Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Για να είναι µια εξίσωση µε δύο αγνώστους γραµµική, θα πρέπει οι άγνωστοι να έχουν εκθέτη τη µονάδα. Αν α = προκύπτει η ειδική περίπτωση γ x+β =γ β =γ = =κ δηλαδή ευθεία παράλληλη στο xx β που διέρχεται από το σηµείο κ του άξονα. = κ κ Αν β = προκύπτει η ειδική περίπτωση γ α x+ =γ α x=γ x= x=κ δηλαδή ευθεία παράλληλη στο α που διέρχεται από το σηµείο κ του xx άξονα. (θυµίζουµε ότι αυτή ΕΝ είναι συνάρτηση.) Σελίδα -1-
x = κ κ Όταν ζητάµε τη κοινή λύση ή τις κοινές λύσεις δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους, τότε λέµε ότι έχουµε ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Η γενική µορφή ενός τέτοιου συστήµατος είναι : α x+β =γ α x+β =γ Λύση ενός συστήµατος της παραπάνω µορφής ονοµάζουµε το διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (x, ) που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις. Ο έλεγχος που κάνουµε προκειµένου να διαπιστώσουµε αν η λύση που βρήκαµε είναι σωστή καλείται επαλήθευση. ύο γραµµικά συστήµατα λέγονται ισοδύναµα όταν έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις. Για να προκύψουν δύο ισοδύναµα συστήµατα στηριζόµαστε στις εξής ιδιότητες των πραγµατικών αριθµών: Αν γ, τότε α=β αγ=βγ Αν α = β και γ = δ, τότε α+γ=β+δ Η διαδικασία εύρεσης της λύσης καλείται επίλυση του συστήµατος και πραγµατοποιείται µε τους παρακάτω τρεις τρόπους. Σελίδα --
Μεθοδολογία Α ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Για να λύσουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε τη µέθοδο της αντικατάστασης, εργαζόµαστε ως εξής: Λύνουµε µία από τις δύο εξισώσεις, οποία θέλουµε, ως προς τον έναν άγνωστο. (Συνήθως λύνουµε ως προς εκείνον τον άγνωστο που έχει το µικρότερο συντελεστή ) Αντικαθιστούµε την παράσταση του αγνώστου αυτού στη δεύτερη εξίσωση. Λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουµε την τιµή του ενός αγνώστου. Αντικαθιστούµε την τιµή αυτή στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουµε την τιµή του άλλου αγνώστου. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ = 1 5x = 4 Προκειµένου να λύσουµε αυτό το σύστηµα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης, εργαζόµαστε ως εξής: Παίρνουµε τη µια από τις δύο εξισώσεις (οποία θέλουµε αλλά µας βολεύει να πάρουµε τη πιο απλή ) και τη λύνουµε ως προς τον ένα άγνωστο (επίσης ως προς οποίο άγνωστο θέλουµε ). Στη συγκεκριµένη εφαρµογή διαλέγω τη πρώτη εξίσωση του συστήµατος και τη λύνω ως προς x. Έτσι προκύπτει το παρακάτω σύστηµα: x= 1 5x = 4 Τώρα αντικαθιστούµε το x στη δεύτερη εξίσωση και τη λύνουµε ως προς. Αναλυτικά έχουµε: 56 5 ( 1 ) = 4 6 5 = 4 7= 4 6 7= 56 = = 8 7 Τώρα αφού έχουµε βρει το αντικαθιστούµε στη πρώτη εξίσωση και βρίσκουµε τον άλλο άγνωστο, δηλαδή τον x. Έτσι λοιπόν x= 1 x= 1 8 x= 4 Σελίδα -3-
Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (x, ) = (4, 8) Επαλήθευση: Για x = 4 και = 8, έχουµε: 1 η Εξίσωση: 4+ 8= 1 1= 1 η Εξίσωση: 5 4 8= 4 16= 4 4= 4 (*) Η λύση που βρήκαµε είναι ουσιαστικά το σηµείο τοµής των δύο ευθειών που είναι οι γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων του συστήµατος 1 8 5x- = 4 x + = 1 O 4 1 - Β ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Για να λύσουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών, εργαζόµαστε ως εξής: Φέρνουµε τις δύο εξισώσεις του συστήµατος στη µορφή αx + β = γ φροντίζοντας να είναι τα x κάτω από τα x και τα κάτω από τα και στα δεύτερα µέλη οι γνωστοί όροι. Πολλαπλασιάζουµε τη µία ή και τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλο αριθµό ώστε οι συντελεστές του x (ή του ) στις δύο εξισώσεις να είναι αντίθετοι αριθµοί. Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε απαλείφεται ο άγνωστος x (ή ο ) και προκύπτει εξίσωση ως προς (ή ως προς x), την οποία και επιλύουµε. Αντικαθιστούµε την τιµή του αγνώστου που βρήκαµε σε µια από τις δύο αρχικές εξισώσεις, υπολογίζοντας έτσι την τιµή του άλλου αγνώστου. Σελίδα -4-
Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x = 3 x+ 3 = 6 ( 1) ( ) Προκειµένου να λύσουµε αυτό το σύστηµα µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών, εργαζόµαστε ως εξής: Πρώτα επιλέγουµε τον άγνωστο που θέλουµε να απαλείψουµε και προσπαθούµε να τον εµφανίσουµε στις δύο εξισώσεις µε αντίθετους συντελεστές. Στη συγκεκριµένη εφαρµογή θα κάνουµε απαλοιφή του. Πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση (1) µε το 3 ενώ την () µε το 1 για να παραµείνει ως έχει. Αναλυτικά έχουµε: ( 3) ( ) x = 3 3 3x 3= 9 x+ 3= 6 1 x+ 3= 6 4 Προσθέτοντας κατά µέλη τις (3), (4) έχουµε: 3x 3+ x+ 3= 9+ 6 5x= 15 x= 3 Αντικαθιστώντας τη τιµή του x που βρήκαµε σε µία από τις δύο αρχικές εξισώσεις, βρίσκουµε τη τιµή του άλλου αγνώστου. Έτσι για x = 3 η (1) δίνει: 3 = 3 =. Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (x, ) = (3, ) Επαλήθευση: Για x = 3 και =, έχουµε: 1 η Εξίσωση: 3 = 3 3= 3 η Εξίσωση: 3+ 3 = 6 6= 6 Το παρακάτω σχήµα µας δίνει τη γραφική επίλυση του συστήµατος. x+3 = 6 x - = 3 O 3-3 Σελίδα -5-
ΓΕΝΙΚΑ για να λύσουµε ένα σύστηµα θα πρέπει: Να κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών, αν υπάρχουν Να κάνουµε τις πράξεις και να χωρίσουµε γνωστούς από αγνώστους Να κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων Να βάλουµε τα x κάτω από τα x και τα κάτω από τα Να εφαρµόσουµε µία από τις µεθόδους επίλυσης που αναφέραµε. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα : Λύση ( ) ( ) ( ) = 4 3x 5 x = 5x 3 5 ιαδοχικά, κάνοντας πράξεις στο σύστηµα έχουµε: ( ) ( ) ( ) 4 3x 5 x = 1x + x= 5x 3= 5 1x 3= 5 14x = 7x = 11 1x 5= 5 x = 1 Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχουµε: 7x = 11 1 7x = 11 5x = 1 x = x = 1 ( -1) x+ = 1 Αντικαθιστώντας στην x-=1 το x = θα έχουµε ότι = 3. Συνεπώς η λύση του Συστήµατος θα είναι η (x, ) = (, 3) Γ ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Ορίζουσα ης Τάξης καλείται µια διάταξη αριθµών σε δύο γραµµές και δύο στήλες, που περικλείεται από δύο παράλληλες γραµµές. 5 7 π.χ 4 Ορίζουµε α γ β δ =α δ β γ Σελίδα -6-
