3 ο ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΣΡΑ Ι ΣΑ ΜΕΣΡΑ ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΣΑΗ Πολλζσ φορζσ μασ είναι ιδιαίτερα χριςιμο να περιγράφουμε ζνα ςφνολο αρικμθτικϊν δεδομζνων από ζναν μοναδικό αρικμό. Σζτοιου είδουσ αρικμοί ονομάηονται αρικμθτικά περιγραφικά μζτρα. Ζνα αρικμθτικό περιγραφικό μζτρο που υπολογίηεται από τον πλθκυςμό ονομάηεται παράμετροσ του πλθκυςμοφ και ζχει μία μοναδικι τιμι. τθν πράξθ, επειδι ςχεδόν ποτζ δεν γίνεται θ καταγραφι ολόκλθρου του πλθκυςμοφ, θ πραγματικι τιμι μιασ παραμζτρου είναι άγνωςτθ. Ονομάηουμε ςτατιςτικι ι ςτατιςτικό ενόσ δείγματοσ κάκε αρικμθτικό περιγραφικό μζτρο που υπολογίηεται από ζνα δείγμα. Η τιμι μιασ ςτατιςτικισ μεταβάλλεται από δείγμα ςε δείγμα, ςε κάκε περίπτωςθ όμωσ, αυτι θ δειγματικι τιμι είναι μια εκτίμθςθ τθσ αντίςτοιχθσ, άγνωςτθσ αλλά πραγματικισ, τιμισ τθσ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό. Ζχουμε διάφορεσ κατθγορίεσ αρικμθτικϊν περιγραφικϊν μζτρων, κυριότερεσ των οποίων είναι τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ, τα μζτρα μεταβλθτότθτασ, τα μζτρα ςσ κζςθσ και τα μζτρα γραμμικισ ςχζςθσ. 3.1 Σα Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ Σα τρία ποιό ςθμαντικά μζτρα κεντρικισ τάςθσ (αρικμθτικόσ μζςοσ, διάμεςοσ και επικρατοφςα τιμι) μασ πλθροφοροφν με διαφορετικό τρόπο το κακζνα για το «κζντρο» τθσ κατανομισ των τιμϊν μιασ μεταβλθτισ. Λζγοντασ «κζντρο» εννοοφμε εκείνο το ςθμείο γφρω από το οποίο περιμζνουμε να ςυγκεντρϊνεται μεγάλο ποςοςτό (μάηα) των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. Από τθν άποψθ αυτι, θ τιμι ενόσ μζτρου κεντρικισ τάςθσ, κεωροφμε ότι είναι θ ποιό αντιπροςωπευτικι του πλθκυςμοφ. 3.1.1 Ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ Αρικμθτικόσ Μζςοσ ενόσ υνόλου Αρικμϊν Για ζνα ςφνολο αρικμϊν ο αρικμθτικόσ μζςοσ ορίηεται να είναι το πθλίκο του ακροίςματοσ των αρικμϊν προσ το πλικοσ τουσ. Για παράδειγμα, ζςτω ότι μασ δίνονται οι εννζα αρικμοί 20 21 33 26 27 22 24 20 23 Ο αρικμθτικόσ τουσ μζςοσ είναι μονάδεσ μζτρθςθσ. Σι όμωσ ακριβϊσ μασ δείχνει ο αρικμθτικόσ μζςοσ;
18 3 ο Μάκθμα Παίρνουμε μία αβαρι ράβδο με μικοσ max mn = 33 20 = 13, και εννζα (όςα και οι αρικμοί μασ) ίςα βαρίδια. τθ ςυνζχεια τοποκετοφμε αυτά τα βαρίδια ςτισ κζςεισ των αρικμϊν. Σότε, θ ράβδοσ κα ιςορροπιςει ςτο ςθμείο 24. Γιατί ςυμβαίνει αυτό; Ασ υπολογίςουμε τισ αποκλίςεισ (αποςτάςεισ) από το 24 των πζντε αρικμϊν που βρίςκονται αριςτερά του (αρνθτικζσ αποκλίςεισ): 20 24 = 4, 20 24 = 4, 21 24 = 3, 22 24 = 2, 23 24 = 1. Σο άκροιςμα των αρνθτικϊν αποκλίςεων είναι 14. Τπολογίηουμε ςτθ ςυνζχεια τισ αποκλίςεισ από το 24 των τριϊν αρικμϊν που βρίςκονται δεξιά του (κετικζσ αποκλίςεισ). 26 24 = 2, 27 24 = 3, 33 24 = 9. Σο άκροιςμα των κετικϊν αποκλίςεων είναι + 14. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 υχνότερθ Σιμι = 20 ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΟ Μζςο ζκταςθσ ςτο 26.5 ΜΕΟ Ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ ενόσ ςυνόλου αρικμϊν είναι το ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ Βλζπουμε λοιπόν ότι ο αρικμθτικόσ μζςοσ ενόσ ςυνόλου αρικμϊν είναι εκείνο το «κεντρικό» ςθμείο για το οποίο το άκροιςμα των αρνθτικϊν αποκλίςεων από αυτό (ςε απόλυτθ τιμι) είναι ίςο με το άκροιςμα των κετικϊν αποκλίςεων και είναι το ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ. Παρατθροφμε ακόμθ ότι ο παραπάνω αρικμθτικόσ μζςοσ δεν βρίςκεται ςτο μζςο τθσ ζκταςθσ που καταλαμβάνουν οι αρικμοί και δεν είναι θ τιμι με τθ μεγαλφτερθ ς εμφάνιςθσ, αλλά οφτε χωρίηει το πλικοσ των αρικμϊν ςε δφο ίςα μζρθ (ςτα αριςτερά του αφινει 5 τιμζσ ενϊ ςτα δεξιά του αφινει 3 τιμζσ). Ζνασ αρικμθτικόσ μζςοσ, μπορεί να βρίςκεται ι να μθν βρίςκεται ςτο μζςο ενόσ ςυνόλου τιμϊν, να είναι ι να μθν είναι θ ςυχνότερθ τιμι, να χωρίηει ι να μθ χωρίηει το ςφνολο των τιμϊν ςε δφο ίςα μζρθ. Αρικμθτικόσ Μζςοσ ςτον Πλθκυςμό ( ) Ζςτω ζνασ πλθκυςμόσ μεγζκουσ, και μία μεταβλθτι του που παίρνει τισ τιμζσ. Σότε, ο αρικμθτικόσ μζςοσ (arthmtc man) ι απλά μζςοσ ι μζςθ τιμι τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό ςυμβολίηεται με και ορίηεται να είναι το πθλίκο Αρικμθτικόσ Μζςοσ ςτο Δείγμα ( X ) X X X N 1 2 N Κακϊσ ο αρικμθτικόσ μζςοσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό είναι μία παράμετροσ, θ τιμι του παραμζνει γενικά άγνωςτθ. Αυτι θ άγνωςτθ τιμι εκτιμάται από ζνα δείγμα με τον υπολογιςμό του αρικμθτικοφ μζςου ςτο δείγμα. Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 19 Ζςτω ζνασ δείγμα μεγζκουσ, και μία μεταβλθτι του που παίρνει τισ τιμζσ. Σότε, ο αρικμθτικόσ μζςοσ τθσ μεταβλθτισ ςτο δείγμα ι απλά δειγματικι μζςθ τιμι ςυμβολίηεται με X, υπολογίηεται από το ςτατιςτικό και είναι μία εκτίμθςθ του μ. X X X X n 1 2 n Τπολογιςμόσ του Αρικμθτικοφ Μζςου ςε Ομαδοποιθμζνα Δεδομζνα Για τον υπολογιςμό του αρικμθτικοφ μζςου ςε ομαδοποιθμζνα δεδομζνα δεχόμαςτε ότι κάκε παρατιρθςθ μιασ κλάςθσ αντιπροςωπεφεται από το κζντρο τθσ. Ζτςι ζχουμε το παρακάτω ςτατιςτικό. f x X ι n όπου f, x,, n f 1 X n f x θ απόλυτθ ς τθσ κλάςθσ, το κζντρο τθσ κλάςθσ, το μζγεκοσ του δείγματοσ Παράδειγμα 1 - Τπολογιςμόσ Δειγματικοφ Αρικμθτικοφ Μζςου και Ερμθνεία. Παρακάτω βλζπουμε τουσ πίνακεσ ςυχνοτιτων για τθν κατανομι των ωρϊν φπνου εργαηομζνων και φοιτθτϊν. Εργαηόμενοι Φοιτθτζσ ϊρεσ φπνου Κζντρα 5.0-5.5 5,25 5 26,25 93 488,25 5.5-6.0 5,75 53 304,75 178 1023,5 6.0-6.5 6,25 125 781,25 240 1500 6.5-7.0 6,75 230 1552,5 320 2160 7.0-7.5 7,25 353 2559,25 193 1399,25 7.5-8.0 7,75 257 1991,75 110 852,5 8.5-9.0 8,25 137 1130,25 65 536,25 9.0-9.5 8,75 54 472,5 35 306,25 ΤΝΟΛΑ 1214 8818,5 1234 8266 Τπολογιςμόσ δειγματικοφ αρικμθτικοφ μζςου ϊρεσ φπνου εργαηομζνων xf 8818.5 26 26 X1 7.26 h 7h 0.26h 7h h 7h 60mn 7h 15.6mn n 1214 100 100 Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
20 3 ο Μάκθμα Τπολογιςμόσ δειγματικοφ αρικμθτικοφ μζςου ϊρεσ φπνου φοιτθτϊν xf 8266 7 7 X 2 6.7h 6h 0.7h 6 h h 6h 60 mn 6h 42mn n 1234 10 10 Κακϊσ, οι δειγματικοί αρικμθτικοί μζςοι είναι οι εκτιμιςεισ των πραγματικϊν, αλλά άγνωςτων, αρικμθτικϊν μζςων ςτον πλθκυςμό, λζμε ότι: «Ο μζςοσ χρόνοσ φπνου των εργαηομζνων εκτιμάται ςε (ι είναι περίπου) 7h και 15 mn», ενώ «Ο μζςοσ χρόνοσ φπνου των φοιτθτών εκτιμάται ςε (ι είναι περίπου) 6h και 42mn}. Παρατθριςεισ 1. Τί είδουσ πλθροφορία μασ δίνει θ εκτίμθςθ ενόσ αρικμθτικοφ μζςου; ( α ) Ωσ ζνα από τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ, ο μζςοσ είναι αντιπροςωπευτικόσ του πλθκυςμοφ. Ζτςι, αν κάποιοσ μασ πλθροφοριςει ότι το μζςο μθνιαίο ειςόδθμα των εργαηομζνων εκτιμάται ςε 1000, τότε ζχουμε βάςιμουσ λόγουσ να χαρακτθρίςουμε ωσ χαμθλά αμειβόμενο κάποιον που παίρνει 600 και ωσ υψθλά αμειβόμενο κάποιον που παίρνει 1400, κακϊσ και ςτισ δφο περιπτϊςεισ ζχουμε τιμζσ αρκετά απομακρυςμζνεσ από το μζςο (αντιπροςωπευτικό) ειςόδθμα. ( β ) τθ Θεωρία των Πικανοτιτων εκτόσ από τον όρο μζςθ τιμι που χρθςιμοποιοφμε ςτθ τατιςτικι, χρθςιμοποιοφμε ακόμθ τουσ όρουσ αναμενόμενθ τιμι, ι μακθματικι ελπίδα ι προςδοκία. Αυτό ςθμαίνει πωσ όταν επιλζξουμε τυχαία ζνα αντικείμενο από τον πλθκυςμό και μετριςουμε κάποιο χαρακτθριςτικό του, περιμζνουμε (ελπίηουμε, προςδοκοφμε) ότι θ μζτρθςθ αυτι δεν κα είναι ιδιαίτερα απομακρυςμζνθ από τον μζςο που ζχουμε εκτιμιςει. Για παράδειγμα, αν κάποιοσ μασ πει ότι το μζςο κζρδοσ για ζνα τυχερό παιχνίδι εκτιμικθκε ςε 50 τότε, ςτθν περίπτωςθ που παίξουμε, προςδοκοφμε να κερδίςουμε ζνα ποςό, ασ ποφμε 40-60. ( γ ) Αναφζραμε παραπάνω ότι ο αρικμθτικόσ μζςοσ είναι το ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ. Αυτό ςθμαίνει ότι, αν όλοι οι εργαηόμενοι κοιμόταν ίδιο χρόνο αν δθλαδι το ςφνολο των εργαηομζνων ιταν απολφτωσ ομοιογενζσ ωσ προσ αυτό το χαρακτθριςτικό του, τότε όλοι οι εργαηόμενοι κα κοιμόταν περίπου 7h και 15mn. 2. Σφγκριςθ των αρικμθτικών μζςων δφο πλθκυςμών και εξαγωγι ςυμπεραςμάτων. το παραπάνω παράδειγμα, από τθ ςφγκριςθ των δειγματικϊν αρικμθτικϊν μζςων, φαίνεται ότι οι εργαηόμενοι κοιμοφνται περιςςότερο από τουσ φοιτθτζσ. Παρόλο που αυτι θ διαφορά είναι ενδεικτικι τθσ κατάςταςθσ που επικρατεί δεν μπορεί να διατυπωκεί ωσ τελικό ςυμπζραςμα. Σα ςυμπεράςματα ςτθ τατιςτικι εξάγονται από τουσ Ελζγχουσ των Τποκζςεων και όχι από τθν απλι ςφγκριςθ των εκτιμιςεων κάποιων αρικμθτικϊν μζτρων. 