Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Διερεύνηση της εξίσωσης α + βy = γ Αν, β 0, τότε η εξίσωση γράφεται : Να σχεδιάσετε την γραμμική εξίσωση α + βy = γ για τις διάφορες τιμές των α, β και να ορίσετε των συντελεστή διεύθυνσης κάθε φορά βy = -α + γ y = - + Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη και τέμνει Ειδικότερα : Αν α 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α ), ενώ Αν α = 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή y = και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη (Σχ. β ). Αν β = 0 (οπότε α 0), τότε η εξίσωση γράφεται α = γ = Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο με τετμημένη. 1

Για παράδειγμα : Η εξίσωση y = παίρνει τη μορφή y = 1 1 η οποία παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 1 και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη 1. Η εξίσωση y= παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη. Η εξίσωση = παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο με τετμημένη. Τι ονομάζουμε λύση της γραμμικής εξίσωσης; Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μία γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης. ε: y = α + β ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΥΘΕΙΑΣ α = συντελεστής διεύθυνδης ή κλίση της ευθείας (ε), ονομάζεται ο τριγωνιμετρικός αριθμός εφω όπου ω η γωνία που αυτή σχηματίζει με τον άξονα αν α > 0 η γωνία είναι οξεία αν α < 0 η γωνία είναι αμβλεία αν α = 0 τότε = 0 0 και η (ε) έχει τη μορφή y = β που είναι οριζόντια δηλαδή παράλληλη με τον άξονα.

Τι ονομάζουμε γραμμικό σύστημα και τι λύση του συστήματος; Γραμμικό σύστημα Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις α + βy = γ και α + β y = γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε: y y Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος Τι ονομάζουμε γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος ; Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος y 6 4y 8 που λύσαμε προηγουμένως παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει τη λύση του συστήματος, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν συγχρόνως τις δύο εξισώσεις του συστήματος. Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα y y με το να σχεδιάσουμε τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και να βρούμε, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους. Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δίνει λύσεις που μπορεί να είναι προσεγγιστικές. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής. Γραμμικό Σύστημα Τι ονομάζουμε γραμμικό σύστημα και τι λύση του συστήματος; Μία εξίσωση της μορφής α+βy+γz=0, με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, γ διάφορο του μηδενός, λέγεται γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους. μιας γραμμικής εξίσωσης με τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθμών που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η εξίσωση +y+z=6 είναι μια γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους και η τριάδα (, 1,5) είναι μια λύση της εξίσωσης, αφού +( 1)+5=6. Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους : α 1 + β 1 y + γ 1 z = δ 1, α + β y + γ z = δ και α + β y + γ z = δ

και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε. 1 1y 1z 1 y z y z Για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος χρησιμοποιούμε μεθόδους ανάλογες με τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος. ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Χ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις α + βy = γ και α + β y = γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους ή πιο σύντομα ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε: α βy γ α βy γ Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Χ Α) Η πρώτη μέθοδος επίλυσης είναι η μέθοδος της αντικατάστασης η οποία λειτουργεί σε πολλές περιπτώσεις και για μη γραμμικά συστήματα. Η διαδικασία είναι η εξής: ΜΕΘΟΔΟΣ 1. Λύνουμε μια από τις δύο εξισώσεις (συνήθως την πιο εύκολη), ως προς έναν άγνωστο.. Αντικαθιστούμε την παράσταση του άγνωστου αυτού στην άλλη εξίσωση.. Τώρα η εξίσωση που προκύπτει μετά την αντικατάσταση έχει μόνο έναν άγνωστο οπότε τη λύνουμε, διατηρώντας την άλλη εξίσωση αναλλοίωτη. 4. Την τιμή (ή τις τιμές) του άγνωστου που βρήκαμε τις αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. Παράδειγμα 1 y 4 y (1) 4 y 4 y 4 y y 4 y y 4 y y 1 y 1 Άρα μοναδική λύση (, y) = (, - 1) Παράδειγμα y y (1) y y y y y 0 y y 0 Άρα μοναδική λύση η (, y) = (-, 0) 4

Β) Η δεύτερη μέθοδος επίλυσης είναι η μέθοδος της απαλοιφής, η οποία είναι ιδιαίτερα διαδεδομένη. Η βασική της ιδέα είναι να δημιουργήσουμε στις δύο εξισώσεις ένα άγνωστο που να έχει αντίθετους συντελεστές σ αυτές. Οπότε αν τις προσθέσουμε θα γίνει απαλοιφή αυτού του αγνώστου. Η διαδικασία είναι η εξής: ΜΕΘΟΔΟΣ 1. Πολλαπλασιάζουμε μια εξίσωση (ή και τις δυο) με κατάλληλο (ή κατάλληλους) αριθμό (ή αριθμούς), ώστε να προκύψει συντελεστής σε έναν άγνωστο αντίθετος από αυτόν στην άλλη εξίσωση.. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις, οπότε γίνεται απαλοιφή του ενός άγνωστου.. Λύνουμε την εξίσωση με τον έναν άγνωστο και βρίσκουμε την τιμή του. 4. Την τιμή (ή τις τιμές) του άγνωστου που βρήκαμε τις αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. Παράδειγμα 1 y 4 y ( ) (1) 6 Τότε από (1): +y = y = 1 Άρα μοναδική λύση η (, y) = (, 1) Παράδειγμα ( ) y y y 0 y (1) y Άρα η (1) = Άρα μοναδική λύση η (, y) = (, 0) Γ) Γεωμετρική επίλυση γραμμικού συστήματος Αποτελεί μια διαδικασία κατά την οποία τις περισσότερες φορές δεν μπορούμε να βρούμε με ακρίβεια τη λύση του συστήματος αλλά μία προσέγγιση αυτής (αν βέβαια το σύστημα έχει λύση) ΜΕΘΟΔΟΣ Σ ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oy χαράσουμε τις δύο ευθείες που συνθέτουν το σύστημα και αν αυτές τέμνονται σε ένα σημείο τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση τις συντεταγμένες του σημείου τομής. αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, δηλαδή δεν τέμνονται σε κανένα σημείο τότε το σύστημα χαρακτηρίζεται αδύνατο. αν οι δύο ευθείες συμπέσουν ταυτιστούν στο σχήμα τότε έχουν άπειρα κοινά σημεία και άρα το σύστημα είναι αόριστο ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Χ 5

ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ CRAMER Ακολουθώ την εξής διαδικασία: Αρχικά κάνω πράξεις για να φέρω το σύστημα στην κανονική του μορφή α + βy = γ α + β y = γ α Υπολογίζω τον αριθμό α β που ονομάζουμε ορίζουσα D του συστήματος β α β D = αβ α β α β και τις ορίζουσες D και D y οι οποίες προκύπτουν από την D ως εξής: Για την D : προκύπτει από την ορίζουσα D, αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με D = γ γ β β γβγβ Ομοίως, για την D y : προκύπτει από την ορίζουσα D αν στη θέση των συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: D y = α α γ γ αγαγ και ισχύουν τα παρακάτω: Αν το γραμμικό σύστημα α + βy = γ α + β y = γ Έχει D 0, τότε έχει μοναδική λύση D την = D y και y= D D Αν D = 0 τότε το σύστημα είναι ή αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων (αόριστο). ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Παράδειγμα Να λυθεί το σύστημα: λ 1 y 1 4 λ 1y, λr Το Σ είναι στην κανονική του μορφή, άρα: λ 1 D - (λ+1) (λ-1) -(-). 4 = -(λ -1) + 8 =- λ + 9 4 λ 1 Αν D 0 - λ + 9 0 λ 9 λ τότε το D D y σύστημα έχει μοναδική λύση την, y D D 6

όπου και 1 D λ 1 - (λ+1) -(-) (-) = -λ - 1-4 = -λ - 5 λ 1 1 D y - (λ-1) -1. 4 = -λ - 4 Επομένως D λ 5 και D λ 9 Dy λ 1 D λ 9 y Αν D = 0 λ = ή λ = - τότε Αν λ = τότε το Σ : - y = 1 - y = 1 4-4y = - - y = - 1 To Σ είναι αδύνατο Αν λ = - τότε το Σ : -4 - y = 1 4 + y = -1 4 + y = - 4 + y = - To Σ είναι αδύνατο Παράδειγμα 4 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : y + 4 = 0 και ε : + y 1 = 0. I. Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ε 1, ε. Τι έχετε να πείτε για τη σχετική θέση των ε 1, ε στο επίπεδο. II. Τι μπορείτε να σημπεράνετε για τις γωνίες που οι ε 1, ε σχηματίζουν με τον άξονα ; III. Να βρείτε τα σημεία τομής των ε 1, ε με τους άξονες. IV. Να βρείτε τα εμβαδά Ε 1, Ε που σχημτίζουν οι ευθείες ε 1, ε με τους άξονες αντίστοιχα. V. Να βρείτε το εμβαδό Ε που περικλείεται από τις ε 1, ε και τον άξονα. VI. I. Αρχικά πρέπει να γράψω τις δύο ευθείες σ εκανονική μορφή y = α + β έτσι ώστε ο συντελεστής του να αποτελεί και το συντελεστή διεύθυνσης των ευθειών. Άρα ε 1 : y = + 4 με α 1 = ε : y = + 1 με α = -1 II. Αφού α 1 α οι ε 1, ε τέμνονται πλάγια αφού α 1 α -1. Από τον ορισμό του συντελεστή διέυθυνσης ευθείας προκύπτει ότι α 1 = εφω 1 και α = εφω όυο ω 1, ω οι θετικές κυρτές γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1, ε με τον αντίστοιχα. Άρα: εφω 1 = > 0 άρα γωνία ω 1 < 90 0 εφω = -1 < 0 άρα γωνία ω > 90 0 III. IV. Για την ε 1 y 0 - y 4 0 Α 1 (0,4) Άρα Α 1 (0,4) και Β 1 (-,0) τα σημεία τομής της ε 1 με τους άξονες y y και αντίστοιχα. Α (0,1) Για την ε 0 1 y 1 0 Άρα Α (0,1) και Β (1,0) τα σημεία τομής της ε με τους άξονες y y και αντίστοιχα ω 1 B 1 (-,0) ω B (1,0) ε 1 ε y 7

y V. α) Εμβαδό που ορίζεται από ε 1 και τους άξονες δηλαδή τις ευθείες ε 1 : y + 4 = 0, ε : = 0 (άξονας y y) και ε 4 : y = 0 (άξονας ). Ε 1 = 1 βυ = 1 ΟΑ 1 ΟΒ 1 = 1 4 - = 4 τ.μ. Ε 1 B 1 (-,0) Α 1 (0,4) ο ε 1 y y Α (0,1) β) Εμβαδό που ορίζεται από ε και τους άξονες δηλαδή τις ευθείες ε : + y - 1 = 0, ε : = 0 (άξονας y y) και ε 4 : y = 0 (άξονας ). ο Ε B (1,0) Ε 1 = 1 βυ = 1 ΟΑ ΟΒ = 1 1 1 = 1 τ.μ. y ε VI. Εμβαδό που ορίζεται από τις ευθείες ε 1, ε και τον άξονα δηλαδή τις ευθείες ε 1 : y + 4 = 0, ε : + y - 1 = 0 και ε 4 : y = 0. Αρχικά θα βρούμε το σημείο τομής των ε 1, ε λύνοντας το γραμμικό σύστημα που y δημιουργούν οι εξισώσεις τους: y 4 0 0 1 Α 1 (0,4) y 1 0 Τότε y = Άρα Γ(-1,). Γ Είναι ( 1 ) = 1 βυ = 1 (Β 1Β )(ΓΜ) = 1 = τ.μ. διότι (Β 1 Β ) = - + 1 = και (ΓΜ) = =, όσο και η απόλυτη τιμή της τεταγμένης του σημείου Γ. B 1 (-,0) Μ Α (0,1) ο B (1,0) ε 1 ε y 8

