Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι η κατανόηση της έννοιας της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης και της σύνδεσή της με τονπίνακα τιμών και τοντύπο της συνάρτησης. Επίσης οι μαθητές θα ασκηθούν ώστε να ερμηνεύουν μια δεδομένη γραφική παράσταση, να λύνουν προβλήματα και να βρίσκουν τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τους άξονες και τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον άξονα χ χ. 2) Η διδασκαλία θα υλοποιηθεί στην αίθουσα διδασκαλίας και η χρονική διάρκεια θα είναι 3 διδακτικές ώρες. Οι μαθητές θα εργαστούν σε ομάδες ανά δύο (ζεύγος μαθητών στο ίδιο θρανίο) με βάση φύλλο εργασίας που θα τους δοθεί. Β) Διδακτική μέθοδος και εργαλεία. Τα διδακτικά εργαλεία που θα χρησιμοποιηθούν είναι το φύλλο εργασίας και ο πίνακας. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί είναι η «καθοδηγούμενη ανακάλυψη». Συγκεκριμένα οι μαθητές θα εμπλακούν σε δραστηριότητες με τις οποίες θα κληθούν να βγάλουν συμπεράσματα και να προχωρήσουν σε γενικεύσεις μετά από παρατηρήσεις που θα κάνουν. Σε αυτό θα συμβάλει η στοχευμένη βοήθεια και η συστηματική καθοδήγηση του καθηγητή. Σε κάθε μαθητή θα δοθεί ένα φύλλο εργασίας, στο οποίο θα συνεργάζεται με το συμμαθητή του στο ίδιο θρανίο. Όταν ο διδάσκων κρίνει σε κάθε βήμα ότι η εργασία έχει προχωρήσει αρκετά, θα ερωτήσει ή θα σηκώσει ένα μαθητή στον πίνακα, για να παρουσιάσει την εργασία του και να διατυπώσει, όπου χρειάζεται, το σχετικό συμπέρασμα-κανόνα. Η εργασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να ολοκληρωθεί η διδασκαλία.
Γ) Απαραίτητες γνώσεις που πρέπει να διαθέτουν οι μαθητές. 1) Τι είναι σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων στο επίπεδο και πως ορίζεται η θέση ενός σημείου σ αυτό. 2) Τι ονομάζεται συμμετρικό ενός σημείου ως προς άξονα μια ευθεία (ε) ή ως προς κέντρο Ο. Πως βρίσκουμε το συμμετρικό ενός σημείου. Δ) Διδακτικοί στόχοι. 1) Να μπορούν οι μαθητές να προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου με δοσμένες συντεταγμένες και αντίστροφα καθώς επίσης να μπορούν να βρίσκουν τις συντεταγμένες των συμμετρικών του. 2) Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σαν ένα σύνολο σημείων και τη σχέση που έχουν αυτά τα σημεία με ένα πίνακα τιμών της συνάρτησης. 3) Να μπορούν να διακρίνουν αν μια γραμμή σε σύστημα συντεταγμένων είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. 4) Να μπορούν να βρίσκουν τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τους άξονες και τη σχετική της θέση ως προς τον άξονα χ χ. 5) Να μπορούν να βρίσκουν τα σημεία τομής και τη σχετική θέση μεταξύ των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων, είτε παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις τους είτε λύνοντας εξισώσεις και ανισώσεις. Ε) Αναμενόμενη διδακτική πορεία. Μάθημα 1 ο Σ αυτό το μάθημα αρχικά γίνεται υπενθύμιση προς τους μαθητές τι είναι σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων στο επίπεδο και πως ορίζεται η θέση ενός σημείου σ αυτό. Επίσης γίνεται υπενθύμιση βασικών εννοιών συμμετρίας ως προς άξονα και ως προς κέντρο. Στη συνέχεια θα ζητηθεί από τους μαθητές να συμπληρώσουν το 1 ο φύλλο εργασίας όπου καλούνται να προσδιορίσουν τη θέση και τις συντεταγμένες ενός δοσμένου σημείου και στη συνέχεια τα συμμετρικά αυτού του σημείου ως προς τους άξονες, την αρχή Ο και την ευθεία ψ=χ. Οι ερωτήσεις θα οδηγήσουν τους μαθητές στην διατύπωση κανόνων σχετικά με τη σχέση των συντεταγμένων συμμετρικών σημείων. Με τη συμπλήρωση του φύλλου εργασίας και των γενικών συμπερασμάτων που περιλαμβάνει θα αξιολογηθεί άμεσα η επίτευξη του πρώτου στόχου. Μέση διάρκεια 30 λεπτά.