3. Πλεονεκτιματα του Αρικμθτικοφ Μζςου ωσ Μζτρο Κεντρικισ Τάςθσ τον υπολογιςμό του λαμβάνονται ειςζρχονται όλεσ οι παρατθριςεισ του δείγματοσ. Παράγεται μία μοναδικι τιμι. Τπολογίηεται εφκολα. Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 21 Όταν οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό ακολουκοφν τθν ονομαηόμενθ Κανονικι Κατανομι τότε ο δειγματικόσ αρικμθτικόσ μζςοσ X είναι θ βζλτιςτθ εκτίμθςθ του αρικμθτικοφ μζςου,, τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό. Χρθςιμοποιείται για περεταίρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. 4. Μειονεκτιματα του Αρικμθτικοφ Μζςου Επθρεάηεται πολφ από ακραίεσ παρατθριςεισ. Ζτςι, αν για παράδειγμα αντί των αρικμϊν 20 21 33 26 27 22 24 20 23 ζχουμε τουσ αρικμοφσ 20 21 25 26 27 22 24 20 23 τότε ο αρικμθτικόσ μζςοσ ςτο δεφτερο ςφνολο κα είναι 23.11 (αντί 24 που είχαμε ςτο πρϊτο ςφνολο) και κα ζρκει ποιο κοντά ςτο μζςο τθσ απόςταςθσ των αρικμϊν (που τϊρα βρίςκεται το 23.5). Όταν θ κατανομι των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ εμφανίηει ζντονθ κετικι ι αρνθτικι αςυμμετρία, τότε ο αρικμθτικόσ μζςοσ είναι ακατάλλθλοσ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ, με τθν ζννοια που περιγράψαμε παραπάνω δθλαδι δεν μπορεί να κεωρθκεί ωσ αντιπροςωπευτικόσ του ςυνόλου των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. 3.1.2 Η Διάμεςοσ Διάμεςοσ ενόσ υνόλου Αρικμϊν Η διάμεςοσ (mdan) ενόσ πεπεραςμζνο ςυνόλου αρικμϊν είναι εκείνθ θ τιμι που αφινει αριςτερά τθσ και δεξιά τθσ το ίδιο πλικοσ αρικμϊν, όταν όλοι οι αρικμοί του ςυνόλου διαταχτοφν ςε αφξουςα ι φκίνουςα ςειρά. Για παράδειγμα, ζςτω ότι μασ δίνονται οι εννζα αρικμοί 20 21 33 26 27 22 24 20 23 Αν τουσ διατάξουμε ςε αφξουςα ςειρά κα ζχουμε 20 20 21 22 23 24 26 27 33 Επομζνωσ θ διάμεςοσ του παραπάνω ςυνόλου αρικμϊν είναι το 23. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 ΔΙΑΜΕΟ Η διάμεςοσ είναι εκείνο το «κεντρικό» ςθμείο που αφινει αριςτερά του και δεξιά του το ίδιο πλικοσ τιμϊν. τον παραπάνω υπολογιςμό τθσ διαμζςου το πλικοσ των αρικμϊν είναι 9, και ζτςι το 24 αφινει ςτα αριςτερά του και ςτα δεξιά του από 4 τιμζσ. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
22 3 ο Μάκθμα Όταν το πλικοσ των αρικμϊν είναι άρτιο τότε δεν είναι δυνατόν να αφιςουμε αριςτερά και δεξιά τθσ διαμζςου το ίδιο πλικοσ αρικμϊν. ε μια τζτοια περίπτωςθ υπολογίηουμε τθ διάμεςο ωσ το θμιάκροιςμα των δφο τιμϊν που αφινουν αριςτερά και δεξιά τουσ το ίδιο πλικοσ αρικμϊν. Ζςτω ότι ζχουμε τουσ δζκα αρικμοφσ 20 21 33 26 27 22 24 20 23 25 Αν τουσ διατάξουμε ςε αφξουςα ςειρά, κα ζχουμε 20 20 21 22 23 24 25 26 27 33 Και θ διάμεςοσ κα είναι. Τπολογιςμόσ τθσ Διαμζςου ( M ) ςε Ομαδοποιθμζνα Δεδομζνα Κακϊσ θ διάμεςοσ είναι το ςθμείο που πρζπει να αφινει ςτα αριςτερά του τισ μιςζσ παρατθριςεισ, καταλαβαίνουμε ότι κα ανικει ςτθν πρϊτθ κλάςθ τθσ οποίασ θ ς ακροιςτικι ς ζχει φτάςει ςτο 0.5 τουλάχιςτον. Για ομαδοποιθμζνα δεδομζνα, θ εκτίμθςθ τθσ διαμζςου ςυμβολίηεται με M και υπολογίηεται από το ςτατιςτικό M 0.5 F F F Σο κάτω άκρο τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο. F F 1 1 1 Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο Η Ακροιςτικι τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο Η Ακροιςτικι τθσ προθγοφμενθσ από τθν κλάςθ που περιζχει τθ διάμεςο. Παράδειγμα 3 Εκτίμθςθ και Ερμθνεία τθσ Διαμζςου Εργαηόμενοι Φοιτθτζσ ϊρεσ φπνου Εφροσ Ακροιςτικι Ακροιςτικι 5.0-5.5 0,5 0,004 0,08 5.5-6.0 0,5 0,048 0,22 6.0-6.5 0,5 0,151 0,41 6.5-7.0 0,5 0,340 0,67 7.0-7.5 0,5 0,631 0,83 7.5-8.0 0,5 0,843 0,92 8.5-9.0 0,5 0,956 0,97 9.0-9.5 0,5 