Παράδειγμα 5 Σύμφωνα με την διερεύνηση ενός γραμμικού συστήματος προκύπτει ότι D D α) ή θα έχει μοναδική λύση την ( 0, y 0 )=, y D D β) ή θα είναι αδύνατο γ) ή θα είναι αόριστο (ταυτοτικά) Πως ερμηνεύεται γεωμετρικά η κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις; Έστω ε 1 : α 1 + β 1 y = γ 1 και ε : α + β y = γ οι δύο εξισώσεις που συνθέτουν το γραμμικό σύστημα. Α) Αν το Σ έχει μοναδική λύση ( 0,y 0 ) γεωμετρικά σημαίνει ότι οι δύο ευθείες ε 1, ε τέμνονται σε μοναδικό σημείο Μ του οποίου οι συντεταγμένες είναι η λύση του συστήματος δηλαδή σημείο τομής των ε 1, ε είναι το Μ ( 0, y 0 ). Β) Αν το Σ είναι αδυνατο σημαίνει ότι οι δύο ευθείες ε 1, ε δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, για να σημβαίνει αυτό θα πρέπει να είναι παράλληλες μεταξύ τους. Γ) Αν το Σ προκύψει αόριστο ( τσυτοτικό) σημαίνει ότι έχει άπειρες λύσεις επομένως ε 1, ε θα πρέπει να έχουν άπειρα κοινά σημεία, για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει να ταυτίζονται. ΑΡΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΣΥΝΟΨΕΙΣΟΥΜΕ ΜΕ ΤΟΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΙΝΑΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ X ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΛΥΣΗ 1) ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ: D 0 ε 1, ε τέμνονται (αν επιπλέον α 1 α = 1 τότε τέμνονται κάθετα) ) ΑΔΥΝΑΤΟ: D = 0 και D 0 ή Dy 0 ε 1, ε παράλληλες (α 1 = α ) ) D = 0 και D= Dy = 0 ε 1, ε ταυτίζονται (α 1 = α και β 1 = β ) Παράδειγμα 6 Α/ 7Β /ΣΕΛ Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του α R τα κοινά σημεία των ευθειών : i) ε 1 : α + y = α και ε : + αy = 1. ii) ε 1 : α y = α και ε : + αy = 1. Το ισοδύναμο ερώτημα είναι για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου αr να λυθούν τα συστήματα. Για εκείνα τα α όπου D 0 το σύστημα θα έχει μοναδική λύση και άρα οι ε 1, ε θα τέμνονται. Για εκείνα τα α όπου D = 0 με αντικατάσταση του α στις εξισώσεις θα προκύπτει αόριστο ή αδύνατο σύστημα στην πρώτη περίπτωση ( του αορίστου) θα έχουμε άπειρα κοινά σημεία άρα και ταύτιση των δύο ευθειών, ενώ στην περίπτωση του αδυνάτου δεν θα έχουμε καμία λύση άρα και κανένα κοινό σημείο επομένως στην περίπτωση αυτή ε 1, ε θα είναι παράλληλες. 9

Παράδειγμα 7 Α/ 8Β /ΣΕΛ Να λύσετε τα συστήματα : i) λ 1 y 1 4 λ 1y, λr ii) μ 5y 5 μ y 5, μr i) D = D = D y = 1 4 = -(λ - 1)(λ + 1) - 4(-) = -(λ - 1) + 8 = - λ + 9 ( 1) 1 =-(λ+1) - (-)(-) = -λ -1-4 = -λ - 5 ( 1) 1 4 1 =-(λ -1) - 4 = -λ - Αν D 0 -λ + 9 0 λ 9 λ και λ - D 5 D y Άρα το Σ έχει μοναδική λύση την 0 = και y 0 = D 9 D Αν D = 0 λ = ή λ = - y 1 y 1 αν λ = έχουμε : 4 4y y 1 Άρα το σύστημα τότε είναι αδύνατο. 4 y 1 4 y 1 αν λ = - έχουμε : 4 y 4 y Άρα το σύστημα τότε είναι αδύνατο. ii) Να λυθεί ( 1) 9 Παράδειγμα 8 Α/ 1Β /ΣΕΛ i) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε 1 και ε του διπλανού σχήματος. ε ii) Ποιο σύστημα ορίζουν οι ε 1 και ε και ποια είναι η λύση του συστήματος; i) Παρατηρώ ότι η ε 1 τέμνει τον y y στο σημείο Α 1 (0,) και τον στο σημείο Β 1 (4, 0). Έστω ε 1 : y = α 1 + β 1 ο τότε Α 1 (0, )ε 1 = α 1 0 + β 1 β 1 = Β 1 (4, 0) ε 1 0 = α 1 4 + β 1 0 = 4α 1 + α 1 = - 1 Άρα: ε 1 : y = - 1 + Κάνοντας ανάλυση για την ε προκύπτει ότι: ε : y = - 1 10

ii) Οι ε 1, ε ορίζουν το γραμμικό σύστημα: 1 y (1) ( 1) 1 y 1 1 4 6 τότε από (1) y = 1 Επομένως λύση του συστήματος είναι η ( 0, y 0 ) = (, 1) ΣΧΟΛΙΟ Γεωμετρικά η λύση του παραπάνω συστήματος δηλώνει ότι το σημείο τομής των ε 1 και ε είναι το Μ(, 1). ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Χ Μια εξίσωση της μορφής α + βy + γz = δ με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές διάφορο του μηδενός, λέγεται γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους. μιας τέτοιας γραμμικής εξίσωσης λέγεται κάθε τριάδα αριθμών που την επαληθεύει. Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή γραμμικό σύστημα α1 β1y γ1z δ1 και γράφουμε α βy γz δ α β y γ z δ Ας δούμε ένα παράδειγμα: Να λυθεί το σύστημα y z 9 y z 10 y z 8 Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε τη μια από τις εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο, π.χ. την () ως προς z και αντικαθιστούμε στις άλλες δύο, με αποτέλεσμα να μας προκύψει ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους τους,y, το οποίο λύνουμε όπως μάθαμε παραπάνω, μόνο που τις τιμές των, y που θα βρούμε πρέπει να τις αντικαταστήσουμε και στην () για να βρούμε το z. Εδώ έχουμε: από σχέση (): z = + y - 8 (4) Αντικαθιστώ την (4) στις (1), () και αυτές γίνονται: y + z = 9 y + ( + y 8) = - 9 11 + y = 15 (5) + y z = 10 + y ( + y 8) = 10 + y = 1 (6) Οι (5), (6) ορίζουν ένα γραμμικό σύστημα το οποίο και λύνουμε: 11 y 15 1... - y 11 y 1 Αντικαθιστούμε τα = 1 και y = 1 στην (4) (ή στην ()) και προκύπτει z =. Άρα λύση του συστήματος είναι η (, y, z) = (1,, ) ΣΧΟΛΙΟ Επειδή η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, όπως είδαμε παραπάνω ανάγεται στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, προκύπτει ότι και ένα γραμμικό σύστημα ή έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων (αόριστο). (1) () () 11

