Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 2., Ι. Βαρδουλάκης, 2008

. ΤΑΝΥΣΤΕΣ. ΤΑΝΥΣΤΕΣ 9.1 Ορθογώνιοι γραµµικοί µετασχηµατισµοί 31. Αναλλοίωτοι και αντικειµενικοί τανυστές 34.3 Συµβολική γραφή Chapan-Cowlng 36.4 Το τανυστικό γινόµενο 37.5 Καρτεσιανοί τανυστές 38.6 Ισότροποι τανυστές 38.7 Ισότροπες τανυστικές συναρτήσεις µίας τανυστικής µεταβλητής 40.8 Λοξά συστήµατα συντεταγµένων 47.9 Τανυστές 54.10 Συναλλοίωτες και ανταλλοίωτες συντεταγµένες ενός διανύσµατος 56.11 Τανυστές ανωτέρας τάξεως 59 Στο Κεφάλαιο αυτό γίνεται µία σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του τανυστή και των τανυστικών συναρτήσεων 1,,3 σε καρτεσιανές συντεταγµένες καθώς και η επέκταση της έννοιας του τανυστή σε λοξά συστήµατα συντεταγµένων. 1 Teple G., Cartesan Tensors, Dover, 004 Dushe A. und Hochraner A., Tensorrechnung n Analytscher Darstellung, Ι. Tensoralgebra Sprnger 1970. 3 McConnell A.J. Applcatons of Tensor Analyss, Dover, 1957

30 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008. ΤΑΝΥΣΤΕΣ, 008 Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Dr-Ing., Καθηγητής της Μηχανικής στο Ε.Μ. Πολυτεχνείο Τ.Θ. 144, Παιανία 190-0, http://geolab.echan.ntua.gr/, I.Vardoulas@echan.ntua.gr

31 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008.1 Ορθογώνιοι γραµµικοί µετασχηµατισµοί Εικ. -1: Στροφή αξόνων το επίπεδο Θεωρούµε δύο δεξιόστροφα καρτεσιανά συστήµατα συντεταγµένων x και x, αντιστοίχως (Εικ. -1). Το τυχόν διάνυσµα θέσεως παρίσταται ως εξής, OP = R = x e = x e (.1) Η µετάβαση από τις συντεταγµένες του πρώτου συστήµατος στις συντεταγµένες του δευτέρου προκύπτει από τις προβολές του διανύσµατος θέσεως πάνω στους αντίστοιχους άξονες, π.χ., Re 1 = x1 1+ x 0+ x3 0 = x ( e e ) + x ( e e ) + x ( e e ) = Q x + Q x + Q x 1 1 1 1 3 1 3 11 1 1 13 3 (.) ή γενικώς x = Q x (.3) Παρατηρούµε ότι στον παραπάνω µετασχηµατισµό, Εξ. (.3), οι συντελεστές ταυτίζονται µε τα συνηµίτονα κατευθύνσεως των αξόνων x ως προς άξονες x Q = e e = e e = Q (.4) Q Από τη σχέση e = a e e e = a e e n n Q = a δ = a n n n (.5)

3 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 παίρνουµε ότι, e = Q e (.6) Π.χ. σε δύο διαστάσεις έχουµε (Εικ. -1), [ Q] cosφ snφ = snφ cosφ Έστω ν και ν τα συνηµίτονα κατευθύνσεως του µοναδιαίου διανύσµατος R / R, ως προς τα συστήµατα αξόνων x και x, αντιστοίχως. Τότε συµφώνως µε τα ανωτέρω έχουµε την σχέση και οµοίως Οπότε, και (.7) ν = Q ν (.8) ν = Q ν = ν Q (.9) ν ν = Q Q ν ν (.10) n n ν ν = ν ν = 1 Q Q ν ν = 1= ν ν = δ ν ν (.11) n n n n n n n n Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε επιλογή των συνηµίτονων ν, οπότε και Q Q = δ (.1) n n Q Q Q = Q δ = Q (.13) j ' ' l ' j ' l jl ' Επειδή δ j Ql Qjl = (.14) από τις Εξ. (.13) και (.14) παίρνουµε τελικά ότι Q Q ' j ' ' j' = δ (.15) Από τις παραπάνω σχέσεις επίσης προκύπτει ότι det[ Q Qn ] det[ Qn ] 1 Qn 1 = = =± (.16)

33 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παρατηρούµε ότι προκειµένου περί στροφής των αξόνων ισχύει το θετικό πρόσηµο, ενώ το αρνητικό πρόσηµο περιγράφει κατοπτρισµό σε επίπεδο. Ο αντίστροφος του [ Q ] ταυτίζεται µε τον ανάστροφό του, Q Q = δ, Q Q = δ (.17) n n ' j' ' j' Οπότε η ορίζουσα του πίνακα [ Q ] και του αντίστροφού του έχει µέτρο την µονάδα, Q = Q =± 1 (.18) n n Όπως αναφέραµε πιο πάνω, η τιµή + 1 αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων η δε τιµή 1 αντιστοιχεί σε κατοπτρισµό σε επίπεδο. Οι µετασχηµατισµοί που αντιστοιχούν σε στροφές καλούνται και κανονικοί ορθογώνιο µετασχηµατισµοί 4. Επειδή ο [ Q ] είναι ορθογώνιος από την Εξ. (.6) έπεται ότι (γιατί;) e = e Q n n (.19) Παρατηρούµε ότι οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί που δίδονται από την Εξ. (.3) αποτελούν πάλι µιαν αλγεβρική οµάδα. Πράγµατι: α) Με το στοιχείο, Qj = δj υπάρχει ο µοναδιαίος ή ταυτοτικός µετασχηµατισµός, x = Q x = δ x = x (.0) β) Για κάθε µετασχηµατισµό, x = Q x, υπάρχει και ο αντίστροφός του, x Q = Q Q x = δ x x = x Q (.1) n n n n γ) Αν θεωρήσουµε δύο διαδοχικούς ορθογώνιους µετασχηµατισµούς, x = Q x και x = Q x, τότε ο µετασχηµατισµός, x = Q x = Q Q x = Q x (.) n n n n ανήκει στην οµάδα, αφού ο πίνακας Qn = Q Qn είναι ορθογώνιος (γιατί;). 4 Αγγλ. proper orthogonal

34 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008. Αναλλοίωτοι και αντικειµενικοί τανυστές Θεώρηµα A B Η απόσταση δύο σηµείων A( x ), B( x ) παραµένει αναλλοίωτη µετά από έναν ορθογώνιο µετασχηµατισµό. Απόδειξη: Έστω x = x x και B A x = x x B A οπότε, x = Q x και ' ' = x x = Q x Q x = δ x x = x x = ο.ε.δ. Ορισµoί 1. Ένα διάνυσµα καλείται αντικειµενικό όταν µετασχηµατίζεται όπως και οι συντεταγµένες του διανύσµατος θέσεως, Εξ.(.3), b = Q b (.3) οπότε (γιατί;) b = b Q (.4) n n. Ένας τανυστής ας τάξεως καλείται αντικειµενικός, όταν ως προς κάθε του δείκτη µετασχηµατίζεται ως αντικειµενικό διάνυσµα t = Q Q t (.5) j n j n 3. Ένα βαθµωτό, διανυσµατικό ή τανυστικό µέγεθος καλείται αναλλοίωτο 5, όταν 5 Αγγλ. nvarant