1,000 1,00 ΤΝΟΛΑ Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 23 Τπολογιςμόσ τθσ διαμζςου Εργαηόμενοι Η διάμεςοσ για τουσ εργαηόμενουσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ *7.0, 7.5) αφοφ είναι θ πρϊτθ κλάςθ ςτθν οποία θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το 0.5 M 1 0.5 F 0.5 0.340 7 0.5 7.275 1 F F 1 0.6310.340 Σουλάχιςτον το 50% των εργαηομζνων, εκτιμάται ότι κοιμοφνται το πολφ μζχρι 7h και 44mn. Τπολογιςμόσ τθσ διαμζςου Φοιτθτζσ Η διάμεςοσ για τουσ φοιτθτζσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ *6.5, 7) αφοφ είναι θ πρϊτθ κλάςθ ςτθν οποία θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το 0.5 M 0.5 F 0.5 0.41 6.5 0.5 6.673 1 2 F F 1 0.65 0.41 Σουλάχιςτον το 50% των φοιτθτϊν, εκτιμάται ότι κοιμοφνται το πολφ μζχρι 6h και 40 mn. Παρατθριςεισ 1. Τί είδουσ πλθροφορία μασ δίνει θ εκτίμθςθ τθσ διαμζςου; Όταν μασ δίνεται θ εκτίμθςθ τθσ διαμζςου γνωρίηουμε ότι «τουλάχιςτον οι μιςζσ παρατθριςεισ είναι μικρότερεσ ι ίςεσ αυτισ τθσ τιμισ» ι, ιςοδφναμα, ότι «τουλάχιςτον οι μιςζσ παρατθριςεισ είναι μεγαλφτερεσ ι ίςεσ». Σουλάχιςτον 50% παρατθριςεισ M Σουλάχιςτον 50% παρατθριςεισ M Παρόλο που θ ακριβισ ερμθνεία τθσ διαμζςου είναι αυτι που αναφζρεται παραπάνω, ςυνικωσ θ παρουςίαςθ αυτοφ του μζτρου γίνεται ποιό απλουςτευμζνα με τθν παράλειψθ τθσ λζξθσ «τουλάχιςτον», ι των εκφράςεων «το πολφ» ι «το λιγότερο. Ζτςι, για τθν παρουςίαςθ των αποτελεςμάτων ςτο παραπάνω παράδειγμα κα μποροφμε να γράψουμε ποιο απλά: «Οι μιςοί από τουσ εργαηόμενουσ, κοιμοφνται λιγότερο από 7h και 44mn, περίπου» ι ιςοδφναμα «Οι μιςοί από τουσ εργαηόμενουσ, κοιμοφνται περιςςότερο από 7h και 44mn, περίπου» Αντίςτοιχα για τουσ φοιτθτζσ, κα μποροφςαμε να γράψουμε «Οι μιςοί από τουσ φοιτητέσ, κοιμοφνται λιγότερο από 6h και 40mn, περίπου» ι ιςοδφναμα «Οι μιςοί από τουσ φοιτθτζσ, κοιμοφνται περιςςότερο από 6h και 45mn, περίπου» Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
24 3 ο Μάκθμα 2. Πλεονεκτιματα τθσ Διαμζςου ωσ Μζτρο Κεντρικισ Τάςθσ Η εκτίμθςθ τθσ διαμζςου παράγει μία μοναδικι τιμι. Τπολογίηεται εφκολα. Δεν επθρεάηεται από ακραίεσ τιμζσ. Ζτςι, αν για παράδειγμα αντί των αρικμϊν 20 21 33 26 27 22 24 20 23 ζχουμε τουσ αρικμοφσ 20 21 25 26 27 22 24 20 23 τότε θ διάμεςοσ κα παραμείνει ςτο 23. Είναι θ βζλτιςτθ εκτιμιτρια τθσ διαμζςου ςτον πλθκυςμό και, όπωσ κα δοφμε παρακάτω, αν θ κατανομι των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ είναι ςυμμετρικι είναι επίςθσ και αμερόλθπτθ εκτιμιτρια του αρικμθτικοφ μζςου. Όταν θ κατανομι των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ εμφανίηει ζντονθ κετικι ι αρνθτικι αςυμμετρία, τότε θ διάμεςοσ κεωρείται καταλλθλότερθ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ από ότι ο μζςοσ. 3. Μειονεκτιματα τθσ Διαμζςου τον υπολογιςμό τθσ δεν ειςζρχονται όλεσ οι παρατθριςεισ του δείγματοσ. Δεν χρθςιμοποιείται για περαιτζρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. 3.1.3 Επικρατοφςα Σιμι Επικρατοφςα Σιμι ενόσ υνόλου Αρικμϊν Η Επικρατοφςα Σιμι (md)ενόσ πεπεραςμζνου ςυνόλου αρικμϊν ορίηεται να είναι θ τιμι που εμφανίηεται τισ περιςςότερεσ φορζσ. Για παράδειγμα, ζςτω ότι μασ δίνονται οι εννζα αρικμοί 20 21 33 26 27 22 24 20 23 Η Επικρατοφςα Σιμι του παραπάνω ςυνόλου αρικμϊν είναι το 20. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Διάμεςοσ = 23 ΕΠΙΚΡΑΣΟΤΑ ΣΙΜΗ Αρικμθτικόσ Μζςοσ = 24 Η επικρατοφςα τιμι είναι εκείνο το «κεντρικό» ςθμείο που ζχει τθ μεγαλφτερθ ς εμφάνιςθσ Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 25 Τπολογιςμόσ τθσ Επικρατοφςασ Σιμισ ( M ) ςε Ομαδοποιθμζνα Δεδομζνα Κακϊσ ςτα ομαδοποιθμζνα δεδομζνα δεχόμαςτε ότι κάκε παρατιρθςθ μιασ κλάςθσ αντιπροςωπεφεται από το κζντρο τθσ, μποροφμε επικρατοφςα τιμι να αναφζρουμε το κζντρο τθσ επικρατοφςασ κλάςθσ. Θα ςυμβολίηουμε τθν Επικρατοφςα Σιμι ςτο δείγμα μεm. Παράδειγμα 6 Εκτίμθςθ και Ερμθνεία τθσ Επικρατοφςασ Σιμισ Εργαηόμενοι Φοιτθτζσ Κζντρα ϊρεσ φπνου (%) (%) 5.0-5.5 5,25 0,41 7,54 5.5-6.0 5,75 4,37 14,42 6.0-6.5 6,25 10,30 19,45 6.5-7.0 6,75 18,95 25,93 7.0-7.5 7,25 29,08 15,64 7.5-8.0 7,75 21,17 8,91 8.5-9.0 8,25 11,29 5,27 9.0-9.5 8,75 4,45 2,84 ΤΝΟΛΑ 100 100 Η επικρατοφςα κλάςθ για τουσ εργαηόμενουσ είναι θ *7.0 7.5) με κζντρο 7.25 και τότε M 7.25. 