ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 4-5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Νίκος Κυλάφης Πανεπιστήµιο Κρήτης //4 Σελίδα από 55
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Το µάθηµα της Γενικής Φυσικής Ι θα γίνεται κάθε ευτέρα και Τετάρτη : 3: και κάθε Παρασκευή : 4: Λόγω ακαδηµαϊκών υποχρεώσεων του διδάσκοντα, δυο ή τρία δίωρα δεν θα γίνουν σύµφωνα µε το Πρόγραµµα Η αναπλήρωσή τους θα γίνει από τον διδάσκοντα συγκεκριµένες ευτέρες, 8: : Οι ηµεροµηνίες αυτές θα ανακοινωθούν εγκαίρως από τον διδάσκοντα στην αίθουσα διδασκαλίας Σχετικά µε τις εξετάσεις του µαθήµατος, θα υπάρξουν δυο Πρόοδοι και ένα Τελικό ιαγώνισµα: η Πρόοδος: ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 4, 8: 9: Θα εξεταστεί η ύλη των πέντε πρώτων εβδοµάδων η Πρόοδος: ευτέρα, 8 εκεµβρίου 4, 8: 9: Θα εξεταστεί η ύλη των επόµενων πέντε εβδοµάδων Τελικό ιαγώνισµα: Σύµφωνα µε το Πρόγραµµα Εξετάσεων Ιανουαρίου Κάθε Πρόοδος µετράει % του τελικού βαθµού και το Τελικό ιαγώνισµα µετράει 6% του τελικού βαθµού Προόδους θα δώσουν µόνο οι πρωτοετείς φοιτητές Οι φοιτητές των άλλων ετών θα δώσουν µόνο το τελικό διαγώνισµα Σελίδα από 55
Παράγωγος συνάρτησης: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η παράγωγος της συνάρτησης f ( ορίζεται ως: f ( = df ( d li f ( + f ( ιαφορικό συνάρτησης: Σχηµατίζοµε τι διαφορά f = f ( + f ( f ( + f ( = Στο όριο έχοµε το διαφορικό της συνάρτησης f ( Αόριστο ολοκλήρωµα: df df d = f ( d d dg( Έστω ότι f ( = = g ( Το αόριστο ολοκλήρωµα της f ( ορίζεται ως: d dg( f ( g( d d d = dg = Παραδείγµατα αορίστων ολοκληρωµάτων: Αν C είναι αυθαίρετη σταθερά, τότε: e d = e + C, a e d = e + C, a a a d = a+ a+ + C, a, d = ln + C, sin a d = cos a+ C, a Σελίδα 3 από 55
cos a d = sin a+ C a Ορισµένο ολοκλήρωµα: dg( Έστω ότι f ( = = g ( Το ορισµένο ολοκλήρωµα της f ( από = a µέχρι d = b ορίζεται ως: b a b dg( f ( d d = dg( = g( b) g( a) d a b a Σελίδα 4 από 55
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η Μηχανική, όπως και η Ευκλείδεια Γεωµετρία, είναι Αξιωµατική Επιστήµη Ο Ευκλείδης έθεσε το αξίωµα ότι «από σηµείο εκτός ευθείας άγεται µια µόνο παράλληλος προς την ευθεία» Όλα τα θεωρήµατα, πορίσµατα και προβλήµατα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας αποδεικνύονται αν δεχτούµε ότι ισχύει αυτό το αξίωµα Κατά όµοιο τρόπο, όλα τα θέµατα της Νευτώνειας Μηχανικής αποδεικνύονται αν δεχτούµε δυο αξιώµατα: Τον εύτερο και τον Τρίτο Νόµο του Νεύτωνα Ο Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα είναι υποπερίπτωση του εύτερου Σκοπός αυτών των σηµειώσεων είναι να παρουσιάσουν τη Μηχανική ως Αξιωµατική Επιστήµη Έτσι, µε τη χρήση ιαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισµού θα αποδείξοµε όλα τα συµπεράσµατα της Μηχανικής Ορισµός: Σηµειακή µάζα ή υλικό σηµείο λέγεται η µάζα που δεν έχει διαστάσεις Είναι ένα νοητό κατασκεύασµα, αφού τα σώµατα που έχουν µάζα έχουν και διαστάσεις Όταν λοιπόν λέµε υλικό σηµείο µάζας θα εννοούµε ένα σώµα µε µάζα αλλά όλη η µάζα περιορίζεται σε ένα σηµείο Αξίωµα ή εύτερος Νόµος του Νεύτωνα: Αν σε υλικό σηµείο δρα µια δύναµη, τότε το γινόµενο της µάζας του υλικού σηµείου επί την επιτάχυνσή του ισούται µε τη δύναµη Αξίωµα ή Τρίτος Νόµος του Νεύτωνα: Αν δυο υλικά σηµεία και αλληλεπιδρούν, τότε η δύναµη που ασκεί το στο είναι ίση και αντίθετη µε αυτήν που ασκεί το στο Προσοχή: εν ισχύουν οι νόµοι του Νεύτωνα για εκτεταµένα στερεά σώµατα Επίσης, οι νόµοι του Νεύτωνα ισχύουν µόνο για παρατηρητές που είτε είναι ακίνητοι είτε κινούνται µε σταθερή ταχύτητα Αυτοί οι παρατηρητές λέγονται αδρανειακοί και το σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιούν λέγεται αδρανειακό Θα δούµε παρακάτω τι συµβαίνει όταν ένα στερεό σώµα έχει διαστάσεις ή όταν ο παρατηρητής δεν είναι αδρανειακός Ας µην ξεχνάµε, ότι ως όντα πάνω στη Γη, που περιστρέφεται περί τον άξονά της, δεν είµαστε αδρανειακοί παρατηρητές! Οι αδρανειακοί παρατηρητές είναι νοητοί παρατηρητές Σελίδα 5 από 55
