Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός πολλαπλού ολοκληρώµατος µε διαδοχική ολοκλήρωση και είναι το θεώρηµα Fubini και το δεύτερο που θα εξετάσουµε αργότερα µε την αλλαγή µεταβλητής ιατυπώνουµε το θεώρηµα Fubini προς το παρόν για συναρτήσεις δύο µεταβλητών = a, b, κλειστό ορθογώνιο 8 Θεώρηµα (Fubini ) Έστω [ ] [ ] στον και f : φραγµένη συνάρτηση (ι) ν η f είναι συνεχής στο τότε b b f (, = f (, = f (, a a f (, a, b όπου το σύµβολο b, σηµαίνει ότι η συνάρτηση [ ] a ολοκληρώνεται στο [ ] a, b f, (ιι) Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο ν επιπλέον τα ολοκληρώµατα f (, υπάρχουν για κάθε [ a, τότε ( η [ ] a, b f, ολοκληρώνεται στο [ a, b ] και) ισχύει f (, = f (, b νάλογα αν τα ολοκληρώµατα f (, υπάρχουν για κάθε [, ] a b a τότε b f (, = f (, a Συνεπώς αν όλες αυτές οι συνθήκες ισχύουν ταυτόχρονα τότε b b f (, = f (, = f (, a a Παρατηρήσεις ) Οι υποθέσεις που κάναµε στον ισχυρισµό (ιι) του θεωρήµατος είναι περισσότερες απ ότι στον (ι) Είναι όµως αναγκαίες γιατί αν η f δεν είναι παντού συνεχής δεν έπεται αναγκαία ότι το ολοκλήρωµα f (, ) υπάρχει για κάθε [ a, θα ) Ένα ανάλογο αποτέλεσµα ισχύει και για συναρτήσεις n µεταβλητών µε n f : a, b, u, v Ι= f,, z z είναι η ν πχ η [ ] [ ] [ ] είναι συνεχής και τιµή του τριπλού ολοκληρώµατος, τότε υπάρχουν! = 6 διαδοχικά ολοκληρώµατα

88 της συνάρτησης f (,, z ) όλα µεταξύ τους ίσα Πχ b v v b Ι= f (,, z) z = f (,, z) z a u u a Ποιοτική εξήγηση του θεωρήµατος Fubini Έστω :[, ] [, ] f a b συνεχής µε f ν τεµαχίσουµε τον όγκο κάτω από το γράφηµα της f σε λεπτές φέτες πχ παράλληλες µε το zεπίπεδο, τότε προσεγγιστικά ο όγκος αυτός ισούται µε το άθροισµα των ποσοτήτων f (,, αφού f (, είναι το εµβαδόν κάτω από το γράφηµα της f :, f, [ ] b Έπεται προφανώς ότι: f (, = f (, () a Με ανάλογη διαδικασία τεµαχισµού σε φέτες παράλληλες µε το z επίπεδο b καταλήγουµε στον τύπο f (, = f (, () a Τελικά από τις () και () λαµβάνουµε τον τύπο του Fubini: b b f (, = f (, = f (, a a Ως ένα αλγεβρικό ανάλογο του θεωρήµατος Fubini αναφέρουµε και την γνωστή n n n ταυτότητα: aκλ = aκλ κ, λ= κ= λ= Το θεώρηµα Fubini µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό ολοκληρωµάτων συναρτήσεων που δεν είναι ορισµένες αναγκαία σε ορθογώνια του υτό µπορεί να γίνει αν το συνδυάσουµε µε τα αποτελέσµατα των προηγουµένων παραγράφων Στην πράξη έχουµε το ακόλουθο πολύ χρήσιµο αποτέλεσµα που είναι συνέπεια του θεωρήµατος Fubini