Καρτεσιανές συντεταγμένες - Συμμετρίες ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Στο παρακάτω σύστημα αξόνων να γίνει η γραφική παράσταση του σημείου Μ(-5,3): ο α) Να βρείτε το συμμετρικό Μ 1 του Μ ως προς άξονα συμμετρίας τον χ χ. Οι συντεταγμένες του Μ 1 είναι (.,.). Γενικά παρατηρήστε ότι το συμμετρικό του Μ(α,β) ως προς άξονα τον χ χ είναι Μ1(.,.). β) Να βρείτε το συμμετρικό Μ 2 του Μ ως προς άξονα συμμετρίας τον ψ ψ. Οι συντεταγμένες του Μ 2 είναι (.,.). Γενικά παρατηρήστε ότι το συμμετρικό του Μ(α,β) ως προς άξονα τον ψ ψ είναι Μ2(.,.).
γ) Να βρείτε το συμμετρικό Μ 3 του Μ ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0). Οι συντεταγμένες του Μ 3 Γενικά παρατηρήστε ότι το συμμετρικό του Μ(α,β) ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0) είναι Μ 1 (.,.). είναι (.,.). δ) Να σχεδιάσετε τη ευθεία που διχοτομεί την 1 η και 3 η γωνία των αξόνων, δηλαδή την ευθεία y=x και στη συνέχεια να βρείτε το συμμετρικό Μ 4 του Μ ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία αυτή. Οι συντεταγμένες του Μ 4 είναι (.,.). Γενικά παρατηρήστε ότι το συμμετρικό του Μ(α,β) ως προς άξονα την y=x είναι Μ Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: Δύο σημεία συμμετρικά ως προς: i) τον άξονα x x έχουν την τετμημένη και. τεταγμένες. ii) τον άξονα y y έχουν την..τεταγμένη και τετμημένες. iii) την αρχή Ο έχουν.. συντεταγμένες. iv) την διχοτόμο της 1 ης και 3 ης γωνίας των αξόνων έχουν το ένα τετμημένη την του άλλου και αντίστροφα... 4 (.,.).
Μάθημα 2 ο Α Φάση: Σε αυτή τη φάση της διδασκαλίας δίνεται το 2 ο φύλλο εργασίας με τη συνάρτηση f(χ)=χ 2 και πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α με λίγα στοιχεία (5 τιμές). Οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν τον πίνακα τιμών και να κάνουν τη γραφική παράσταση των αντίστοιχων σημείων σε ένα ορθοκανονικό σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων. Ορίζεται στο σημείο αυτό η γραφική παράσταση C της συνάρτησης αυτής σαν σύνολο σημείων. Στη συνέχεια αυξάνεται ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου ορισμού της συνάρτησης f συμπληρώνεται ο αντίστοιχος πίνακας και γίνεται η γραφική παράσταση των ζευγών που προκύπτουν. Παρατηρείται από τους μαθητές η πύκνωση των σημείων που προκύπτουν. Ζητείται από τους μαθητές να εκτιμήσουν ποια θα ήταν η μορφή της γραφικής παράστασης που θα προέκυπτε αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ήταν όλο το R. Επίσης ζητείται να εξετάσουν οι μαθητές ποιος είναι ο ρόλος των συντεταγμένων κάθε σημείου της C και να αναγνωρίσουν το σύνολο ορισμού και το σύνολο τιμών από τις προβολές των σημείων τι C πάνω στους άξονες. Μέση διάρκεια 20 λεπτά. Β Φάση: Οι μαθητές εξετάζουν αν είναι δυνατόν να υπάρχουν διαφορετικά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με την ίδια τετμημένη και τους δίνεται η δραστηριότητα 1 με την οποία καλούνται να αναγνωρίσουν ποιες από δοσμένες γραμμές στο καρτεσιανό επίπεδο είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Δίνεται στους μαθητές η δραστηριότητα 2 με την οποία οι μαθητές ερμηνεύουν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνεται προσπαθώντας να επιλύσουν το πρόβλημα. Με τη συμπλήρωση του 2 ου φύλλου εργασίας και των δραστηριοτήτων 1 και 2 που περιλαμβάνει θα αξιολογηθεί η επίτευξη του δευτέρου και τρίτου στόχου. Μέση διάρκεια 20 λεπτά.
Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=χ Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα τιμών: χ f(χ) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 2 με χ Α={ 2, 1, 0,1, 2}. ο Γράψτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ(χ,f(χ)) με χ Α : Μ 1 (.,..), Μ 2 (.,..), Μ 3 (.,..), Μ 4 (.,..), Μ 5 (.,..) Στη συνέχεια παραστήστε γραφικά αυτά τα σημεία στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων. Το σύνολο των σημείων Μ(χ,f(χ)) με χ Α λέγεται. της συνάρτησης f. Η τετμημένη κάθε σημείου είναι στοιχείο του. της συνάρτησης f, ενώ η τεταγμένη είναι στοιχείο του. της.
