1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Απογραφή: Εξετάζουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού. Δειγματοληψία: Εξετάζουμε ένα αντιπροσωπευτικό μέρος του πληθυσμού, το δείγμα, ώστε να βγάλουμε συμπεράσματα για όλον τον πληθυσμό. Μεταβλητές: Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό (συμβολίζονται Χ, Υ, Ζ, ) Πλήθος (ν) του δείγματος: Ο αριθμός των ατόμων του δείγματος. Άσκ. 3, 4 (σελ61) Σχολικού Βιβλίου ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1. ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ Αυτές που δεν μπορούν να μετρηθούν Χρώμα μαλλιών (μαύρο, καστανό, ), ομάδα αίματος (Α,Β,0 ΑΒ, ), φύλο (άνδρας, γυναίκα).. ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ Αυτές που μπορούν να μετρηθούν με αριθμούς ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ Παίρνουν διακεκριμένες τιμές (μετριούνται με ακέραιους). ΣΥΝΕΧΕΙΣ Παίρνουν όλες τις τιμές ενός διαστήματος (μετριούνται με δεκαδικούς). Αριθμός παιδιών (0,1,,3, ), Βάρος μαθητή, (98,3 76,9 58,7 ) Νούμερο παπουτσιού (37, 38, 39, ) Μήκος ποταμού ( 3.356.890,8 14.567.83 ) Πόντοι στο μπάσκετ (87, 90, 55,.)
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω μεταβλητές Το μήκος ενός ποταμού Το πλήθος των θεατών σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου Η διάρκεια ζωής ενός ηλεκτρικού λαμπτήρα Οι Ιταλοί που έχουν επισκεφθεί την Ελλάδα το καλοκαίρι Το πλήθος των σελίδων ενός βιβλίου Το επίπεδο μόρφωσης Το πλήθος των ορόφων ενός κτιρίου Το πλήθος των θεατών σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου Η διάρκεια μιας κινηματογραφικής ταινίας ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Το βάρος μιας φραντζόλας ψωμιού Τα μόρια για την εισαγωγή στα ΑΕI και ΤΕI Η εθνικότητα προσφύγων Η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου στην κλήση της Τροχαίας Το ύψος ενός βουνού Το πλήθος των επιβατών λεωφορείου Θερμοκρασία ενός δωματίου Οι πωλήσεις ενός μοντέλου αυτοκινήτου Το βάρος μιας φραντζόλας ψωμιού Ο βαθμός Φυσικής στον έλεγχο Ο βαθμός απολυτηρίου Άσκηση 1, (σελ61) Σχολικού Βιβλίου Οι πρώτες στήλες που εμφανίζονται: Β. ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ X : Το όνομα της μεταβλητής Βρίσκω τις διαφορετικές τιμές που παρουσιάζονται στο δείγμα και βάζω κάθε τιμή σε μια νέα γραμμή του πίνακα. Έτσι, καθορίζεται ο αριθμός των γραμμών. Τον συμβολίζω με κ. v : Συχνότητα του X Ο αριθμός των ατόμων που έχουν τιμή μεταβλητής ίση με X, ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εξετάσαμε 0 οικογένειες ως προς τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Αριθμός παιδιών Οικογένειες Συχνότητα v 0 3 1 5 8 3 3 4 1 Σύνολο 0 Πληθυσμός: Οι 0 οικογένειες. Μεταβλητή: Πλήθος: ν = 0 Αριθμός παιδιών. Πλήθος γραμμών: 4 (4 διαφορετικές τιμές για X ) Διαβάζω: υπάρχουν 3 οικογένειες χωρίς παιδιά, 5 με 1 παιδί, 8 με παιδιά,
