ΚΕΦΛΙΟ : ΜΙΚΡΕΣ ΤΛΝΤΩΣΕΙΣ. Ευστάθεια κντά στη θέση ισρρπίας Θερύµε ένα συντηρητικό σύστηµα µε -βαθµύς ελευθερίας, τ πί περιγράφεται από τις γενικευµένες συντεταγµένες,,. ν τ σύστηµα βρίσκεται σε µια θέση ισρρπίας, τότε ι γενικευµένες δυνάµεις στη θέση αυτή ισύται µε µηδέν, F,,, πό την µπρύµε να υπλγίυµε τις συντεταγµένες στη θέση ισρρπίας,,, όπυ η δυναµική ενέργεια έχει ακρότατ. Μια θέση ισρρπίας καλείται ευσταθής ή ασταθής, ανάλγα αν εφαρµόµενη µια µικρή διαταραχή τυ συστήµατς στη θέση ισρρπίας τυ πρκαλεί απλά µια περιρισµένη κίνηση τυ συστήµατς γύρ από την θέση ισρρπίας τυ ή την ριστική απµάκρυνσή τυ από αυτήν. Στ Σχήµα απτυπώνεται η δυναµική ενέργεια στις δύ χαρακτηριστικές περιπτώσεις. Σχήµα Η δυναµική ενέργεια Επειδή ενδιαφερόµαστε για την κίνηση τυ συστήµατς στη γειτνιά µιας ευσταθύς θέσης ισρρπίας, αναπτύσσυµε κατά yo τη δυναµική ενέργεια για µικρές µετατπίσεις η από τη θέση ισρρπίας,,...,,..., o η o ηη... όπυ η. ν µετατπίσυµε την στάθµη αναφράς ώστε,, και επειδή γραµµικός όρς στην ισύται µε µηδέν λόγ της, η δυναµική ενέργεια σε πρώτη πρσέγγιση ισύται µε όπυ o,...,,, η η 3. Είναι πρφανές ότι ι σταθερές είναι συµµετρικές, δηλ.. Παρόµια ανάπτυξη σε σειρά µπρύµε να πάρυµε και για την κινητική ενέργεια, Chp. 5
,,..., η η. 4 Όπς και στη περίπτση της δυναµικής ενέργειας, τα στιχεία Τ είναι συµµετρικά ς πρς τυς δείκτες τυς, δηλ. Τ Τ. πόδειξη της 4. ν κανείς δεν επιθυµεί να δει τα ακριβή βήµατα της απόδειξης, µπρεί να πρχρήσει στ επόµεν κµµάτι, χρίς να χάσει τη συνέχεια τυ φρµαλισµύ πυ αναπτύσσυµε. Πράγµατι, η κινητική ενέργεια είναι, υ, όπυ dt d υ και τα διανύσµατα θέσης είναι συναρτήσεις τν γενικευµένν συντεταγµένν, t. Υπθέτυµε ότι τα διανύσµατα θέσης,,..., δεν εξαρτώνται ρητά από τν χρόν t, πότε η ταχύτης ισύται µε: t dt d υ και επειδή t, η ταχύτητα γράφεται τελικά, υ πότε η κινητική ενέργεια παίρνει τη µρφή, η 5 ναπτύσσυµε τ τετράγν της εστερικής παρένθεσης:, 3 3......... η Συνεπώς, η κινητική ενέργεια 5 γράφεται,,,, η η 6 όπυ. Οι συντελεστές είναι γενικώς συναρτήσεις τν και µπρύν να αναπτυχθύν σε σειρά yo ς πρς τη θέση ισρρπίας, ς ακλύθς,...,...,,..., o η 7 Εφόσν όµς η ανάπτυξη 6 είναι ήδη τετραγνική ς πρς τα, στη χαµηλότερη πρσέγγιση της Τ κρατάµε µόν τ πρώτ όρ της ανάπτυξης 7, πότε φθάνυµε στη ανάπτυξη 4, η Chp. 5