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα : : y 1 1 4y 0, : y 1 y 4, 4y 4 y 1 : με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή. y 1 :, y Α) Έχει μοναδική λύση, Β) Είναι αδύνατο, Γ) Έχει άπειρο πλήθος λύσεων. ΙΙ. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Α Ψ. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D = 0, τότε το σύστημα είναι κατ' ανάγκη αδύνατο. Α Ψ. Το σύστημα y 1 είναι αδύνατο. Α Ψ y 0 4. Ο κύκλος + y = 1 και η παραβολή y = + 1 δεν έχουν κοινά σημεία. Α Ψ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Παράδειγμα 9 Α/ 7Α /ΣΕΛ 1 (Σ 1 ) (Σ ) (Σ ) (Σ 4 ) 1 Να λύσετε τα συστήματα : ( 1) y i) ( 1) y 1 ii) ( 1) 4y 7 1 ( 1) y 1 i) D = D = D y = 1 1 1 1 1 Άρα το Σ είναι αόριστο. Πράγματι = ( -1)( +1) - = - = 0 1 = -( +1)-(-1- ) = - - + + = 0 1 =( -1)(-1- ) + = - - + 1 + + = 0 1 αν πολαπλασιάσω την ε : + ( +1)y = -1 - με το - 1 προκύπτει ( -1) + ( - 1) ( + 1)y = ( - 1)(-1- ) ( - 1) + y = - Άρα: Οι δύο εξισώσεις ευθειών που δημιουργούν το σύστημα ταυτίζονται επομένως προφανώς έχου άπειρα κοινά σημεία ως λύσεις του συστήματος της μορφής: (, -1-1 ), R 1

ΣΧΟΛΙΟ Όταν λέμε ότι ένα αόριστο σύστημα έχει άπειρες λύσεις δηλ οι δύο ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία, προφανώς δεν εννοούμε ε όλα τα σημεία του επιπέδου Oy, αλλά τα άπειρα σημεία της ευθείας, γι αυτό καλό είναι στην περίπτωση των αόριστων συστημάτων να γράφουμε και τη μορφή των άπειρων αυτών λύσεων 1 4 1 ii) D = 1 = ( +1)( -1) - 4 = - = 0 1 7 4 D = =7( -1)-4= 7-11 0 1 1 Άρα το Σ είναι αδύνατο Παράδειγμα 10 Α/ Β /ΣΕΛ Ένα ξενοδοχείο έχει 6 δωμάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια; Έστω το πλήθος των δίκλινων δωματίων και y το πλήθος των τρίκλινων τότε + y = 6 (1) και + y = 68 () Λύνω το σύστημα των (1) και () y 6 y 5 y 16 τότε από (1): = 10. y 68 y 68 Επομένως το ξενοδοχείο διαθέτει 10 δίκλινα και 16 τρίκλινα δωμάτια. Παράδειγμα 11 Α/ Β /ΣΕΛ Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει 1,5 και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4. Τον αγώνα παρακολούθησαν 00 άτομα και εισπράχτηκαν 5050. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα. Έστω το πλήθος των παιδιών και y το πλήθος των ενηλίκων που παρακολούθησαν τον αγώνα τότε για τους, y προκύπτει: + y = 00 (1) και 1,5 + 4y = 5050 () Λύνω το σύστημα (1), () y 00 1,5 1,5y 00,5y 1750 1,5 4y 5050 1,5 4y 5050 17500 y = y = 700 τότε από (1): = 1500. 5 Άρα τον αγώνα παρακολούθησαν 1500 παιδιά και 700 ενήλικες. 1

Παράδειγμα 1 Α/ 4Β /ΣΕΛ Η αντίσταση R ενός σύρματος ως συνάρτηση της θερμοκρασίας T μπορεί να βρεθεί με τον τύπο R = αt + β. Αν στους 0 o C η αντίσταση ήταν 0,4 Ω και στους 80 o C η αντίσταση ήταν 0,5 Ω, να βρείτε τα α και β. Ισχύει R = ατ + β (1) όταν Τ=0 0 C τότε R = 0,4 Ω άρα η (1): 0α + β = 0,4 () όταν Τ=80 0 C τότε R = 0,5 Ω άρα η (1): 80α + β = 0,5 () και λύνω το σύστημα των (), () 0 0,4 0 0,4 1 1 60 0,1 60α = α= 80 0,5 80 0,5 10 600 11 τότε από () προκύπτει β =. 0 1 11 Άρα R = T +. 600 0 Παράδειγμα 1 Α/ 5Β /ΣΕΛ Ένας χημικός έχει δύο διαλύματα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει ώστε να πάρει 100 ml διάλυμα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ; Έστω η ποσότητα του 1ου διαλύματος και y η ποσότητα του ου διαλύματος τότε για τους,y προκύπτει: + y = 100 () 50 80 68 + y = (+y) 0,5 + 0,8y = 0,68 + 0,68y -0,18 + 0,1y = 0 () και λύνω 100 100 100 το σύστημα των (), () y 100 0,18 0,18y 18 0, 18 0,18 0,1y 0 0,18 0,1y 0 = 18 =180 = 60 10 Τότε από () y = 40 Παράδειγμα 14 Α/ 6Β /ΣΕΛ Δίνονται οι ευθείες ε 1 : + 4y = και ε : + y = α, α R i) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ε 1 και ε. ii) Υπάρχουν τιμές της παραμέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέμνονται; iii) Για ποιες τιμές της παραμέτρου α οι ευθείες είναι παράλληλες; 1 1 i) + 4y = 4y = - + y = - + με α1 = - 4 + y = α y = - + α y = - 1 + με α = - 1 ii) Παρατηρώ ότι α 1 = α επομένως οι ε 1, ε ή θα είναι παράλληλες ή θα ταυτίζονται. Άρα δεν υπάρει τιμή της παραμέτρου α ώστε οι ε 1, ε να τέμνονται. iii) Για να είναι παράλληλες πρέπει α 1 = α που ισχύει και β 1 β 4 α. 14