3 Πως αναφέρουμε τις θέσεις του πίνακα. Αριθμός παιδιών Συχνότητα v 1 = 0 ν 1 = 3 = 1 ν = 5 3 = ν 3 = 8 4 = 3 ν 4 = 3 5 = 4 ν 5 = 1 Σύνολο ν = 0 ν1 + ν +... + νκ = ν Οι σχετικές συχνότητες: f : Η Σχετική Συχνότητα του X O λόγος της συχνότητας προς το μέγεθος του δείγματος (εκφράζει το «πόσα στα πόσα»). f v v f1 + f +... + fκ = 1 f % : Συχνότητα του X Η σχετική συχνότητα σε ποσοστό %. f % f 100 f1 % + f % +... + fκ % = 100 Το παράδειγμα γίνεται: Αριθμός παιδιών Συχνότητα v Σχετική συχνότητα f Σχετική συχνότητα % f % 0 3 f 1 = 3/0= 0,15 f 1 % = f 1 *100 = 0,15*100= 15 1 5 f = 5/0= 0,5 f % = f *100 = 0,5*100= 5 8 f 3 = 8/0= 0,40 f 3 % = f 3 *100 = 0,40*100= 40 3 3 f 4 = 3/0= 0,15 f 4 % = f 4 *100 = 0,15*100= 15 4 1 f 5 = 1/0= 0,05 f 5 % = f 5 *100 = 0,15*100= 5 Σύνολο 0 1 100 Ερωτηματολόγιο τάξης
4 Οι αθροιστικές συχνότητες ποσοτικών μεταβλητών Ν : Η Αθροιστική Συχνότητα του X το άθροισμα των συχνοτήτων ν των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες με αυτή την τιμή του X Απαντάει σε ερωτήσεις του τύπου: «πόσα άτομα έχουν X μικρότερο ή ίσο του X», «το πολύ ίσο με», «μέχρι και» και παίρνοντας την προηγούμενη τιμή «λιγότερο από», «κάτω από» F : Η Σχετική Αθροιστική Συχνότητα του X το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων f των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή X F % : Η Σχετική Αθροιστική Συχνότητα % του X το άθροισμα των σχετικών % συχνοτήτων f % των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή X Απαντάει σε ερωτήσεις του τύπου: «τι ποσοστό ατόμων έχουν X μικρότερο ή ίσο του X», «το πολύ ίσο με», «μέχρι και» και παίρνοντας την προηγούμενη τιμή «λιγότερο από», «κάτω από» Το παράδειγμα γίνεται: Αριθμός παιδιών Χ Συχνότητα v Σχετική συχνότητα f Σχετική συχνότ.% f % Αθροιστική Συχνότητα Ν Αθροιστική Σχετική συχνότ. F Αθροιστική Σχετ. συχνότ.% F % 0 3 0,15 15 3 0,15 15 1 5 0,5 5 8 0,40 40 8 0,40 40 16 0,80 80 3 3 0,15 15 19 0,95 95 4 1 0,05 5 0 1 100 Σύνολο 0 1 100 - Οι ποιοτικές μεταβλητές δεν έχουν Αθροιστικές συχνότητες. ΠΡΟΣΟΧΗ - Τα X πρέπει να είναι ταξινομημένα κατά μέγεθος για έχουν νόημα οι Αθροιστικές συχνότητες. - οι Αθροιστικές συχνότητες δεν έχουν σύνολα. Η τελευταία γραμμή τους είναι ίδια με αυτή των συνόλων των απλών συχνοτήτων. Η σχέση των N με τις F και F % είναι ή ίδια με την σχέση των v με τις f και f %. N F, F % F 100 v Παραγωγή πίνακα συχνοτήτων, Πίνακας συχνοτήτων Φοιτητές, Ερωτήσεις αθροιστικών, Ελλιπείς πίνακες Άσκηση 1 (σελ78), 4, 5 (σελ79) Σχολικού Βιβλίου