89 8 Θεώρηµα Έστω ϕ, ψ :[ a, συνεχείς συναρτήσεις ώστε ϕ ψ για κάθε [ a, Θέτοµε = (, : a b και ϕ ψ { } b ψ( ) Έστω f : συνεχής Τότε f (, = f (, a ϕ πόδειξη: Παρατηρούµε ότι το είναι συµπαγές υποσύνολο του ( γιατί; ) = a, b, κλειστό και η f ως συνεχής στο είναι φραγµένη Έστω [ ] [ ] ορθογώνιο ώστε ( µπορούµε να πάρουµε ως min { ϕ : [ a, } = ma { ψ : [, ] } αφού οι, f (,, αν (, g : ώστε g(, =, αν (, = και ϕψ είναι συνεχείς) Ορίζουµε την συνάρτηση Τα σηµεία ασυνέχειας της g είναι όλα στο σύνορο του, το οποίο είναι ένωση των γραφηµάτων των συναρτήσεων ϕψ, και δύο κατακόρυφων ευθυγράµµων τµηµάτων του, έτσι το έχει διδιάστατο µέτρο µηδέν και η g από το θεώρηµα 9 της σελίδας 6 ( ή το πόρισµα της σελίδας 6 ) είναι ολοκληρώσιµη f, = g, () Έπεται ότι πό το θεώρηµα Fubini έχουµε g(, (, ) b = g a (), αφού τα ολοκληρώµατα g(, υπάρχουν για κάθε [ a, ψ (, ) = (, ) g f () ϕ και µάλιστα, ( Η συνάρτηση [, ] g(, είναι ολοκληρώσιµη για κάθε [ a, είναι φραγµένη και ενδεχοµένως ασυνεχής µόνο στα σηµεία ϕ και ψ ) πό τις εξισώσεις (),() και () έπεται το συµπέρασµα αφού Παρατηρήσεις ) Ένας ανάλογος τύπος ισχύει και για σύνολα της µορφής,, :, και ϕ ψ ϕψ, :, συνεχείς = { [ ] } όπου [ ] συναρτήσεις και ϕ( ψ( για κάθε [, ] ν : f συνεχής ψ( ) συνάρτηση τότε: f (, = f (, ϕ( Σηµειώνουµε ακόµη ότι το θεώρηµα 8 ισχύει και µε την υπόθεση ότι η f είναι ορισµένη στο εσωτερικό int( ) του και είναι συνεχής και φραγµένη εκεί ( γιατί; ) ες επίσης και την άσκηση (β) αυτής της παραγράφου ) Τα υποσύνολα του που εµφανίζονται στην διατύπωση του θεωρήµατος 8 καθώς και στην παρατήρηση () ονοµάζονται χωρία του τύπου και του τύπου Μερικές φορές ονοµάζονται και απλά αντίστοιχα απλά σύνολα

9 Χωρία τύπου ονοµάζονται αυτά που µπορούν να έχουν ταυτόχρονα και τις δύο περιγραφές, δηλαδή να είναι του τύπου αλλά και του τύπου Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι ο µοναδιαίος δίσκος Συνήθως τα χωρία τύπου, και, αναφέρονται και ως στοιχειώδη χωρία Παρατηρούµε ότι ένα στοιχειώδες χωρίο είναι συµπαγές υποσύνολο του ) Στην περίπτωση που στο θεώρηµα 8 ( πόρισµα του Fubini ) έχουµε f (, ) = για (, τότε, = = Πράγµατι, b το εµβαδό του ψ b ψ( ) (, ) (, ) = ( ψ ϕ) f = f = ϕ ϕ a a b a = το εµβαδόν του χωρίου, όπως γνωρίζουµε και από το Λογισµό της µιας µεταβλητής (πρβλ και µε τον ορισµό 8 του όγκου ενός Joran µετρήσιµου συνόλου στην σελίδα 4)

