ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ. Υάρχει συάρτηση f : R R : f ( ) + f( ) =, για άθε. Υάρχει συάρτηση f ορισµέη αι συεχής [,+ ), η οοία δε αρουσιάζει αρότατο στο 3. ίεται συάρτηση f τέτοια ώστε f f = +, R. Υάρχει συάρτηση γησίως µοότοη g : g = + f 4. Υάρχει συάρτηση f : ώστε α υάρχει f αι α µη υάρχει lim f 5. Υάρχει συάρτηση f : R (, + ) αραγωγίσιµη µε συεχή αράγωγο για τη οοία ισχύει f = fof 6. Υάρχει συάρτηση f συεχής [ α, β ] µε f( α ) =α, ( α, β ) f β =β, f 7. Υάρχει συάρτηση της οοίας η αράγωγος µηδείζεται σε άειρα σηµεία του (, ) αι δε είαι σταθερή 8. Υάρχει συάρτηση ου η C f τέµει σε άειρα σηµεία τη λάγια ασύµτωτή της 9. Υάρχει συάρτηση ου α µη είαι η σταθερή η οοία έχει άειρες εφατοµέες αράλληλες στο. Υάρχου συαρτήσεις ου δε είαι συεχείς σε έα διάστηµα αλλά έχου αράγουσα σ αυτό. Υάρχει συάρτηση f συεχής µε f : R Q η οοία δε είαι σταθερή. Υάρχου f,gαραγωγίσιµες: f g = f g 3. Υάρχει συάρτηση συεχής αι ουθεά αραγωγίσιµη 4. Υάρχει συάρτηση, η οοία δε είαι µοότοη σε αέα υοδιάστηµα του εδίου ορισµού της ( B ) 5. ίεται συάρτηση f ορισµέη στο [ α, β ] η οοία αίρει όλες τις τιµές µεταξύ f( α ) αι f( β ). Να εξετάσετε α η f είαι άτα συεχής στο [, ] α β. 6. Υάρχου άειρες συαρτήσεις ου είαι ταυτόχροα άρτιες αι εριττές
7. Υάρχου συαρτήσεις f, g ασυεχείς στο, εώ f + g, f g συεχείς στο 8. Υάρχει συάρτηση f συεχής αι " " ου η ατίστροφή της δε είαι συεχής ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ. Θέτουµε = ( = ή = 4) Για = η δοσµέη f ( 4) + f( 4) = f ( 4) + f( 4) + = () Το τριώυµο αδύατη. + + = έχει = 3< δε έχει λύση στο R, οότε η () είαι Εοµέως δε ορίζεται το f 4, άρα δε υάρχει τέτοια συάρτηση.,. Έστω f ηµ >, = Η f είαι συεχής στο διότι f =. ηµ. Άρα lim f = = f Α άρουµε Όµως =, = + f = ηµ < f = ηµ + > + τότε,. Κοτά στο οι τιµές της f δε έχου σταθερό ρόσηµο. Άρα το f = δε είαι αρότατο. 3. Για = : f f = ( ) Για = f : f f f = f f + f = f f + ( f ) = f =
g =, g =. Άρα η gδε είαι µοότοη, αι εοµέως δε υάρχει τέτοια συάρτηση., 4. Α f ηµ, = Η fείαι συεχής αι αραγωγίσιµη ατού., Είσης f ηµ συ, = Όµως δε υάρχει lim f Α άρουµε g =συ =, =,, + g( ) g = =, Άρα η g δε έχει όριο στο αι ατ εέταση η f. 5. Έστω ότι υάρχει µια τέτοια συάρτηση fµε f >. Τότε f( f ) > f = f( f ) > Η f. Έχουµε f > f( f ) > f f f > ( f f ) > Οότε η g = f f στο R Για < g < g f f < f f < ( + ) f Όµως για < + < ( + ) f < f < άτοο Άρα δε υάρχει τέτοια συάρτηση. 6. α τρόος Μια τέτοια συάρτηση φαίεται α είαι η f g g = άρα η g (, ) α = β =, g f Τότε g g g =. Θεωρούµε g = f, α β. α< <β α β g Άρα g = f = 3