Παράδειγμα 15 Α/ 9Β /ΣΕΛ Οι κύκλοι του διπλανού σχήματος εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ισχύει Ο 1 Ο = 6, Ο 1 Ο = 5 και Ο Ο = 7. Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τριών κύκλων. Έστω Ρ 1, Ρ, Ρ οι ακτίνες των κύκλων C 1 με κέντρο Ο 1, C με κέντρο Ο, C με κέντρο Ο αντίστοιχα. Τότε ισχύει: Ο 1 Ο = 6 Ρ 1 + Ρ = 6 (1) Ο 1 Ο = 5 Ρ 1 + Ρ = 5 () Ο Ο = 7 Ρ + Ρ = 7 () Έστω Σ 1 το σύστημα (1), (). 1 1 6 1 5 1 6 5 1 (4) Στη συνέχεια λύνω το σύστημα Σ που αποτελείται από τις (), (4) 7 8 Ρ = 4 1 Τότε Ρ = και από τη σχέση (1) προκύπτει Ρ 1 = Α/ 10Β /ΣΕΛ Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραμμένο του κύκλο που εφάπτεται των πλευρών στα σημεία Δ, Ε και Ζ. Nα υπολογίσετε τα τμήματα ΑΖ =, BΔ = y και ΓΕ = z, συναρτήσει των πλευρών α, β και γ. Α/ 11Β /ΣΕΛ Ένας χημικός έχει τρία διαλύματα από το ίδιο οξύ. Το πρώτο περιέχει 50% οξύ, το δεύτερο 10% οξύ και το τρίτο 0% οξύ. Ο χημικός θέλει να παρασκευάσει 5 lit διάλυμα περιεκτικότητας % σε οξύ, χρησιμοποιώντας και τα τρία διαλύματα και μάλιστα η ποσότητα του πρώτου διαλύματος να είναι διπλάσια από την ποσότητα του τρίτου διαλύματος. Να βρείτε πόσα λίτρα από κάθε διάλυμα θα χρησιμοποιήσει. 15

1) Δίνεται το σύστημα λ - y = λ + (λ -1)y = λ -1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ α) Ναο για κάθε λ R το σύστημα έχει μοναδική λύση ( 0, y 0 ) η οποία και να βρεθεί. β) Να βρεθεί ο λ R ώστε 0 + y 0 1 ) Να λυθεί το Σύστημα λ + λy - λ =0 y + + λ = 5 - λ i) για λ = ii) για λ ) i) Να λυθεί το Σύστημα + y = λ + y = ii) Αν λ = 015 ποια η λύση του συστήματος 4) i) Να λυθεί το σύστημα λ + y = 0 Απ.(0,0) 16 ii) Αν D, D, D y ω - ω - D + D - - 4 + λy = 0 είναι οι ορίζουσες του συστήματος νδο η εξίσωση D = 0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. y iii) Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της προηγούμενης εξίσωσης. iv) Να λυθεί η ανίσωση S - Ρ + 10λ 0 όπου S και Ρ το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της προηγούμενης εξίσωσης. Απ.λϵ(-,-) 5) Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθεί το σύστημα λ + y = 4 6) Δίνεται το σύστημα λ + 1 = y + λ + λy = λ + λy = λ, λ R 1 i) Να λυθεί το σύστημα. Απ.: (, ), λϵr 1 1 ii) Να υπολογίσετε τις τιμές του πραγματικού λ ώστε για τη λύση του (, y) να ισχύει (λ +1) ( - y) 0. Απ.: λ -1 ή λ 1 7) Να λυθεί το σύστημα ( - ) + 5 (y - 1) = ( - + y) 1 y Απ.: (11/8, 5/) 4 8) Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθεί το σύστημα: (λ-) + 5y = 5 9) Δίνεται το σύστημα +y = - λ 5 + y = 5 + λ, λ R + (λ +)y = 5 i) Να δειχθεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση ( 0, y 0 ) για οποιαδήποτε τιμή του λ R

ii) Να βρεθεί η μοναδική αυτή λύση, συνάρτηση του λ. iii) Για ποια τιμή του λ η λύση ( 0, y 0 ) που βρήκατε στο ii) ερώτημα επαληθεύει τη σχέση 0 + y 0 = 8055 10) i) Να λύσετε το σύστημα: λ + 4y = για τις διάφορες τιμές του λ. + λy = 1 ii) Για την τιμή του λ για την οποία το σύστημα είναι αόριστο να εξετάσετε αν είναι παράλληλες οι ευθείες. ε 1 : y = (λ - 1) + 1 ε : y = 5 + λ - 10 11) Δίνεται το σύστημα λ + 4y = 4 + λy = i) Να υπολογιστούν D, D, D y ii) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μοναδική λύση και ποια είναι αυτή. iii) Να λυθεί το σύστημα iv) Για λ = - να εξετάσετε αν οι δυο ευθείες που παριστάνουν οι ευθείες του συστήματος τέμνονται, είναι παράλληλες ή ταυτίζονται (να αιτιολογήσετε την απάντησή σας). v) λ + y 1 όπου, y η μοναδική λύση του Σ. vi) Να λυθεί το Σ για λ = 014 vii) Για το λ που το Σ γίνεται αόριστο να βρεθεί η σχετική θέση των ε 1 : + λy - 4 = 0 ε : λ + y = 0 αν επιπλέον ε : y - 4λ = 0 να βρεθούν τα σημεία τομής ε, ε με άξονες και να σχεδιαστεί η ε 1. 1A) i) Να βρεθούν τα α, β ώστε τα ζεύγη (1, 1) και (-1, 5) να είναι λύσεις της εξίσωσης α + β y - 9 = 0 ii) Για α = 6 και β = να σχεδιάσετε την ευθεία και να βρεθεί το εμβαδό του χώρου που σχηματίζεται από την ευθεία και τους άξονες και y y. 1 Β) Να λυθεί η ανίσωση 0 1 1) Δίνεται το σύστημα λ 5 λ 5 λy 7 και η εξίσωση: - (λ - ) + 9 0 4 y 0 i) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα είναι αδύνατο ii) Να δείξετε ότι αν το σύστημα είναι αδύνατο, η εξίσωση έχει μια ρίζα η οποία και να βρεθεί. iii) Να λυθεί το σύστημα για λ = 100 και να αποδείξετε ότι για κάθε λϵr {-1, 5} οι ε 1, ε τέμνονται σε σημείο της ευθείας y =. 17