όπυ ι σταθερές Τ,,., η η πό τις 3 και 4, η Lgg δίδεται από τη σχέση, L η η ηη,. 8 Λαµβάνντας ς γενικευµένες µεταβλητές τις απκλίσεις η από την ηρεµία, η Lgg 8 δηγεί στις εξισώσεις Lgge, η η,,,. 9 H επίλυση τυ συστήµατς τν -διαφρικών εξισώσεν 9 θα δώσει την κίνηση τυ συστήµατς κντά στη θέση ισρρπίας,,.. Επίλυση τν εξισώσεν κίνησης Οι διαφρικές εξισώσεις 9 είναι γραµµικές µε σταθερύς συντελεστές. κιµάυµε επµένς λύσεις ταλάντσης της µρφής, η C e -t όπυ C είναι τ πλάτς ταλάντσης για την συντεταγµένη και C ένας παράγντας αναλγίας. ντικαθιστώντας στην 9 λαµβάνυµε,,,, Οι εξισώσεις απτελύν ένα σύστηµα -µγενών εξισώσεν µε αγνώστυς τα πλάτη και για να υπάρχει µη µηδενική λύση θα πρέπει η ρίυσα τν συντελεστών να µηδενίεται, 3... 3......... απ όπυ λαµβάνµε τη χαρακτηριστική εξίσση -βαθµύ ς πρς, της πίας ι ρίες θα είναι ι συχνότητες ταλάντσης τν λύσεν. Σαν εφαρµγή της παραπάν θερίας, θα µελετήσυµε τ παράδειγµα τυ διπλύ εκκρεµύς παρακάτ. Chp. 53
Πριν κλείσυµε τ εδάφι αυτό, θα δύµε τ πρόβληµα πυ αναπτύξαµε από µια διαφρετική σκπιά. Η εξίσση µπρεί να θερηθεί σαν ένα πρόβληµα ιδιτιµών. Πράγµατι, αν γράφυµε τα στιχεία σαν ένα πίνακα Τ και παρµίς τα στιχεία σαν τν πίνακα, η γράφεται, λ 3 Τ πρόβληµα ιδιτιµών τώρα ανάγεται στ να βρύµε τις ιδιτιµές λ και τα αντίστιχα ιδιδιανύσµατα ι ιδιτιµές λ R, ιδιδιανύσµατα λ, µεταξύ τυς,. Θα πρέπει να σηµειώσυµε τις εξής ιδιότητες: λ λ ι πίνακες και Τ είναι αυτσυυγείς ή ερµητιανί. πυ αντιστιχύν σε διαφρετικές ιδιτιµές λ, λ είναι κάθετα Οι πρτάσεις αυτές αφήννται σαν άσκηση, όπς και η απόδειξη της συνθήκης ρθγνιότητς, δ 4 όπυ αναφέρεται στην -στή συνιστώσα τυ διανύσµατς ιδιτιµή λ, δηλ.,,,. τ πί αντιστιχεί στην Παράδειγµα: Τ διπλό εκκρεµές απτελείται από ένα µαθηµατικό εκκρεµές µάας Μ και µήκυς L, και από ένα δεύτερ µαθηµατικό εκκρεµές µάας και µήκυς, τ πί εξαρτάται από τ πρώτ, όπς φαίνεται στ Σχήµα. Σχήµα Τ διπλό εκκρεµές Chp. 54
