1.6 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 56 58 A Οµάδας 1. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύυν : f () = g() και g () = f() για κάθε R, να αδείξετε ότι η συνάρτηση φ() = [f() ] + [g () ] είναι σταθερή. Στ διάστηµα R είναι φ () = ([f() ] + [g () ] ) = ([f() ] ) + (g () = f() f () + g () g () = f() g () + g () [ f()] = f() g () g () f() = 0. Άρα φ() = c ] ).i) Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης f() = Στ διάστηµα R είναι f () = + > 0. Άρα f γνησίως αύξυσα στ R + 4. Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης f() = 1 Στ διάστηµα R είναι f () = 6 6 1 = 6( ) = 1 + 8 = 9, Ρίζες της f : 1± = 1 ή Τ ρόσηµ και ι ρίζες της f, όως και η µντνία της f φαίννται στν ίνακα 1 + f () + 0 0 + f() ր ց ր
.i Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης f() = + 1 Στ διάστηµα R είναι f () = ( 1 ( + 1) ( + 1) [ + 1] ) + = = + [ + 1] 1 = 1 [ + 1] f () = 0 1 f () > 0 1 = 0 = 1 ή = 1 > 0 1 < < 1 Τ ρόσηµ και ι ρίζες της f, όως και η µντνία της f φαίννται στν ίνακα 1 1 + f () 0 + 0 f() ց ր ց
.i) Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης f() = 4, 1 +, > 1 f συνεχής στ διάστηµα (, 1) και στ διάστηµα (1, + ) σαν λυωνυµική lim f() = 1 lim f() = 1 + lim (4 1 ) = 4 1 = lim ( + ) = 1 + = 1 + f(1) = 4 1 = Άρα συνεχής και στ 1 Εµένως η f είναι συνεχής στ R. Είναι f () =, < 1 1, > 1 Στ διάστηµα (, 1) : f () = 0 = 0 = 0 f () > 0 > 0 < 0 f () < 0 < 0 0 < < 1 Στ διάστηµα (1, + ), είναι f () = 1 > 0 Τ ρόσηµ και ι ρίζες της f, όως και η µντνία της f φαίννται στν ίνακα 0 1 + f () 0 + f() ց ր ց
4. Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης f() = Η f είναι συνεχής στ R σαν αόλυτη τιµή συνεχύς. Πρόσηµ τυ τριωνύµυ 1 : 1 1 + f() + + 1 Άρα η f γράφεται f() = < < 1, 1 ή 1 1, 1 1 και f () =, < 1 ή > 1, 1 < < 1 Τ ρόσηµ και ι ρίζες της f, όως και η µντνία της f φαίννται στν ίνακα 1 0 1 + f () 0 + + f() ց ր ց ր 4.i) Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης Η f είναι συνεχής στ R σαν ηλίκ συνεχών f () = ( e e ) e = e = e (1 ) = f () = 0 1 = 0 = 1 f () > 0 1 > 0 < 1 e 1 e f() = e Τ ρόσηµ και ι ρίζες της f, όως και η µντνία της f φαίννται στν ίνακα 1 + f () + 0 f() ր ց
5 4. Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης f() = ln Η f είναι συνεχής στ (0, + ) σα διαφρά συνεχών Στ διάστηµα (0, + ) είναι f () = 1 1 = 1 f () = 0 1 = 0 = 1 f () > 0 1 > 0 < 1 Τ ρόσηµ και ι ρίζες της f, όως και η µντνία της f φαίννται στν ίνακα 1 + f () + 0 f() ր ց 4.i Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της συνάρτησης f() = ηµ + ηµ, [0, ] Η f είναι συνεχής στ [0, ] σαν άθρισµα συνεχών και γράφεται f() = ηµ +ηµ, 0 < ηµ ηµ, f() = ηµ, 0 < 0, Εξετάζυµε τη µντνία της f µόν στ διάστηµα [0, ], αφύ στ [, ] είναι σταθερή. Είναι f () = συν f () = 0 συν = 0 συν = 0 = f () > 0 συν > 0 συν > 0 0 < Τ ρόσηµ και ι ρίζες της f, όως και η µντνία της f φαίννται στν ίνακα 0 f () + 0 f() ր ց
6 5. 5 ίννται ι συναρτήσεις f() = + 5 6 και g() = +. i) Να αδείξετε ότι ι f, g είναι γνησίως αύξυσες. Να βρείτε τ σύνλ τιµών τυς. 5 i Να αδείξετε ότι ι εξισώσεις + 5 6 = 0 και + = 0 έχυν ακριβώς µία ρίζα την = 1. D f = R και D g = [0, + ) i) Η f είναι συνεχής και αραγωγίσιµη στ R µε f () = 5 4 + 5 > 0, άρα γνησίως αύξυσα. Η g είναι συνεχής στ [0, + ) και αραγωγίσιµη στ (0, + ) µε g () = 1 lim f() = lim + 1 > 0, άρα γνησίως αύξυσα. 5 = και lim f() = + lim + 5 = + και εειδή f γνησίως αύξυσα και συνεχής, θα έχει σύνλ τιµών τ R. i g(0) = και iv) lim g () = + + και εειδή g γνησίως αύξυσα και συνεχής, θα έχει σύνλ τιµών τ [, + ) Η εξίσωση 5 + 5 6 = 0 γράφεται f() = 0 Αλλά f(1) = 0, άρα 1 είναι ρίζα της f. Και εειδή f γνησίως αύξυσα, η ρίζα είναι µναδική. Η εξίσωση + = 0 γράφεται g() = 0 Αλλά g(1) = 0, άρα 1 είναι ρίζα της g. Και εειδή g γνησίως αύξυσα, η ρίζα είναι µναδική.