1 Επομζνωσ, Το μεγαλφτερο ποςοςτό των εργαηομζνων κοιμοφνται 7h και 15mn, περίπου. Η επικρατοφςα κλάςθ για τουσ φοιτθτζσ είναι θ *6.5 7.0) με κζντρο 6.25 και τότε M 6.25 Επομζνωσ, Το μεγαλφτερο ποςοςτό των φοιτθτών κοιμοφνται περίπου 6h και 15mn. 2 Παρατθριςεισ 1. Τί είδουσ πλθροφορία μασ δίνει θ εκτίμθςθ τθσ επικρατοφςασ τιμισ; Η επικρατοφςα κλάςθ ςυγκεντρϊνει το μεγαλφτερο ποςοςτό παρατθριςεων και κεωροφμε το κζντρο τθσ ωσ τθν επικρατζςτερθ τιμι ςτον πλθκυςμό. 2. Πλεονεκτιματα τθσ Επικρατοφςασ Τιμισ ωσ Μζτρο Κεντρικισ Τάςθσ Είναι θ βζλτιςτθ εκτιμιτρια τθσ επικρατοφςασ τιμισ του πλθκυςμοφ ε μια ςυμμετρικι και μονοκόρυφθ είναι επίςθσ αμερόλθπτθ εκτιμιτρια του αρικμθτικοφ μζςου και τθσ διαμζςου. 3. Μειονεκτιματα τθσ Επικρατοφςασ Τιμισ τον υπολογιςμό τθσ δεν ειςζρχονται όλεσ οι παρατθριςεισ του δείγματοσ και δεν παράγεται πάντα μοναδικι τιμι, κακϊσ μπορεί να ζχουμε δφο ι και περιςςότερεσ κλάςεισ με τθν ίδια μζγιςτθ ς. Δεν χρθςιμοποιείται για περαιτζρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
26 3 ο Μάκθμα Άςκθςθ 1 - Λυμζνθ Παρακάτω βλζπετε τα ομαδοποιθμζνα ςτοιχεία για τθ βακμολογία 40 φοιτθτϊν ςε ζνα τεςτ δεξιότθτασ ςτθ τατιςτικι, το ακαδθμαϊκό ζτοσ 2010-2011. Βακμολογία ςε μονάδεσ [ ) Κζντρο x f Ακροιςτικι Φ P Ακροιςτικι F P ( % ) Ακροιςτικι F 40-50 45 2 2 0,050 0,050 5,00 5,00 50-60 55 4 6 0,100 0,150 10,00 15,00 60-70 65 7 13 0,175 0,325 17,50 32,50 70-80 75 10 23 0,250 0,575 25,00 57,50 80-90 85 13 36 0,325 0,900 32,50 90,00 90-100 95 4 40 0,100 1,00 10,00 100,00 ΤΝΟΛΑ 40 1,00 100,00 ( % ) ( α ) Τπολογιςμόσ του Δειγματικοφ Αρικμθτικοφ Μζςου X Βακμολογία ςε μονάδεσ [ ) Κζντρο x 40-50 45 2 90 50-60 55 4 220 60-70 65 7 455 70-80 75 10 750 80-90 85 13 1105 90-100 95 4 380 ΤΝΟΛΑ 40 3000 f X xf 3000 75 n 40 μονάδεσ ΤΜΠΕΡΑΜΑ: Για το ακαδθμαϊκό ζτοσ 2010 2011, θ μζςθ βακμολογία των φοιτθτών ςτο τεςτ δεξιότθτασ ςτθ Στατιςτικι, εκτιμάται ςε (ι είναι περίπου)75 μονάδεσ. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: τον υπολογιςμό του δειγματικοφ αρικμθτικοφ μζςου ςυμμετζχουν μόνον τα κζντρα των κλάςεων. Ο υπολογιςμόσ του δειγματικοφ μζςου απευκείασ από τισ τιμζσ του δείγματοσ μασ δίνει X 75.06 μονάδεσ. Ωςτόςο, αυτι θ απϊλεια των 0.06 μονάδων ςτθν ακρίβεια τθσ εκτίμθςθσ κεωρείται αμελθτζα. Επιπλζον δεν κα πρζπει να ξεχνάμε ότι πρόκειται για μία εκτίμθςθ που προκφπτει από τθ χριςθ ενόσ και μόνο δείγματοσ και ότι θ επιλογι ενόσ δεφτερου, τρίτου κ.λπ. δείγματοσ κα μασ ζδιναν μία δεφτερθ, τρίτθ, κ.ο.κ. εκτίμθςθ, διαφορετικι από αυτιν του πρϊτου δείγματοσ. Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 27 ( β ) Τπολογιςμόσ τθσ Διαμζςου M Βακμολογία ςε μονάδεσ [ ) Εφροσ Ακροιςτικι 40-50 10 0,050 50-60 10 0,150 60-70 10 0,325 70-80 10 0,575 80-90 10 0,900 90-100 10 1,00 ΤΝΟΛΑ F Η διάμεςοσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ *70, 80) αφοφ είναι θ πρϊτθ κλάςθ ςτθν οποία θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το 0.5 0.5 F 0.5 0.325 M a 70 10 77 F F 1 1 0.575 0.325 ΤΜΠΕΡΑΜΑ: Κατά το ακαδθμαϊκό ζτοσ 2010 2011 το 50% των φοιτθτών, πζτυχε ςτο μάκθμα τθσ Στατιςτικισ βακμολογία, μικρότερθ από, περίπου, 77 μονάδεσ. Ιςοδφναμα μποροφμε να ποφμε ότι,.. το 50% των φοιτθτών, πζτυχε ςτο μάκθμα τθσ Στατιςτικισ βακμολογία,μεγαλφτερθ από, περίπου, 77 μονάδεσ. ( γ ) Τπολογιςμόσ τθσ Επικρατοφςασ Σιμισ M τον πίνακα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων παρατθροφμε ότι επικρατοφςα είναι θ κλάςθ *80, 90). Σο κζντρο 85 αυτισ τθσ κλάςθσ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ωσ εκτίμθςθ τθσ επικρατοφςασ τιμισ ςτο ςφνολο των φοιτθτϊν. ΤΜΠΕΡΑΜΑ: Το ακαδθμαϊκό ζτοσ 2010 2011, το μεγαλφτερο ποςοςτό των φοιτθτών ( 32,5%) πζτυχε ςτο μάκθμα τθσ Στατιςτικισ βακμολογία 85 μονάδεσ, περίπου. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Η αξία αυτισ τθσ διαπίςτωςθσ, εξαρτάται φυςικά και από τθν τιμι του ποςοςτοφ. Μία τιμι ι κλάςθ μπορεί να είναι θ επικρατοφςα ςε ςφγκριςθ με τισ υπόλοιπεσ αυτό όμωσ δεν ςθμαίνει κατ ανάγκθ ότι είναι και «ιςχυρι». Ζτςι ςτα παραπάνω, για τθν επικρατοφςα τιμι αυτό το «μεγαλφτερο ποςοςτό» (32.5%) αντιςτοιχεί ςε λιγότερο από το 1/3 των φοιτθτϊν. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
