. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΑΡΧΗ. ΚΑΝΟΝΑΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ: a a a a
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ:, ( ) 3 4 3 4 a a a a a 3 aaa3a4 a 3 a 4,,,,...,,,.,.
.,,,, : () a ( ) () ( ) ( ) ( ) (3) 0 (4) ( ) 0. : OA AM OM OB BM OM.,. : ( ) ( OA AB) B OB B O ( ) OA( AB B ) OA A O. a a, ( ) a ( ). a (3) (4).
. ( ) a a a a a a ΑΠΟΔΕΙΞΗ a.,.,,., AB OB OA O : AB OBOA.
. a a a ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB).3 ΟΡΙΣΜΟΣ. :,,. 0, 0.
: () () ( ) (3) ( ) ( ) : (i) 0 0 0 (ii) ( ) ( ) ( ) (iii) ( ) (iv) ( ) (v) 0, (vi) 0,..,, 3 5, 3.., v,, R..,, v 3 5,.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ,, 0,,.., 0,.,,. :,.,. 0, 0. ( iv),,. :,, 0, //, R.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ AB. : OM OA AM OM OBBM., OA AM OB BM OAOB OM. OM OAOB OM.4, OI O. OI i. O O, O O. (),,, OM // i, OM.
., OM. ( ). i j. O. O,.,,, i j. O. M,, M, M. M,... (, ), : M ( ) M ( ). M M,.. M(, ) (, ). j i (,)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ O. OA. A A, : OA OA OA (), A, OA OA j. () i j i i j.. i j., i j. j a a A A i j i j ( ) i ( ) j, 0, i j,, i // j,, i j.,. : i j. i j i j,, O.,
. :., (, ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ,,, R.,, ), ), : ( ( ( i j) ( i j) ( ) i( ) j i j ) ( ) i ( ) j ( (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ), :, ) (, ) (,, (, ) (, ), ( ).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (, ) (, ) - (, ). OM ( OAOB ), OM (, ), OA, ), OB, ), ( ( (, ) [(, ) (, )], B(, ) (,) A(, ).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ, ) ( (, ) (, ) A(, ) B(, ) AB., AB OB OA, AB (, ), OB (, ), OA (, ), : :, ) (, ) (, ) (, ). ( (, ) A, ), ) (. ( AB AB.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (, ) OA.,, ( ) ( ). : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : A A(,) a. (, ), ()
ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ: (, ) (, ). ( ) AB (, ), () : A(, ) B(, ) ) ( ) ( ) ( () : (, ), ) ( ) ( ) ( ) (., (, 7 ) ( 5, 3 ) // 0 (),, ( ) det(, )., : // det( a, ) 0
(, ) A OA a., O,. A(,) 0.,,,. (, ), 0,. : 0, //, 0. 0, //,.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (, ) (, ). : // 0, :. //.5,. 0 0, 0
3 : ( ) 0.... : 0.., i j : i j j i 0 i j
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (, ) (, ). OA OB. (, ) a (, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ),,,. ( ) ( ) ( ), ( ), : ( ) ( ) : ( )( ), : ( ) ( )( ). ( )( ).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ( ) ( ), R ( ) ( ), (, // ), (, ), (, ) ( 3, 3 ), : ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( )., ( ) ( ) ( ) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) 3 3 3 3 ( 3) ( 3) ( ) ( 3 3 ). 0 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ (, ) (, ),,.,.,
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΑΝ ΘΕΩΡΙΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) (ii) ; ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ, v 0 OA. OA M OM., OM.. OM.. : v ( OM M M ) OM M M OM v M M a A :
. EYΘΕΙΑ, C, C,,.
. O.., 0. 0 0 0 80 0..,,.,,. 0 90,,.
.,. :,. = =+ A (, ) B (, ),.
,.,,,, // //.,, : //
ΑΠΟΔΕΙΞΗ O A ( 0, 0 ).. M(,) M (, ) A 0, ), ( 0 AM, AM. AM, ), ( 0 0. AM 0, M (, ) A ( 0, 0 0 ( 0 ). ). : ( 0, 0 ) //. 0 0 0 ( 0 ) 0 ()
A, ) B, ). ( (, 0 ( 0 ) : ( ) () B(, ) (, ) () (),,. A 0, ), ( 0 0 : 0 A ( 0, ) ( 0 ),. (0,)
, 0 ( 0)., O O. =- = 35 o 45 o, A ( 0, 0 ),, ( ), 0 0 0 0. 0 ( 0, 0 ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ. 0, 0 0. (, 0 ),, ( ) 0 (0,)
P ( 0, 0 ), 0, 0( ) 0.,, A B 0 A 0 B 0. 0 P( 0, 0 ), A B 0 A 0 B 0. B 0, A B, B A 0, B B. B 0,,, A 0, A P,0. A A B 0 A 0 B 0.,, : A B 0 A 0 B 0 (), ().