5 Γ. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Είναι απαραίτητη κυρίως στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής, αλλά στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής με μεγάλο αριθμό διαφορετικών τιμών της Χ. Ομαδοποιούμε τα δεδομένα σε ομάδες (Κλάσεις) που περιλαμβάνουν τιμές Χ από μια τιμή μέχρι μια άλλη (όρια της κλάσης) με ίδια απόσταση η μια από την άλλη (πλάτος κλάσης). Οι κλάσεις έχουν μορφή διαστήματος [ ), δηλαδή περιλαμβάνουν το άνω άκρο, όχι το κάτω. Π.χ. Έστω 0 δεδομένα: 5, 18,, 17, 8, 19, 19, 7, 6, 10, 14, 1, 13, 9, 16, 5, 8, 1, 11, 13 1. Βρίσκουμε την ελάχιστη mn και την μέγιστη ma τιμή των δεδομένων mn = ma = 19. Το εύρος δείγματος βρίσκεται ως ma - mn Ma mn = 19 = 17 3. 4. Για το πλάτος της κλάσης διαιρούμε το εύρος δια του αριθμού των κλάσεων π.χ 3. Τώρα έχουμε κλάσεις με πλάτος 6. Αρχίζω από το mn= και προσθέτω 6. Πρώτη κλάση,8 προσθέτω πάλι 6 Δεύτερη 8,14 Τρίτη 14, 0 17/3 = 5,67 δηλ 6 (για δεκαδικό στρογγυλεύουμε στον επόμενο ακέραιο) Περιλαμβάνω την αρχή κάθε κλάσης και αφήνω το τέλος για την επόμενη [, 8) [8,14) [14, 0) Δηλ το «8» θα ανήκει στην δεύτερη κλάση Τώρα μοιράζουμε τα δεδομένα στις κλάσεις και φτιάχνουμε τον πίνακα. Το Χ θα αντιπροσωπεύεται από τα μέσα της κλάσης δηλ. από τις κεντρικές τιμές. Κλάσεις Κεντρικές τιμές k Διαλογή v [, 8) (+8)/ = 10/ = 5 5 5,,7,6,5 5 [8,14) (8+14)/=/ = 11 11 8,10,1,13,9,8,1,11,13 9 [14, 0) (14+0)/=34/=17 17 18,17,19,19,14,16 6 Σύνολο ν = 0 Ομαδοποίηση 80 αριθμών. Άσκηση 7 (σελ 83) μόνο το α), β)
6 Δ. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Α) ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ (για ποιοτικές μεταβλητές) Στον οριζόντιο άξονα τα Χ και στον κάθετο οι τιμές των συχνοτήτων. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα. Τόσο η απόσταση μεταξύ των στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους καθορίζονται αυθαίρετα. Η ετικέτα βρίσκεται στο μέσο της στήλης. Μπορεί να έχω ραβδόγραμμα συχνοτήτων (v ), αλλά και σχετικών συχνοτήτων (f ) ή σχετικών % συχνοτήτων (f %). Τότε έχω όμοια εικόνα στηλών. Αν εναλλάξουμε τους άξονες από κατακόρυφο το ραβδόγραμμα γίνεται οριζόντιο. Β) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ (για ποσοτικές μεταβλητές) Όπως το ραβδόγραμμα αλλά με κάθετες γραμμές αντί για στήλες, ακριβώς στην ετικέτα. Ο άξονας των Χ είναι αριθμητικός. Μπορεί να έχω ραβδόγραμμα συχνοτήτων (v ), αλλά και όλων των άλλων συχνοτήτων (και αθροιστικών). Όταν αναπαριστώ αθροιστικά μεγέθη τα ύψη είναι αύξοντα. Αν ενώσω τα σημεία (, v ) προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων.