35 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 = a T j = a = T j κλπ. (.6) Καµία φορά, όταν δεν υπάρχει περίπτωση παρανόησης, ο χαρακτηρισµός ενός τανυστή ως αντικειµενικού παραλείπεται. Παραδείγµατα αντικειµενικών τανυστών είναι ο τανυστής των τάσεων κατά Cauchy, ο απειροστικός τανυστής των τροπών κ.λπ. 6. Ασκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι για ένα ορθογώνιο µετασχηµατισµό το µετασχηµατισµένο διάνυσµα x = Q x είναι ισόµηκες προς το αρχικό.. Να αποδειχθεί ότι ο κατοπτρισµός στο επίπεδο x = x 1 cotα, δίδεται από τον πίνακα µετασχηµατισµού, cos α sn α 0 [ Q ] = snα cosα 0 0 0 1 Εικ. -: Κατοπτρισµός 3. Θεωρούµε δύο ορθογώνιους µετασχηµατισµούς [ Q ] και [ T ] σε δύο διαστάσεις: Ο µετασχηµατισµός που περιγράφεται από τον πίνακα [ Q ] αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων κατά γωνία ϕ και ο µετασχηµατισµός [ T ] αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων κατά γωνία 6 Πρβλ. Ι. Βαρδουλάκης, Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., Εκδ. Συµµετρία, 1998.

36 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 ψ. Να αποδειχθεί ότι ο µετασχηµατισµός [ S] = [ T][ Q] αντιστοιχεί σε στροφή αξόνων κατά γωνία ψ + ϕ και ως εκ τούτου ένα τέτοιο σύνολο µετασχηµατισµών συνιστά µια οµάδα µετασχηµατισµών. 4. Να αποδειχθεί ότι ο απειροστικός τανυστής των στροφών είναι αναλλοίωτος. 5. Να αποδειχθεί ότι τα συστήµατα Kronecer είναι αντικειµενικοί τανυστές..3 Συµβολική γραφή Chapan-Cowlng 7 Θεωρούµε ένα αντικειµενικό τανυστή 1 ης τάξεως και κάνουµε χρήση της λεγόµενης συµβολικής γραφής Chapan-Cowlng, βάσει της οποίας το διάνυσµα αυτό γράφεται στα δύο συστήµατα ως εξής b b Έχουµε ότι και Άρα = b e (.7) = b b e be Οµοίως δε Άρα e (.8) e e = b δ = b (.9) = b e e = bq = bn Qn Q = bn Qn Q = bn δn = b (.30) = b be = b e b = (.31) be = b e = b (.3) b = b e = Q b e = Q bq e = bδ e = b e = b (.33) Αυτό σηµαίνει ότι ένα αντικειµενικό διάνυσµα ή αντικειµενικός τανυστής 1 ης τάξεως είναι µια κλάση ισοδυναµίας της µορφής b = b e = b = b e = (.34) 7 Αγγλ. bold notaton.

37 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008.4 Το τανυστικό γινόµενο Έστω δύο αντικειµενικά διανύσµατα a και b. Το τανυστικό τους γινόµενο συµβολίζεται ως a b και έχει τις εξής ιδιότητες, ( λa) b= a ( λb) = λ( a b) a ( b+ c) = a b+ a c ( b+ c) a = b a+ c a (.35) όπου το λ είναι βαθµωτό µέγεθος. Επειδή στον παραπάνω ορισµό του τανυστικού γινοµένου υπεισέρχονται δύο διανύσµατα, το γινόµενο αυτό καλείται και δυαδικό γινόµενο 8.Από τους παραπάνω ορισµούς προκύπτει η διατύπωση του τανυστικού γινοµένου συναρτήσει των συνιστουσών των διανυσµάτων a και b, a b = a e b e ab = e e (.36) Επειδή δε γενικώς ab a b a b b a (.37) Παρατηρούµε ότι η έκφραση του τανυστικού γινοµένου, Εξ. (.36), είναι ανεξάρτητη του συστήµατος συντεταγµένων. Πράγµατι έστω a = a e, b = b e (.38) οπότε a b = ab e e = aqbq l l Q n Q s en es = ab l e e l (.39) Μία σηµαντική ιδιότητα του τανυστικού γινοµένου είναι ότι µπορούµε να ορίσουµε το «εσωτερικό» γινόµενό του µε ένα διάνυσµα ως εξής, ( ) = ( ), ( ) = ( ) a b c a b c a b c a b c (.40) Επειδή δεν υπάρχει περίπτωση παρανοήσεως οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να γραφούν ως εξής, Άρα ( ), ( ) a b c = a b c a b c = a b c (.41) a b c = abc j j e, a b c = abc e (.4) 8 Αγγλ. dyadc product

38 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008.5 Καρτεσιανοί τανυστές Ορισµός Ένας γραµµικός συνδυασµός δυαδικών γινοµένων συνιστά ένα καρτεσιανό τανυστή ας τάξεως. Το δυαδικό γινόµενο, Εξ. (.36), ως γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων δυαδικών γινοµένων είναι ένας καρτεσιανός τανυστής ας τάξεως, συµβολικά παριστάµενος ως εξής, A = e e (.43) Aj j Παρατηρούµε εδώ ότι καρτεσιανοί τανυστές συµβολίζονται συνήθως µε έντονα σύµβολα. Οι συντελεστές A j καλούνται συνιστώσες του αντίστοιχου καρτεσιανού τανυστή A. Παρατηρούµε εδώ ότι εξ ορισµού ένας (καρτεσιανός) τανυστής υπάρχει ανεξαρτήτως συστήµατος συντεταγµένων. Οι συνιστώσες του όµως καθορίζονται µόνον όταν έχουµε εισάγει το σύστηµα συντεταγµένων. Οι τιµές των συνιστουσών ενός τανυστή εξαρτώνται προφανώς από την επιλογή του συστήµατος συντεταγµένων. Κατ αναλογία της Εξ. (.39) έχουµε όπου, A = A j Aj e e = A j e e (.44) j j e e = AjQ Qn j e e (.45) j n Άρα 9 οι συντεταγµένες ενός καρτεσιανού τανυστή µετασχηµατίζονται όπως εκείνες ενός αντικειµενικού τανυστή (πρβλ. Εξ. (.5) A = Q Q A (.46) n nj j.6 Ισότροποι τανυστές Ο τανυστής I = δ j e e (.47) j καλείται µοναδιαίος τανυστής 10. Σε ένα άλλο σύστηµα συντεταγµένων έχουµε, I = δj e e j = δ jq Qn j e en = δ n e e n (.48) Τυπικό παράδειγµα ισότροπου τανυστή ας τάξεως είναι ο τανυστής των τάσεων σε ένα ιδεατό ρευστό, 9 πρβλ. Εξ.(.158) 10 Αγγλ. unt tensor