A B 0 A B 0, B ( B, A ). B 0, ( B, A ). : A B 0 ( B, A )., ( B, A ) n ( A, B ), n ( B, A) ( A, B) AB AB 0. : A B 0 n ( A, B ).
.3 Έστω A B 0 και M, ). 0 ( 0 0 d ( M 0, ) A 0 A B 0 B 0 ( 0, 0 ) n ( A, B ) (, ) R,,
( 3, 3 ) B(, ) A(, ) ( AB ) det( AB, A ) : : d(, ). Τον παραπάνω τύπο τον χρησιµοποιείτε στις ασκήσεις χωρίς απόδειξη.
3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ SOS 3. O C O( 00,). M (, ) C,,, : ( OM) (), ( OM)., (),,. () (0,0) M(,) C,, ()., O( 00,) (3), (0,0)..
ΑΠΟΔΕΙΞΗ SOS C : A (, ). M (, ),,, (, ) M(,) OA AM 0. () OA (, ) AM (, ). () ( ) ( ) 0,., A (, )
A B 0 K ( 0, 0 ) : ( ) ( ) () 0 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ : O C K ( 0, 0 ). M (, ) C,,, ( 0, 0 ) M(,) ( KM ) (), ( KM) ( ) ( ) 0 0., () : ( ) ( ),, ( ) ( ). 0 0, K ( 0, 0 ) : 0 0 ( ) ( ) () 0 0
A B 0, A B 4 0 () (). ΑΠΟΔΕΙΞΗ:, () A 0, B ( ) 0, 0 0 0 0 A B 0, (3) 0 0 0. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ :, (3) : ( A) ( B) A A B B A B 4 4 4 4 : A B A B 4 4. A B 4 0, (3) A B K, A B 4. A B 4 0, (3), A B K,. A B 4 0, (3), M (, ).
3.. C (. ).,. () C () P ()=() () ( )
C. C O. P M(,) p>0 p<0 M(,) P O E p, 0 E p, 0 O p : p :, C E p, 0 : p p p p.
O, C p =p p>0 E0, p O : p =p p<0 O E0, p p :
p. () () p ( 0 ).,.,. M(, ),, p, M, ) (, ( ) p..,. C p () M(, )., p( ) p M (, ) p, M(, ) p( ).
M ME M t,,. M (, ) t N (-,0) O E p, 0 C
3.3 E. E C E E E.,, E. H. E E : M ), ( ME) ( ME) E ()= ()+()= ) ( EE ) ( ME) ( ME ),. 0, E, E,.
. ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ Χ Χ, B M (, ) A E(, 0 ) O E(, 0 ) B. ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ Υ Υ O E E E E, C E( 0, ), B O, E (, 04 ), E( 04,) 0, 3 5 5 4 3. E( 0, ) A
C :, M(, ) C, M (, ), M3(, ) M4(, ) C,. A B M 3 M A O M 4 B M., E, E E E, E E.. 0, 0., C A (, 0 ) A (, 0 ), B ( 0, ) B ( 0, ). A, A, B, B, A A B B, ( A A ) ( B B ),. M M 4. 4 ( M M ),.,, 0..,,,.
.,.,,. (), (. ).,.,,, 0.,, (. ). () ()
3.4 E. E C E ( EE ).,. E E. : ), ( ME ) ( ME). ) ( ME ) ( ME) ( E E),. C, ()= (M)(ME) =a
. ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ Χ Χ. (-,0) (,) (,0),. ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΥΎ. E(0,) (0,-),.
,, : a. ΑΣ C, O,. M(, ) C, M(, ), M3(, ) M4(, ) C,. M 3 M C O., M 4 M E, E =-a =a E E, E E..
ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ : O P a a, K (, ), (, ), M (, ) N(, ).. a a
C, :. :.,. 4 4. 0 0,.
.,,.,,,. () () Η εφαπτομένη της είναι :
3 3, M(, ). ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ E ME, E, E. M