Στο γραµµικό σύστηµα α x+β =γ α x+β =γ αντιστοιχούν 3 ορίζουσες: α β Η ορίζουσα D= =α β α β που έχει ως στοιχεία τους α β συντελεστές των αγνώστων και λέγεται ορίζουσα του συστήµατος. γ β Η ορίζουσα Dx = =γ β γ β η οποία προκύπτει από την D αν γ β στη στήλη των συντελεστών του x θέσουµε τους σταθερούς όρους. α γ Η ορίζουσα D = =α γ α γ η οποία προκύπτει από την D αν α γ στη στήλη των συντελεστών του θέσουµε τους σταθερούς όρους. Για τη λύση-διερεύνηση του συστήµατος α x+β =γ α x+β =γ ισχύουν τα εξής: Αν D, το σύστηµα έχει µοναδική λύση την : D x D x = και = D D Αν D= και Dx ή D, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο, Αν D= και Dx = και D =, τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, εκτός από τη περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές των αγνώστων είναι µηδέν ενώ ένας τουλάχιστον από τους σταθερούς όρους είναι διάφορος του µηδενός, οπότε και το σύστηµα είναι αδύνατο. (δηλ. εκτός και αν α=α =β=β = και γ ή γ οπότε και είναι αδύνατο ) Π.χ1: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση 3x = 5 x + 3 = 1 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 3 - D= = = 3 3 ( ) 1= 9+ = 11 α β 1 3 Σελίδα -7-
Η ορίζουσα του συστήµατος είναι διάφορη του µηδενός οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την: D x D x = και = D D Αναλυτικά έχουµε: γ β 5 - Dx = = = 5 3 ( ) 1= 15+ = 17 γ β 1 3 α γ 3 5 D = = = 3 1 5 1= 3 5= α γ 1 1 Άρα η λύση του συστήµατος είναι : 17 x, =, 11 11 ( ) D 17 x = και D 11 D 11 D x = = = δηλ. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ = 5 x+ 4= 1 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 1 D= = = 1 1= = α β 1 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µηδέν οπότε θα πρέπει να υπολογίσω και τις D x, D. Εάν µία από τις δύο είναι διάφορη του µηδενός τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Εάν και οι δύο προκύψουν µηδενικές τότε το σύστηµα είναι αόριστο. Αναλυτικά έχουµε: γ β 5 Dx = = = 5 5 = 1 1= γ β α γ 1 5 D = = = 1 5 1 5= 5 5= α γ 1 5 5 x Εποµένως το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο), τα ζεύγη x,, 5,, όπου όπου x οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός, ή τα ζεύγη ( ) οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Σελίδα -8-
Π.χ3: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ 3= 1 3x+ 9= 7 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 1 3 D= = = 1 9 3 3= 9 9= α β 3 9 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µηδέν οπότε θα πρέπει να υπολογίσω και τις D x, D. Εάν µία από τις δύο είναι διάφορη του µηδενός τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Εάν και οι δύο προκύψουν µηδενικές τότε το σύστηµα είναι αόριστο. γ β 1 3 Αναλυτικά έχουµε: Dx = = = 1 9 3 7= 9 1= 1, άρα το γ β 7 9 σύστηµα είναι αδύνατο Λυµένες Ασκήσεις 1. Να λυθεί το σύστηµα : x = x = 4 ( 1) ( ) Λύση Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχω: ( ) x = - x+ = 4 x + = x = 4 1 x = 4 Η εξίσωση x + = αληθεύει για κάθε x και. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις ή ότι είναι αόριστο. Η Γραφική ερµηνεία ενός τέτοιου συστήµατος είναι ότι οι δύο εξισώσεις του συστήµατος που παριστάνουν δύο ευθείες στο επίπεδο, συµπίπτουν.(αφού έχουν άπειρα σηµεία τοµής ) Σελίδα -9-