39 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 σ j = p δ (.49) j όπου p > 0 είναι το πεδίο πιέσεως. Ορισµός Ένας τανυστής ας τάξεως ο οποίος έχει την ιδιότητα οι συνιστώσες του σε κάθε σύστηµα συνταγµένων να ταυτίζονται µε τις συνιστώσες του µοναδιαίου τανυστή καλείται ισότροπος Παρατηρούµε ότι οι παραπάνω ορισµός µπορεί να γενικευθεί και για τανυστές ανωτέρας τάξεως. Π.χ. ο τανυστής j e = ε e ej e = e j e ej e (.50) είναι ένας ισότροπος τανυστής 3 ης τάξεως. Επίσης µπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι ο τυχόν ισότροπος τανυστής 3 ης τάξεως είναι πολλαπλάσιος του e. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν µόνον 3 γραµµικώς ανεξάρτητοι ισότροποι τανυστές 4 ης τάξεως, οι εξής (4) I1 = j l δ δ e e e e (.51) j l = δ δ e e e e (.5) (4) I jl j l (4) I3 = l j δ δ e e e e (.53) j l Άρα η γενική µορφή του ισότροπου τανυστή 4 ης τάξεως είναι ο γραµµικός συνδυασµός των ανωτέρω, λδjδ l + µδδ jl + νδδ l j (.54) όπου οι συντελεστές λ, µ και ν είναι βαθµωτά µεγέθη. Τυπικό παράδειγµα ισότροπου τανυστή 4 ης ισότροπα, συµπιεστά υλικά, τάξεως είναι ο τανυστής ελαστικότητας για E ν C jl = δδ jl + δlδ j + δjδl (.55) 1+ 1 ν ( ν) όπου E > 0 έχει διαστάσεις πιέσεως και καλείται µέτρο ελαστικότητος Young και 1< ν < 1/ είναι αδιάστατο µέγεθος και καλείται λόγος Posson.

40 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008.7 Ισότροπες τανυστικές συναρτήσεις µίας τανυστικής µεταβλητής Ένας συµµετρικός τανυστής B καλείται ισότροπη τανυστική συνάρτηση του αντικειµενικού τανυστή A, συµβολικά, B = f( A ), όταν για κάθε κανονικό ορθογώνιο µετασχηµατισµό των συντεταγµένων που ορίζεται από το αντίστοιχο σύστηµα Q ισχύει, A = B = Aj Bj e e j = A j e e j, An = Q Qnj Aj (.56) e e j = B j e e j, Bn = Q Qnj Bj (.57) τότε ( ) ( ) B = f A Q Q B = f Q Q A (.58) j j l n j j n j l l Σε µητρωϊκή µορφή η παραπάνω ισοδυναµία γράφεται ως εξής Θεώρηµα 11 [ B] f ([ A] ) = Τ ( ) [ Q][ B][ Q] Τ f [ Q][ A][ Q] (.59) = (.60) Η τανυστική συνάρτηση, B= f( A ), είναι ισότροπη τότε και µόνο τότε, όταν παρίσταται ως εξής, B I A A (.61) =Β 0 +Β 1 +Β όπου οι συντελεστές Β ( ν = 0,1,) είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A : Απόδειξη: ν (,, ) Β = Β Ι ΙΙ ΙΙΙ (.6) ν ν Α Α Α Οι συµµετρικοί τανυστές A και B έχουν πραγµατικές ιδιοτιµές και ιδιοκατευθύνσεις. Κατ αρχήν θα αποδείξουµε ότι οι κύριοι άξονες των τανυστών A και B ταυτίζονται. Στο σύστηµα Ox ( 1, x, x3 ) των κυρίων αξόνων του A τα διανύσµατα βάσης συµβολίζονται e, e, e και ο A δίδεται από τον πίνακα των ιδιοτιµών του, µε 1 3 11 n 1 Το θεώρηµα αυτό ισχύει για τανυστές διαστάσεως n, B =Β 0I +Β 1A+ Βn 1A. Truesdell C. & Noll. W. Non-lnear Feld Theores n Mechancs. Handboo of Physcs, III/3, Sect. 1, Sprnger, 1965. (Πρβλ. Παράρτηµα)

41 [ A] δηλαδή A α1 0 0 0 α 0 = 0 0 11 1 1 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 α 3 = α, A = 0, κοκ... Επιλέγουµε το κανονικό ορθογώνιο µητρώο, 1 0 0 (3) (3) Q 0 1 0 =, det Q =+ 1 0 0 + 1 Υπενθυµίζουµε ότι κατά τον µετασχηµατισµό x = Q x που αντιστοιχεί σε στροφή ή κατοπτρισµό, τα στοιχεία του µητρώου [ Q ] δίδονται από τα εσωτερικά γινόµενα των αντίστοιχων διανυσµάτων βάσης Q = e e (3) Άρα ο µετασχηµατισµός που αντιστοιχεί στο παραπάνω µητρώο [ Q ], αντιστοιχεί µε τη σειρά του σε µία στροφή περί τον άξονα Ox 3 κατά γωνία 180. Αυτό σηµαίνει ότι το διάνυσµα e 3 είναι κοινό ιδιοδιάνυσµα των τανυστών A και (3) Q. Αναλυτικά µπορεί κανείς να δείξει ότι ισχύει η σχέση, 1 0 0 α 0 0 1 0 0 α 0 0 1 1 0 1 0 0 α 0 0 1 0 0 α 0 = 0 0 + 10 0 α 3 0 0 + 1 0 0 α 3 ή συνοπτικά T [ ] [ ] = (3) (3) Q A Q A (.63) Ισχύουν τώρα οι παρακάτω ισότητες: Εξ.:(.63) [ ] (3) (3) T ( ) [ ] ( ) f Q A Q = f A Εξ.(.60) [ ] T ( ) [ ] f Q A Q = Q B Q (3) (3) (3) (3) T

