Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Έστω οι ατομικές προτάσεις A 1 = H Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα, A 3 = H Αντιγόνη πήρε την τρίτη θέση, Β 2 = Ο Βίκτορας πήρε την δεύτερη θέση, Γ 3 = Ο Γιάννης πήρε την τρίτη θέση. (α) Αν η Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα τότε είτε ο Βίκτορας πήρε τη δεύτερη θέση είτε ο Γιάννης πήρε την τρίτη θέση. Ο Γιάννης δεν πήρε την τρίτη θέση. Επομένως η Αντιγόνη δεν κέρδισε τον αγώνα. Ο συλλογισμός διατυπώνεται ως εξής: Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Γ 3 Α 1. Από τον πίνακα αλήθειας βλέπουμε ότι υπάρχει περίπτωση να αληθεύουν οι προϋποθέσεις μας, Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Γ 3, και να μην αληθεύει το συμπέρασμα μας, Α 1, όποτε ο συλλογισμός ΔΕΝ είναι σημασιολογικά ορθός. Α 1 Β 2 Γ 3 Α 1 (Β 2 Γ 3 ) Γ 3 Α 1 T T Τ T F F T Τ F T T F T F T T F F T F F F T F F Τ T T F T F T F T T T F F T T F T F F F T T T (β) Αν η Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα τότε είτε ο Βίκτορας πήρε τη δεύτερη θέση είτε ο Γιάννης πήρε την τρίτη θέση. Ο Βίκτορας δεν πήρε τη δεύτερη θέση. Επομένως, αν η Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα τότε ο Γιάννης δεν πήρε την τρίτη θέση. Ο συλλογισμός διατυπώνεται ως εξής: Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Β 2 Α 1 Γ 3. Από τον πίνακα αλήθειας βλέπουμε ότι υπάρχει περίπτωση να αληθεύουν οι προϋποθέσεις μας, Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Β 2, και να μην αληθεύει το συμπέρασμα μας, Γ 3, όποτε ο συλλογισμός ΔΕΝ είναι σημασιολογικά ορθός. Α 1 Β 2 Γ 3 Α 1 (Β 2 Γ 3 ) Β 2 Α 1 Γ 3 T T Τ T F F T Τ F T F T T F T T T F T F F F T T F Τ T T F T F T F T F T F F T T T T F F F T T T Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 1 από 7

(γ) Αν η Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα τότε ο Βίκτορας πήρε τη δεύτερη θέση και ο Γιάννης πήρε την τρίτη θέση. Ο Βίκτορας δεν πήρε τη δεύτερη θέση. Επομένως, η Αντιγόνη δεν κέρδισε τον αγώνα. Ο συλλογισμός διατυπώνεται ως εξής: Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Β 2 Α 1. Από τον πίνακα αλήθειας βλέπουμε ότι κάθε φορά που αληθεύουν οι προϋποθέσεις μας, Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Β 2 αληθεύει και το συμπέρασμα μας, Α 1, όποτε ο συλλογισμός είναι σημασιολογικά ορθός. Α 1 Β 2 Γ 3 Α 1 (Β 2 Γ 3 ) Β 2 Α 1 T T Τ T F F T Τ F F F F T F T F T F T F F F T F F Τ T T F T F T F T F T F F T T T T F F F T T T (δ) Αν η Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα τότε, αν ο Βίκτορας πήρε τη δεύτερη θέση τότε ο Γιάννης πήρε την τρίτη θέση. Ο Βίκτορας δεν πήρε τη δεύτερη θέση. Επομένως, είτε η Αντιγόνη είτε ο Γιάννης πήρε την τρίτη θέση. Ο συλλογισμός διατυπώνεται ως εξής: Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Β 2 Α 3 Γ 3. Από τον πίνακα αλήθειας βλέπουμε ότι υπάρχει περίπτωση να αληθεύουν οι προϋποθέσεις μας, Α 1 (Β 2 Γ 3 ), Β 2, και να μην αληθεύει το συμπέρασμα μας, Α 1, όποτε ο συλλογισμός ΔΕΝ είναι σημασιολογικά ορθός. Διαγραμμένες φαίνονται οι περιπτώσεις που δεν μπορούν να εμφανιστούν (η Αντιγόνη δεν μπορεί να πάρει ταυτόχρονα την πρώτη και την τρίτη θέση). Α 1 Β 2 Γ 3 A 3 Α 1 (Β 2 Γ 3 ) Β 2 Α 3 Γ 3 T T Τ T T F T T Τ T F Τ F T T T F T F F T T T F F F F F T F T T T T T T F T F T T T T F F T T T T T F F F T T F F T T T T F T F T T F T F T F T F T T F T F T F F T F F F F T T T T T F F T F T T T F F F T T T T F F F F T T F Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 2 από 7