Θερύµε ότι η κίνηση είναι σ ένα επίπεδ, πότε τ σύστηµα έχει βαθµύς ελευθερίας. Οι γνίες θ και φ λαµβάννται ς πρς την κατακόρυφ ι πίες όπς θα δύµε παρακάτ θα είναι και ι γενικευµένες συντεταγµένες τυ πρβλήµατς. Επιλέγ τ σηµεί εξάρτησης τυ πρώτυ εκκρεµύς σαν αρχή τν αξόνν, και τυς άξνες x,y όπς φαίνεται στ σχήµα. Τότε ι καρτεσιανές συντεταγµένες τν δύ µαών όπς και ι αντίστιχες συνιστώσες της ταχύτητας είναι, µάα Μ: x L s θ x cosθ θ L y L cos θ y s θ θ L 5 µάα : x L s θ s φ L cosθ θ cos φ φ y L cos θ cos φ x y Ls θ θ s φ φ 5b Η κινητική ενέργεια τν δύ µαών, χρησιµπιώντας τις πρηγύµενες σχέσεις, είναι, Mx y ML θ M L θ x [L θ y φ φ L cos θ φ θ φ ] L cos θ φ θ φ Για µικρές γνίες θ,φ<< σε ds έχυµε: cos θ φ θ φ..., πότε η κινητική ενέργεια γράφεται, Τ θ M L φ L θ φ 6 Για τη δυναµική ενέργεια λόγ βαρύτητς θερώ τ επίπεδ y σαν στάθµη αναφράς θα επανέλθυµε στ θέµα της στάθµης αναφράς της δυναµικής ενέργειας παρακάτ, πότε η δυναµική ενέργεια τν δύ µαών θα είναι Mgy gy y MgL cos θ gl cos θ cos φ M gl cos θ g cos φ Παρατηρύµε ότι για θφ δηλ. στη θέση ισρρπίας τν µαών, η δυναµική ενέργεια τν δύ µαών είναι: MgLg. Για µικρές γνίες θ,φ<< σε ds έχυµε: και cos φ φ, πότε η δυναµική ενέργεια γράφεται, cosθ θ M glθ g φ 7 Επειδή στην εισαγγή τυ κεφαλαίυ και µάλιστα στη παραγγή της 3, είχαµε µετατπίσει τη στάθµη αναφράς της δυναµικής ενέργειας ώστε σταθερός όρς στην ανάπτυξη yo 3 Chp. 55
να µηδενίεται, θα κάνυµε τ ίδι και εδώ. Μετατπίυµε λιπόν κατά την στάθµη αναφράς της δυναµικής ενέργειας, δηλ. θ,φ θ,φθ,φ, πότε στην 7 απλά δεν θα περιλαµβάνεται όρς. Η µετατόπιση αυτή δηγεί στην εξής έκφραση της δυναµικής ενέργειας: ' M gl cosθ g - cos φ πυ πράγµατι στη θέση ισρρπίας τυ συστήµατς θφ, η δυναµική ενέργεια ισύται τώρα µε µηδέν. Άρα εφεξής, αγνύµε τν όρ, χρίς βέβαια στην υσία να αλλάει τίπτα στ φρµαλισµό πυ αναπτύσσυµε εδώ, απλώς γίννται λίγ πι απλί ι υπλγισµί, και αγνύµε τν τόν από τη δυναµική ενέργεια. Τότε η Lgg πυ δεν θα χρησιµπιηθεί στη µέθδ πυ αναπτύξαµε, βάσει τν 6 και 7, είναι θ φ L θ φ M glθ φ 8 L M L g Όπς είναι φυσικό από την 8, ι γνίες θ και φ είναι η ενδεικνυόµενη επιλγή γενικευµένν συντεταγµένν τυ πρβλήµατς, δηλ. η θ, και η φ. Υπλγίυµε τα στιχεία µήτρας και, χρησιµπιώντας τις 6 και 7, M L, L, M gl,, g πότε η ρίυσα γράφεται, M gl M L L g L 9 απ όπυ πρκύπτει η χαρακτηριστική εξίσση. Όµς για να απλυστεύσυµε τις πράξεις χρίς να αλλιθεί αισθητά η γενικότης, παίρνυµε Μ και L, πότε η ρίυσα 9 δίδει τη χαρακτηριστική εξίσση, ή Lg L Lg 4 L 4 g L L L 4 της πίας ι ρίες είναι, o, o όπυ o g / L. Υπλγίυµε στη συνέχεια τα πλάτη ταλάντσης πυ αντιστιχύν σε καθεµιά συχνότητα ξεχριστά. Πράγµατι, Chp. 56