x = = x και x = 4 = x+ 4 = x x - = 4 x - = O -. Να λυθεί το σύστηµα : ( 1) ( ) x+ 4= 3 x+ 4= Λύση Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχω: x+ 4= 3 1 x+ 4= 3 x + = 5 x+ 4= ( -1) x 4= Η εξίσωση x + = 5 δεν αληθεύει για κανένα x και, δηλαδή είναι αδύνατη. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το σύστηµα είναι αδύνατο. Η Γραφική ερµηνεία ενός τέτοιου συστήµατος είναι ότι οι δύο εξισώσεις του συστήµατος που παριστάνουν δύο ευθείες στο επίπεδο, είναι παράλληλες.(αφού δεν έχουν κανένα σηµείο τοµής ) 1 3 1 1 x+ 4= 3 = x + x+ 4= = x 4 O x +4 =3 x +4 = - Σελίδα -1-
3. Να λυθεί το σύστηµα : x+λ =λ λ x + = 4 λ 8 (παραµετρική) Λύση Υπολογίζω τις ορίζουσες D,D x, D. Αναλυτικά έχουµε: α β λ D= = = 4 λ = λ 4 = λ λ+ α β λ ( ) ( )( ) γ β λ- λ Dx = = = λ λ 4λ 8 = λ 4λλ = λ 4λ = λ 1 λ γ β 4λ-8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) α γ λ- D = = = 4λ 8 λλ = 4 λ λλ = λ α γ λ 4λ-8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Βρίσκω για ποιες τιµές της παραµέτρου λ είναι D =. D= λ λ+ = λ= ή λ = - ( )( ) Εξετάζω περιπτώσεις ανάλογα µε τις τιµές της παραµέτρου. ( 8 λ ) = λ ( 8)( λ ) (i) Αν λ και λ -, τότε D και συνεπώς το σύστηµα έχει µοναδική λύση την: D ( λ 1 x )( λ ) ( λ 1) x = = = και D λ λ+ λ+ ( )( ) ( )( ) ( )( ) D λ 8 λ λ 8 D λ λ+ λ+ = = = ( ) x+ = (ii) Αν λ = το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή οπότε και είναι x+ = αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Επειδή x+ = x+ = = x, λύσεις στην περίπτωση αυτή είναι όλα τα ζεύγη (x, -x), όπου x οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός.( ή όλα τα ζεύγη της µορφής (κ, -κ), µε κ R ) Σελίδα -11-
(iii)αν λ = -, το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή x = 4 x = οπότε και είναι αδύνατο. x+ = 16 x = 8 (*) Τόσο για λ = όσο και για λ = -, θα µπορούσαµε να εξετάσουµε αν είναι αόριστο ή αδύνατο το σύστηµα βρίσκοντας για τα συγκεκριµένες τιµές του λ τα D X,D Y. Αν για µια τιµή του λ τόσο το D X όσο και το D Y είναι µηδέν, τότε το σύστηµα θα είναι αόριστο. Αν για µια τιµή του λ ένα από τα D,D είναι διάφορο του µηδενός τότε το σύστηµα θα είναι αδύνατο. X Y Ερωτήσεις «Σωστού Λάθους» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Αν ( x, ) µια λύση της γραµµικής εξίσωσης Σ Λ. α x+β =γ, τότε α x+β =γ Σ Λ γ ακ 3. Τα ζεύγη κ, β είναι λύσεις της εξίσωσης α x+β =γ, β Σ Λ 4. Η εξίσωση 1 = 3 είναι γραµµική Σ Λ x 5. Η εξίσωση x = είναι γραµµική Σ Λ 3 1 6. Το σύστηµα x= 5 x= είναι αδύνατο Σ Λ 7. Ισχύει x= x= x= x+ = Σ Λ 8. Ισχύει x+ 3= 5 x= 1 x = 4 = Σ Λ 9. Ισχύει x+ 5= 17 5+ x= 17 4x = 1 4x= 1 Σ Λ Σελίδα -1-