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονοδιάστατες κινήσεις Το κύριο θέµα της Μηχανικής είναι η µελέτη της κίνησης σωµάτων όταν σ αυτά δρουν δυνάµεις Χάριν ευκολίας, πρώτα θα εξετάσοµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου πάνω σε µια ευθεία γραµµή, δηλαδή πάνω σε έναν άξονα, ας πούµε τον άξονα Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F Μας δίνεται ότι κάποια δεδοµένη στιγµή, ας πούµε =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε τη θέση του ( για όλους τους επόµενους χρόνους, δηλαδή > Σηµείωση: Σχεδόν σε όλα τα προβλήµατα της Μηχανικής, που θα εξετάσοµε σ αυτό το µάθηµα, θα µας δίνεται η δύναµη, η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα τού υλικού σηµείου και θα µας ζητείται η θέση τού σηµείου για όλους τους επόµενους χρόνους Άλλωστε, µε γνώση της θέσης τού υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή έχοµε πλήρη γνώση της κίνησής του Πχ, για την ταχύτητά του αρκεί να παραγωγίσοµε τη συνάρτηση τής θέσης του Για κίνηση πάνω στον άξονα, η θέση του υλικού σηµείου είναι µια συνάρτηση του d( χρόνου (, η ταχύτητά του είναι η παράγωγος της θέσης του u ( = = ( d και η επιτάχυνσή του είναι η παράγωγος της ταχύτητάς του ή η δεύτερη παράγωγος du( d ( της θέσης του a ( = = u ( = = ( Έτσι, ο εύτερος Νόµος του d d Νεύτωνα λέει ή ή a= F () du( = F d () d ( = F d (3) Η δύναµη F δεν είναι απαραιτήτως σταθερή Μπορεί να εξαρτάται από τον χρόνο, τη θέση τού υλικού σηµείου, την ταχύτητά του και άλλα Ας γράψοµε λοιπόν F (,,) Έτσι, η εξίσωση (3), δηλαδή ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα, γίνεται d ( = F(,,) (4) d Ό,τι θέλοµε να µάθοµε για την κίνηση του υλικού σηµείου πρέπει να το µάθοµε από την εξίσωση (4) Άρα, για να µάθοµε τη θέση ( του υλικού σηµείου, πρέπει µε Σελίδα 6 από 55
κάποιο τρόπο να λύσοµε την εξίσωση (4) Επειδή η εξίσωση (4) έχει διαφορικά, λέγεται διαφορική εξίσωση Σε αντίθεση µε τις αλγεβρικές εξισώσεις, πχ που έχει λύσεις τούς αριθµούς a + b + c=, b± b 4ac =, a η διαφορική εξίσωση (4) έχει λύσεις συναρτήσεις ( Με άλλα λόγια, η εξίσωση (4) µας λέει το εξής: Από όλες τις συναρτήσεις του κόσµου (, θέλοµε εκείνη που όταν την παραγωγίσοµε δυο φορές ως προς τον χρόνο και την πολλαπλασιάσοµε µε τη µάζα να µας κάνει τη δύναµη F (,, ) Άρα, όλα τα προβλήµατα κίνησης υλικού σηµείου πάνω στον άξονα ανάγονται στην εξεύρεση της κατάλληλης ( Συνεπώς, αρκεί να µάθοµε πώς να βρίσκοµε την κατάλληλη ( για κάθε F (,, ) που µας δίνεται Αυτό ακριβώς θα κάνοµε παρακάτω Σελίδα 7 από 55
Σταθερές δυνάµεις Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της σταθερής δύναµης F Η δύναµη F είναι αλγεβρική, δηλαδή µπορεί να είναι θετική ή αρνητική εν χρειάζεται να ξέροµε το πρόσηµό της Το αποτέλεσµα που θα βρούµε θα ισχύει τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές F Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Κι αυτές είναι αλγεβρικές ποσότητες Θέλοµε να βρούµε τη θέση του υλικού σηµείου για >, δηλαδή θέλοµε να βρούµε την ( Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή ή d ( = F d (5) du( = F d (6) du( F = d (7) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (7) µε d και έχοµε du( F d = d (8) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (8) είναι το διαφορικό της συνάρτησης u ( Έτσι γράφοµε F du = d (9) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Σελίδα 8 από 55
Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (9) Το ολοκλήρωµα του αριστερού µέλους είναι u και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι γράφοµε F Έτσι F u ( = + c, () όπου c είναι µια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά της ολοκλήρωσης Η u (, που δίνεται από την εξίσωση (), είναι λύση της εξίσωσης (6) και λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (6) Αυτό µπορεί εύκολα να επαληθευτεί Αν βάλοµε τη λύση () στη διαφορική εξίσωση (6), βλέποµε ότι όντως την επαληθεύει, δηλαδή βρίσκοµε ότι F = F Η λύση () πρέπει να ισχύει για όλες τις χρονικές στιγµές, άρα και για την αρχική χρονική στιγµή = Θέτοντας = στην εξίσωση () έχοµε F u ( ) = + c Αλλά, µας δόθηκε από τις αρχικές συνθήκες ότι u ( ) = u Συνεπώς, c = u Με άλλα λόγια, από την αρχική συνθήκη u ( ) = u προσδιορίσαµε την αυθαίρετη σταθερά c Έτσι, η ζητούµενη ταχύτητα του υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή είναι F u ( = + u () Για =, µας δίνει όντως ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου είναι u Η λύση () είναι η λύση του δοθέντος προβλήµατος µε τη δοθείσα αρχική συνθήκη u ( ) = u Λόγω του ότι η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος της θέσης, η () γράφεται d( d F = + u () Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης () µε d και έχοµε d( F d = d+ ud (3) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (3) είναι το διαφορικό της συνάρτησης ( Έτσι γράφοµε F d= d+ ud (4) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Σελίδα 9 από 55
Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (4) Το ολοκλήρωµα του F αριστερού µέλους είναι και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι u + Έτσι γράφοµε F ( = + u+ c, (5) όπου c είναι µια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά της ολοκλήρωσης Η (, που δίνεται από την εξίσωση (5), είναι λύση της εξίσωσης (5) και λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (5) Αυτό µπορεί εύκολα να επαληθευτεί Αν βάλοµε τη λύση (5) στη διαφορική εξίσωση (5), βλέποµε ότι όντως την επαληθεύει, δηλαδή βρίσκοµε ότι F = F Η λύση (5) πρέπει να ισχύει για όλες τις χρονικές στιγµές, άρα και για την αρχική χρονική στιγµή = Θέτοντας = στην εξίσωση (5) έχοµε F ( ) = + c+ c Αλλά, µας δόθηκε από τις αρχικές συνθήκες ότι ( ) = Συνεπώς, c = Με άλλα λόγια, από την αρχική συνθήκη ( ) = προσδιορίσαµε την αυθαίρετη σταθερά c Έτσι, η ζητούµενη θέση του υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή είναι F ( = + u+ (6) Για =, µας δίνει όντως ότι η θέση του υλικού σηµείου είναι Η λύση (6) είναι η λύση του δοθέντος προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες u ( ) = u και ( ) = Παρατήρηση: Τη διαφορική εξίσωση (7) τη λύσαµε µε τη βοήθεια αορίστου ολοκληρώµατος και την εισαγωγή αυθαιρέτου σταθεράς c, την οποία υπολογίσαµε από την αρχική συνθήκη u ( ) = u Εξίσου καλά θα µπορούσαµε να λύσοµε τη διαφορική εξίσωση (7) µε τη βοήθεια ορισµένου ολοκληρώµατος Τα όρια ολοκλήρωσης είναι, για µεν την ταχύτητα, από την αρχική ταχύτητα u µέχρι την τυχούσα ταχύτητα u, για δε τον χρόνο, από την αρχική χρονική στιγµή µέχρι την τυχούσα χρονική στιγµή Έτσι, ολοκληρώνοντας κατά µέλη την εξίσωση (9) έχοµε u du= d u u = ( ) u( = + u F F που είναι η εξίσωση () Οµοίως, από την εξίσωση (4) έχοµε µε ολοκλήρωση κατά µέλη F u, Σελίδα από 55