για απ όπυ έπεται, τ σύστηµα γράφεται, g L g L Lg L L πρώτς δείκτης αναφέρεται στη συνιστώσα τυ πλάτυς και δεύτερς στην ιδιτιµή. για απ όπυ έπεται, τ σύστηµα γράφεται, g L g L Lg L L,. 3 Εφαρµόντας τώρα τη συνθήκη ρθγνιότητς 4 για έχµε:, δηλ. Τ Τ Τ Τ ή L L L, άρα, 4 L Λαµβάνντας υπ όψιν και την για, βρίσκυµε: L, Συνεπώς, τ ιδιδιάνυσµα τυ πλάτυς πυ αντιστιχεί στη συχνότητα είναι: L 5 υτός τρόπς ταλάντσης φαίνεται παραστατικά στ Σχήµα 3. α δύ εκκρεµή ταλαντύνται εν φάσει µέσα σε ένα κατακόρυφ επίπεδ µε την ίδια συχνότητα αναφερόµενι για µικρές ταλαντώσεις γύρ από θέση ευσταθύς ισρρπίας, δηλ. και τα δύ εκκρεµή ταλαντύνται σαν ένα σώµα Για την δεύτερη συχνότητα ταλάντσης, εφαρµόυµε µίς τη συνθήκη ρθγνιότητς 4 για, :, δηλ. Τ Τ Τ Τ, ή L L L, άρα Chp. 57
6 L Σχήµα 3 Οι δύ τρόπι ταλάντσης ενός διπλύ εκκρεµύς τ πί ταλαντύται σε ένα κατακόρυφ επίπεδ µε συχνό- τητα και b Λαµβάνντας υπ όψιν και την 3 για, βρίσκυµε:, L Συνεπώς, τ ιδιδιάνυσµα τυ πλάτυς πυ αντιστιχεί στη συχνότητα είναι: L 7 υτός τρόπς ταλάντσης φαίνεται ενδεικτικά στ Σχήµα 3b. α δύ εκκρεµή ταλαντύνται σε ένα κατακόρυφ επίπεδ µε διαφρά φάσης 8 και µε την ίδια συχνότητα αναφερόµαστε σε µικρές ταλαντώσεις γύρ από θέση ευσταθύς ισρρπίας..3 Καννικές µρφές ταλάντσης Η πρηγύµενη συήτηση έδειξε ότι ι εξισώσεις κίνησης ικανπιύνται από µια λύση ταλάντσης της µρφής για ένα σύνλ -ιδισυχντήτν,,. Η γενική λύση λιπόν τν εξισώσεν κίνησης θα είναι η υπέρθεση ταλαντώσεν µε όλες τις επιτρεπόµενες συχνότητες. Οι συχνότητες αυτές καλύνται και συχνότητες συντνισµύ ή συχνότητες ελεύθερης ταλάντσης τυ συστήµατς. Επµένς, η γενική λύση µπρεί να γραφεί, t η C e 8 όπυ παράγντας αναλγίας C С αναφέρεται στη συγκεκριµένη συχνότητα. Γενικά, σε κάθε ιδιτιµή λ της χαρακτηριστικής εξίσσης αντιστιχύν δύ ισσυχνότητες και, τ ιδιδιάνυσµα είναι τ ίδι και για τις δύ συχνότητες, όµς ι παράγντες αναλγίας και C µπρεί να είναι διαφρετικί, πότε η γενική λύση θα έχει τη µρφή, C Chp. 58