4 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Εξ.(.59) : f ([ A] ) = [ B] Άρα οι (3) Q και B είναι πολλαπλασιαστικά αντιµεταθετοί, T [ ] = [ ] [ ] = [ ] (3) (3) (3) (3) Q B Q B Q B B Q Επειδή το διάνυσµα e 3 είναι ιδιοδιάνυσµα του (3) Q για την ιδιοτιµή +1, έχουµε ότι [ Q]{ e } =+ 1{ e } και Q (3) [ B]{ e } [ ] (3) = B Q { e } = [ B]{ e } 3 3 3 3 3 ηλαδή το διάνυσµα Be 3 είναι επίσης ιδιοδιάνυσµα του τα ιδιοδιανύσµατα του [ B]{ e } = β { e } 3 3 3 (3) Q για την ιδιοτιµή +1. Όλα όµως (3) Q για την ιδιοτιµή +1 πρέπει να είναι πολλαπλάσια του e 3, οπότε δηλαδή το e 3 είναι ιδιοδιάνυσµα του B για την ιδιοτιµή β 3. Η παραπάνω διαδικασία µπορεί να επαναληφθεί και για τα διανύσµατα e 1 και e. Άρα οι τανυστές A και B έχουν τους ίδιους κύριους άξονες (είναι οµοαξονικοί) και σε σύστηµα κοινών κυρίων αξόνων οι τανυστές αυτοί παρίστανται από τους πίνακες των ιδιοτιµών τους α 0 0 β 0 0 = = 1 1 0 0, 0 β 0 0 0 α 3 0 0 β 3 [ A] α [ B] Υπενθυµίζουµε τους παρακάτω συµβολισµούς 0 ( α1) 0 0 1 0 0 0 0 [ A] = 0 ( α ) 0 = 0 1 0 = [ I ] 0 0 0 ( α3) 0 0 1 ή A 0 = I 1 ( α1) 0 0 α1 0 0 1 0 0 ( α3) 0 0 α 3 1 1 [ A] = 0 ( α ) 0 = 0 α 0 = [ A] ή A 1 = A [ A] = ( α1) 0 0 0 ( α) 0 0 0 ( α3), ή T T T T A = AA = A A= AA= A A, κ.λ.π. Με τη βοήθεια αυτού του συµβολισµού θεωρούµε την εξής τυπική παράσταση της θεωρούµενης συναρτήσεως σε απειροσειρά µίας τανυστικής µεταβλητής, Εξ. (.59)

43 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 [ B] f ([ A] ) ϕ0( A) [ A] ϕ1( A) [ A] ϕ( A) [ A] 0 1 = = + + + (.64) Από την Eξ. (.64) παίρνουµε, Τ ( ) Τ [ Q][ B][ Q] = f [ Q][ A][ Q] Τ = ϕ0( [ Q][ A] Q )[ Q][ I][ Q] + ϕ1( [ Q][ A][ Q] )[ Q][ A][ Q] Τ Τ Τ + ϕ ([ Q][ A][ Q] )[ Q][ A][ Q] [ Q][ A][ Q] + όπου [ Q] Τ [ Q] [ I] Έστω =. [ A ] = [ Q][ A][ Q] Τ, [ ] = [ ][ ][ ] Τ Τ Τ B Q B Q Τ οι συζυγείς κατά τον ορθογώνιο µετασχηµατισµό πίνακες των αρχικών πινάκων, τότε [ B ] f ([ A ]) ϕ0( [ A ])[ A ] ϕ1( [ A ])[ A ] ϕ( [ A ])[ A ] 0 1 = = + + + Η παραπάνω σχέση σηµαίνει ότι το τυπικό ανάπτυγµα σε σειρά, Eξ. (.64), είναι µία ισότροπη τανυστική συνάρτηση του τανυστή A. Άρα οι συντελεστές ϕν ( ν = 0,1,, ) πρέπει να είναι ισότροπες βαθµωτές συναρτήσεις του τανυστή A, δηλαδή συναρτήσεις των αναλλοίωτών του, ϕ = ϕ ( α, α, α ), ν = 0,1,, (.65) ν ν 1 3 Παρατηρούµε τώρα ότι οι ιδιοτιµές του τανυστή A ικανοποιούν τη χαρακτηριστική του εξίσωση 1, 3 α Αα Αα Α Ι +ΙΙ ΙΙΙ = 0 Άρα και ο A ικανοποιεί την χαρακτηριστική του εξίσωση 13 A Ι A + ΙΙ A ΙΙΙ I = 0 (Cayley-Halton) 3 Α Α Α οπότε, A = Ι A ΙΙ A + ΙΙΙ A ( ν = 0,1, ) 3+ ν + ν 1+ ν ν Α Α Α 1 Πρβλ. Κεφ. 1.8 13 Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως το Θεώρηµα Cayley-Halton

44 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Άρα η τυπική σειρά, Eξ.(.64), µπορεί να γραφεί ως εξής ( ) 0 1 [ B] [ A] [ A] [ A] [ A] [ A] ή = + + + Ι ΙΙ +ΙΙΙ + ϕ0 ϕ1 ϕ ϕ3 Α Α Α [ B] [ A] [ A] [ A] 0 1 0 1 =Β +Β +Β (.66) όπου οι συντελεστές Β ν ( ν = 0,1,) πρέπει να είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A. Άρα δείξαµε ότι κάθε τυπική απειροσειρά της µορφής, Eξ. (.64), ανάγεται πάντοτε σε ένα µητρωικό τριώνυµο της µορφής, Eξ. (.66), µε συντελεστές που είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A. Αποµένει να δείξουµε ότι οι συντελεστές αυτοί είναι µοναδικοί. Λόγω της οµοαξονικότητας των τανυστών A και B η παράσταση [ B] =Β ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ )[ I] +Β ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ )[ A] +Β ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ )[ A] (.67) 0 Α Α Α 1 Α Α Α Α Α Α οδηγεί στο εξής σύστηµα εξισώσεων µεταξύ ιδιοτιµών ή β = B + α B + α B β α α β α α 1 0 1 1 1 = B0 + B1+ B 3 = B0 + 3B1+ 3B 1 α1 α 1 B0 β1 1 α α B 1 β = 1 α3 α 3 B β 3 (.68) Η ορίζουσα του συστήµατος αυτού είναι 1 α1 α 1 D = det 1 α α = α1 α α α3 α3 α1 1 α3 α 3 ( )( )( ) (.69) Για µεταξύ τους διάφορες ιδιοτιµές οι ορίζουσα του συστήµατος, Eξ. (.69), δεν µηδενίζεται 14. Άρα οι συντελεστές Β ν υπολογίζονται µονοσήµαντα και έτσι αποδείξαµε ότι η γενική ισότροπη τανυστική συνάρτηση, που ορίζεται µε την τυπική απειροσειρά, Eξ. (.64), ανάγεται πάντοτε στο µητρωικό τριώνυµο Eξ. (.66), µε µονοσήµαντα καθορισµένους συντελεστές Β, που είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή A. Αντιστρόφως, ν 14 Η απόδειξη εύκολα µπορεί να επεκταθεί και στις ειδικές περιπτώσεις όπου υπάρχει διπλή ή τριπλή ιδιοτιµή.