7 Γ) ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ (για ποιοτικές και ποσοτικές μεταβλητές) Γωνιά σε μοίρες που αναλογεί Χ ν f α Μαύρο 1 0,10 0,10 * 360 = 37 Άσπρο 1 0,178 0,178 * 360 = 64 Κόκκινο 30 0,54 0,54 * 360 = 91 Γαλάζιο 10 0,085 0,085 * 360 = 31 Πράσινο 30 0,54 0,54 * 360 = 91 Κίτρινο 15 0,17 0,17 * 360 = 46 118 1 360 Χωρίζουμε έναν κύκλο σε κυκλικούς τομείς των οποίων οι γωνίες είναι ανάλογες με τις συχνότητες που αναπαριστούμε. α = 360 (ν /ν) = 360 f Πρακτικά, παίρνω γωνίες α σαν ένα κομμάτι των 360 ο του κύκλου, ανάλογο της f. Δ) ΣΗΜΕΙΟΓΡΑΜΜΑ ( για λίγα δεδομένα) Εξαγωγές δοντιών 9 ζαχαροπλαστών: 5 3 5 5 3 4 στ) ΧΡΟΝΟΓΡΑΜΜΑ (Για την διαχρονική αναπαράσταση φαινομένων.) Στα διαγράμματα αυτά ο άξονας χ παριστάνει χρόνο.
8 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ (όταν έχω ομαδοποιημένα δεδομένα συνεχούς μεταβλητής) Φυσικά πρόκειται για ποσοτική μεταβλητή και μάλιστα με κλάσεις ίσου πλάτους c. Χωρίζω τον άξονα χ σύμφωνα με με το πλάτος c της κλάσης. Άρα έχω ίσα διαστήματα. Η θέση των αριθμών είναι στο σημείο αρίθμησης και όχι στο κέντρο της ράβδου. Προσθέτω μια κλάση μηδενικής συχνότητας πριν και μετά τα δεδομένα. Τα ορθογώνια κατασκευάζονται με βάση τα πλάτη, όποτε είναι διαδοχικά χωρίς κενά ανάμεσά τους. Το ύψος τους αντιστοιχεί στην συχνότητα. Επειδή η μονάδα μέτρησης των χ είναι ίσο με ένα, το εμβαδό τους ισούται με την συχνότητα. Κλάσεις v [, 8) 5 [8,14) 3 [14, 0) 9 [0, 6) 6 Κατασκευή πολυγώνου συχνοτήτων. Ενώνω τα μέσα τα μέσα των άνω βάσεων των στηλών. Αν στον κάθετο άξονα θέσω τις σχετικές συχνότητες θα έχω σε όμοιο σχήμα το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Το εμβαδό του πολυγώνου είναι ίσο με το εμβαδό των στηλών του ιστογράμματος. Με το παρόμοιο τρόπο κατασκευάζω ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. Ενώνω τα δεξιά πάνω άκρα των άνω βάσεων των στηλών. Αν στον κάθετο άξονα θέσω τις σχετικές συχνότητες θα έχω σε όμοιο σχήμα το ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Κλάσεις v N [, 8) 5 5 [8,14) 3 8 [14, 0) 9 17 [0, 6) 6 3
9 Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά μεγάλος (τείνει στο άπειρο) και ότι το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό (τείνει στο μηδέν), τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων. Ομοιόμορφη Κανονική ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία Ομαδοποίηση 80 αριθμών. Ελλιπείς, Σε ιστόγραμμα πολύγωνο και πολύγωνο αθροιστικών Θέμα 011. Και όλα τα θέματα σε διαγράμματα. Αντίστροφη διαδικασία. Δ1. Στο πρώτο σχήμα φαίνεται το πολύγωνο των συχνοτήτων των ηλικιών ενός χωριού. Δ. στο δεύτερο το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων των ετών εργασίας, των καθηγητών σε ένα σχολείο Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων με τις στήλες των: κλάσεων, v, N, k, f, F %