Εύολα βλέουµε ότι η f = ληροί τις αρχιές συθήες. β τρόος Ας υοθέσουµε ότι f. Θα υάρχει τότε έα τουλάχιστο : f( ) Θέτουµε f( ) = ( > ή < ) i) Α >. Στο [ ] υάρχει (, ) : f α, η f ιαοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ οότε f( α) f ξ α ξ = α α α άτοο ii) Α <. Η f στο [ ] υάρχει (, ) ρ β : ( β) f( ) α f ( ξ ) = α,β ιαοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. οότε f β ρ = ρ = β β f f β β άτοο Άρα f =, για άθε. 7. ΝΑΙ Η f =ηµ, g =συ Αόµα α ηµ h = + Rolle οότε υάρχει σε άθε διάστηµα [, + ], Ζ ισχύει το Θεώρηµα ξ, + : h ξ = 8. ΝΑΙ Η ηµ g = + e Η C g έχει λάγια ασύµτωτη τη y=. Πράγµατι ( ηµ ηµ lim g ) = lim = + + αφού e e e Είσης ηµ g = = ηµ = =, Ζ e 4
9. Όως το (7).. Ισχύου α) Α f συεχής στο έχει αράγουσα στο β) Α η f δε έχει αράγουσα στο δε είαι συεχής στο (είαι το ατίθετο ατίστροφο του (α))/ Η ρόταση () είαι η ατίθετη της (α)., Έστω f ηµ συ, = Η fδε είαι συεχής στο, αλλά έχει αράγουσα, F ηµ, =. Ας υοθέσουµε ότι η f δε είαι σταθερή. Τότε θα υάρχου, µε αι f( ) f( ). Αό το Θεώρηµα Εδιάµεσω Τιµώ η f θα αίρει όλες τις τιµές µεταξύ τω f( ) αι f( ), δηλαδή θα αίρει αι άρρητες τιµές. Αυτό ατιφάσει στο ότι f( R) Άρα f = c, σταθερή. Q. 3. Α f = e, g = e, Τότε : ( ) 3 9 f g = e =e 3+ = e 3 9 f g = 3e e = e Άρα f g = f g Γειά δε ισχύει 3 3 3 3 3+ + 3 3+ 3 3 3+ 3 5
cos 3 3. Η συάρτηση Weiestrass + f + = = Αόµα αι η f = φ( ), όου [ ] = φ = αέραιο µέρος του. 4. ΝΑΙ, Q Η συάρτηση του Diriclet: f, Q αλλά αι οι συαρτήσεις, f ηµ, =, g συ, = δε είαι µοότοες σε αέα διάστηµα [,α ]., 5. Α f ηµ, = µεταξύ τω σηµείω f( β ) =, η fαίρει όλες τις τιµές του [,] Η fείαι συεχής για, ως σύθεση τω α=, αι µάλιστα άειρες. = για οοιοδήοτε, αφού δε υάρχει το όριο στο. Α =, + = lim f( ) =ηµ + = lim f( ) =ηµ =,, άρα δε έχει όριο στο. β= µε f( α ) =, ηµ,, εώ δε είαι συεχής στο 6. Η f άρτια στο συµµετριό σύολο. f( ) = f εώ η f εριττή f( ) = f 6
Άρα f = f f =. Α f α α, α R, α> =, (, ) τότε υάρχου άειρες τέτοιες συαρτήσεις. 7. Θεωρούµε τις συαρτήσεις, Q f, Q, Q g, Q ου είαι ασυεχείς σε άθε σηµείο του εδίου ορισµού τους αφού δε έχου όριο σε αέα σηµείο του εδίου ορισµού τους. θα δείξουµε ότι η fδε έχει όριο σε αέα R. Έστω lim f = l R. Τότε ε> δ> : : < <δ ισχύει f l <ε. Α ε= η τελευταία αισότητα θα ισχύει για ρητούς αι άρρητους. Για ρ ρητό f ρ l <, για α άρρητο: f( α) l < τότε f( ρ) f( α ) = ( f( ρ) l) ( f( α) α) ( f ( ρ) l ) + ( f( ρ) α ) < + = Άρα ( ρ) ( α ) < f f f < < αδύατο Όµως ( f + g) = αι ( f g) = για όλα τα ου είαι συεχείς. 8. Θεωρούµε τη συάρτηση [ ) [ ),, f,,3 Η f είαι " " αι συεχής, όµως η ατίστροφή της δε είαι συεχής στο ([ ]) f,. 7