14) Να λύσετε τα συστήματα: y ω y ω 11 5 y ω 4 i) 5y ω ii) y ω iii) y ω 5 5 y ω y ω 5 y ω 16 1 1 15) Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 0, ii) 1, iii) 1 1 1 1. 16) Έστω ευθελια ε: y = - (κ + 1), κϵn *.Αν το εμβαδό που ορίζεται αποο την παραπάνω ευθεία και τον άξονα και y y είναι Ε < να βρεθεί η τιμή του κϵn *. 17) Έστω γραμμικό σύστημα με πραγματικούς συντελεστές για τις ορίζουσες των οποίων ισχύει D + D + D - (D - D y ) + 0. Να λυθεί. y 18

1.. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση πολλών προβλημάτων οδηγεί συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις, αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν είναι όλες γραμμικές. Για παράδειγμα, έστω ότι ζητάμε δυο αριθμούς με άθροισμα 1 και άθροισμα τετραγώνων 89. Αν, y είναι οι δύο αριθμοί, τότε πρέπει + y =1 και + y = 89. Επειδή ζητάμε και κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων, έχουμε το σύστημα: y 1 (1) y 89 () Για τη λύση του συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Επιλύουμε την (1), ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς, και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε + y =1 y =1 () Επομένως + (1 - ) = 89 + 169-6 + = 89-6 + 80 = 0-1 + 40 = 0. Η τελευταία εξίσωση είναι ου βαθμού με διακρίνουσα Δ= 9. Επομένως: 1 8 5 Από την (), για = 8 έχουμε y = 5, ενώ για = 5 έχουμε y = 8. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (8, 5) και (5, 8). Η απάντηση βέβαια στο πρόβλημα είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5 και 8. Στη συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, διάφορες περιπτώσεις επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων. Παράδειγμα 1 Να λυθεί το σύστημα y 5 (1) y 6 () α τρόπος Επιλύουμε την (1) ως προς και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε: + y = 5 y = 5 - () Επομένως y = 6 (5 - ) = 6 5 - = 6-5 + 6 = 0 = ή =. Από την () για = έχουμε y =, ενώ για = έχουμε y =. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (, ) και (, ). β τρόπος Εξετάζοντας το σύστημα βλέπουμε ότι αναζητούμε δύο αριθμούς για τους οποίους γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 5 και γινόμενο 6. Επομένως, από τους τύπους του Vieta οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της εξίσωσης ω - 5ω + 6 = 0. Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι και οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη (,) και (,). 19

ΣΧΟΛΙΟ Η πρώτη εξίσωση του συστήματος + y = 5 παριστάνει ευθεία, ενώ η δεύτερη εξίσωση y = 6 παριστάνει την υπερβολή y = 6. Επομένως οι συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας και της υπερβολής θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος. Τα σημεία τομής είναι τα Α(,) και Β(,). Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (,) και (,). Παράδειγμα Να λυθεί το σύστημα y 6 y 1 (1) () Λύνουμε την (1) ως προς και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε y = 6 y = 6 οπότε η () γίνεται: + y = 1 6 + 1 6 + 1 4 + 6 = 1 4-1 + 6 = 0 Η εξίσωση αυτή είναι διτετράγωνη. Αν θέσουμε = ω, τότε η εξίσωση γίνεται ω 1ω + 6 = 0, της οποίας οι λύσεις είναι η ω = 9 και η ω = 4. Για ω = 9 έχουμε = 9 = ή = - Από την (1) για = παίρνουμε y = και για = - παίρνουμε. Για ω = 4 έχουμε = 4 = ή = - Από την (1) για = παίρνουμε y = και για = - παίρνουμε y = -. Άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (,), (, ), (,) και (, ). 0

ΣΧΟΛΙΟ Η πρώτη εξίσωση του συστήματος y = 6 παριστάνει την υπερβολή y = 6, ενώ η δεύτερη εξίσωση + y = 1 παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο (0,0) και ακτίνα ρ = 1. Επομένως οι συντεταγμένες των σημείων τομής της υπερβολής και του κύκλου θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος. (,) (,) (-,-) ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Α) α 1 ) Κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ > 0 έχει εξίσωση c: + y = ρ. α ) Αν έχει ως κέντρο οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου Κ( 0, y 0 ) τότε και ακτίνα ρ > 0 έχει εξίσωση: c: ( 0 ) + (y y 0 ) = ρ (1) Β) Έστω εξίσωση + y +A + By + Γ = 0 () Αν Α + Β 4Γ > 0 τότε η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(- A, - B ) και ακτίνα ρ = A B 4. Αν Α + Β 4Γ = 0 τότε η εξίσωση () παριστά το σημείο Κ(- A, - B ). Αν Α + Β 4Γ < 0 τότε η εξίσωση () δεν έχει νόημα. Εφαρμογή 1 Να χαράξετε τους κύκλους που δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: i) + y = 0 ii) ( + 1) + y = 4 iii) ( ) + (y + ) = 1 iv) + (y+1) = 9 v) ( 1) + (y + 1) = vi) + y + 8 6y = 0 vii) + y 4 y + 4 = 0 viii) + y + 4 + 4y 4 = 0 Εφαρμογή Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων σε καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις: i) K 1 (0, 0), ρ 1 = 4 ii) K (-1, 1), ρ = iii) K (0, -), ρ = 1 iv) K 4 (,- 1), ρ 4 = v) K 5 (-1, 0), ρ 5 = vi) K 6 (-1, -), ρ 6 = 1

ΣΧΟΛΙΟ 1 Και στην περίπτωση των γραμμικό συστημάτων έτσι και εδώ οι λύσεις των συστημάτων ερμηνεύονται γεωμετρικά. Άρα: Έστω ένα μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους. Τότε i) Αν το σύστημα έχει λύσεις (μία η περισσότερες) αυτό γεωμετρικά σημαίνει ότι οι καμπύλες (ή μία καμπύλη και μία ευθεία) έχουν κοινά σημεία σε πλήθος τόσα, όσες και οι λύσεις του συστήματος. ii) Αν το σύστημα προκύψει αδύνατο αυτό γεωμετρικά σημαίνει ότι οι δύο καμπύλες (ή μία καμπύλη και μία ευθεία) δεν τέμνονται σε κανένα σημείο. ΣΧΟΛΙΟ Στην περίπτωση των μη γραμμικό συστημάτων κυριαρχεί η διαδικασία της αντικατάστασης, όταν η μία από τις δύο εξισώσεις είναι γραμμική ή αν δεν είναι τότε κάποια από τις δύο καμπύλες να μπορεί να λυθεί ως προς μια μεταβλητή. ΣΧΟΛΙΟ Δεν υπάρχει αντίστοιχη διαδικασία όπως οι ορίζουσες στην περίπτωση των γραμμικών συστημάτων. Παράδειγμα Να λυθεί το παρακάτω σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη λύση του. y 4 (1) Σ 1 y 1 0 () 4 Εδώ μπορώ ναλύσω την () ως προς y και να αντικατασήσω στην (1) ή να αντικαταστήσω την (1) στην (). Γενικά στόχος μου είναι να δημιουργήσω μία εξίσωση με έναν άγνωστο. Άρα y 4 (1) (1) y 1 0 () 1 0 ( 1) 0 1 4 τότε η (1) δίνει y = 4 Άρα λύση του συστήματος το διατεταγμένο ζεύγος (, y) = (1, 4). Γεωμετρικά συμπεραίνουμε ότι η παραβολή με εξίσωση y = 4 και η ευθεία εξίσωση - + y 4 + 1 = 0 έχουν σημείο τομής το σημείο Μ (1, 4). 0 ½ y -4 0

