5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας
Ομαλή κυκλική κίνηση Κίνηση σωματίου σε κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Επιτάχυνση κάθετη στην τροχιά και στην ταχύτητα. Γιατί; Αν υπήρχε συνιστώσα στη διεύθυνση της ταχύτητας θα της άλλαζε το μέτρο. Περίοδος Τ της κίνησης είναι ο χρόνος για μια περιφορά. Ταχύτητα: υ = 2πR T Κεντρομόλος επιτάχυνση (προς το κέντρο): υ R 2 a rad = Αφού υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση θα υπάρχει και κεντρομόλος δύναμη: F = ma rad = 2 υ m R
Ομαλή κυκλική κίνηση τρίγωνα Άρα: Στιγμιαία επιτάχυνση a 2 = υ 1 R
Παράδειγμα Κίνηση γης γύρω από τον ήλιο. Παρατήρηση: η τροχιά της γης είναι έλλειψη αλλά σε μια πρώτη προσέγγιση θα την θεωρήσουμε κυκλική R Ταχύτητα: υ = 2πR T 9 = 150 10 m Ακτίνα τροχιάς Περίοδος Τ της κίνησης Τ = 365,25ηµ = 3,16 10 7 s 2 R υ = π T = 29825 m s = 107370 km h 2 = υ R Κεντρομόλος επιτάχυνση a rad = 0,0059 2 m s
Κίνηση σε οριζόντια στροφή Αυτοκίνητο παίρνει κυκλική στροφή ακτίνας R. Ο δρόμος δεν έχει κλίση και ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στα ελαστικά και το δρόμο είναι μ s. Ποια η μέγιστη ταχύτητα με την οποία μπορεί ο οδηγός να πάρει τη στροφή χωρίς να ολισθήσει; Όσο μεγαλώνει η ταχύτητα τόσο μεγαλύτερη τριβή f χρειάζεται για να συνεχίσει το αυτοκίνητο σε κυκλική Τροχιά.
Κίνηση σε οριζόντια στροφή Αυτοκίνητο παίρνει κυκλική στροφή ακτίνας R. Ο δρόμος δεν έχει κλίση και ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στα ελαστικά και το δρόμο είναι μ s. Ποια η μέγιστη ταχύτητα με την οποία μπορεί ο οδηγός να πάρει τη στροφή χωρίς να ολισθήσει; αλλά οπότε
Κίνηση σε οριζόντια στροφή Αυτοκίνητο παίρνει κυκλική στροφή ακτίνας R. Ο δρόμος δεν έχει κλίση και ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στα ελαστικά και το δρόμο είναι μ s. Ποια η μέγιστη ταχύτητα με την οποία μπορεί ο οδηγός να πάρει τη στροφή χωρίς να ολισθήσει; Αν
Κίνηση σε στροφή με κλίση Ποια η κλίση του δρόμου ώστε στο προηγούμενο παράδειγμα ένα αυτοκίνητο που παιρνει τη στροφή με 25m/s (περίπου 90km/h) να μη χρειάζεται καθόλου την τριβή; οπότε
Διανύσματα a = a x iˆ + a y ˆj Αν γνωρίζουμε το μήκος α και τη γωνία θ που σχηματίζει με τον άξονα x ένα διάνυσμα, μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του a x = a cos( θ ) a y = asin( θ ) Αντίθετα αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του μπορούμε να βρούμε το μήκος του και τη γωνία 2 2 = tan( θ ) a a x + a y = a a y x
Βαθμωτό ή εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων A B = AB cos( φ) Αν γνωρίζω τις συνιστώσες των διανυσμάτων: A = A x iˆ + A y ˆj και A B = A B + x x Γιατί; B A = y B B y x iˆ + B y ˆj
Γεωμετρική ερμηνεία βαθμωτού γινομένου διανυσμάτων A B = AB cos( φ) A Μήκος του πάνω στο Α. A B = επί την συνιστώσα του AB cos( φ) B B Μήκος του πάνω στο Β. A B = επί την συνιστώσα του AB cos( φ) A
Έργο δύναμης Όταν η δύναμη έχει την ίδια διεύθυνση με τη μετατόπιση του σώματος τότε το έργο της δύναμης ισούται με το γινόμενο της δύναμης επί τη μετατόπιση του σώματος κατά τη διεύθυνσή της. W = Fs J Joule Nt m
Έργο δύναμης Ποιο το έργο της δύναμης που εφαρμόζει ο άνθρωπος στη τσάντα με τα ψώνια που μεταφέρει σε απόσταση d και ποιο το έργο του βάρους w=mg της σακούλας; W Fp F = p 0 = 0 W w = w 0 = 0
Έργο δύναμης Όταν η δύναμη δεν έχει την ίδια διεύθυνση με τη μετατόπιση τότε το έργο της δύναμης ισούται με το γινόμενο της συνιστώσας της δύναμης πάνω στην κατεύθυνση της μετατόπισης επί τη μετατόπιση. W = Fs cos( θ ) θ F F cos ( θ ) d
Έργο δύναμης Γενικά το έργο δύναμης είναι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων: της δύναμης επί την μετατόπιση W = F d = Fd cos( θ ) θ F F cos ( θ ) d
Έργο Το έργο μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Ποιο το πρόσημό του σε κάθεμια από τις παρακάτων περιπτώσεις; Η δύναμη έχει συνιστώσα στην κατεύθυνση της κίνησης άρα το έργο είναι θετικό. Η δύναμη έχει συνιστώσα σε κατεύθυνση αντίθετη της κίνησης άρα το έργο είναι αρνητικό. Η δύναμη είναι κάθετη στην κατεύθυνση της κίνησης άρα το έργο είναι μηδέν.
Έργο παραγόμενο από πολλές δυνάμεις W και n παράγουν μηδενικό έργο αφού είναι κάθετες στη μετατόπιση. Η τριβή κάνει αρνητικό έργο πάνω στο έλκηθρο και η δύναμη έλξης F T θετικό. ( ) = 5000N 20m0,8 J WF T = FT scos ϕ = 80000 o W f = fscos 180 = 3500N 20m( 1) = 70000 Άρα ( ) J Wtot = WF + W f = 80000 J 70000J = 10000J T
Έργο παραγόμενο από πολλές δυνάμεις Η ταχύτητα του e είναι σταθερή άρα η επιτάχυνσή του είναι 0 η επιτάχυνσή του είναι 0 άρα από 2 ο νόμο του Νεύτωνα η συνισταμένη των δυνάμεων που δρούν επάνω του είναι 0 Συνολικό έργο όλων των δυνάμεων ίσο με 0