45 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 είναι άµεσα φανερό ότι το τριώνυµο, Eξ. (.66) ορίζει µία ισότροπη τανυστική συνάρτηση f (). ο.ε.δ. Παρατηρούµε τώρα ότι σε τυχαίο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων η γενική παράσταση µιας ισότροπης τανυστικής συναρτήσεως παίρνει την εξής µορφή, B = B ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ ) δ + B ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ ) A + B ( Ι, ΙΙ, ΙΙΙ ) A A (.70) j 0 Α Α Α j 1 Α Α Α j Α Α Α j Αν διαχωρίσουµε τον τανυστή A σε σφαιρικό και αποκλίνον µέρος 1 Aj = Ι Αδj + aj, a = 0 (.71) 3 τότε η παράσταση Εξ. (.70) γράφεται ως εξής, 1 1 1 Bj =Β 0δj +Β1( Ι Αδj + aj ) +Β Ι Αδ + a Ι Αδj + aj 3 3 3 1 1 = Β 0 + Β1Ι Α +Β Ι Α δj + Β 1 + ΙΑΒ aj + Ba aj 3 9 3 ή Bj = B0 δj +Β 1 aj + Ba aj (.7) Παράδειγµα Ας θεωρήσουµε την συνάρτηση B = A I (.73) που είναι ορισµένη για συµµετρικούς τανυστές A και B. Θα δείξουµε παρακάτω ότι κάτω από ορισµένες συνθήκες µπορούµε πράγµατι να ορίσουµε µια τέτοια ισότροπη τανυστική συνάρτηση. Οι τανυστές A και B. είναι συµµετρικοί και για να έχει νόηµα ο παραπάνω ορισµός πρέπει να τηρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος παραστάσεως. Άρα δεχόµαστε ότι οι τανυστές A και B. είναι οµοαξονικοί και ως εκ τούτου η Εξ. (.73)µπορεί να γραφεί στο καρτεσιανό σύστηµα των κοινών κυρίων αξόνων, B = A I β1 0 0 α1 0 0 1 0 0 0 β 0 0 α 0 0 1 0 = 0 0 β 3 0 0 α 3 0 0 1 οπότε

46 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 β = α 1 0 1 1 β = α 1 0 β = α 1 0 3 3 β =+ α 1 0 1 1 β =+ α 1 0 β =+ α 1 0 3 3 Συµφώνως προς την Εξ. (.68) έχουµε 1 α1 α 1 B α 0 1 1 1 α α B1 = α 1 1 α3 α 3 B α3 1 Κάνοντας τώρα χρήση των τύπων του Craer για το παραπάνω σύστηµα παίρνουµε τις εξής εκφράσεις για τους συντελεστές : α 1 α α 1 1 1 1 0 det α 1 α α D α3 1 α3 α3 Β = 1 α 1 α 1 1 1 1 det 1 α 1 α D 1 α3 1 α3 Β = 1 α1 α1 1 1 Β = det 1 α α 1 D 1 α3 α3 1 όπου D = ( α α )( α α )( α α ) 0 1 3 1 3 Άρα η ισότροπη τανυστική συνάρτηση που ορίζεται τυπικά ως B = A I (.74) δύναται να κατασκευασθεί και παίρνει την εξής µορφή,

47 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 α1 1 α1 α 1 1 α1 1 α 1 1 α1 α1 1 1 det Bj = α 1 α αδj + det 1 α 1 αaj + det 1 α α 1 A Aj D α3 1 α3 α3 1 α3 1 α3 1 α3 α3 1 (.75) Είναι φανερό ότι η σχέση µεταξύ της συµβολικής εκφράσεως, Εξ. (.74), και της αναλυτικής της µορφής, Εξ. (.75), δεν είναι προφανής. Άσκηση Να κατασκευασθεί η ισότροπη τανυστική συνάρτηση του συµµετρικού τανυστή A, B = ln( I + A ), όπου: t 0 0 A = t 3 0 0 t [ ] 0 0.8 Λοξά συστήµατα συντεταγµένων 15 1 3 Θεωρούµε δεδοµένο το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ox (, x, x ). Τα αντίστοιχα διανύσµατα βάσεως έστω, e 1, e, e3 Θεωρούµε τώρα ένα λοξό σύστηµα συντεταγµένων, του οποίου τα διανύσµατα βάσεως g 1, g, g δίδονται συναρτήσει των 3 e, e, e, 1 3 g = ae (.76) και e = a g l l (.77) Παρατηρούµε ότι τα µητρώα που καθορίζουν τις παραπάνω γραµµικές εξαρτήσεις είναι αντίστροφα, ή g = ae = aag δ g = aag l l l l l l aa l l (.78) = δ (.79) 15 Klngbel, E., Tensorrechnung für Ingeneure, BI, Hochschultaschenbücher, 1966.

48 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Εικ. -3: Λοξή διανυσµατική βάση, Εξ.(.80). Για παράδειγµα θεωρούµε τις παρακάτω σχέσεις µεταξύ των δύο βάσεων (Εικ. -3), g1 = e1 g = e1+ e g = e + e + e 3 1 3 (.80) Από τις Εξ. (.80)παίρνουµε ότι, e1 = g1 e = g + g e = g + g 1 3 3 (.81) Οπότε εν προκειµένω έχουµε ότι 1 3 a1 a1 a 1 1 0 0 1 3 a = a a a 1 1 0 = 1 3 a3 a3 a 3 1 1 1 [ ] (.8) και

49 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 1 3 a1 a1 a 1 1 0 0 1 3 a = a a a 1 1 0 = 1 3 a3 a3 a 3 0 1 1 [ ] (.83) Άρα aa = δ l l 1 3 1 3 a1 a1 a 1 a1 a1 a 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 1 3 a a a a a a 1 1 0 1 1 0 0 1 0 = = 1 3 1 3 a3 a3 a 3 a3 a3 a 3 1 1 1 0 1 1 0 0 1 (.84) ή [ a][ a] = [ I] (.85) Το διάνυσµα θέσεως ενός σηµείου στο χώρο µε τις καρτεσιανές συνταγµένες P( x ) είναι, OP = x e (.86) Έστω ότι στο λοξό σύστηµα διάνυσµα θέσεως του εν λόγω σηµείου έχει συνταγµένες, Άρα, OP = x g x g = x a e x = a x x e = x a g x = a x l l l l (.87) (.88) Αντιστοίχως στο συγκεκριµένο παράδειγµα (Εικ. -3), έχουµε ότι 1 3 1 3 x e1 e1+ x e e1+ x e3 e1 = x g1 e1+ x g e1+ x g3 e1 (.89) x = x g e + x g e + x g e 1 1 3 1 1 1 3 1 ή x = x e e + x e + e e + x e + e + e e ( ) ( ) 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 (.90) και οµοίως