Άρα Α(1/, 0) και Β (0,-4) τα σημεία τομής της ευθείαςμμε τους άξονες. Επίσης η παραβολή έχει κορυφή (ελάχιστο σημείο της) την αρχή Ο(0,0). Άρα όλα τα παραπάνω σχηματικά αποτυπώνονται ως εξής: y c Μ(1,4) Παράδειγμα 4 Ο Α( 1,0) Να λύσετε το σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη λύση του 9 y 9 (1) Σ : ( ) y 1 () ε Β(0,-4) y Και εδώ η διαδικασία της αντικατάστασης είναι εύκολη, επιλέγω να αντικαταστήσουμε την (1): y = 9 9 στη () ώστε να προκύψει εξίσωση με άγνωστο μόνο το. y 9 9 (1) Σ : ( ) y 1 () 4 4 9 9 1 0-8 4 + 1 = 0 - + = 0, Δ=5, 1, = 1, - Αν = 1 τοτε η (1): y = 0 y = 0 Άρα (, y) = (1, 0) μία λύση του συστήματος Σ Αν =- τοτε η (1): y = 9-9( 4 9 ) y < 0 αδύνατο. Άρα (, y) = (1, 0) η μοναδική λύση Σ. y Η έλλειψη με εξίσωση c 1 : + 9 y = 1 και ο κύκλος C 1 με εξίσωση c : (-) + y = 1 με κέντρο Κ (,0) και ρ = 1 τέμνονται σε μοναδικό σημείο το οποίο είναι το Μ(1,0). Σχηματικά η παραπάνω διαδικασία αποτυπώνεται ως εξής: c Μ(1,0) Παράδειγμα 5 Να λυθεί το παρακάτω σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη λύση του y 1 (1) Σ : ( 1) (y 1) 5 () y Σ : y y 1 (1) y 0 () Εδώ δεν γίνεται με αντικατάσταση αμέσα να προκύψει εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο, άρα εδώ θα προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε μια τρίτη βοηθητικής εξίσωση η οποία να μπορεί εύκολα να λυθεί ως προς ένα άγνωστο. Άρα εδώ αφαιρώ κατά μέλη τις (1), () και δημιουργώ την εξίσωση : + y =0 () Στη συνέχεια επιλέγω να λύσω το σύστημα της () με μία από τις (1), ()

y 1 0 y 1 () Σ: () y 1 y 1 (1) ( 1) = 0 = 0 ή χ = 1 (1 ) 1 1 1 0 Αν = 0 τοτε η (1): y = 1 y = 1 ή y =-1 Άρα Αν =1 τοτε η (1): y = 0 y = 0. Αρα (0,1), (0,-1), (1,0) οι τρείς λύσεις πρέπει όμως να εξετάσω ποιες από αυτές επαληθεύουν και την εξίσωση () Η () για = 0, y = 1 γίνεται 1 + 4 = 5, αληθές Η () για = 0, y = -1 γίνεται 0 = 5, άτοπο Η () για = 1, y = 0 γίνεται 1 + 4 = 5, αληθές Άρα Οι λύσεις του συστήματος είναι οι (, y) = (0, 1) και (, y) = (1, 0) Γεωμετρικά σημαίνει ότι ο κύκλος με εξίσωση c 1 : + y = 1 με κέντρο Κ 1 (0,0), ρ 1 = 1 και ο κύκλος με εξίσωση c : ( + 1) + (y + 1) = 5 με κέντρο Κ (-1, -1) και ρ = 5 τέμνονται σε δύο σημεία με συντεταγμένες Ν 1 (1,0) και Ν (0,1). y C C 1 Μ(0,1) Κ 1 Μ(1,0) Κ Παράδειγμα 6 y Να αποδείξετε ότι το παρακάτω σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία να ερμηνεύσετε γεωμετρικά. y 1 Σ 4 : ( 4) ( y ) 16 4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ Παράδειγμα 7 Α/1Α/ΣΕΛ 7 y y Να λύσετε το σύστημα: y 1 y y (1) Σ 1 : y 1 y 1 - ( ) () (1) + (1 - ) + (1 ) = = -1 ή = η () για = -1 δίνει y = άρα (-1, ) λύση η () για = δίνει y = -1 άρα (, -1) λύση Παράδειγμα 8 Α/Α/ΣΕΛ 7. Να λύσετε τα συστήματα: y y 9 i) ii) 1 y 4 y 0 και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα αποτελέσματα. iii) y y 5 y ( 1) Σ 1 : ( 1) 1 y 4 ( ) 1 9 4 9 = 0 = 4 4 η (1) για = δίνει y = άρα (, ) λύση. 1 4 0 ( ) 0 Σ : y y 9 ( 1) ( 1) ( ) 1 9 9 ή Αν = τοτε η (1): y = άρα (, ) λύση Αν =- τοτε η (1): y = - άρα (-, ) λύση y, 0 ( 1) Σ : ( 1 ) 4 4 4 y 5 ( ) 5 4 5 5 4 0 Θέτω = w τότε η () w 5w + 4 = 0, S = 5, P = 4 άρα w = 1 ή w = 4 Επομένως = 1 = 1 ή = -1 ή = 4 = ή = - ( ) Αν = 1 τοτε η (1) y = άρα (1, ) λύση Αν = -1 τοτε η (1) y = - άρα (-1,- ) λύση Αν = τοτε η (1) y = 1 άρα (, 1) λύση Αν = - τοτε η (1) y = -1 άρα (-, -1) λύση 5

