ( ) Y y - x Y Σχήµα 3: Περιθωριακές κατανοµές Άσκησης. (ϐ) Η ευθεία y x/ ϕαίνεται στη γραφική παράσταση του Σχήµατος (4). Το διπλό ολοκλήρωµα της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας στο γραµµοσκιασµένο τρίγωνο µε ϐάση (, ) και ύψος 3 στο σηµείο (, ) ισούται µε την 3 3 πιθανότητα P (X Y ). Άρα, P (X Y ) /3 y /3 y dxdy ( y y)dy /3 x y y dy ) (y 3 y /3 3 6 6 Εναλλακτικά, επειδή η από κοινού κατανοµή είναι σταθερή, µπορούµε να ϐρούµε το ιδιο αποτέλεσµα απλά ϐρίσκοντας το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου τµήµατος και πολλαπλασιάζοντάς το µε τη c: P (X Y ) c E(τριγώνου) 3 6 7
(γ) Οµοίως από το Σχήµα (5) έχουµε ότι το Ϲητούµενο χωρίο είναι αυτό που έχει γραµµοσκιαστεί ως E. Για να το υπολογίσουµε αναλυτικά πρέπει να σπάσουµε το χωρίο E σε δυο µικρότερα. Οµως, όπως είπαµε µόλις παραπάνω, µπορούµε να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη πιθανότητα µε χρηση εµβαδών, δηλ. ως το εµβαδόν του µεγάλου τριγώνου (όλου το χωρίου δηλαδη) µείον το εµβαδον του E : 3/ 3/4 9 7. P (X+Y ) ) c E ((E +E ) E ) 6 6 Σχήµα 4: Χωρίο για τον υπολογισµό του P (X Y ) µε ϐάση την απο κοινού κατανοµή. Σχήµα 5: Χωρίο για τον υπολογισµό του P (X + Y /) µε ϐάση την απο κοινού κατανοµή. 8
(δ) Εχουµε f X Y (x y) f XY (x, y) f Y (y), x y, < y <, ( y) f Y X (y x) f XY (x, y) f X (x), < y < x, x. x Ασκηση. Οι ανεξάρτητες συνεχείς τ.µ. X και Y ακολουθούν καθεµιά οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα (, ). Ορίζουµε την τ.µ. Z X+Y. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού σ.π.π. των X και Y. (ϐ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της Z, F Z (z). (γ) Υπολογίστε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Z, f Z (z). (α) Αφού οι X, Y είναι ανεξάρτητες, f X,Y (x, y) f X (x)f Y (y) {, x, y, αλλού Εχουν δηλαδή από κοινού οµοιόµορφη κατανοµή. (ϐ) Το πεδίο τιµών της τ.µ. Z είναι το [, + ). F Z (z) P (Z z) P ( X + Y z) P (X + Y z ), z < / E HΓΘ, / z E ABΓ E, < z < +, z < / ( z ), / z z Y E Δ - (z -, ) Β, < z < + - (z, ) A X - X+Y z, <z<+ Θ Γ Η - X+Y z, ½ <z< (γ) f Z (z) df Z(z) dz { z z 3, / z z 3, < z < + 9