η t t C e C e. 9 Θα πρέπει βέβαια να θυµόµαστε ότι η πραγµατική κίνηση είναι τ πραγµατικό µέρς της µιγαδικής λύσης, πότε τ πραγµατικό µέρς τν 8 ή 9 γράφεται η f cos t φ 3 όπυ τ πλάτς f και η φάση φ πρσδιρίνται από τις αρχικές συνθήκες θέσαµε C ± f e ± φt. Μπρύµε να ρίσυµε ένα νέ σύστηµα συντεταγµένν,,, τ πίν ρίεται από τις εξισώσεις µετασχηµατισµύ τν αρχικών συντεταγµένν η,η,,η, ή υπό µρφή πινάκν η 3 η 3 όπυ είναι µνόστηλς πίνακας µε στιχεία,,, και η µνόστηλς πίνακας µε στιχεία η,η,,η. Ο ανάστρφς πίνακας η Τ είναι πίνακας µιας γραµµής και µάλιστα ισχύει ιδιότητες τυ ανάστρφυ γινµένυ πινάκν η. 33 Ο πίνακας στη 3 σχηµατίεται από τα ιδιδιανύσµατα, δηλ. A,,...,..................... 34 Ο πίνακας αναφέρεται και σαν πίνακας τν ιδιδιανυσµάτν. Ο πίνακας έχει γνστές ιδιότητες, η απόδειξη τν πίν αφήνεται σαν άσκηση, όπς η ιδιότητα διαγνπίησης τν πινάκν Τ και. Για παράδειγµα, η σχέση ρθγνιότητς της κινητικής ενέργειας 4 µπρεί να τεθεί υπό µρφή πινάκν ς εξής, A A I 35 όπυ Τ είναι ανάστρφς πίνακας και Ι µναδιαίς πίνακας. κόµη, πίνακας διαγνπιεί τν πίνακα της δυναµικής ενέργειας ς εξής, Chp. 59
λ A A 36 όπυ λ είναι διαγώνις πίνακας µε στιχεία τις ιδιτιµές λ,λ,,λ, λ λ O λ 37 µετασχηµατισµός 36 είναι γνστός ς coguet tsfoto τυ από τν A. A A Η κινητική και η δυναµική ενέργεια µπρύν να εκφραστύν συναρτήσει τν νέν συντεταγµένν, χρησιµπιώντας τη σχέση µετασχηµατισµύ 3. Πράγµατι, η δυναµική ενέργεια 3 γράφεται κατ αρχήν ς, η η ή υπό µρφή γινµένυ πινάκν η η και εισάγντας τν µετασχηµατισµό 3 παίρνει απλύστερη µρφή, λ όπυ ενδιάµεσα έχµε χρησιµπιήσει τν µετασχηµατισµό της δυναµικής ενέργειας 36. Συνεπώς,. 38 Παρµίς, η κινητική ενέργεια 4 µπρεί να τεθεί υπό µρφή γινµένυ πινάκν, η η και εισάγντας τν µετασχηµατισµό 3 παίρνει απλύστερη µρφή, όπυ ενδιάµεσα έχµε χρησιµπιήσει την ιδιότητα ρθγνιότητς 35. Συνεπώς,. 39 Οι σχέσεις 38 και 39 δηλώνυν ότι στ νέ σύστηµα συντεταγµένν και η κινητική και η δυναµική ενέργεια εκφράνται σαν άθρισµα τετραγώνν µόν, χρίς διασταυρύµενυς όρυς. Chp. 6
