stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1
3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση σε σφαιρικές συντεταγμένες Κβαντικός αριθμός της Κβαντικός αριθμός της στροφορμής προβολής της στροφορμής Αλγεβρικός υπολογισμός των ιδιοτιμών Το πρόβλημα είναι πολύ παρόμοιο με αυτό του αρμονικού ταλαντωτή μόνο που τώρα ζητούμε να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή l z (δουλεύουμε με ħ = 1) Ενώ θα πρέπει να ικανοποιείται ταυτόχρονα και η εξίσωση ιδιοτιμών του l 2 Στο πλαίσιο μιας αλγεβρικής μεθόδου επίλυσης θα πρέπει λοιπόν να βρούμε δύο τελεστές l + και l ανάλογους των a και a του αρμονικού ταλαντωτή με τη βασική ιδιότητα να «ανεβοκατεβάζουν» τις ιδιοτιμές της προβολής z αλλά να μην μεταβάλλουν τις ιδιοτιμές του l 2. Για να συμβαίνει το δεύτερο, οι τελεστές l ± θα πρέπει να μετατίθενται με τον l 2. Να είναι δηλαδή: 2
5 6 Ενώ για να συμβαίνει το πρώτο θα πρέπει σύμφωνα με όσα είπαμε στο προηγούμενο μάθημα ο μεταθέτης τους με τον l z να ξαναδίνει τους τελεστές l ± πολλαπλασιασμένους με το βήμα ±ξ Δεδομένου τώρα ότι όλες οι συνιστώσες του l μετατίθενται με τον l 2, είναι εύλογο ότι οι ζητούμενοι τελεστές l ± δεν θα είναι παρά γραμμικοί τους συνδυασμοί και ειδικότερα γραμμικοί συνδυασμοί των l x και l y αφού η παρουσία του l z δεν θα συνεισφέρει τίποτα αφού μετατίθεται με τον εαυτό του. Ας ξεκινήσουμε από την: Η τελευταία σχέση ικανοποιείται μόνο αν Επομένως οι ζητούμενοι τελεστές όντως υπάρχουν και έχουν τη μορφή και θα ικανοποιούν, βεβαίως, τις μεταθετικές σχέσεις Δείξαμε ήδη λοιπόν ότι ο τελεστής l z έχει ισαπέχουσες ιδιοτιμές με μεταξύ τους απόσταση ίση με ένα. 3
7 8 Ας προχωρήσουμε υπολογίζοντας τους αριθμητικούς συντελεστές παίρνοντας τα «μήκη» των δύο μελών Ενώ αντίστοιχα θα έχουμε και Και αντίστοιχα έτσι ώστε Όσο για το μηχανισμό τερματισμού της διαρκούς «παραγωγής» νέων ιδιοκαταστάσεων με επανειλημμένη δράση των l + και l αυτός προκύπτει από το γεγονός ότι η προβολή του διανύσματος της στροφορμής πάνω σε έναν άξονα δεν μπορεί να γίνει μεγαλύτερη από το μήκος του, δηλαδή: 4
9 10 Αυτό όμως επίσης συνεπάγεται ότι το μήκος του διαστήματος [ l,l] που προφανώς είναι ίσο με 2l θα είναι ένας ακέραιος αριθμός, αφού καλύπτεται πλήρως με μοναδιαία βήματα και άρα θα είναι: Καταλήξαμε λοιπόν στο εντυπωσιακό συμπέρασμα βασιζόμενοι μόνο στις μεταθετικές σχέσεις της στροφορμής και χωρίς να λύσουμε καμία διαφορική εξίσωση ότι ο κβαντικός αριθμός του μέτρου της στροφορμής μπορεί να πάρει μόνο δύο είδη τιμών: τις ακέραιες και τις ημιακέραιες. Οι ημιακέραιες τιμές του που προέκυψαν, ως μαθηματική δυνατότητα, από την αλγεβρική θεωρία της στροφορμής αντιπροσωπεύουν ένα είδος στροφορμής διαφορετικό από την τροχιακή, το οποίο είναι το σπιν που θα δούμε αργότερα. Υπενθύμιση των σφαιρικών αρμονικών Οι αφηρημένες ιδιοκαταστάσεις lm> θα αντιπροσωπεύονται πλέον από συγκεκριμένες συναρτήσεις Y lm των γωνιακών μεταβλητών θ και φ γνωστές ως σφαιρικές αρμονικές ενώ για τους τελεστές l x και l y θα έχουμε τις εκφράσεις Και για τον τελεστή Οι γενικές λύσεις είναι οι Όπου τα λεγόμενα συναφή πολυώνυμα Legendre και P l (ξ) τα κοινά πολυώνυμα Legendre 5
11 12 Αλγεβρική κατασκευή των ιδιοσυναρτήσεων της τροχιακής στροφορμής Όπως και στον αρμονικό ταλαντωτή όπου προσδιορίσαμε πρώτα τη βασική ιδιοσυνάρτηση ψ 0 και μετά όλες τις άλλες με επανειλημμένη δράση του τελεστή δημιουργίας a έτσι κι εδώ θα ξεκινήσουμε από τη μία ή την άλλη από τις εξισώσεις τερματισμού με Συνθήκη κανονικοποίησης: Έτσι θα έχουμε τελικά απροσδιοριστία φάσης 6