10 Ε. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Αριθμητικοί δείκτες για να περιγράψουμε σύντομα μια κατανομή. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ η θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα. Επικρατούσα τιμή Μέση τιμή Σταθμικός μέσος Διάμεσος δ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ: πόσο εκτείνονται οι παρατηρήσεις γύρω από το «κέντρο» τους Εύρος R Διακύμανση s Τυπική απόκλιση s Συντελεστής μεταβολής CV ΠΡΟΣΟΧΗ ΤΑ ΜΕΤΡΑ ΑΦΟΡΟΥΝ ΜΟΝΟ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (Μόνο η Επικρατούσα τιμή μπορεί να αναφέρεται και σε ποιοτική μεταβλητή) ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ. Η τιμή του X με την μεγαλύτερη συχνότητα. (το X με το μεγαλύτερο ν ) Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες της μιας. Είναι το μόνο μέτρο που μπορεί να οριστεί και για ποιοτική μεταβλητή. ** εκτός ύλης, αλλά αναφερόμενο ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ. Αν έχω ν παρατηρήσεις t 1, t, t ν Ρωτήσαμε, τυχαία, 10 καθηγητές πόσες φορές την εβδομάδα γυμνάζονται και πήραμε τις παρακάτω απαντήσεις: 1, 0,, 1, 1, 4,, 3, 5, 3 t 1 t... t 1 t 1 0 11 4 3 5 3 3,3 10 10 Αν οι τιμές βρίσκονται σε πίνακα κατανομής συχνοτήτων με κ διαφορετικές τιμές (δηλ. ο πίνακας έχει κ γραμμές) Σχηματίζω την νέα στήλη v η οποία έχει χρήση και στα μέτρα διασποράς v v 0 1 0 1 3 3 4 3 6 4 1 4 5 1 5 Σύνολα ν = 10
11 1 1... k k 1 0113 3 41 51 10, 10 Ιδιότητα: k 1 k 1 k 1 f Σε δεδομένα ομαδοποιημένα σε κλάσεις, αντί Χ χρησιμοποιούμε τις κεντρικές τιμές k Κλάσεις Κεντρικές v k v τιμές k [, 8) 5 5 5 [8,14) 11 9 99 [14, 0) 17 6 10 k 1 6 0 11,3 Σύνολα ν = 0 6 ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ. Είναι η μέση τιμή στην περίπτωση που έχω τιμές 1,, ν που έχουν διαφορετικούς συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w 1, w, w ν π.χ βαθμός πρόσβασης 1w 1 w... w w w... w 1 3 1 1 w w ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΤΥΠΟ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Ε1. Δίνονται οι παρατηρήσεις, 6, 7, 3, 7, με μέση τιμή ίση με 6. Υπολογίστε το. Ε. Αν η Μέση Τιμή των παρακάτω δεδομένων είναι 8, βρείτε το ω 8,, 6,, 8, ω + 6, 1, 8, 8, 3ω, 1, 6, 6 Ε3. Σε μια επιχείρηση, ο μέσος μηνιαίος μισθός των 9 υπαλλήλων ενός τμήματος, είναι 850. α. Αν προσληφθεί ένας ακόμη υπάλληλος με μισθό 650, ποιος θα είναι τότε ο μέσος μηνιαίος μισθός ;
β. Μετά την πρόσληψη ενός ακόμα υπαλλήλου ο μέσος μηνιαίος μισθός ανέρχεται στα 860. Ποιος είναι ο μισθός του; γ. Για λογιστικούς λόγους, η επιχείρηση θα πρέπει να κρατήσει το μέσο μηνιαίο μισθό το πολύ έως 880. Πόσο χρήματα μπορεί να δώσει, το πολύ, σε ένα νέο εργαζόμενο; δ. Αν στο μέσο μηνιαίο μισθό των βασικών 9 υπαλλήλων, συμπεριλάβουμε και το μισθό τριών διευθυντικών στελεχών, τότε ο μέσος μισθός ανέρχεται στα 1100. Ποιος είναι, τότε, ο μέσος μηνιαίος μισθός των διευθυντών; Ε4. Η Μέση Τιμή 5 παρατηρήσεων είναι 80. Αν από αυτές οι μειώνονται κατά 8 και οι 3 αυξάνονται κατά 1, τότε να βρεθεί η νέα Μέση Τιμή. Ε5. Η Μέση Τιμή 0 παρατηρήσεων είναι 40. Ποια θα είναι η νέα Μέση Τιμή αν οι παρατηρήσεις : α. αυξηθούν κατά 10% ; β. μειωθούν κατά 10% ; 1 ΔΙΑΜΕΣΟΣ δ. Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ονομάζεται: Η μεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό. Το ημιάθροισμα των μεσαίων παρατηρήσεων αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ έχω το δείγμα 9, 8, 3, 6, 4, 9, 8 Μονός αριθμός παρατηρήσεων (ν = 7) 3, 4, 6, 8, 8, 9, 9 δ = 8 Ή το δείγμα 9, 8, 3, 6, 4, 9, 8, 3 Ζυγός αριθμός παρατηρήσεων (ν = 8) 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9, 9 δ = (6+8)/ = 7 Ή αλλιώς 7 / = 3,5 η επόμενη 4 η παρατήρηση 8 / = 4 (4 η + 5 η παρατήρηση) / ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ: Οι θερμοκρασίες που μετρήσαμε το πρώτο εικοσαήμερο του Σεπτεμβρίου στην πόλη μας είναι οι παρακάτω: 0 19 17 18 19 18 18 19 17 19 17 19 0 19 0 19 17 18 18 18 Βρείτε την διάμεσο Έτσι και αλλιώς θα χρειαστεί να ταξινομήσουμε το δείγμα κατά αύξουσα σειρά. Κάνουμε πίνακα.
13 Θερμοκρασίες Χ Συχνότητα v Έχω 0 παρατηρήσες δηλ ζυγός αριθμός Οι μισές είναι 0/ = 10. Άρα δ=(10 ος + 11 ος )/ Αθροιστική Συχνότητα Ν 17 4 3 18 6 8 19 7 Ο 10 ος = 18 16 0 3 Ο 11 ος = 19 19 Φαίνεται καλύτερα όταν έχω και στήλη Ν Σύνολο 0 δ = (18+19) / = 18,5 Η διάμεσος σε πίνακα με κλάσεις υπολογίζεται γραφικά, από το ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων % και το πολύγωνο συχνοτήτων Επειδή θέλουμε το 50% των δεδομένων κάτω από την διάμεσο και 50% πάνω από την διάμεσο, φέρω την κάθετο στο 50% και όπου συναντήσει το πολύγωνο φέρω την κάθετο στον οριζόντιο άξονα. F % 50 % δ ΑΣΚΉΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΥ (σελ. 100) σταθ.μεσος δ 1 4 7 8 9 11 1 13 18
14 ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Ασκηση 14, σελ 101 ΕΥΡΟΣ R. Ονομάζεται η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα R. R = ma mn ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ s. Διακύμανση s μιας μεταβλητής X, που παίρνει ν το πλήθος τιμές με μέση τιμή ονομάζεται το πηλίκο: t, = 1,,... ν ν ( t ) 1 ( - t 1 ) ( - t )... ( - t s ν ν Αν οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι ταξινομημένες σε πίνακα συχνοτήτων, με κ διαφορετικές τιμές, τότε: ν κ(x - κ ). ν(x ) 1 ν1(x - 1) ν(x - )... ν s ν ν ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ s. ν ) Τυπική απόκλιση s μιας μεταβλητής X, που παίρνει ν το πλήθος ονομάζεται η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, δηλαδή: * * Οι άλλοι τύποι δίνονται, αρα δεν προτιμούνται. s = s ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Συντελεστής μεταβολής μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, που παρουσιάζει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s, ονομάζεται το πηλίκο: CV = s s ή CV = 100% Ένας πληθυσμός θα ονομάζεται ομοιογενής αν CV 10%
15 Εξάσκηση σε παραμέτρους διασποράς. ΕΦΑΡΜΟΓΗ σελ 97. Με το προηγούμενο φύλλο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 101-10 15 Όλα 16 Για εξάσκηση με κομπιουτεράκι 19 Για εξάσκηση με κομπιουτεράκι 0 Τύποι διασποράς (μόνο την s )