Οι εξισώσεις κίνησης απκαλύπτυν αυτή την απλότητα τν νέν συντεταγµένν. Πράγµατι, η νέα Lgg είναι, L 4 πότε ι εξισώσεις κίνησης για τις συντεταγµένες είναι. 4 Οι εξισώσεις 4 έχυν τις λύσεις, t C e 4 Κάθε νέα συντεταγµένη είναι περιδική συνάρτηση η πία περιλαµβάνει µια µόν συχνότητα συντνισµύ. Γι αυτό τ λόγ ι συντεταγµένες καλύνται καννικές συντεταγµένες τυ συστήµατς. Κάθε καννική συντεταγµένη αντιστιχεί σε µια ταλάντση τυ συστήµατς µε µια µόν συχνότητα και αυτές ι ξεχριστές ταλαντώσεις αναφέρνται σαν καννικί τρόπι ταλάντσης o odes of vbto. Όλα τα σώµατα τυ συστήµατς σε κάθε καννικό τρόπ ταλάντσης ταλαντύνται εν φάσει και µε την ίδια συχνότητα. Οπότε η πλήρης κίνηση τυ συστήµατς θα είναι τ άθρισµα τν καννικών τρόπν ταλάντσης υγισµένν µε τ κατάλληλ πλάτς και παράγντα φάσης πυ εµπεριέχνται στ C. Παράδειγµα. ιπλό εκκρεµές συνέχεια. Οι καννικές συντεταγµένες τυ πρβλήµατς βάσει τν σχέσεν ρισµύ 3 ή 3 θα έχυν τη µρφή, η η 43 όπυ η θ και η φ, και ι συνιστώσες τν πλατών δίδνται από τις 5 και 6. Οπότε η 43 γράφεται αναλυτικά, η L η L L L 44 τις πίες λύνυµε ς πρς,, L L θ θ φ. 45 φ Chp. 6
Μπρύµε να επαληθεύσυµε τις 38 και 39, αντικαθιστώντας τις 44 στις 7 και 6. Πράγµατι βρίσκυµε για τη κινητική ενέργεια, 7, και παρµίς για τη δυναµική ενέργεια, 6, και τελικά η Lgg γράφεται συναρτήσει τν καννικών συντεταγµένν,, δηλ. επαληθεύεται η έκφραση 4. L Παράδειγµα: Ταλαντώσεις σµατιδίν σε τεντµένη χρδή. Θερύµε χρδή, µήκυς, η πία τεντώνεται στα άκρα της από τάση F εφαρµόµενη κατά µήκς της χρδής. Υπθέτυµε ότι κατά µήκς της χρδής έχυν τπθετηθεί ίσες µάες ανά ίσα διαστήµατα. Θερύµε κατ αρχήν µόν τις εγκάρσιες µετατπίσεις τν σµατιδίν τη χρδής, y,y,,y, όπς φαίνεται στ Σχήµα 4. Σχήµα 4 Στιγµιότυπ τεντµένης χρδής σε εγκάρσια µετατόπιση. Η κινητική ενέργεια τν σµατιδίν της χρδής είναι y y... y. 46 Για να υπλγίσυµε τη δυναµική ενέργεια, θερύµε ότι τ αρχικό µήκς της χρδής µεταξύ τν σµατιδίν και είναι. Όταν µετατπιστεί η χρδή από τη θέση ισρρπίας της, τα σµατίδια και θα απέχυν µεταξύ τυς απόσταση παραστατικά στ Σχήµα 5. Η απόσταση αυτή γράφεται s y y, όπς φαίνεται s y y y y y y y...} y [ άρα η επιµήκυνση της χρδής µεταξύ τν σµατιδίν και είναι Chp. 6