50 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 1 3 x = x e1 e + x e1+ e e + x e1+ e + e3 e x = x e e + x e + e e + x e + e + e e (.91) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 Οι παραπάνω σχέσεις συνοψίζονται στις εξής τρεις γραµµικές εξισώσεις, x = x + x + x 1 1 3 1 1 x = 0x + x + x 1 3 x = 0x + 0x + x 3 1 3 (.9) ή 1 x 1 1 1 x1 x 0 1 1 = x 3 x 0 0 1 x 3 (.93) ή T T {} x [ a] { x} T = (.94) Επειδή η ορίζουσα του παραπάνω συστήµατος είναι διάφορη του µηδενός (εµ προκειµένω έχει την τιµή +1) το σύστηµα αυτό µπορεί να αντιστραφεί, 1 x 1 1 0 x1 x 0 1 1 = x 3 x 0 0 1 x 3 (.95) ή T T { x} [ a] {} x Σύνοψη αποτελεσµάτων: T = (.96) Από τα παραπάνω συµπεραίνοµε ότι στη θεωρούµενη περίπτωση η µετάβαση από το ένα σύστηµα συντεταγµένων στο άλλο θα γίνει βάσει ενός γραµµικού µετασχηµατισµού της µορφής, x = ax+ ax + ax 1 1 1 1 1 3 1 3 x = a x + a x + a x 1 3 1 3 x = ax+ ax + ax 3 3 1 3 3 3 1 3 (.97) βάσει του οποίου το σύστηµα x µετασχηµατίζεται στο σύστηµα µετασχηµατισµός αυτός παίρνει την µορφή, x. Συντοµογραφικά ο

51 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 x = ax (.98) r r s s Γενικώς θα υποθέσουµε ότι ο µετασχηµατισµός (.98) είναι αντιστρέψιµος, δηλαδή ότι υπάρχει ο µετασχηµατισµός x = ax (.99) r r Για να είναι αυτό δυνατό πρέπει η ορίζουσα του µετασχηµατισµού να µη µηδενίζεται, r r r r a = a = det[ a ] 0 a = a = det[ a ] 0 aa = 1 (.100) οπότε τα στοιχεία s s s s r r r s s s r a είναι τα συµπληρωµατικά των στοιχείων aa = aa = δ (.101) Παρατηρούµε ότι οι γραµµικοί µετασχηµατισµοί που δίδονται από την Εξ. (.98) αποτελούν πάλι µιαν αλγεβρική οµάδα (γιατί;). Επίσης παρατηρούµε ότι (γιατί;) r a s x x x e = ( ax ) e = aδ e = a e = g g = e, a = x x x x x x s s x x g = ( asx ) g = asδ g = ag = e e = g, a = x x x x (.10) Παρατηρούµε τώρα ότι στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων το µήκος του διανύσµατος θέσεως δίδεται από την παρακάτω σχέση, = x e x e = x x δ = x x = x + x + x (.103) ( ) ( ) ( ) j j 1 3 j j Θα υποθέσουµε τώρα ότι η πυθαγόρεια αυτή σχέση, που δίνει το µήκος του διανύσµατος θέσεως, ισχύει τυπικά και στο λοξό σύστηµα µε την εξής µορφή = x g x g = x x g (.104) j j j j όπου g = g g j j (.105) Πράγµατι από την υπόθεση, Εξ. (.104), και τον µετασχηµατισµό, Εξ. (.98), παίρνουµε = x g x g = x x g = a x a x g (.106) j j s j r j j s r j Αν ισχύει η υπόθεση Εξ. (.104), τότε λόγω της Εξ.(.103) πρέπει να ισχύει η εξής, = a x a x g = δ x x a a g = δ (.107) s j r s r j s r j sr s r j sr

5 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παρατηρούµε όµως ότι από τις Εξ. (.105) και (.76) προκύπτει g = g g = ae ae = aaδ = aa j j j j j (.108) Άρα g = aa (.109) j j οπότε aa g = aa aa = δ δ = δ (.110) j j s r j s r j s r sr ο.ε.δ. Συγκρίνοντας τώρα τις Εξ. (.103) και (.104), = δ x x = g x x (.111) j j j j παρατηρούµε ότι το σύστηµα ας τάξεως g j καθορίζει τη µετρική 16 συντεταγµένων. στο λοξό σύστηµα Εικ. -4: Η µετρική σε λοξό σύστηµα συντεταγµένων 1 Για την επεξήγηση της έννοιας της µετρικής ας περιορισθούµε στο επίπεδο Ox (, x ). Βάσει του σχήµατος (Εικ. -4) έχουµε ότι το µήκος του διανύσµατος θέσεως υπολογίζεται ως εξής, 16 Αγγλ. etrc. Ο όρος µετρική σηµαίνει τον τρόπο µε τον οποίο υπολογίζουµε το µήκος το διανύσµατος θέσεως, όταν η θέση του άκρου του δίδεται από τις λοξές του συντεταγµένες.

53 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 OP = OP OP = OA+ OB OA+ OB = x g + x g x g + x g ( ) = x g g + x g g + x x g g 1 1 1 1 1 (.11) Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω έκφραση για τον υπολογισµό του µήκους του διανύσµατος θέσεως, Εξ. (.111), υπεισέρχονται µέσω της µετρικής τα πραγµατικά µήκη των διανυσµάτων βάσεως καθώς και µεταξύ τους γωνία, ϕ = π / 4, g11 = g1 g1 = g1 g1 cos( 0) = e1 e1 1 = 1 g = g g = g g cos( 0) = e1+ e e1+ e 1 = = g1 = g1 g = g1 g cos( ϕ) = e1 e1 + e cos ( π / 4) = 1 = 1 g = g 1 1 (.113) Στο συγκεκριµένο παράδειγµα ο πλήρης πίνακας της µετρικής στο θεωρούµενο λοξό σύστηµα συντεταγµένων είναι ο εξής (γιατί;), 1 1 1 g j 1 = 1 3 (.114) Κάνοντας χρήση των παραπάνω, µπορούµε τώρα να επεκτείνουµε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων σε λοξά συστήµατα συντεταγµένων ως εξής: Έτσι δύο διανύσµατα, (.115) x = xe = x g y = y e = y g Στο καρτεσιανό σύστηµα το εσωτερικό γινόµενο ορίζεται ως γνωστόν ως, x y = x y =δ x y j j (.116) οπότε x y = δ x y = δ a x a y = a a x y j j n n j j n n (.117) Κάνοντας χρήση της Εξ. (.109) από την Εξ. (.117) προκύπτει τελικά ο τύπος υπολογισµού του εσωτερικού γινοµένου σε λοξό σύστηµα συντεταγµένων n x y = gnx y (.118)