1. Αν για ένα x γραµµικό σύστηµα ισχύει D= Dx και Σ Λ 1 D = 3D, D, τότε το σύστηµα έχει λύση x= και = 3 11. Όταν D =, το x γραµµικό σύστηµα είναι αδύνατο. Σ Λ 1. Ισχύει α 1x+β 1=γ1 λα 1x+λβ 1 =λγ1, λ α x+β =γ α x+β =γ Σ Λ α 1x+β 1=γ1 13. Αν η ορίζουσα του συστήµατος είναι ίση µε το µηδέν, α x+β =γ τότε οι αντίστοιχες ευθείες των εξισώσεων είναι πάντα παράλληλες Σ Λ 14. Όταν τα στοιχεία µιας ορίζουσας είναι αρνητικοί αριθµοί, η τιµή Σ Λ της ορίζουσας είναι αρνητικός αριθµός. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Η εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα σηµεία (4, 5) και (4, -3) είναι η: Α. = 3 Β. = 4 Γ. x= 4. 4x+ 5= 3 Ε. = 4x = 4x+ 5. Το σύστηµα : 4x = 3 Α. έχει µία µόνο λύση Β. είναι αδύνατο Γ. είναι αόριστο. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη λύση του 3x = 5 3. Το σύστηµα : 7x+ = Α. έχει µία µόνο λύση Β. είναι αδύνατο 3x 5 Γ. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη x,, x R. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα Σελίδα -13-
x+ 3= 5 4. Το σύστηµα : 4x+ 6= 1 5 3 Α. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη,, R Β. δεν έχει λύση Γ. έχει µία µόνο λύση. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη ( x,x ) Ε. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη λύση του 5, x R 5. Η ισοδύναµη της εξίσωσης x= 4 είναι η εξίσωση: Α. x= 4 Β. x+ = 4 Γ. x = 4. 1 x 4 = Ε. 1 x = 6. Η εξίσωση = 3 επαληθεύεται: Α. µόνο από το ζεύγος (3, ) Β. µόνο από το ζεύγος (, 3) Γ. µόνο από το ζεύγος (-1, 3). από όλα τα ζεύγη της µορφής(κ, 3) κ R Ε. από κανένα ζεύγος (x, ) λ x+ = 7 7. Το σύστηµα x λ = λ Α. είναι αδύνατο για κάθε λ πραγµατικό Β. είναι αδύνατο για κάθε λ Γ. έχει άπειρες λύσεις για κάθε λ πραγµατικό 7. έχει άπειρες λύσεις µόνο όταν λ= Ε. έχει µοναδική λύση για κάθε λ πραγµατικό 8. Αν για ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα x και ισχύει D και D Dx + 4D =, τότε τα x και επαληθεύουν την εξίσωση: Α. x 4= 1 Β. x+ 4= 1 Γ. x 4= 1. x 4= x Ε. 1 x+ = 1 4 λ x+ = 7 9. Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις όταν: x+λ = λ Α. λ= 1 Β. λ= Γ. λ= 1ή λ= 1. λ= ή λ= 1 Ε. λ= 1. Η ορίζουσα Α. x x 1 Β. x 1 είναι ίση µε: x+ 1 x x x 1 + Γ. ( x+ 1). ( x 1) Σελίδα -14- Ε. x x
11. Αν ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα x, έχει λύση x=, = 1τότε: 1 1 = Β. Dx = D Γ. D x = D. D = D x Ε. Dx+ D = 1 Α. Dx D Ερωτήσεις Συµπλήρωσης Κενού 1. Μια λύση ενός συστήµατος δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι που επαληθεύει.του συστήµατος.. Αν οι εξισώσεις ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους παριστάνουν δύο παράλληλες ευθείες, τότε το σύστηµα είναι. 3. Αν οι εξισώσεις ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους παριστάνουν την ίδια ευθεία, τότε το σύστηµα είναι 3x =λ 4. Έστω το σύστηµα, να συµπληρώσετε τα κενά στις 4x+ 7= 3λ παρακάτω προτάσεις. Οι ορίζουσες που αντιστοιχούν στο σύστηµα είναι οι 3............ D =, Dx = και D =... 7... 7............ Η λύση του συστήµατος είναι η x= και =....... Σελίδα -15-