28 3 ο Μάκθμα Άςκθςθ 2 Παρακάτω βλζπετε τισ μθνιαίεσ αποδοχζσ των 30 εργαηομζνων μιασ βιοτεχνίασ. 550 700 700 850 900 1.650 600 700 700 850 900 1.700 600 700 700 850 900 1.850 700 700 700 850 1.000 1.850 700 700 700 850 1.000 2.500 Για τα παραπάνω δεδομζνα δίνεται επίςθσ ότι: X 995, M 775, M 0 700 Ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων και ο εργοδότθσ κάνουν ζχουν μια δθμόςια ςυηιτθςθ για τθ διαμόρφωςθ των μθνιαίων αποδοχϊν. ( α ) Ποιό από τα τρία αρικμθτικά μζτρα κζςθσ κα χρθςιμοποιιςει ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων για να ιςχυριςτεί ότι οι μιςκοί είναι χαμθλοί και πϊσ κα διατυπϊςει το επιχείρθμά του; ( β ) Μπορείτε επιςθμάνεται κάποια «ανακρίβεια» ι «παράλειψθ» ςτον ιςχυριςμό του; ( γ ) Ποιό μζτρο κα χρθςιμοποιιςει ο εργοδότθσ για να υπεραςπιςτεί τθ κζςθ του και πωσ κα διατυπϊςει το επιχείρθμά του; ( δ ) Μπορείτε να κάποια «ανακρίβεια» ι «παράλειψθ» ςτον ιςχυριςμό του; ( ε ) Τποκζςτε ότι το μόνο μζτρο που μποροφν να χρθςιμοποιιςουν τόςο ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων όςο και ο εργοδότθσ είναι θ διάμεςοσ. Να απαντιςετε ςτα παρακάτω ερωτιματα χρθςιμοποιϊντασ μόνο τθν τιμι τθσ διαμζςου (δθλαδι, χωρίσ να παρατθριςετε τα δεδομζνα). Ποιά από τισ παρακάτω φράςεισ πιςτεφετε ότι κα χρθςιμοποιιςει ο εργοδότθσ; Ποιά ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων; Α. «Σουλάχιςτον οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό το πολφ 775» Β. «Οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό κάτω από 775» Γ. «Σουλάχιςτον οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό από 775 και άνω» Δ. «Οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό πάνω από 775» Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 29 3.2 Μορφζσ Ιςτογραμμάτων και χετικζσ Θζςεισ των Μζτρων Κεντρικισ Σάςθσ Ζχουμε ιδθ δει, ότι τα ονομαηόμενα μζτρα κεντρικισ τάςθσ δεν ικανοποιοφν πάντα τθ «διαιςκθτικι αντίλθψθ» του κζντρου ενόσ ςυνόλου αρικμϊν και βζβαια ςε πάρα πολλζσ περιπτϊςεισ δεν ταυτίηονται μεταξφ τουσ. Σί ακριβϊσ ςυμβαίνει όταν ζχουμε τζτοιου είδουσ αποκλίςεισ; Πϊσ αποτυπϊνονται αυτζσ πάνω ςτα ιςτογράμματα των ςυχνοτιτων και τί πλθροφορίεσ μποροφμε να αποςπάςουμε κοιτάηοντασ ζνα ιςτόγραμμα ςχετικϊν ςυχνοτιτων; Σα βαςικά είδθ ιςτογραμμάτων ςχετικϊν ςυχνοτιτων είναι τα ςυμμετρικά, αυτά που εμφανίηουν αρνθτικι αςυμμετρία και αυτά που εμφανίηουν κετικι ςυμμετρία. 3.2.1 υμμετρικά Ιςτογράμματα και θ Κανονικι Κατανομι Μια κατανομι τιμϊν ονομάηεται ςυμμετρικι όταν το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων τθσ είναι ςυμμετρικό ωσ προσ ζναν κατακόρυφο άξονα. X M M X M M X M M τισ ςυμμετρικζσ κατανομζσ, ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ, θ Διάμεςοσ και θ Επικρατοφςα Σιμι ςυμπίπτουν Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
30 3 ο Μάκθμα Η ςυμμετρία είναι, γενικά, μια επικυμθτι κατάςταςθ κακϊσ τα τρία μζτρα κεντρικισ τάςθσ είναι ίςα μεταξφ τουσ και ικανοποιοφν τθν «διαιςκθτικι αντίλθψθ» του κζντρου ενόσ ςυνόλου αρικμϊν. Ειδικότερα, ςτθ τατιςτικι επικυμοφμε να ζχουμε ιςτογράμματα που είναι ςυμμετρικά, μονοκόρυφα ι δικόρυφα ςτο κζντρο τθσ κατανομισ, και των οποίων το ςχιμα μοιάηει με καμπάνα, όπωσ τα δφο πρϊτα από τα παραπάνω ιςτογράμματα. Όταν το ιςτόγραμμα μιασ κατανομισ τιμϊν ζχει ι πλθςιάηει πολφ προσ αυτό το χαρακτθριςτικό ςχιμα, τότε λζμε ότι οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ακολουκοφν