Άσκηση 2 (α) p (q r), r q p 1. p (q r) προϋπόθεση 2. r προϋπόθεση 3. q προσωρινή υπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση 5. q r ΜΡ 1, 4 6. q πρ. υπ. r πρ. υπ. 7. e 3, 6 e 2,6 8. e 5, 6 7 9. p i 4 8 10. q p i 3 9 (β) p (q r), p r, q p r 1. p (q r) προϋπόθεση 2. p r προϋπόθεση 3. q p προϋπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 5. q r MP 1, 4 6. p i 4 7. q MT 3, 6 8. q e 7 9. r MP 5, 8 10. r e 2, 4 9 (γ) p (p q) (p q) 1. p προϋπόθεση 2. q q LEM 3. q προσωρινή υπόθεση q προσωρινή υπόθεση 4. p q i 1, 3 p q i 1, 3 5. (p q) (p q) i 4 (p q) (p q) i 4 6. (p q) (p q) e 2, 3 5 Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 3 από 7

(δ) p q (p q) 1. p q προϋπόθεση 2. p q προσωρινή υπόθεση 3. p πρ. υπόθεση q πρ. υπόθεση 4. p e1 1 q e2 1 5. e 4, 5 e 4, 5 6. 7. (p q) e 2, 4 5 (ε) p (q r), s (t u), t r, r (p s) q 1. p (q r) προϋπόθεση 2. s (t u) προϋπόθεση 3. t r προϋπόθεση 4. r προϋπόθεση 5. t MT 3, 4 6. p s προσωρινή υπόθεση 7. s προσωρινή υπόθεση 8. t u MP 2, 7 9. t e1 8 10. e 5, 9 11. s i 7 10 12. p MT 6, 11 13. q r MP 1, 12 14. q πρ. υπ. r πρ. υπ. 15. e 4, 14 16. q e 15 17. q e 13, 14 16 18. (p s) q i 6 17 Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 4 από 7

Άσκηση 3 Εξ ορισμού, μια πρόταση είναι έγκυρη αν, δηλαδή, παίρνει την τιμή True σε κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας της. Όμοια, μια πρόταση είναι ικανοποιήσιμη αν υπάρχει ανάθεση λογικών τιμών στις ατομικές της προτάσεις που να την κάνουν αληθή. Επομένως, για να απαντήσουμε το ερώτημα θα πρέπει να φτιάξουμε τους πίνακες αληθείας για κάθε μια από τις προτάσεις. (α) (p q) ( q p) p q (p q) ( q p) T T T T T T F F F F F Τ T T T F F T T T Από τον πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη. (β) (p q) (p (r q)) (q ( r p)) p q r ((p q) (p (r q))) (q ( r p)) T T Τ T T T F F F T Τ F T F F F T T T F T T F F F T F T F F T F F F T T F Τ T T T T F F F F T F T T T F F F F F T F F T F T F F F F F F T F T F Από τον πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι η πρόταση είναι μη ικανοποιήσιμη. (γ) ((p q) p) p p q ((p q) p) p T T T T T T F F T T F Τ T F T F F T F T Από τον πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι η πρόταση είναι έγκυρη. Άσκηση 4 Βρίσκεσαι παγιδευμένος στις σπηλιές κάτω από την πόλη Mereen. Μετά από πολύωρη αναζήτηση συναντάς 3 πόρτες: μια μπλε, μια μαύρη και μια πράσινη. Γνωρίζεις ότι πίσω από δύο από τις πόρτες βρίσκονται δύο δράκοι ενώ η άλλη πόρτα οδηγεί έξω από τη σπηλιά. Οι πόρτες αναγράφουν τα εξής: Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 5 από 7