Ερωτήσεις Αντιστοίχησης Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης (Α) µε τα στοιχεία της στήλης (Β). ΣΤΗΛΗ (Α) Εξίσωση 1. x 3= 6 5. x+ = 9 3 3. x = 13 4. x+ = 3 5. 5x+ 7= 19 Α. (4, -5) Β. (,1 ) Γ. (-1, -). (, -) ΣΤΗΛΗ (Β) Λύση Ε. (9, ) ΣΤ. (3, -1) ΣΤΗΛΗ (Α) Ορίζουσα ΣΤΗΛΗ (Β) Τιµή 1.. 3. 4. α 1 α α α+ 1 α β β α 5 1 3 α α β β Α. ( α β)( α+β ) Β. αβ( α β ) Γ. 13. α+β Ε. -1 Σελίδα -16-
Άλυτες Ασκήσεις 1. Να λυθούν τα συστήµατα: 4x 3= 6 i) x+ 1 1 6x = 16 = vi) 3 1 1 7x 3= 3 ii) x = 6 + = 3 x iv) x + = 13 x 3 1 = = 3 3x+ = 5 3 x iii) vii) 3x + = 7 x + + 3 = 3 4 5 x 3= 6 3 + = x iv) x) x = 6 x+ x = 5 3 7 = x 3= x+ 1 viii) x 4 v) 3 4x + 3 = 3x 5 ( x 1) = 4 x = 1 x + 3 = 5 3 x 4 = 1 xi) xii) xiii) 4 x 3 = 8 3 x + = 5 4 x + 3 = 5 x+ x 7 + = 3 6 xiv) x x + 17 + = 3 6 x+ 1 1 3 + = 4 xv) x + 1 1 3 = 4 x 3 = 7 xx) x + 5 = 16 7 x 1+ + = 31 xvi) 3 x 1 4 + = 1 1 + = 14 x + 1 xvii) 3 1 = 7 x+ 1 3 x+ = 5 xviii) 5 x = 1 6 x+ 7 = 1 xix) 3 x + 4 = 7. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: i) Α(3, ) και Β(-, -3) ii) Α(, 4) και Β(, -3) iii) Α(-1, 3) και Β(4, 3) iv) Α(1, 4) και Β(-, 1) v) Α(, ) και Β(, 3) vi) Α( 1, 1 ) και Β(-3, 1 3 5 ) Σελίδα -17-
3. Να βρείτε τα α,β ώστε το (Σ) λύση το ζεύγος (-, 3). α x +β = 6 ( α+ ) x ( β ) =α 5 β+ 1 να έχει 4. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 6 3x+ = 1 x+ = 7 i) ii) iii) 3x = x = 1 3x = 5. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 5 x = 1 x= i) ii) iii) = x= 1 = 3 6. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 3= x+ = x= i) ii) iii) 4x 6= 1 x = 4 3x 3= 7. Να λυθούν τα συστήµατα: ( x+ ) + 3( x ) = 1 ( x+ ) 3( x ) = 6 i) ii) 5( x+ ) + 4( x ) = 6 3( x+ ) + 4( 3x+ ) = 8. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω συστήµατα έχουν λύση, ποια είναι αδύνατα-αόριστα. x+ = 6 x+ 3= 6 4x+ = 5 i) ii) iii) 3x = x+ 6= 1 x = 1 αx = 1 9. ίνεται το σύστηµα. Να εξηγήσετε γιατί είναι αδύνατο για α x+ = 3 οποιαδήποτε πραγµατικό αριθµό α. 1. Να λυθούν τα συστήµατα: x 3= 6 x 5= 5 x 3= i) ii) iii) x+ 5= 1 7x+ = 5 x+ 5= 7 Σελίδα -18-
11. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 1 = + 3 5 x= x= i) ii) iii) 3x 5 x + x = + 5 = x= 1 4 1. Να λυθούν τα συστήµατα: 3x 7= 1 x+ = 1 i) ii) 7 x 4= 5 x+ = 4 3 13. Να λυθούν τα συστήµατα: 3x+ 5= 1 x 3= i) ii) 6x 1= x 6= 5 14. Να λυθούν τα συστήµατα: 3x = 8x 1= 4 i) ii) 6x+ = 4 x+ 3= 1 15. Να λυθούν τα συστήµατα: 4 3x+ x+ 3x+ = x+ 5= 3 + = 1 3 4 5 i) ii) 5 5 iii) 8 5 7x+ = x+ x x+ = 4 = 3 3 3 3 4 16. Να λυθούν τα συστήµατα: x 3= x+ = 3 3( x+ ) ( x ) = i) ii) iii) 5x = 5 3x+ 8= 1 ( x+ ) + 4( x ) = 14 17. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 5 x= 8 x+ = 4 x+ = 7 i) ii) iii) iv) x = 6 x = 75 x = 4 x x= 18. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 1 + ( x+ 1) x x 1 = = 4 5 + 4 3 i) ii) x 1 3x+ 11+ x 4 = = 3 5 15 x+ 1 3 Σελίδα -19-
