Πολυβάθμια Συστήματα

Πολυβάθμια Συστήματα

Εισαγωγή Πολυβάθμια Συστήματα: Δ19-2 Η βασική προϋπόθεση για την προσομοίωση μίας κατασκευής ως μονοβάθμιο ταλαντωτή είναι πως η μάζα, ο μηχανισμός απόσβεσης και η ακαμψία μπορούν να συγκεντρωθούν κατά τρόπο ώστε ηκίνησηναπεριγράφεταιαπόμίαμόνο μεταβλητή. Είναι προφανές ότι μόνο σπάνιες περιπτώσεις καλύπτουν αυτήν την προϋπόθεση. Η πλειονότητα των κατασκευών παρουσιάζουν κατανεμημένες μάζες και στοιχεία δυσκαμψίας, η διακριτοποίηση των οποίων καταλήγει σε συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας κίνησης. Σ αυτό κεφάλαιο θα περιοριστούμε στη μελέτη συστημάτων με συγκεντρωμένες μάζες. Τυπικές κατασκευές που εντάσσονται στην κατηγορία αυτή είναι τα επίπεδα διατμητικά πλαίσια. Διατμητικό πλαίσιο είναι το πλαίσιο του οποίου η ροπή αδράνειας της διατομής του ζυγώματος είναι πολύ μεγάλη ώστε να θεωρείται πρακτικά άπειρη. Αυτό σημαίνει ότι το ζύγωμα δεν κάμπτεται και επομένως οι κεφαλές των στύλων παραμένουν άστρεπτες κατά την παραμόρφωση του πλαισίου. Επίσης τα υποστυλώματα δέν παραμορφώνονται αξονικά.

Σύστημα με 2 Βαθμούς Ελευθερίας Πολυβάθμια Συστήματα: Δ19-3 Το απλούστερο πολυβάθμιο σύστημα είναι αυτό με δύο βαθμούς ελευθερίας. Έστω για παράδειγμα, το διώροφο επίπεδο διατμητικό πλαίσιο του σχήματος, το οποίο φέρει άκαμπτα ζυγώματα και αβαρή υποστυλώματα. Οι μάζες των ορόφων θεωρούνται συγκεντρωμένες στο μέσο των αντίστοιχων ζυγωμάτων και υπόκεινται σε ανεξάρτητες εξωτερικές διεγέρσεις p 1 (t) και p 2 (t). Το διώροφο πλαίσιο έχει δύο βαθμούς ελευθερίας: τις πλευρικές μετατοπίσεις u 1 και u 2 των δύο ορόφων στη διεύθυνση του άξονα x.

Δ19-4 Οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε όροφο, δηλαδή, η εξωτερική δύναμη p j (t), η ελαστικήδύναμηf sj και η δύναμη απόσβεσης f Dj, φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα. Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε p () t f f = m u&& ή m u&& + f + f = p () t j sj Dj j j j j sj Dj j (1) Η εξίσωση (1) αποτελείται από δύο εξίσωσεις για j=1 και 2, και μπορεί να γραφτεί σε μητρωϊκή μορφή: m1 0 u&& 1 fd1 fs1 p1() t 0 m + + = 2 u && 2 fd2 fs2 p2() t (2)

Δ19-5 Η εξίσωση (2) μπορεί να γραφτεί στη μορφή { } + { } + { } = { ()} m u && fd fs p t (3) όπου u&& 1 m1 0 f 1 f p1() t = D s u = 2 0 m = = = && 2 fd2 fs2 p2() t D s1 { u&& }, m, { f }, { f }, { p( t) } Θεωρώντας γραμμική συμπεριφορά, οι ελαστικές δυνάμεις επαναφοράς f s1 και f s2 συνδέονται με τις μετατοπίσεις u 1 και u 2 με τις σχέσεις f = f + f = ku + k ( u u ) b a s1 s1 s1 1 1 2 1 2 f = k ( u u) s2 2 2 1 (4) όπου k j είναι η πλευρική ακαμψία κάθε ορόφου που ισούται με το άθροισμα των ακαμψιών των υποστυλωμάτων του κάθε ορόφου.

Δ19-6 Για όροφο j με ύψος h και υποστυλώματα με μέτρο ελαστικότητας E και ροπή αδράνειας I c, η ακαμψία του ορόφου, αν τα υποστυλώματα είναι πακτωμένα στο έδαφος, δίνεται απο τη σχέση k j = υποστυλώματα 12EI h 3 c (5) Από την εξίσωση (4) παρατηρούμε ότι η δύναμη επαναφοράς εξαρτάται από τη διαφορική μετατόπιση της κεφαλής από τον πόδα του υποστυλώματος. a Επίσης, παρατηρούμε ότι οι f είναι ίσες κατά μέτρο s1 και fs2 και αντίθετες σε διεύθυνση. Σε μητρωϊκή μορφή η σχέση (4) γράφεται fs1 k1 + k2 k2 u1 = ή fs k u f = s2 k2 k 2 u 2 { } { } (6)

Δ19-7 Οι δυνάμεις απόσβεσης f D1 και f D2 συνδέονται με τις ταχύτητες u& και u& με τις σχέσεις 1 2 f = cu& + c ( u& u& ) D1 1 1 2 1 2 f = c ( u& u& ) D2 2 2 1 (7) όπου c j είναι ο συντελεστής απόσβεσης κάθε ορόφου. Σε μητρωϊκή μορφή η σχέση (7) γράφεται f c + c c u& = ή f = c u { } {&} D1 1 2 2 1 D f D2 c2 c 2 u & 2 (8) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (6) και (8) στη σχέση (3) παίρνουμε {&&} + { &} + { } = { ()} m u c u k u p t (9)

Δ19-8 Η εξίσωση (9) αποτελεί ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, ο αριθμός των οποίων συμπίπτει με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του ταλαντωτή. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, έχουμε δύο εξισώσεις και δύο βαθμούς ελευθερίας, u 1 και u 2. Οι διαφορικές εξισώσεις είναι συζευγμένες, καθώς στην κάθε μία από αυτές εμφανίζονται και οι δύο άγνωστοι u 1 και u 2, για αυτό θα πρέπει να επιλυθούν ταυτόχρονα. Η εξίσωση (9) προκύπτει επίσης με εφαρμογή της Αρχής D Alembert. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε όροφο, δηλαδή η εξωτερική δύναμη p j (t), ηελαστικήδύναμηf sj, η δύναμηαπόσβεσηςf Dj, αλλά και η αδρανειακή δύναμη f Ij. Η εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος προκύπτει από δυναμική ισορροπία των δύο διαγραμμάτων ελευθέρου σώματος και είναι ακριβώς ίδια με την εξίσωση (9).

Δ19-9 Στο σχήμα φαίνεται το κλασικό σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας. Η κίνησή του περιγράφεται ακριβώς από την ίδια εξίσωση που καταστρώσαμε προηγουμένως (εξίσωση (9)). (Θεωρείται u 2 >u 1 )