9 Το θεώρηµα µέσης τιµής για πολλαπλά ολοκληρώµατα Όπως και στον Λογισµό της µιας µεταβλητής τα πολλαπλά ολοκληρώµατα ικανοποιούν µια ιδιότητα µέσης τιµής n 8 Λήµµα Έστω Joran µετρήσιµο και f, g : ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, τότε ισχύουν (ι) ν f g f g f g ( δηλαδή για κάθε ) τότε (ιι) ν f Μ για κάθε τότε f Μ V πόδειξη: ρκεί να αποδείξουµε την ανισότητα όταν είναι κλειστό ορθογώνιο n του g f πό τον ορισµό του ολοκληρώµατος iemann έπεται ότι και συνεπώς έπεται η ζητούµενη ανισότητα (ιι) Η f Μ για κάθε ισοδυναµεί µε την Μ f Μ για κάθε () Επειδή οι σταθερές(όταν είναι ορισµένες σε Joran µετρήσιµα σύνολα) είναι ολοκληρώσιµες και Μ =Μ V ( Πρβλ το παράδειγµα µετά την Προτ 6) Έπεται από την () ότι, Μ V f Μ V ανισότητα και άρα η προς απόδειξη 84 Θεώρηµα ( µέσης τιµής για ολοκληρώµατα ) ν η f : είναι συνεχής και το Joran µετρήσιµο συµπαγές και συνεκτικό, τότε υπάρχει ώστε f = f V ν V, η ποσότητα πόδειξη: Έστω f V ονοµάζεται η µέση τιµή της f επί του λ= V f ( ν V = τότε το αποτέλεσµα έπεται προφανώς από τον ισχυρισµό (ιι) του Λήµµατος 8 ) Θέτοµε m min f : Μ= ma f : ( επειδή f συνεχής και = { } και { } συµπαγές η f έχει µέγιστη και ελάχιστη τιµή στο ) Συνεπώς m f Μ για κάθε, Άρα από το Λήµµα 8 έπεται ότι m V( ) = m f Μ =Μ V ή m f Μ V

9 Επειδή το είναι συνεκτικό και η f συνεχής, η f ικανοποιεί το θεώρηµα ενδιαµέσου τιµής, και άρα υπάρχει ώστε f = f V Παρατήρηση Μια πιο προσεκτική εξέταση της απόδειξης µας δείχνει ότι η υπόθεση της συµπάγειας δεν είναι απαραίτητη αρκεί βέβαια η f να υποτεθεί φραγµένη n Ένα υποσύνολο του λέγεται κατά τόξα συνεκτικό, αν για κάθε z, ω υπάρχει καµπύλη γ του που συνδέει το z µε το ω, δηλαδή υπάρχει συνεχής συνάρτηση γ :[ a, ώστε γ ( a) = z και γ( b) = ω Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι κάθε κατά τόξα συνεκτικό σύνολο είναι και συνεκτικό Η απόδειξη έπεται όπως και για τα κυρτά σύνολα µε χρήση του Λήµµατος Όπως έπεται από τα αποτελέσµατα της σχετικής παραγράφου ( για τα συνεκτικά σύνολα ) παραδείγµατα κατά τόξα συνεκτικών συνόλων είναι βέβαια τα κυρτά σύνολα καθώς και τα ανοικτά και συνεκτικά σύνολα Επίσης δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί το ακόλουθο αποτέλεσµα η απόδειξη του οποίου αφήνεται ως άσκηση: 8 Πρόταση Κάθε στοιχειώδες χωρίο του επιπέδου είναι κατά τόξα συνεκτικό και άρα συνεκτικό σύνολο πό το αποτέλεσµα αυτό και το θεώρηµα µέσης τιµής για ολοκληρώµατα έπεται αµέσως το ακόλουθο 86 Θεώρηµα Έστω Τότε για κάποιο (, ) ισχύει ότι f (, = f (, ) V στοιχειώδες χωρίο και : f συνεχής πόδειξη Υπενθυµίζουµε ότι ένα στοιχειώδες χωρίο είναι συµπαγές σύνολο, επειδή είναι και συνεκτικό το συµπέρασµα είναι προφανής συνέπεια του θεωρήµατος 84 ) Έστω k [ k k] Θέτοµε [ a, [ an, bn] F(,, ) = f ( ) f ( ) σκήσεις f : a, b, k =,,, n, iemann ολοκληρώσιµες συναρτήσεις = και ορίζουµε την συνάρτηση F : ώστε n n n n bk n n = k k= ak ποδείξτε ότι, (,, ) (,, ) F f t t (*) )Έστω = [ a, [, ] κλειστό ορθογώνιο του και f : συνάρτηση Υποθέτουµε ότι για κάθε [, ] f : [ a, f (, είναι αύξουσα και ότι για κάθε [ a, f : [, ] f (, φραγµένη η συνάρτηση, η συνάρτηση, είναι επίσης αύξουσα ποδείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο

9 )Ορίζουµε µια συνάρτηση f στο τετράγωνο Q= [,] [,] ως εξής:, αν είτε ο ή ο είναι άρρητος f (, = m, αν ο είναι ρητός και =, όπου m και n είναι σχετικά πρώτοι θετικοί ακέραιοι n n f, = f, = f, = Q, όµως ότι το ποδείξτε ότι, (, ) f δεν υπάρχει αν ο είναι ρητός 4)Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα: στο = [,] [,] (α) m n όταν, a b (β) ( + + ) (γ) sin( + ) m n N Καθώς και τα ολοκληρώµατα στο Q= [, π] [, π] (δ) Q sin sin (ε) os( + ) Q (*) )Έστω f : Q συνεχής, όπου Q [ a, [, ] (, ) του Q, ορίζουµε, (, ) (, ) F = Για κάθε εσωτερικό σηµείο F = f a F, =, = f, σε κάθε εσωτερικό σηµείο ποδείξτε ότι: (, ) του Q Σκεφθείτε την σχέση του θεωρήµατος Fubini µε την ισότητα των µεικτών παραγώγων n (*) 6) Έστω γ :[ a, καµπύλη µε µήκος Θέτοµε [ γ] { γ( t) : t [ a, } [ γ ] είναι το σύνολο τιµών ή ίχνος της γ ποδείξτε ότι το [ ] µετρήσιµο µε n διάστατο περιεχόµενο µηδέν = δηλαδή γ είναι Joran

94 Παραδείγµατα ()Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα, όπου είναι το επίπεδο χωρίο µεταξύ της παραβολής = και των ευθειών = και = Λύση {, : και } = {(, ) : 4 και } = Το είναι χωρίο του τύπου έτσι έχουµε = = = = 6 = =, επειδή είναι του τύπου Επίσης επειδή είναι και του τύπου, υπολογίζουµε 4 4 = = = = = 4 6 = )Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα ( +, όπου το το τρίγωνο που καθορίζεται από τις ευθείες =, = και = =, : και =, :, Το είναι χωρίο τύπου Επειδή το είναι τύπου υπολογίζουµε: = ( + = ( + = + = = + + Λύση { } = 4 = = 4 4 Επειδή το είναι και τύπου υπολογίζουµε:

9 = + = + = + = = + 4 = = 8 4 = + = 4 + 8 = ) Υπολογισµός όγκου µε χρήση διπλού ολοκληρώµατος Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που φράσσεται από πάνω από το επίπεδο z= και από κάτω στο επίπεδο από το πρώτο τεταρτηµόριο του µοναδιαίου δίσκου + Λύση Η συνάρτηση z f (, (, ) = που ολοκληρώνουµε στο είναι η z= f = ( η δεύτερη προβολή π : ) Το είναι χωρίο του τύπου Εποµένως ο ζητούµενος όγκος V υπολογίζεται µε δύο τρόπους: ως: {, :, } {(, :, } = ( τύπου ) = ( τύπου ) Για τον υπολογισµό της παράγουσας, ( ) u= Έπεται ότι, u ( ) = u = u= V = = = Υπολογίζουµε το δεύτερο διαδοχικό ολοκλήρωµα και έτσι βρίσκουµε: V = = ( ) = = Το περιγράφεται = = uu =, θέτοµε u =, συνεπώς

96 λλαγή της σειράς ολοκλήρωσης Έστω χωρίο τύπου και f : συνεχής συνάρτηση Το περιγράφεται µε δύο τρόπους ( ως τύπου και ) και άρα =, : a b και ϕ ϕ = { } = (, : και ψ ( ψ ( { } Έχουµε εποµένως τους τύπους: b ϕ ψ ( ) f (, = f (, = f (, a ϕ ψ ν θέλουµε να υπολογίσουµε το ένα από τα δύο διαδοχικά ολοκληρώµατα και τελικά το διπλό ολοκλήρωµα f (, - µπορούµε να το κάνουµε υπολογίζοντας το άλλο ( εκείνο που υπολογίζεται ευκολότερα ) υτή η τεχνική λέγεται αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης Παραδείγµατα )Να υπολογισθεί το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται ( φράσσεται) από την παραβολή = και την ευθεία = Λύση Το χωρίο είναι του τύπου και του τύπου, αφού, :,, :, + + = { } = {(, :, + } Σχήµα Ι Περιγραφή τύπου :, { } 4 f = - g = - - -4