19. Να λύσετε τα συστήµατα µε τη βοήθεια των οριζουσών: x+ = 1 x 3= 6 x+ 3= 1 i) ii) iii) x+ = 4x+ = 16 6x+ 9= 4 3x = 1 x 3= x+ 1 iv) 3 1 1 v) x = 4x+ 3= 3x 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: - 5-1 7 3x-1 -x i) = ii) = 4x iii) = 5 3x -1 3x - 3x 1-4 3 4x+1 6 x -x x 1 iv) = 3x 1 v) = x-1-3 x+1 x x 1. Για τις διάφορες τιµές του λ, να λύσετε τα συστήµατα : λ x+ =λ λ x+ =λ+ i) ii) x + = λ 1 λ 1 x + λ+ 1 = λ+ 1 ( ) ( ) λ+ x+ 4= 8 3λ iii) x+ λ+ 4 = 8 ( ) ( ) ( ) x+ 3= 6. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα x+ 6 =λ i) έχει άπειρες λύσεις ii) είναι αδύνατο 3. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα λύση. x+ =λ x+ 4= 5 έχει µοναδική 4. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα x = x =λ είναι αδύνατο. Σελίδα --
x+λ = 1 5. Να βρείτε για ποια τιµή του λ τα συστήµατα i) λ x + =λ λx 3= 4 4 έχουν άπειρες λύσεις. x = 3 ii) 6. Να βρείτε τα α, β, ώστε για τη συνάρτηση f( x) =α x( x+ 1) +β να ισχύει f ( ) = 1 και f (3) = 1. 7. Να βρεθούν τα x, αν ισχύει ότι: D + D D + 1= X Y X 8. Να λυθεί το σύστηµα αν ισχύει ότι: D + D D D+ D = X Y X 9. Να λυθεί το σύστηµα 3DX DY = D + D = 5 X Y αν είναι γνωστό ότι D = -. 3. Να λυθεί το σύστηµα περιπτώσεις...) 3DX DY = D. (Προσοχή: Θα διακρίνεται DX+ DY = 5D Β. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3X3 Ορισµοί Ένα σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους (3x3) θα είναι της µορφής : α x+β +γ z=δ α x+β +γ z=δ α x+β +γ z=δ Σελίδα -1-
Στην ειδική περίπτωση όπου οι σταθεροί όροι ενός γραµµικού συστήµατος (3x3) είναι όλοι ίσοι µε το µηδέν, το σύστηµα τότε καλείται οµογενές. Έτσι ένα οµογενές σύστηµα θα είναι της µορφής : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α x+β +γ z= α x+β +γ z= α x+β +γ z= Παρατηρούµε ότι µια προφανή λύση που έχουν τα οµογενή συστήµατα είναι η µηδενική, δηλαδή η (x,, z) = (,, ), αφού αν βάλουµε όπου x =, = και z = το σύστηµα επαληθεύεται. Εκτός όµως από τη µηδενική λύση, τα οµογενή συστήµατα µπορεί να έχουν και επιπλέον λύσεις, όπως θα δούµε αναλυτικά στην εφαρµογή που ακολουθεί. Μεθοδολογία - Εφαρµογές Να λυθεί το σύστηµα Λύση x ω= 6 x 3ω= 1 5x+ 6+ω= (1) () (3) Το παραπάνω σύστηµα µπορεί να λυθεί µε έναν από τους παρακάτω δύο τρόπους. Α ΤΡΟΠΟΣ Παίρνουµε τις δύο πρώτες εξισώσεις και δηµιουργούµε ένα σύστηµα µε αγνώστους τους x και. Έπειτα λύνουµε αυτό το σύστηµα και τις τιµές των x και τις αντικαθιστούµε στην τρίτη εξίσωση. Αναλυτικά παίρνοντας τις εξισώσεις (1), () του συστήµατος έχουµε : x = 6 ω x = 1+ 3ω Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε ότι: x= ω και = ω 4. Σελίδα --
Αντικαθιστώντας τώρα τις τιµές x, στην εξίσωση (3) του συστήµατος προκύπτει εξίσωση ως προς ω 5 ω + 6 ω 4 +ω= ω=. ( ) ( ) 1 Έτσι x= ( 1) = 3 και = ( 1) 4= Οπότε η λύση του συστήµατος είναι η: (x,, z) = (3, -, -1) B ΤΡΟΠΟΣ Από τις εξισώσεις (1) και () του συστήµατος απαλείφουµε έναν από τους τρεις αγνώστους, για παράδειγµα τον x. Αναλυτικά έχουµε: x ω= 6 x 3ω= 1 x ω= 6 (-1) x+ + 3ω= 1 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : + ω= 4 Επίσης από τις εξισώσεις (1) και (3) του συστήµατος απαλείφουµε πάλι τον ίδιο άγνωστο(τον x) και έχουµε: x ω= 6 5x+ 6+ω= (- 5) 5x+ 5+ 5ω= 3 5x+ 6+ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : 11+ 6ω= 8 Έτσι το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή: x ω= 6 + ω= 4 11 + 6ω= 8 Λύνοντας το σύστηµα των δύο τελευταίων εξισώσεων έχουµε: + ω= 4 11 + 6ω= 8 (-11) 11 ω= 44 11 + 6ω= 8 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : ω = 1 x ω= 6 Έτσι το σύστηµα παίρνει µορφή: + ω= 4 ω= 1 Αντικαθιστώντας την τιµή του ω στη δεύτερη εξίσωση προκύπτει η τιµή του. = 4 = Σελίδα -3-