τθν Κανονικι Κατανομι. Όλθ θ ανάπτυξθ τθσ τατιςτικισ, όπωσ θ παραγωγι τφπων για τθν εκτίμθςθ αρικμθτικϊν μζτρων, διαςτθμάτων εμπιςτοςφνθσ, ςτατιςτικϊν ελζγχων και πολλά άλλα ςτθρίηονται ςτθν προχπόκεςθ ότι οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό ακολουκοφν τθν Κανονικι Κατανομι. Παραβίαςθ αυτισ τθσ κεμελιϊδουσ προχπόκεςθσ ακυρϊνει ςτθν πράξθ τισ διαδικαςίεσ και οδθγεί ςε εςφαλμζνα ςυμπεράςματα. Κακϊσ δεν είναι λίγεσ οι φορζσ όπου θ Κανονικι Κατανομι απουςιάηει, θ τατιςτικι επεξεργάηεται και προτείνει τισ κατάλλθλεσ, ανάλογα με τθν κάκε περίπτωςθ, μεκόδουσ για τθν επεξεργαςία των δεδομζνων. 3.2.2 Ιςτογράμματα με Αρνθτικι Αςυμμετρία Λζμε πωσ μία κατανομι τιμϊν εμφανίηει αρνθτικι αςυμμετρία όταν το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων εμφανίηεται εκτεταμζνο ςτο αριςτερό του ςκζλοσ. Ο λόγοσ εμφάνιςθσ τθσ αρνθτικισ αςυμμετρίασ είναι ότι υπάρχουν κάποιεσ πολφ μικρζσ τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. Αυτό όμωσ ζχει ςαν ςυνζπεια ο αρικμθτικόσ μζςοσ, που επθρεάηεται από τθν παρουςία ακραίων τιμϊν, να «τραβιζται» προσ τα αριςτερά τθσ διαμζςου. χετικζσ Θζςθσ των Μζτρων Κεντρικισ Σάςθσ ςε Κατανομι με αρνθτικι αςυμμετρία. Όπωσ αναφζρκθκε και παραπάνω, ςτθν περίπτωςθ ζντονθσ αρνθτικισ αςυμμετρίασ ο μζςοσ είναι ακατάλλθλοσ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ, και ςε μια τζτοια περίπτωςθ προτείνεται θ χριςθ τθσ διαμζςου και, ίςωσ, ςε κάποιεσ περιπτϊςεισ τθσ επικρατοφςασ τιμισ. Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 31 3.2.3 Ιςτογράμματα με Θετικι Αςυμμετρία Λζμε πωσ μία κατανομι τιμϊν εμφανίηει κετικι αςυμμετρία όταν το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων εμφανίηεται εκτεταμζνο ςτο δεξιό του ςκζλοσ. Ο λόγοσ εμφάνιςθσ τθσ κετικισ αςυμμετρίασ είναι ότι υπάρχουν κάποιεσ πολφ μεγάλεσ τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. Αυτό όμωσ ζχει ςαν ςυνζπεια ο αρικμθτικόσ μζςοσ, που επθρεάηεται από τθν παρουςία ακραίων τιμϊν, να «τραβιζται» προσ τα δεξιά τθσ διαμζςου. χετικζσ Θζςθσ των Μζτρων Κεντρικισ Σάςθσ ςε Κατανομι με αρνθτικι αςυμμετρία. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
32 3 ο Μάκθμα Άςκθςθ 3 - Λυμζνθ Από τα δεδομζνα μιασ ςωματομετρικισ και ιατρικισ ζρευνασ ςε κορίτςια θλικίασ 7 χρόνων τθσ Ελλθνικισ υπαίκρου, και πιραμε τον παρακάτω πίνακα και τα ιςτογράμματα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων. Πεδινά χωριά Ορεινά χωριά Βάροσ (Kgr) Κζντρο x f Ακροιςτικι F xf Κζντρο x f Ακροιςτικι 16-18 4 0,13 4 0,20 18-20 8 0,40 9 0,65 20-22 7 0,63 4 0,85 22-24 4 0,77 2 0,95 24-26 4 0,90 0 0,95 26-28 2 0,97 1 1,00 28-30 1 1,00 0 1,00 F xf ΤΝΟΛΑ 30 25 20 15 10 5 0 26,67 23,33 13,33 13,33 13,33 6,67 3,33 16-18 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 45 20 20 10 5 0 0 16-18 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 Πεδινά Χωριά Ιςτόγραμμα χετικϊν υχνοτιτων ( % ) Ορεινά Χωριά Ιςτόγραμμα χετικϊν υχνοτιτων ( % ) ( α ) Ποιά είναι θ μεταβλθτι που μελετάμε, και ποιοί οι δφο πλθκυςμοί; ( β ) Να υπολογίςετε και να ερμθνεφςετε τα X, M, M και για τουσ δφο πλθκυςμοφσ. Όπου χρειάηεται ςυμπλθρϊςτε τον πίνακα με τουσ απαιτοφμενουσ υπολογιςμοφσ. ( γ ) Σί κα μποροφςατε να πείτε για τθν του βάρουσ των κοριτςιϊν θλικίασ 7 ετϊν ςτα πεδινά χωριά; Χρθςιμοποιείςτε τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ που εκτιμιςατε και το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων. ( δ ) Σί κα μποροφςατε να πείτε για τθν του βάρουσ των κοριτςιϊν θλικίασ 7 ετϊν ςτα ορεινά χωριά; Χρθςιμοποιείςτε τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ που εκτιμιςατε και το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων. Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 33 Λφςθ ( α ) Μεταβλθτι: X : Βάροσ Πλθκυςμόσ 1: Σα κορίτςια θλικίασ 7 ετϊν των πεδινϊν χωριϊν. Πλθκυςμόσ 2: Σα κορίτςια θλικίασ 7 ετϊν των πεδινϊν χωριϊν. ( β ) Βάροσ (Kgr) Κζντρο x f Πεδινά χωριά Ακροιςτικι F xf Κζντρο x Ορεινά χωριά f Ακροιςτικι 16-18 17 4 0,13 68 17 4 0,20 68 18-20 19 8 0,40 152 19 9 0,65 171 20-22 21 7 0,63 147 21 4 0,85 84 22-24 23 4 0,77 92 23 2 0,95 46 24-26 25 4 0,90 100 25 0 0,95 0 26-28 27 2 0,97 54 27 1 1,00 27 28-30 29 1 1,00 29 29 0 1,00 0 F xf ΤΝΟΛΑ 30 642 20 396 Τπολογιςμόσ και ερμθνεία του αρικμθτικοφ μζςου X, για τα πεδινά χωριά xf 642 X 21.4 n 30 υμπζραςμα: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα πεδινά χωριά εκτιμάται ςε 21.4 Kgr. Ιςοδφναμα μποροφμε να ποφμε ότι: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα πεδινά χωριά είναι περίπου 21.4 Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία του αρικμθτικοφ μζςου X, για τα ορεινά χωριά xf 396 X 19.8 n 20 υμπζραςμα: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα ορεινά χωριά εκτιμάται ςε 19.8 Kgr. Ιςοδφναμα μποροφμε να ποφμε ότι: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα ορεινά χωριά είναι περίπου 19.8 Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ διαμζςου M για τα πεδινά χωριά Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ
34 3 ο Μάκθμα Η διάμεςοσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ 20 22, κακϊσ ςε αυτιν θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το για πρϊτθ φορά 0.5. 20 Σο κάτω άκρο τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο. 2 Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο F 0.63 Η Ακροιςτικι τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο F 1 0.4 Η Ακροιςτικι τθσ προθγοφμενθσ από τθν κλάςθ που περιζχει τθ διάμεςο. Επομζνωσ M 0.5 F 0.5 0.4 0.1 0.2 20 2 20.87 1 20 2 20 20 0.87 F F 1 0.63 0.4 0.23 0.23 υμπζραςμα: Το 50% των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μικρότερο από, περίπου, 20.87 Kgr Ιςοδφναμα, μποροφμε να ποφμε ότι: Το 50% των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μεγαλφτερο από, περίπου, 20.87 Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ διαμζςου M για τα ορεινά χωριά Η διάμεςοσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ 18 20, κακϊσ ςε αυτιν θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί για πρϊτθ φορά το 0.5. 18 Σο κάτω άκρο τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο. 2 Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο F 0.65 Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο F 1 0.2 Η Ακροιςτικι τθσ προθγοφμενθσ από τθν κλάςθ που περιζχει τθ διάμεςο. Επομζνωσ M 0.5 F 0.5 0.2 0.3 0.6 18 2 19.33 1 18 2 18 18 1.33 F F 1 0.65 0.2 0.45 0.45 υμπζραςμα: Το 50% των κοριτςιών από τα ορεινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μικρότερο από, περίπου, 19.33 Kgr. Ιςοδφναμα, μποροφμε να ποφμε ότι: Το 50% των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μεγαλφτερο από, περίπου, 19.33 Kgr. Μαρίνα Σφρπθ
Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 35 Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ επικρατοφςασ τιμισ M για τα πεδινά χωριά Η κλάςθ 18 20, είναι θ κλάςθ με τθ μεγαλφτερθ ς, και το κζντρο τθσ είναι 19. Επομζνωσ M 19 υμπζραςμα: Το μεγαλφτερο ποςοςτό ( 27%) των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ζχουν βάροσ περίπου 19 Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ επικρατοφςασ τιμισ M για τα ορεινά χωριά Η κλάςθ 18 20, είναι θ κλάςθ με τθ μεγαλφτερθ ς, και το κζντρο τθσ είναι 19. Επομζνωσ M 19 υμπζραςμα: Το μεγαλφτερο ποςοςτό των κοριτςιών από τα ορεινά χωριά ( 45%), ζχουν βάροσ περίπου 19 Kgr. ( γ ) Σο διάγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων για τα πεδινά χωριά φαίνεται να εμφανίηει κετικι αςυμμετρία, κάτι που επιβεβαιϊνεται από τισ ςχετικζσ κζςεισ των μζτρων κεντρικισ τάςθσ, κακϊσ M 19 M 20.87 X 21.4 ( δ ) Σο διάγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων για τα ορεινά φαίνεται να εμφανίηει κετικι αςυμμετρία, κάτι που επιβεβαιϊνεται από τισ ςχετικζσ κζςεισ των μζτρων κεντρικισ τάςθσ, κακϊσ M 19 M 19.33 X 19.8 Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