f = - 4 g = 9 - - -4 Σχήµα ΙΙ Περιγραφή τύπου : Υπολογίζοντας το εµβαδόν του ως χωρίο του τύπου, έχοµε: = = = ( ) = ( + ) = 9 + = ν, όµως, θεωρηθεί ως χωρίο τύπου, είναι αναγκαίο να το διασπάσουµε σε δύο µέρη ( χωρία) όπως στο Σχήµα ΙΙ δίδεται από το άθροισµα των διαδοχικών Εποµένως το εµβαδόν ολοκληρωµάτων: = = + Είναι σαφές ότι ο υπολογισµός του εµβαδού + + 9 + = = + θεωρώντας το ως χωρίο τύπου είναι συντοµότερος Σηµείωση Τα σηµεία τοµής της παραβολής = και της ευθείας = βρίσκονται λύνοντας την εξίσωση = + = = ή = = Άρα τα σηµεία τοµής είναι τα (, ), (, ) πό το προηγούµενο παράδειγµα συµπεραίνουµε ότι η µορφή του χωρίου ολοκλήρωσης µπορεί να καθορίζει ποια διάταξη ( διαδοχικής ) ολοκλήρωσης είναι περισσότερο κατάλληλη για τον υπολογισµό µας Όπως θα δούµε όµως στο επόµενο παράδειγµα η προς ολοκλήρωση συνάρτηση παίζει και αυτή ρόλο στην επιλογή της σειράς ολοκλήρωσης )Υπολογίστε το διαδοχικό ολοκλήρωµα e

98 Λύση εν µπορούµε να υπολογίσουµε το δοσµένο ολοκλήρωµα µε την διάταξη η οποία δίδεται καθώς η παράγουσα της συνάρτησης e δεν είναι στοιχειώδης συνάρτηση ( δεν µπορεί να υπολογισθεί ) Έτσι το δοσµένο ολοκλήρωµα θα υπολογισθεί αντιστρέφοντας την σειρά ολοκλήρωσης Το χωρίο ολοκλήρωσης δίδεται στο ακόλουθο σχήµα και είναι βέβαια τύπου Παρατηρούµε e = e = () ( e = e = e = e e ) = ( ) {(, ) :, } (, :, e = (τύπου ) { } ότι, = ( τύπου ) () Για τον υπολογισµό της παραγούσης e, θέτοµε u= άρα u= Έπεται ότι, u e = e = e u = u e u= Παράδειγµα Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: () και () ( + ) ( + ) Λύση () Πρόκειται για µία από τις δύο εκφράσεις του διπλού ολοκληρώµατος στο ακόλουθο χωρίο που είναι τύπου, + τύπου {(, ) : και } = = τύπου {, : και } Ισχύει ότι, ( ) = + ( + ) χ = ( + ) τύπου τύπου Το δοσµένο διαδοχικό ολοκλήρωµα υπολογίζεται δύσκολα Έτσι,

99 υπολογίζουµε το δεύτερο διαδοχικό ολοκλήρωµα που προκύπτει από την έκφραση του ως χωρίο τύπου Έτσι έχουµε: = = ( + ) ( ) = + = = ( + ) ( + 4 ) u u ( ) u = + = = 6 6 4 * Εδώ χρησιµοποιούµε την αλλαγή µεταβλητής () Όσον αφορά το ο διαδοχικό ολοκλήρωµα το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το 4 u 4 6 4 6 4 4 = u= + u= τύπου, αλλά και τύπου, αν γραφεί ως ΠαρατηρησηΤο ολοκλήρωµα ( + ), παρατηρούµε ότι {, : και } = και είναι {, : και } = Έτσι αντί του δοθέντος διαδοχικού ολοκληρώµατος, που υπολογίζεται δύσκολα υπολογίζουµε το διαδοχικό ολοκλήρωµα που προκύπτει από την έκφραση του ως χωρίο τύπου = = ( + ) ( + ) = 4 = + + = = + = 6 6 u = 6 = Το 6 64 6 64 Ι= e του παραδείγµατος (), υπολογίζεται και µε ολοκλήρωση κατά µέρη: Θέτοµε G = e, [,] παρατηρούµε ότι G = e e G ' = e, [,] Άρα, ' ' Ι= G = G = G G = G e e e ( ) ( ) = = = ( ) και u u