F d= d+ ud = F + u = F + u +, που είναι η εξίσωση (6) Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα z στη θέση z= z και ξεκινά τη χρονική στιγµή = την κίνησή του στον άξονα z µε αρχική ταχύτητα u= u Οι ποσότητες z και u είναι αλγεβρικές Στο υλικό σηµείο δρα η σταθερή δύναµη βαρύτητας της Γης, που έχει µέτρο F = g Α) Να σχεδιασθεί ο κατακόρυφος άξονας z µε φορά προς τα κάτω (δηλαδή η φορά του µοναδιαίου διανύτσµατος kˆ είναι προς τα κάτω) και να γραφεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου Β) Να λυθεί η εξίσωση κίνησης για την ταχύτητα και τη θέση του υλικού σηµείου στη γενική περίπτωσή της και να εφαρµοστούν σ αυτήν οι αρχικές συνθήκες Γ) Τι αλλάζει στα ερωτήµατα Α και Β αν πάρετε την αντίθετη φορά για τον άξονα z από αυτή που πήρατε στο ερώτηµα Α; Λύση: A) Ζωγραφίζοµε τον άξονα z µε φορά προς τα κάτω και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση z ( Αυτό σηµαίνει ότι η δύναµη της βαρύτητας, που είναι προς τα κάτω, είναι θετική Έτσι, από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα γράφοµε την εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου d z( = g (7) d B) Ακολουθώντας τα βήµατα που κάναµε παραπάνω για τη σταθερή δύναµη F, γράφοµε du du = g d = g d du = g d du = g d+ c u( = g + c d d, (8) Σελίδα από 55
όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αν θέλοµε, µπορούµε να προσδιορίσοµε τη σταθερά c χρησιµοποιώντας την αρχική συνθήκη u ( ) = u Αυτό όµως δεν είναι απαραίτητο να γίνει τώρα Από τον ορισµό της ταχύτητας έχοµε u( = dz d z= g = g + c d+ c dz d = g d+ cd dz = g d+ cd d d+ c z( = g + c + c, (9) όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u ) = u = g + c c =, () ( u z ( ) = z = g + c+ c c = z () Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, είναι z( = z u( = u + u + + g g, () Ω του θαύµατος!!! Χρησιµοποιώντας το πρώτο Αξίωµα της Μηχανικής, δηλαδή τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα, βρήκαµε τις γνωστές µας σχέσεις για τη θέση και την ταχύτητα υλικού σηµείου που κινείται πάνω στον κατακόρυφο άξονα z υπό την επίδραση σταθερού πεδίου βαρύτητας Οι εξισώσεις () περιγράφουν κατακόρυφη βολή µε αρχική ταχύτητα u Αν u >, η βολή είναι προς τα κάτω, δηλαδή προς τη θετική φορά του άξονα z Αν u <, η βολή είναι προς τα πάνω, δηλαδή προς την αρνητική φορά του άξονα z Γ) Αν πάροµε τον άξονα z να έχει φορά προς τα πάνω, τότε επειδή η δύναµη του βάρους είναι προς τα κάτω, σηµαίνει ότι η δύναµη είναι αρνητική, δηλαδή g! Έτσι, η εξίσωση κίνησης πρέπει να γραφεί ως d z = g d και η λύση της για τις δοθείσες αρχικές συνθήκες είναι (3) Σελίδα από 55
z( = z u( = u + u g g, (4) Παρατήρηση: Τόσο η λύση () όσο και η λύση (4) είναι σωστές Το πώς παίρνοµε τη φορά του άξονα είναι δική µας επιλογή Επιλέγοµε τη φορά που µας βολεύει Πάντως, λύση άσκησης Μηχανικής, χωρίς να πούµε ποια είναι η φορά του άξονα, δεν νοείται Σελίδα 3 από 55
υνάµεις εξαρτώµενες από τον χρόνο Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της γενικής δύναµης F = F( Συγκεκριµένα παραδείγµατα θα δούµε πιο κάτω Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε τη θέση του υλικού σηµείου για >, δηλαδή θέλοµε να βρούµε την ( Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή ή d ( = F( d (5) du( = F( d (6) du( = F( d (7) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (7) µε d και έχοµε du( d = F( d (8) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (8) είναι το διαφορικό της συνάρτησης u ( Έτσι γράφοµε du = F( d (9) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη και έχοµε u ( = F( d+ c = G( + c, (3) Σελίδα 4 από 55
όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά και G ( είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της F ( Λόγω του ότι η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος της θέσης, η (3) γράφεται d( d = G( + c (3) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (3) µε d και έχοµε d( d = G( d+ cd (3) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (3) είναι το διαφορικό της συνάρτησης ( Έτσι γράφοµε d= G( d+ cd (33) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (33) Το ολοκλήρωµα του αριστερού µέλους είναι και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι G( d c H ( c + = +, όπου γράψαµε ότι H ( = G d ( ) Έτσι γράφοµε ( = H ( + c+ c, (34) όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Οι σταθερές c και c µπορούν να προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες u ( ) = u και ( ) = Παρατήρηση: Πρέπει να έχει ήδη γίνει αντιληπτό ότι η γενική λύση της ταχύτητας, που προκύπτει από µια ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης, έχει µια αυθαίρετη σταθερά ενώ η γενική λύση της θέσης, που προκύπτει από δυο ολοκληρώσεις της εξίσωσης κίνησης, έχει δυο αυθαίρετες σταθερές Οι σταθερές αυτές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες Παρότι η γενική λύση (34) είναι µια, αυτή περιγράφει άπειρα (!) προβλήµατα ιαφορετικές αρχικές συνθήκες οδηγούν σε διαφορετικές λύσεις Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F ( / ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = > και έχει ταχύτητα u = u > Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Σελίδα 5 από 55
Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Γ) Τι αλλάζει αν κάποιος σας πει ότι οι ποσότητες, u είναι αρνητικές; Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι: du = d F du d = F du= F d F 3 du = d c u( c + = + 3 F Η τελευταία γράφεται ως d d = F 3 3 + c 3 3 F F d = d+ cd d= d+ c d+ c 3 3 4 F = + c + c (, όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u = u( 4 F = ) = F ) = 3 + + 3 + c c Σελίδα 6 από 55 = u F, 3 F u F 3 ( c c c Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες είναι = F 3 u( = u + ( 3 3 ),
F F 4 ( = + u ( ) ( ) + ( 3 Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες Β) Όντως για = έχουµε u ( ) = u και ( ) = Όλοι οι όροι στην έκφραση της ταχύτητας u ( έχουν διαστάσεις ταχύτητας διότι η δύναµη έχει διαστάσεις µάζα (Μ) µήκος (L) / χρόνος (T) Πχ, ο όρος L M F 3 έχει διαστάσεις T 3 L T = Τα σύµβολα M, L, T προέρχονται από τις 3 M T T λέξεις Mass, Lengh, Tie Οµοίως, όλοι οι όροι στην έκφραση της θέσης ( έχουν διαστάσεις µήκους Να ελέγξετε όλους τους όρους 3 Επειδή η δύναµη τείνει στο ± (ανάλογα µε το πρόσηµο της F ) καθώς, περιµένοµε ότι και η ταχύτητα του υλικού σηµείου και η θέση του θα τείνουν στο ± Όντως, για F, u ( ) = και ( ) = > Γ) Τίποτε Τα αποτελέσµατα είναι αλγεβρικά Αντικαθιστούµε ό,τι τιµές θέλοµε στα, u 4 ) Παράδειγµα 3: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F /, µε, όπου F, είναι σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u= u Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι: Σελίδα 7 από 55