54 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Άσκηση Στο παραπάνω λοξό σύστηµα έστω x = g + g και 3 y = 5g + g 3 τους γωνία. να υπολογισθεί η µεταξύ.9 Τανυστές Τανυστής καλείται ένα σύστηµα συναρτήσεων του τύπου ( ρ x ), v ( x ), tj ( x ), µ j ( x ) κ.λπ., των οποίων οι συνιστώσες υπακούουν σε ένα συγκεκριµένο νόµο µετασχηµατισµού, όταν οι µεταβλητές υποβάλλονται σε ένα γραµµικό µετασχηµατισµό του τύπου (.98). Για την επεξήγηση της έννοιας του τανυστή ας θεωρήσουµε κατ' αρχήν ένα σύστηµα µηδενικής τάξεως ρ ( x ). Το µέγεθος αυτό, από φυσικής σκοπιάς, θα µπορούσε να είναι πυκνότητα ενός σώµατος στο σηµείο αυτού µε συντεταγµένες x. Αν το µέγεθος αυτό παραµένει το ίδιο (αναλλοίωτο) κατά το γραµµικό µετασχηµατισµό x x, δηλαδή αν ισχύουν οι σχέσεις ρ( x ) = ρ( ax r ) = ρ( x ) (.119) τότε το µέγεθος αυτό καλείται βαθµωτό 17. Η πυκνότητα και η θερµοκρασία ενός υλικού σώµατος είναι βαθµωτά µεγέθη, αφού η τιµή της πυκνότητας ή της θερµοκρασίας ενός σώµατος σε κάποιο σηµείο ενός υλικού σώµατος δεν εξαρτώνται από το σε πιo σύστηµα συντεταγµένων έχουµε υπολογίσει τις συντεταγµένες του θεωρούµενου σηµείου. Εν συνεχεία ας θεωρήσουµε ένα σύστηµα 1 ης τάξεως. Η απλούστερη περίπτωση ενός τέτοιου συστήµατος είναι οι συντεταγµένες του διανύσµατος θέσεως x αυτές καθ εαυτές. Μετά το γραµµικό µετασχηµατισµό οι συνιστώσες του θεωρούµενου συστήµατος 1 ης τάξεως υπολογίζονται βάσει της Εξ. (.98) ως, x = a x (.10) Ορισµός: Ένα σύστηµα 1 ης τάξεως f ( x ) το οποίο µετασχηµατίζεται όπως οι συντεταγµένες του διανύσµατος θέσεως x καλείται ανταλλοίωτος τανυστής 1ης τάξεως 18, οπότε f = a f (.11) Η σχέση αυτή δίνει έναν µόνον από τους δυνατούς τρόπους µετασχηµατισµού ενός συστήµατος 1 ης τάξεως. Ένας άλλος τρόπος µετασχηµατισµού προκύπτει αν θεωρήσουµε τη γραµµική µορφή που ορίζεται από τη σχέση A = f u (.1) 17 Αγγλ. scalar («κλιµακωτό»). 18 Αγγλ. contravarant tensor of order one.

55 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 όπου το f ( x ) είναι ένας ανταλλοίωτος τανυστής 1 ης τάξεως. Παράλληλα υποθέσουµε ότι η γραµµική µορφή A είναι ένα βαθµωτό µέγεθος, δηλαδή ότι παραµένει αναλλοίωτη, A f u f u A = = = (.13) Για παράδειγµα η ποσότητα A θα µπορούσε να συµβολίζει το έργο µιας δυνάµεως µε συνιστώσες f, όταν το διάνυσµα µετατοπίσεως του σηµείου εφαρµογής της έχει συνιστώσες u. Η χρήση διαφορετικού συµβολισµού για τα δύο διανύσµατα (δηλαδή η χρήση ενός συστήµατος 1 ης τάξεως µε άνω δείκτη για τον συµβολισµό της δυνάµεως και ενός συστήµατος 1 ης τάξεως µε κάτω δείκτη για τον συµβολισµό της µετατοπίσεως) έχει όπως συνηθίζουµε να λέµε «φυσικό» νόηµα. Οι δύο αυτές ποσότητες πρέπει να διακρίνονται από φυσική σκοπιά, αφού η δύναµη είναι από θερµοδυναµική άποψη ένα εντατικό µέγεθος και η µετατόπιση ένα εκτατικό µέγεθος. Στη συνέχεια θα προσδώσουµε µαθηµατικό νόηµα σε αυτό τον διαχωρισµό. Από την Εξ. (.11) παίρνουµε ότι f = a f (.14) r r οπότε το θεωρούµενο σύστηµα 1 ης τάξεως 19 u ( x ) ικανοποιεί την εξής σχέση, A= f u = f u = a f u p p ( u a u ) f = 0, f p p p p (.15) Αυτό σηµαίνει ότι το θεωρούµενο σύστηµα µετασχηµατίζεται ως εξής, u = a u (.16) Ορισµός: Ένα σύστηµα 1 ης τάξεως u ( x ) το οποίο µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε τo νόµο (.16) 0, καλείται συναλλοίωτος τανυστής 1ης τάξεως 1. Παρατηρούµε τώρα ένας ανταλλοίωτος τανυστής 1 ης τάξεως f παρίσταται ως, = f f g (.17) όπου η διανυσµατική βάση g µετασχηµατίζεται ως ένα συναλλοίωτο σύστηµα 1 ης τάξεως, g = ag (.18) 19 Το σύστηµα u καλείται το συζυγές του 0 ηλαδή έτσι ώστε µια δεδοµένη γραµµική µορφή συνιστούν ανταλλοίωτο τανυστή 1 ης τάξεως. 1 Αγγλ. covarant tensor of order one. f µε µέτρο A. A= f u να παραµένει αναλλοίωτη, όταν τα f

56 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Η παρατήρηση αυτή µας επιτρέπει να ονοµάσουµε την διανυσµατική βάση συναλλοίωτη διανυσµατική βάση. g ως µια Κατ αναλογία ένας συναλλοίωτος τανυστής 1 ης τάξεως u θα παρασταθεί ως, u = u g (.19) και η βάση g θα ονοµασθεί ως µία ανταλλοίωτη διανυσµατική βάση. Η κατασκευή της ανταλλοίωτης διανυσµατικής βάσης δεν είναι µια προφανής διαδικασία, γι αυτό και θα την αναπτύξουµε στο αµέσως επόµενο κεφάλαιο..10 Συναλλοίωτες και ανταλλοίωτες συντεταγµένες ενός διανύσµατος Mε δεδοµένη την συναλλοίωτη βάση g 1, g, g 1 3 3 ορίζουµε µία άλλη βάση g, g, g, την οποία ονοµάζουµε ανταλλοίωτη, έτσι ώστε τα διανύσµατα των δύο αυτών βάσεων να είναι κάθετα µεταξύ τους j j g g = δ (.130) Με την εισαγωγή του µετρικού τανυστή της συναλλοίωτης βάσης g j, Εξ. (.105), µπορούµε να εισάγουµε τον µετρικό τανυστή της αντίστοιχης ανταλλοίωτης βάσης, j j g = g g Αν δεχθούµε ότι g = Ag g g = Ag g j j j j (.131) (.13) ή g = A δ = A g = g g j j j j (.133) Αντιστοίχως λαµβάνουµε ότι, g = g g l l (.134) οπότε, g g = g g g g g g = δ j j l j l j (.135) Άρα οι τανυστές (.110) έχουµε g j και j g είναι αντίστροφοι. Λαµβάνοντας υπ όψη τις Εξ. (.109) και Αγγλ. contavarant vector bass.