Για = - και ω = -1 η πρώτη εξίσωση δίνει x + + 1= 6 x = 3 Άρα η λύση του συστήµατος είναι η: (x,, z) = (3, -, -1) Να λυθεί το σύστηµα Λύση x+ 3+ 4ω= (1) x+ + 3ω= () x = (3) (Οµογενές Σύστηµα) Το σύστηµα είναι οµογενές οπότε έχει εξ ορισµού τη µηδενική λύση (,, ). Εξετάζουµε εάν έχει και άλλες λύσεις. Από τις εξισώσεις (1) και () του συστήµατος απαλείφουµε τον x. Αναλυτικά έχουµε: x+ 3+ 4ω= (-1) x 3 4ω= 6 x + + 3 ω= x + + 3 ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : ω= Από τις εξισώσεις () και (3) του συστήµατος µε απαλοιφή του x έχουµε: x+ + 3ω= x+ + 3ω= x = (-1) x + + ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : 3+ 3ω= x+ 3+ 4ω= Έτσι το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή: ω= 3+ 3ω= x+ 3+ 4ω= x+ 3+ 4ω= +ω= ή. Άρα είναι +ω= +ω= = ω και x 3ω+ 4ω= x= ω ή Εποµένως για κάθε τιµή του ω, για παράδειγµα ω = λ, έχουµε και µία λύση του συστήµατος, τη x = -λ, = -λ και ω = λ. ηλαδή το σύστηµα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της µορφής (-λ, -λ, λ), όπου λ πραγµατικός αριθµός. ΓΕΝΙΚΑ τα οµογενή συστήµατα µπορεί να έχουν: Είτε µόνο τη µηδενική λύση (,, ) Είτε άπειρες λύσεις, στις οποίες περιλαµβάνεται και η µηδενική, όπως στη παραπάνω εφαρµογή, αφού για λ = προκύπτει η λύση (,, ) Σελίδα -4-
Να λυθεί το σύστηµα x+ = 3 (1) +ω= 7 () ω+ x = 4 (3) Λύση Η λύση του παραπάνω συστήµατος µπορεί να βρεθεί µε τους παραπάνω δύο τρόπους επίλυσης, ωστόσο χρησιµοποιώντας την ακόλουθη τεχνική µπορούµε µε πολύ εύκολο τρόπο να προσδιορίσουµε τη λύση του συστήµατος. Προσθέτουµε κατά µέλη τις εξισώσεις του συστήµατος και έχουµε: x+ +ω = 14 x+ +ω= 7 (4) ( ) Αφαιρούµε τώρα από την (4) διαδοχικά τις (1), () και (3) και παίρνουµε: x+ +ω= 7 ( ) x+ = 3 ω= 4 x+ +ω= 7 ( ) +ω= 7 x= x+ +ω= 7 ( ) x + ω= 4 = 3 Άρα η λύση του συστήµατος είναι : (x,, ω) = (, 3, 4) Άλυτες Ασκήσεις 1. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 5 6ω= 7 x+ 3 ω= 4 i) + 3ω= v) x + ω= 4 5 1 ω= x+ ω= 4 x+ +ω= 3 x+ + 3z= 1 x+ + 3z= ii) 3x +ω= vi) x+ 4 z= ix) x+ 4 z= x 1 + ω= 3x+ 6 4z= 3 3x+ 6 4z= 3 3x+ z= 1 x+ 3+ 4z= 3 iii) x + z= 1 vii) 4x+ 3 4z= x 3z + = 6x 6+ 8z= 3 4x z= 15 x+ + z= 9 iv) 4x+ + z= 9 viii) x+ 3+ 4z= 3 x 3 3z 3 + = 4x 6 z= Σελίδα -5-
. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ + z= x+ + z= i) x z= ii) x + z= x z = 3x 3 z= x+ + z= 4x+ 3+ 17z= iii) 3x+ 3+ 3z= iv) 5x+ 4+ z= 4x 4 4z + + = 4x+ + 19z= 3. Να λυθούν τα συστήµατα: 1 1 = x + 5 x+ = 4 x+ = 1 1 i) + z= 3 ii) x+ z= 1 iii) = z 3 x z 5 z 3 + + = + = 1 1 = x + z x+ ω= 5 4. Να λυθεί το σύστηµα: +ω x = 7 ω+ x = 4 Σελίδα -6-