Μπλε πόρτα: Αυτή η πόρτα θα σε οδηγήσει στην ελευθερία. Μαύρη πόρτα: Αυτή η πόρτα δεν θα σε οδηγήσει στην ελευθερία. Πράσινη πόρτα: Η μαύρη πόρτα δεν θα σε οδηγήσει στην ελευθερία. Γνωρίζεις ότι τουλάχιστον μια πόρτα λέει την αλήθεια και τουλάχιστον μια πόρτα λέει ψέματα. Μπορείς να καταλήξεις σε ένα ασφαλές συμπέρασμα για το ποια πόρτα οδηγεί στην ελευθερία; Αν ναι, ποια πόρτα θα πρέπει να ανοίξεις; Αιτιολογήστε την απάντησή σας μεταφράζοντας το πρόβλημα στον προτασιακό λογισμό και χρησιμοποιώντας πίνακες αληθείας. Οι πόρτες μας λένε τα εξής: Μπλε πόρτα: φ 1 = blue Μαύρη πόρτα: φ 2 = black Πράσινη πόρτα: φ 3 = black όπου γράφουμε blue για την πρόταση η μπλε πόρτα οδηγεί στην ελευθερία, black για την πρόταση η μαύρη πόρτα οδηγεί στην ελευθερία, και green για την πρόταση η πράσινη πόρτα οδηγεί στην ελευθερία. Επιπλέον γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον μια πόρτα λέει την αλήθεια και τουλάχιστον μια πόρτα λέει ψέματα. Αυτό σημαίνει πως δεν λένε όλες οι πόρτες αλήθεια ούτε λένε όλες οι πόρτες ψέματα: φ = (φ 1 φ 2 φ 3 ) ( φ 1 φ 2 φ 3 ) = (blue black black) ( blue black black) = (blue black) ( blue black) Επιπρόσθετα πρέπει να ισχύει ότι μια πόρτα από τις πόρτες οδηγεί στην ελευθερία: ψ = (black green blue) ( black green blue) ( black green blue) Φτιάχνουμε τον πίνακα αληθείας για την πρόταση φ ψ: black blue green φ ψ T T T T F F T T F T F F T F T F F F T F F F F T F T T F F F F T F F F T F F T T T T F F F T F F Από τον πίνακα αλήθειας βλέπουμε ότι η πρόταση ισχύει στην γραμμή όπου black, blue, green. Συνεπώς η πόρτα που οδηγεί στην ελευθερία είναι η πράσινη. Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 6 από 7

Άσκηση 5 = (p q) ((r s) (q t)) ( p v) = ( p q) ((r s) (q t)) ( p v) Impl_free = ( p q) ( (r s) (q t)) ( p v) Impl_free = ( p q) ( (r s) (q t)) ( p v) Impl_free = ( p q) ( (r s) (q t)) ( p v) NNF = (p q) ( (r s) (q t)) ( p v) NNF = (p q) (( r s) (q t)) ( p v) NNF = (p q) (( r s) (q t)) (p v) NNF = (p q) (( r q t) ( s q t)) (p v) CNF_rec = (p q) (( r q t p v) ( s q t p v)) CNF_rec = (p (( r q t p v) ( s q t p v))) (q (( r q t p v) ( s q t p v)) CNF_rec = (p r q t p v) (p s q t p v) (q r q t p v) (q s q t p v) CNF_rec Παρατηρούμε ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη αφού υπάρχουν διαζεύξεις οι οποίες δεν περιέχουν αντίθετους όρους. Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 7 από 7