57 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 δ a = g g a = g a a a j j s j s j s a = g a δ a = g a j j s s j s s j aa = g aa aa = gδ n j s n n j n s s j s s s j (.136) Άρα g = aa (.137) n n s s Για τον κατ ευθείαν υπολογισµό των διανυσµάτων της ανταλλοίωτης βάσεως παρατηρούµε 1 ότι βάσει του ορισµού τους, Εξ. (.130), το διάνυσµα g είναι κάθετο στα διανύσµατα, g και g 1 3. Άρα θα µπορούσαµε να γράψουµε τυπικά ότι το διάνυσµα g µε τη βοήθεια το εξωτερικού γινοµένου των άλλων δύο διανυσµάτων βάσεως α = 1 g g g3 (.138) Για τον υπολογισµό του ανταλλοίωτου διανύσµατος από την παραπάνω σχέση, Εξ. (.138), πρέπει πρώτα να ορίσουµε το εξωτερικό γινόµενο σε ένα λοξό σύστηµα συντεταγµένων. Για το σκοπό αυτό θεωρούµε δύο διανύσµατα l x = xe, y = ye (.139) l Το εξωτερικό τους γινόµενο ορίζεται τυπικά ως το διάνυσµα z = x y: z = ε l l x y e (.140) όπου ε l είναι ο αντίστοιχος πλήρως αντισυµµετρικός τανυστής 3 ης τάξεως 3. Στο λοξό σύστηµα συντεταγµένων τα ως άνω διανύσµατα γράφονται, l x = x g, y = y g l και ο παραπάνω ορισµός του εξωτερικού γινοµένου επεκτείνεται ως εξής: z = x y = e x y g = e x y g l l l l (.141) (.14) όπου εισάγοµε το αντισυµµετρικό ή αντιµεταθετικό σύστηµα 3 ης τάξεως g f :(, l, ) = cycl(1,,3) el = g f :(, l, ) = cycl(,1,3), g = g 0 else j (.143) 3 Πρβλ. Κεφ. 1.4

58 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παρατηρούµε ότι σε ένα καρτεσιανό σύστηµα gj = δj και ως εκ τούτου ο τανυστής e l, Εξ. (.143), ταυτίζεται µε σύµβολο Lev-Cvta, ε l και ο ορισµός του εξωτερικού γινοµένου που δώσαµε µε την Εξ. (.14) συµπίπτει µε εκείνον που ισχύει σε για ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Έχοντας τώρα προσδώσει νόηµα στο εξωτερικό γινόµενο, µπορούµε να γράψουµε τυπικά τις εξισώσεις από τις οποίες θα υπολογίσουµε τις συνιστώσες της ανταλλοίωτης βάσεως, 1 1 αg = g g3 α( g g1) = α = ( g g3) g1 βg = g3 g1 β( g g) = β = ( g3 g1) g (.144) 3 3 γg = g g γ( g g ) = γ = ( g g ) g 1 3 1 3 ή g g g g g g g = = [ g, g3, g1] [ g1, g, g3] g g g g = = [ g3, g1, g] [ g1, g, g3] g g = [ g, g, g ] 1 3 3 3 1 3 1 3 1 1 3 (.145) Κάνοντας χρήση της ταυτότητας a a a b a c [ abc,, ] = b a b b b c c a c b c c παρατηρούµε ότι το µεικτό γινόµενο των διανυσµάτων βάσεως είναι (γιατί;), [ g, g, g ] = g = g [ g, g, g ] = g 1 3 j 1 3 (.146) (.147) Παράδειγµα Περιοριζόµαστε εδώ χάριν απλότητας στο επίπεδο (1, ) και υποθέτουµε ότι η συναλλοίωτη βάση ορίζεται ως εξής (Εικ. -5), g = e, g = e + e (.148) 1 1 1 Με δεδοµένη την συναλλοίωτη βάση µπορούµε να υπολογίσουµε ο το µητρώο της µετρικής στη βάση αυτή, 1 1 g j = 1 (.149)

59 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Υπολογίζουµε και το αντίστροφο του, j 1 g = 1 1 (.150) Οπότε η συναλλοίωτη βάση προκύπτει ως: 1 11 1 g = g g1+ g g = g1 g = e1 e (.151) g = g g + g g = g + g = e 1 1 1 Εικ. -5: Συναλλοίωτη και ανταλλοίωτη βάση σε συζυγή λοξά συστήµατα συνταγµένων στο επίπεδο..11 Τανυστές ανωτέρας τάξεως Γενικεύοντας τους παραπάνω ορισµούς µπορούµε να ορίσουµε τανυστές ας, 3 ης κ.λπ. τάξεως διαφόρων ειδών. Οι εν λόγω τανυστές ορίζονται από τους παρακάτω κανόνες µετασχηµατισµού. Θεωρούµε δύο λοξά συστήµατα συντεταγµένων. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο καθορίζεται από γραµµικούς µετασχηµατισµούς της µορφής, j j g = ag j, g = ag j (.15) g = ag, g = ag Η βάσεις g, g λέγονται συναλλοίωτες και οι βάσεις g, g λέγονται ανταλλοίωτες. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο γίνεται µέσω των αντίστοιχων µετρικών,

60 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 j j g = g g, g = g g j j g = gg, g= gg j j j j (.153) Παρατηρούµε ότι το µεικτό σύστηµα g = g g = δ j j j j g ταυτίζεται µε το σύµβολο Kronecer, (.154) Ένας τανυστής 1 ης τάξεως είναι ένα διάνυσµα, που µπορεί να παρασταθεί ως εξής, Α = A g = A g = Ag = Ag (.155) Τα συστήµατα A και A λέγονται ανταλλοίωτες συνιστώσες του διανύσµατος Α στις βάσεις g και g, αντιστοίχως. Τα συστήµατα A και A συναλλοίωτες συνιστώσες του διανύσµατος Α στις βάσεις g και g, αντιστοίχως. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο γίνεται πάλι µέσω των αντίστοιχων µετρικών j j j j A = g A, A = g A A = g A, A = g A j j j j (.156) Οι συνιστώσες του θεωρούµενου τανυστή 1 ης τάξεως µετασχηµατίζονται ως εξής, A = a A, A = a A A = aa, A= aa (.157) Οµοίως µπορούµε να ορίσουµε ως τανυστή ας τάξεως ένα σύστηµα δευτέρας τάξεως του οποίου κάθε δείκτης µετασχηµατίζονται ως οι συνιστώσες ενός τανυστή πρώτης τάξεως. Π.χ.: οι συνιστώσες ενός ανταλλοίωτου τανυστή ας τάξεως µετασχηµατίζονται ως j j l j j l t = aat, t = aat (.158) l l Αντιστοίχως για ένα συναλλοίωτο τανυστής ας τάξεως έχουµε: l l t = a a t, t = a a t (.159) j j l j j l Τέλος, οι συνιστώσες µεικτών τανυστών ας τάξεως µετασχηµατίζονται ως: t = a a t, t = a a t l l j j l j j l t = a a t, t = a a t j j l j j l l l (.160)

61 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 Παράρτηµα 4 4 Truesdell C. & Noll. W. Non-lnear Feld Theores n Mechancs. Handboo of Physcs, III/3, Sect. 1, Sprnger, 1965

6 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ.., Ι. Βαρδουλάκης, 008 63