Γεωμετρικές ερμηνείες Στο Σ 1 η παραβολή με εξίσωση c 1 : y = και η ευθεία με εξίσωση ε: 1 y = 4 τέμνονται σε ένα 4 σημείο Μ 1 (, ). 1 1 4 0 Το σημείο Α 1 (,0) και Β1 (0, - ) είναι το σημείο τομής της ευθείας με τους 4 άξονες και η παραβολή c 1 έχει κορυφή την αρχή Ο(0,0). y 0 C 1 y Ο Μ(, 4 ) Α 1 ( 1,0) Β 1 (0,- 4 ) ε y y Στο Σ ο κύκλος με εξίσωση c 1 : + y = 9 με κέντρο την αρχή Ο(0,0) και ακτίνα ρ = και η ευθεία με εξίσωση ε: y = 0, η διχοτόμος 1 ου ου τεταρτημορίου τέμνονται σε δύο σημεία Μ 1, Μ. Ο Μ 1 ( C 1, ) ε Μ (-,- y ) y Στο Σ ο κύκλος με εξίσωση c : + y = 5 με κέντρο την αρχή Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 5 και η υπερβολή με εξίσωση c 4 : y = έχουν τέσσερα σημεία Μ 1 (1,), Μ (-1,-), Μ (,1), Μ 4 (-,-1) C Μ 4 (-,-1) Ο Μ 1 (1,) Μ (,1) C 4 Μ (-1,-) y C 4 6

Παράδειγμα 9 Α/1Β/ΣΕΛ 7 Να λύσετε το σύστημα γεωμετρικά το αποτέλεσμα. y10 y 5 και να ερμηνεύσετε y 10 (1) Σ: (1) y 5 () y 10 y 5 y y 15 0(S,P 15) y = -5 ή y = Αν y = -5 τοτε η (1) = 0 = 0 άρα (0, -5) λύση Αν y = τοτε η (1) = 4 = ή = - άρα (-,), (, ) λύσεις Γεωμετρικά τα παραπάνω αποτελέσματα δηλώνουν ότι η παραβολή με εξίσωση c 1 : y = 1 5 με κορυφή το σημείο Κ(-,- )=(0, -5) 4 και ο κύκλος με εξίσωση c : + y = 5 με κέντρο την αρχή Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 5 τέμνονται σε τρεία σημεία τα Μ 1 (0,-5), Μ (-, ), Μ (,) Παράδειγμα 10 Α/Β/ΣΕΛ 8 y Μ (-,) Μ (,) Ο Μ 1 (0,-5) y Να λύσετε το σύστημα: y y 5y 0. y 4 y= 4 (1) Σ: y - y 5y 0 y( y 5) 0 y 0 () ή y 5 0 () y= 4 4 0 1 ή Σ 1 : y 0 Άρα (1,0), (,0), λύσεις y= 4 (1) Σ : y - y 5 0 () 4 5 0 6 8 0 (S 6,P 8) = ή = 4 Αν = τοτε η (1) y = -1 άρα (, -1) λύση Αν = 4 τοτε η (1) y = άρα (4, ) λύση Η παραπάνω διαδικασία γεωμετρικά ερμηνεύεται ως εξής: Η παραβολή με εξίσωση c 1 : y = 4 + και η καμπύλη c y y 5y = 0 τέμνονται σε 4 σημεία Μ 1 (1,0), Μ (,0), Μ (,-1), Μ 4 (4,) ΣΧΟΛΙΟ Να γίνει σχηματική αναπαράσταση της επίλυσης του παραπάνω συστήματος. 7

Παράδειγμα 11 Α/4Β/ΣΕΛ 8 Δίνεται η παραβολή y = - και η ευθεία y = + k, kr. Να βρείτε για ποιες τιμές του k η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. y= (1) Σ: (1) y () 0 () αρκεί να βρούμε για ποιες τιμές της παραμέτρου κϵr ώστε το τριώνυμο () να έχει δύο ρίζες. Πρέπει Δ > 0 4 4κ > 0 κ < 1 Άρα όπου κ < 1 τότε η εξισωση () έχει ως προς δύο άνισες (διαφορετικές) ρίζες. Επομένως το σύστημα έχει δύο λύσεις, άρα η παραβολή c 1 : y = - και η ευθεία y = + κ τέμνονται σε δύο ακριβώς σημεία. Παράδειγμα 1 Α/5Β/ΣΕΛ 8 Να λύσετε το σύστημα y y μ και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα. y= (1) Σ: y = () 0 () Δ= 4 4 (-μ) = 4 + 8μ Αν Δ > 0 μ > - 1 Αν Δ = 0 μ = - 1 τοτε η () έχει δύο διαφορετικές ρίζες άρα και το Σ έχει δύο λύσεις. τοτε η () έχει δύο ίσες ρίζες (μία διπλή) άρα και το Σ έχει μία λύση. Αν Δ < 0 μ < - 1 τοτε η () είναι αδύνατη άρα και το Σ τότε είναι αδύνατο Γεωμετρικά τα παραπάνω αποτελέσματα αποτυπώνονται ως εξής: Στην πρώτη περίπτωση η παραβολή c 1 : y = και η ευθεία ε: y = + μ τέμνονται σε δύο σημεία. Στην δεύτερη περίπτωση η παραβολή και η ευθεία εφάπτονται. Στην τρίτη περίπτωση παραβολή και η ευθεία δεν τέμνονται σε κανένα σημείο. 8

Παράδειγμα 1 Α/ 1Β /ΣΕΛ Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής y = α + β + γ. Να βρείτε τα τριώνυμα αυτά. i) y = α + β + γ. Παρατηρώ ότι η C f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,) και έχει κορυφή Κ(, -1) Γνωρίζουμε ότι η κορυφή μιας παραβολής δίνεται ως εξής Κ(-, ) 4 Επομένως ποκύπτουν οι σχέσεις: f(0) = γ = (1) - = -β = 4α () (1) 4 = -1 =1 β - 1α = 4α β = 16α () 4 4 4 () Λύνω το σύστημα (),() 16 16 16 0 16( 1) 0 0 άτοπο διότι τότε η εξίσωση θα γινόταν y = β + γ και θα ήταν γραμμική τότε από () β = - 4 Επομένως y = - 4 + ii), iii) Να λυθούν ή 1 9

0