d d du d du = F, d F F F d F = du= d ( ) du = + c u = + c F F F d + c d= d+ cd d= + c d+ c F ( = ln + c+ c, > = Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχουµε:, u = u( = ( F ) = F ) = F + c c = u + F ( = ln+ u ln + u F + + c c F + = + c F +, ln > u F + Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι: u( = u ( = + + F F ln, + u F + ( ), Β) Όντως για = έχουµε u ( ) = u και ( ) = Όλοι οι όροι της ταχύτητας u ( έχουν διαστάσεις ταχύτητας Εσείς να το επαληθεύσετε Οµοίως, όλοι οι όροι της θέσης ( έχουν διαστάσεις µήκους Πχ, L M T F ο όρος έχει διαστάσεις µήκους T T = L M Η ποσότητα που λογαριθµίζεται δεν έχει διαστάσεις, όπως πρέπει 3 Επειδή η δύναµη τείνει στο µηδέν σχετικά γρήγορα (ως / ) καθώς, περιµένουµε ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου θα τείνει σε µια οριακή τιµή και η F θέση του θα τείνει στο άπειρο Όντως, u( ) = u + και ( ) = Στο αποτέλεσµα για το ( ο γραµµικός όρος υπερισχύει του λογαριθµικού Παράδειγµα 4: Υλικό σηµείο µάζας βρίσκεται ακίνητο στη θέση = Για r r δρα πάνω του η δύναµη F = ( F / ) iˆ για και F = ( F / iˆ για Σελίδα 8 από 55
<, όπου F, είναι σταθερές µε κατάλληλες µονάδες και î είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στον άξονα Α) Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σηµείου για όλες τις τιµές του > Β) Σταµατά ποτέ το υλικό σηµείο και αν ναι πότε; Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι du d du d = F = F,, < Πρώτα θα λύσοµε την εξίσωση κίνησης για du d F F 3 = du= d du d c u( c = + = +, 3 F F όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης για Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u ( ) = c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος για είναι F ( ) 3 u = Παρατηρούµε ότι 3 F u( ) = 3 Αυτή είναι η αρχική ταχύτητα για τη µελέτη της κίνησης του υλικού σηµείου για > Τώρα θα λύσουµε την εξίσωση κίνησης για > du d F F F = du = d du = d F + A u( = ln + A, όπου A είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης για > Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες (δηλαδή για = ) έχοµε Σελίδα 9 από 55
F F F F u ( ) = ln + A= A= + ln 3 3 Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος για > είναι: F u ( = ln + 3 Β) Από τη λύση του προβλήµατος για > παρατηρούµε ότι για να γίνει η ταχύτητα µηδέν πρέπει F ln F + 3 = ή ln = 3 / ή e 3 = Γ) Οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται διότι u ( ) = και u( ) = F / 3 Όλοι οι όροι της ταχύτητας έχουν όντως διαστάσεις ταχύτητας Εσείς να το επαληθεύσετε 3 Για, u ( ) =, διότι η δύναµη τείνει στο µηδέν µε αργό τρόπο, δηλαδή F / Άσκηση : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την / επίδραση της δύναµης F = Fe, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u= u Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: Α) u( = u ( = F + F / ( e ) / F ( e ) + u + F u( ) = u + Β3) ( ) = Σελίδα από 55
Άσκηση : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F ( / + / ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = > και έχει ταχύτητα u = u > Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Γ) Τι αλλάζει αν κάποιος σας πει ότι οι ποσότητες, u είναι αρνητικές; Απάντηση: u( = u Α) ( = F + 3 ( + u ( 3 3 F ) + F ) + 3 (, F ) + ( 4 4 F ) + ln Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες Άσκηση 3: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την / επίδραση της δύναµης F = F ( / + e ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u = Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: u( = ( = F F 3 3 3 4 e 4 / + e / +, + Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι α) για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες και β) οι όροι µέσα στις παρενθέσεις είναι αδιάστατοι Άσκηση 4: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F sin( ω, όπου F,ω είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και κυκλικής συχνότητας αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u = u > Σελίδα από 55
Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: F u( = u + ( cos( ω ) ω F ( = + u+ ( ω sin( ω ) ω Και εδώ η λύση γράφτηκε µε τέτοιο τρόπο ώστε οι όροι στην παρένθεση να είναι αδιάστατοι Β3) Η δύναµη είναι περιοδικά µεταβαλλόµενη (στην προκειµένη περίπτωση η δύναµη είναι αρµονική συνάρτηση) Αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα θα είναι η αρχική u συν µια αρµονικά µεταβαλλόµενη ποσότητα Από τη λύση βλέποµε ότι η αρµονικά µεταβαλλόµενη ποσότητα βρίσκεται πάντοτε µεταξύ των τιµών και F /( ) Έτσι η ταχύτητα του υλικού σηµείου µεταβάλλεται αρµονικά µεταξύ ω των τιµών u και u + F /( ) Με άλλα λόγια, το υλικό σηµείο έχει µεταφορική ταχύτητα u + F /( ω) και επιπλέον αρµονική ταχύτητα µε πλάτος F /( ) Η θέση όµως του υλικού σηµείου για απειρίζεται διότι ανά πάσα ω ω στιγµή το υλικό σηµείο κινείται µε ταχύτητα τουλάχιστον u Σελίδα από 55
3 υνάµεις εξαρτώµενες από την ταχύτητα Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της γενικής δύναµης F = F(u), όπου u είναι η στιγµιαία ταχύτητα του υλικού σηµείου Συγκεκριµένα παραδείγµατα θα δούµε πιο κάτω Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε την ταχύτητα και τη θέση του υλικού σηµείου για > Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή du = F(u) (35) d du = F( u) (36) d Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (36) µε d και έχοµε du = F( u) d (37) ιαιρούµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (37) µε F (u) και έχοµε du = d (38) F( u) Ο λόγος που το κάναµε αυτό είναι για να χωρίσοµε τις µεταβλητές Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της (38) και έχοµε du F( u) d+ = c Σελίδα 3 από 55 (39) Το αριστερό µέλος της (39) είναι µια συνάρτηση της ταχύτητας, ας πούµε I (u) Έτσι γράφοµε
I ( u) = + c (4) και, αν η I (u) δεν είναι πολύπλοκη συνάρτηση, λύνοµε την (4) ως προς u συναρτήσει του Μετά συνεχίζοµε όπως στα προηγούµενα (βλ εξισώσεις έως 5) Παράδειγµα 5: Μια βάρκα (θεωρούµενη σαν υλικό σηµείο) µάζας σύρεται σε µια λίµνη σε ευθεία γραµµή (ας πούµε τον άξονα ) υπό την επίδραση µιας σταθερής δύναµης F > Η τριβή του νερού είναι µια δύναµη που αντιτίθεται στην κίνηση και είναι ανάλογη της ταχύτητας της βάρκας µε σταθερά αναλογίας > Α) Να σχεδιάσετε τον οριζόντιο άξονα µε όποια φορά θέλετε και να γράψετε την εξίσωση κίνησης της βάρκας Β) Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας για >, αν για = η βάρκα ήταν ακίνητη Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης της βάρκας είναι Β) du d du d = F u F du du du = u = d = d d c, F F u u F = + u F F όπου c είναι πραγµατική σταθερά Συνεπώς, ln u F = + c ln u F = c u F = e e c όπου τη θετική σταθερά e c / u = c F e, µε αυθαίρετο πρόσηµο τη γράψαµε ως πραγµατική c e σταθερά c Με άλλα λόγια, η αυθαίρετη σταθερά c είναι ίση µε ± και την εισαγάγαµε χάριν ευκολίας Συνεπώς, Σελίδα 4 από 55
F = ( c e u Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες F έχοµε: u ( ) = ( c) = c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι F u( e =, Γ) Όντως, για = έχοµε u ( ) = Η δύναµη τριβής είναι F = u Άρα οι διαστάσεις του είναι L M δύναµη/ταχύτητα, δηλαδή T = L T το εκθετικό είναι αδιάστατο ενώ το τρ M T Με αυτές τις διαστάσεις, παρατηρούµε ότι F / έχει διαστάσεις ταχύτητας Έτσι, όλοι οι όροι της u( έχουν διαστάσεις ταχύτητας, δηλαδή L/T 3 Για, u ( ) = F / Αυτό είναι αναµενόµενο, διότι λόγω τριβής η βάρκα αποκτά οριακή ταχύτητα Παρατήρηση: Η άσκηση δεν µας το ζητάει, αλλά αν θέλαµε να υπολογίσοµε τη θέση