δ y y Σχήµα 5 Εγκάρσια µετατόπιση τν γειτνικών σµατιδίν και Τ έργ πυ δαπανάται για την επιµήκυνση αυτή ισύται µε Fδ F y y τ πί απθηκεύεται στη χρδή σαν δυναµική ενέργεια. Οπότε, πρσθέτντας τις συνεισφρές όλν τν τµηµάτν της χρδής βρίσκυµε τη δυναµική ενέργεια της χρδής, F [y y y y... y y ] 47 όπυ θερύµε y y πακτµένη χρδή κατά τα άκρα της. ξίει να σηµειθεί ότι στ συνεχές όρι: και, η απόσταση µεταξύ τν σµατιδίν και γράφεται y y s y dx και καταλήγυµε σε ανάλγη έκφραση της 47 στ συνεχές όρι, όπς θα δύµε σε άλλ κεφάλαι] πό τις 46 και 47 υπλγίυµε τις εξισώσεις Lgge τν σµατιδίν της χρδής, F y y y F y y y... y y y F y y y όπυ y y. Για την επίλυση τυ συστήµατς τν µγενών διαφρικών εξισώσεν 48, δκιµάυµε λύσεις της µρφής, 3 y A e -t 49 48 και αντικαθιστώντας στ σύστηµα 48 παίρνυµε, F Chp. 63
3 F... F όπυ. κόµη τ σύστηµα γράφεται,... 3 5 όπυ F. Υπλγίυµε τις ιδισυχνότητες και τα πλάτη, επαγγικά. Για εφόσν βρίσκυµε:, άρα. Για, ι εξισώσεις 5 δίδυν τη χαρακτηριστική εξίσση: πότε βρίσκ τις λύσεις: και. ντικαθιστώντας τη λύση στις 5 παίρν: 4, 3 :, ενώ η λύση δίδει τα πλάτη: 3 :. Σχήµα 6 Οι καννικί τρόπι ταλάντσης χρδής µε διάκριτα σµατίδια ίσν µαών, για,,3 Οι µαύρι κύκλι παριστάνυν σµατίδια πυ παραµένυν ακίνητα. Για 3, ι 5 δηγύν στη χαρακτηριστική εξίσση: και αναπτύσσντας την ρίυσα παίρνµε την εξίσση, Chp. 64
3 4 απ όπυ βρίσκµε τις ρίες της κυβικής εξίσσης όπς και τα αντίστιχα πλάτη,, πλάτη: : : 3 : :, πλάτη: : : 3 : : 3, πλάτη: : : 3 : :, και ύτ καθεξής µπρεί να συνεχιστεί υπλγισµός για 4,5, Στ Σχήµα 6 απεικνίνται ι τρόπι ταλάντσης της χρδής για,,3. ΠΡΟΒΛΗΜΤ: ΣΕΙΡ 3. Θερήσατε ένα γραµµικό συµµετρικό τριατµικό µόρι µε µάες, Μ, και. Θερύµε µόν τις διαµήκεις ταλαντώσεις τυ µρίυ, δηλ. τα άτµα µπρύν να κινύνται µόν κατά µήκς τυ άξνα τυ µρίυ τν πί να λάβετε σαν άξνα x. Τ δυναµικό αλληλεπίδρασης µεταξύ τν ατόµν µπρεί να πρσεγγιστεί από ένα ελατήρι σταθεράς. Στη θέση ισρρπίας τα άτµα απέχυν µεταξύ τυς απόσταση τα ακραία άτµα δεν είναι πακτµένα. Βρείτε τις ιδισυχνότητες, τα ιδιδιανύσµατα, και τις καννικές µρφές ταλάντσης τυ µρίυ. ώσατε και µια φυσική εικόνα για κάθε καννική µρφή ταλάντσης τυ µρίυ. Να διαγνπιηθεί τανυστής: 7 6 3 6 5 3 5 3 Υπόδειξη: η χαρακτηριστική εξίσση µπρεί να παραγντπιηθεί 3. Στ πρόβληµα τν δύ συευγµένν εκκρεµών, η κινητική ενέργεια και η δυναµική ενέργεια είναι, αντίστιχα: θ θ και θ θ θ θ, όπυ µια σταθερά. Βρείτε τις ιδισυχνότητες, τα ιδιδιανύσµατα, και τις καννικές µρφές ταλάντσης τυ συεγµένυ συστήµατς. ώσατε και µια φυσική εικόνα για κάθε καννική µρφή ταλάντσης. Chp. 65