13 14 Οι σφαιρικές αρμονικές μέχρι l = 2 Αλγεβρικές τεχνικές υπολογισμού Όπως είδαμε και στον αρμονικό ταλαντωτή, το σημαντικότερο πλεονέκτημα της αλγεβρικής μεθόδου είναι ότι μας επιτρέπει να υπολογίζουμε τις ποσότητες που εμφανίζονται στις εφαρμογές μέσες τιμές, αβεβαιότητες, στοιχεία μήτρας κ.λπ. με έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο, χωρίς να κάνουμε καθόλου χρήση της εκπεφρασμένης μορφής των ιδιοσυναρτήσεων. Η βασική ιδέα είναι πάντα η ίδια. Να εκφράσουμε τους τελεστές που μας ενδιαφέρουν παραδείγματος χάριν τους l x και l y συναρτήσει των l + και l των οποίων η δράση πάνω στις ιδιοκαταστάσεις lm> είναι γνωστή. Ενώ για τη δράση των l + και l πάνω στις ιδιοκαταστάσεις θα ισχύουν οι γνωστοί τύποι 7
15 16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8
18 17 Το άτομο του υδρογόνου Η ακτινική εξίσωση Schrödinger σε ένα τυχόν κεντρικό δυναμικό 9
19 20 Το τελικό συμπέρασμα είναι ιδιαίτερα απλό. Δεδομένου ότι το γωνιακό κομμάτι των κυματοσυναρτήσεων είναι πάντα το ίδιο, το μόνο που απομένει σε κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα είναι η επίλυση της ακτινικής εξίσωσης Schrödinger για το εκάστοτε δυναμικό V (r). Αν, ειδικότερα, το δυναμικό V (r) διαθέτει δέσμιες καταστάσεις τότε η ακτινική κυματοσυνάρτηση y(r) θα ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες Έτσι τελικά το πρόβλημα της τριδιάστατης κβαντικής κίνησης ενός σωματιδίου, υπό την επίδραση ενός κεντρικού δυναμικού ανάγεται πλήρως σε ένα ισοδύναμο μονοδιάστατο πρόβλημα ως προς την ακτινική μεταβλητή r, το οποίο περιορίζεται στο μισό διάστημα 0 < r < αφού η μεταβλητή r είναι πάντα θετική. 10
21 22 Λύση της ακτινικής εξίσωσης για το δυναμικό Coulomb Σύμφωνα με τα προηγούμενα η εξίσωση που έχουμε να λύσουμε τώρα είναι η Η εξίσωση θα λυθεί στο ημιδιάστημα 0 < r <, με τις συνοριακές συνθήκες στα άκρα του. Αφού αναζητούμε τις δέσμιες καταστάσεις του προβλήματος, οι οποίες βεβαίως λόγω της μορφής του δυναμικού Coulomb βρίσκονται στην περιοχή των αρνητικών ενεργειών (E < 0) οπότε μπορούμε να θέσουμε Από τις δύο λύσεις κρατάμε βεβαίως τη φθίνουσα η οποία θα μπορεί να έχει πολυωνυμικές λύσεις βαθμού n μόνο αν η μέγιστη δύναμη r n ενός τέτοιου πολυωνύμου την ικανοποιεί για μεγάλα r 11
23 24 Για να ολοκληρώσουμε τη λύση θα πρέπει να μελετήσουμε επίσης και τη συμπεριφορά των πολωνυμικών λύσεων στη γειτονιά της αρχής (r 0) για να βεβαιωθούμε ότι όντως είναι τέτοια που να ικανοποιείται και η συνοριακή συνθήκη y(0) = 0 σε αυτό το σημείο. Έστω λοιπόν ότι η πολυωνυμική μας λύση βαθμού n όπως είπαμε έχει ως εναρκτήρια δύναμη την r s. Θα είναι τότε για μικρά r όπου τώρα από τις δύο εμφανιζόμενες δυνάμεις τις r s 1 και r s 2 κρατάμε τη μικρότερη (την r s 2 ) διότι αυτή κυριαρχεί για μικρά r. Επειδή η εναρκτήρια δύναμη ενός πολυωνύμου είναι πάντα μικρότερη ή ίση από τη δύναμη τερματισμού του, θα ισχύει υποχρεωτικά η ανισότητα Έτσι για κάθε δεδομένο n το l θα παίρνει τις τιμές οι οποίες αντιστοιχούν, βεβαίως, σε καταστάσεις του ατόμου που έχουν όλες την ίδια ενέργεια. (Υδρογονικός εκφυλισμός) 12
25 26 Η κυματοσυνάρτηση της θεμελιώδους στάθμης 13
27 28 Το διάγραμμα των ενεργειακών επιπέδων Περιστροφικός και υδρογονικός εκφυλισμός Ένα από τα πιο εντυπωσιακά χαρακτηριστικά του ενεργειακού φάσματος στο άτομο του υδρογόνου είναι ο πλούσιος εκφυλισμός του. Με εξαίρεση τη θεμελιώδη στάθμη, που είναι μοναδική, όλες οι άλλες είναι εκφυλισμένες με την έννοια ότι υπάρχουν περισσότερες από μία ιδιοσυναρτήσεις με την ίδια ενέργεια. Για τη στάθμη με n = 2 η τάξη του εκφυλισμού είναι ίση με τέσσερα ενώ για n = 3 θα είναι ίση με εννέα. Γενικά: 14
29 30 Κυματοσυναρτήσεις του ατόμου του υδρογόνου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 15
31 32 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ένα ηλεκτρόνιο με l=1 βρίσκεται στην κατάσταση α) Ποιές οι τιμές του l z και ποιές οι πιθανότητες τους β) Βρείτε την <l z > γ) Βρείτε την <l y > ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. Σας δίνεται η κυματοσυνάρτηση α) Γράψτε την σε μορφή σφαιρικών αρμονικών β) Βρείτε το Ν γ) Βρείτε την <l 2 > γ) Ποιές είναι οι τιμές του l z και ποιές οι πιθανότητες τους Δουλέψτε με ( =1) Δίνεται: 16