Δίνεται τώρα η συνάρτηση f(χ)=χ 2 με χ Α= Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα τιμών: 1 1 2, 2, 1,, 0,,1, 2, 2 2 2. χ f(χ) Στη συνέχεια παραστήστε γραφικά αυτά τα σημεία στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων. Αν για τη συνάρτηση f(χ) το σύνολο ορισμού είναι το Α= ποια εκτιμάτε θα ήταν η μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f;
Θα μπορούσε σε μια γραφική παράσταση συνάρτησης να υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία με την ίδια τετμημένη; (δικαιολογήστε την απάντησή σας) Είναι δυνατόν να υπάρχουν σημεία στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που να έχουν την ίδια τεταγμένη; Υπάρχει η δυνατότητα να εντοπίσει κάποιος το σύνολο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f από τη γραφική της παράσταση; Τι σχέση έχουν τα σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(χ) και f(χ); Δραστηριότητα 1
Δραστηριότητα 2
Μάθημα 3 ο Α Φάση: Δίνεται το φύλλο εργασίας 3 στους μαθητές στο οποίο είναι κατασκευασμένη η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων με πλέγμα και ζητείται απ αυτούς παρατηρώντας το σχήμα: Να υπολογίσουν τις τιμές της συνάρτησης για διάφορες τιμές του χ. Να λύσουν την εξίσωση f(χ)=0 και ανισώσεις f(χ) 0 ή f(χ)<0. Να προσδιορίσουν τα σημεία στα οποία η C f τέμνει τους άξονες και τα διαστήματα στα Β Φάση: οποία η γραφική παράσταση είναι πάνω ή κάτω από τον άξονα χ χ συνδέοντάς τα με τις λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. Μέση διάρκεια 12 λεπτά. Δίνεται το φύλλο εργασίας 4 στους μαθητές στο οποίο είναι κατασκευασμένες οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων με πλέγμα και ζητείται απ αυτούς παρατηρώντας το σχήμα: Να υπολογίσουν τις τιμές των συναρτήσεων για διάφορες τιμές του χ. Να συγκρίνουν τιμές των δύο συναρτήσεων με την ίδια τιμή του χ. Να λύσουν γραφικά την εξίσωση f(x)=g(x) και ανισώσεις f(χ)>g(x) ή f(χ)<g(x). Να προσδιορίσουν τα σημεία στα οποία οι C f και C g Γ Φάση: τέμνoνται και τη σχετική θέση αυτών των γραφικών παραστάσεων συνδέοντάς τα με τις λύσεις των παραπάνω εξισώσεων και ανισώσεων. Μέση διάρκεια 13 λεπτά. Οι μαθητές με τη βοήθεια του καθηγητή καταλήγουν σε κάποια συμπεράσματα σχετικά με τη θέση της γραφικής παράστασης μια συνάρτησης f ως προς τον άξονα χ χ καθώς επίσης και με τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων. Στη συνέχεια με την καθοδήγηση και τη βοήθεια του καθηγητή ζητείται από τους μαθητές να λύσουν τις ασκήσεις 9 και 10 της σελίδας 158 του βιβλίου. Η εργασία γίνεται σε ζεύγη ανά θρανίο και στη συνέχεια στον πίνακα, όπου οι μαθητές με βάση τα προηγούμενα συμπεράσματα καλούνται να βρούν τα σημεία τομής και σχετικές θέσεις των γραφικών παραστάσεων (χωρίς να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις). Μέση διάρκεια 15 λεπτά. Με τη συμπλήρωση των φύλλων εργασίας 3 και 4 των γενικών συμπερασμάτων που περιλαμβάνουν και από την εργασία των μαθητών στις ασκήσεις 9 και 10 θα αξιολογηθεί η επίτευξη των στόχων 4 και 5.
Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C Γραφική παράσταση συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 f ο μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 4 2 2 4 6 8 1 2 3 4 α) Συμπληρώστε: f ( 1) =.., f (0) =.., f (1) =.., f (2) =., f (3) = β) Να λύσετε την εξίσωση: f ( x) = 0. γ) Σε ποια σημεία η C f τέμνει τους άξονες;.. δ) Να λύσετε την ανίσωση: f ( x) 0 ε) Να λύσετε την ανίσωση: f ( x) > 0. στ) Γράψτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τον χ χ και εκείνα στα οποία είναι κάτω απ αυτόν
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 ο Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις Cf και C g ορισμού το. δύο συναρτήσεων f και g με πεδίο y=f(x) y=g(x) α) Συμπληρώστε: f ( 1) =.., f (0) =.., f (1) =.., f (2) =., g( 1) =.., g (0) =.., g (1) =.., g (2) =.,. β) Βάλτε τα κατάλληλα σύμβολα ( =, <, >) στα κενά: f (0). g (0), f (2).. g (2), f ( 2).. g( 2), f ( π ).. g( π ). γ) Να λύσετε την εξίσωση: f( x) = gx ( ) δ) Να λύσετε την ανίσωση: f( x) gx ( ).. ε) Να λύσετε την ανίσωση: f( x) < gx ( ) στ) Γράψτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από την C g.