της βάρκας ως συνάρτηση του χρόνου θα γράφαµε d d e F = και θα προχωρούσαµε όπως στα παραπάνω (βλ εξισώσεις έως 5) Παράδειγµα 6: Ένας αλεξιπτωτιστής (θεωρούµενος σαν υλικό σηµείο) µάζας πέφτει κατακόρυφα από ύψος h Θεωρήστε, χάριν ευκολίας, ότι ο αλεξιπτωτιστής ήταν αρχικά ( = ) ακίνητος Η τριβή του αέρα είναι µια δύναµη που αντιτίθεται στην κίνηση και είναι ανάλογη της ταχύτητας του αλεξιπτωτιστή µε σταθερά αναλογίας > Α) Να σχεδιάσετε τον κατακόρυφο άξονα z µε όποια φορά θέλετε και να γράψετε την εξίσωση κίνησης του αλεξιπτωτιστή Β) Να βρείτε την ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή για > Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Ας θεωρήσοµε τον άξονα z προς τα πάνω είτε το επόµενο παράδειγµα για άξονα z προς τα κάτω Σελίδα 5 από 55
du Η εξίσωση κίνησης του αλεξιπτωτιστή είναι d αλεξιπτωτιστή είναι προς τα κάτω, γι αυτό το γράψαµε ως = g u Το βάρος του g Η τριβή του αέρα αντιτίθεται στην κίνηση, δηλαδή έχει πρόσηµο αντίθετο της ταχύτητας, γι αυτό γράψαµε Β) du d ln u g u, χωρίς να µας νοιάζει αν η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική = g u g u du u+ g + = + c ln du = d = d g u + g u g + = g ( ) + = = c e u c e, + c u g g + = e du = u + g e c d+ c όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας την αρχική συνθήκη έχοµε: g = u () = ( c ) c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι Το g / u ( = e, / στον εκθέτη έχει διαστάσεις χρόνου (διότι από τη σχέση F = u τρ οι διαστάσεις του είναι δύναµη/ταχύτητα, δηλαδή Μ/T) και λέγεται χαρακτηριστικός χρόνος Ο εκθέτης γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι είναι αδιάστατος Γ) Όντως, για = έχοµε u ( ) = Το g / έχει διαστάσεις ταχύτητας Να το ελέγξετε Οι όροι στην παρένθεση δεν έχουν διαστάσεις 3 Αν το h είναι αρκετά µεγάλο, η πτώση του αλεξιπτωτιστή θα διαρκέσει πολύ χρόνο Άρα εξετάζοµε τη λύση για Βλέποµε ότι για, έχοµε u ( ) = g / Αυτό είναι αναµενόµενο, διότι η δύναµη τριβής µεγαλώνει κατά µέτρο όσο µεγαλώνει η ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή Μετά από πάροδο αρκετού χρόνου (δηλαδή χρόνου αρκετά µεγαλύτερου από τον χαρακτηριστικό χρόνο Σελίδα 6 από 55
/ /, ώστε το εκθετικό e να τείνει στο µηδέν), η δύναµη τριβής εξισορροπεί τη βαρύτητα Έτσι ο αλεξιπτωτιστής µετά την πάροδο χρόνου αρκετά µεγαλύτερου από τον χαρακτηριστικό χρόνο αποκτά οριακή ταχύτητα Η οριακή αυτή ταχύτητα είναι αρνητική, διότι ο αλεξιπτωτιστής κινείται προς τα κάτω ενώ η θετική φορά του άξονα είναι προς τα πάνω Παράδειγµα 7: Υλικό σηµείο µάζας βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα u Στο υλικό σηµείο δρουν η σταθερή βαρύτητα και η τριβή του αέρα που είναι ανάλογη της ταχύτητας του υλικού σηµείου µε σταθερά αναλογίας > Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σηµείου για > Λύση: Ας θεωρήσοµε σ αυτή την άσκηση τον άξονα z προς τα κάτω du Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι d σηµείου είναι προς τα κάτω, γι αυτό το γράψαµε ως = g u Το βάρος του υλικού + g Η τριβή του αέρα αντιτίθεται στην κίνηση, δηλαδή έχει πρόσηµο αντίθετο της ταχύτητας, γι αυτό γράψαµε u, χωρίς να µας νοιάζει αν η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική, δηλαδή αν το υλικό σηµείο κινείται προς τα κάτω ή προς τα πάνω du d ln u g = g u g u du u g = + c ln du = d = d g u g u g = g ( ) = = + c e u c e, + c u g g du = u g = e e c d+ c όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας την αρχική συνθήκη έχοµε: g u u = u() = (+ c) c = g Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι Σελίδα 7 από 55