7 6. Να αδείξετε ότι : i) Η συνάρτηση f() = Η εξίσωση e 1 + ln( + 1) είναι γνησίως αύξυσα. e = 1 ln( + 1) έχει ακριβώς µία λύση την = 0. i) D f = ( 1, + ), αφύ ρέει + 1 > 0 Για κάθε ( 1, + ) είναι f () = αύξυσα Η εξίσωση e + e = 1 ln( + 1) γράφεται 1 + 1 > 0, άρα f γνησίως e 1 + ln( + 1) = 0 f() = 0 Αλλά f(0) = 0 e 1 + ln(0 + 1) = 1 1 + ln1 = 0, άρα τ 0 είναι ρίζα της f. Και εειδή f γνησίως αύξυσα, η ρίζα είναι µναδική. Β Οµάδας 1. Αν για µία συνάρτηση f υ είναι ρισµένη σ όλ τ R ισχύει f() f(y) ( y) για όλα τα, y R, να αδείξετε ότι η f είναι σταθερή. Για τ τυχαί και για κάθε, η υόθεση γίνεται f() f( ) ( ) f() f( 0 Εειδή όµως lim lim ( ) f ( ) f ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f = 0, µε τ κριτήρι αρεµβλής συµεραίνυµε ότι = 0 f ( ) = 0 Και εειδή τ είναι τυχαί, για όλα τα θα είναι f () = 0, άρα f σταθερή.
8. i) Να αδείξετε ότι η συνάρτηση f() = + α είναι γνησίως φθίνυσα στ διάστηµα [ 1, 1] Να βρείτε τ σύνλ τιµών της f στ διάστηµα [ 1, 1] i Αν < α <, να αδείξετε ότι η εξίσωση + α = 0 έχει ακριβώς µία λύση στ διάστηµα ( 1, 1). i) Η f είναι συνεχής στ [ 1, 1] σαν λυωνυµική. Για κάθε ( 1, 1) είναι f () = = ( 1) < 0, άρα f γνησίως φθίνυσα. Τ σύνλ τιµών της f θα είναι τ διάστηµα f( [ 1, 1] ) = [f(1), f( 1)] Αλλά f(1) = 1.1 + α = α και f( 1) = ( 1).( 1) + α = 1 + + α = α + Άρα f( [ 1, 1] ) = [α, α + ] i f( 1) f(1) = (α + )( α ) = α 4 < 0 αφύ < α <. Και εειδή f συνεχής, κατά Bolzano, η εξίσωση f() = 0, δηλαδή η + α = 0, θα έχει ρίζα στ διάστηµα ( 1, 1). Και αφύ f γνησίως φθίνυσα, η ρίζα θα είναι µναδική.
9. Η θέση ενός κινητύ άνω σε έναν άξνα τη χρνική στιγµή t δίνεται αό τη συνάρτηση : = S(t) = 4 t 8 t + 18 t 16t + 160, 0 t 5. Να βρείτε την ταχύτητα και την ειτάχυνση τυ κινητύ και στη συνέχεια να ααντήσετε στα ακόλυθα ερωτήµατα : i) Πότε τ κινητό έχει ταχύτητα µηδέν ; Πότε τ κινητό κινείται ρς τα δεξιά και ότε ρς τα αριστερά ; i Πότε η ταχύτητα τυ κινητύ αυξάνεται και ότε µειώνεται ; υ(t) = S (t) = 4 t 4 t + 6t 16 = 4( t 6 t + 9t 4) α(t) = υ (t) = 4( t 1t + 9) = 1( t 4t + ) i) υ(t) = 0 t 6 t + 9t 4 = 0 (µε Σχήµα Horner) (t 1 ) (t 4) = 0 t = 1 ή t = 4 Θα βρύµε τ ρόσηµ της ταχύτητας υ(t) t 0 1 4 5 υ(t) 0 0 + Τ κινητό κινείται ρς τα δεξιά κατά τ χρνικό διάστηµα (4, 5), ενώ κινείται ρς τα αριστερά κατά τ χρνικό διάστηµα (0, 4) i Θα βρύµε τ ρόσηµ της ειτάχυνσης α(t) t 0 1 5 α(t) + 0 0 + Η ταχύτητα τυ κινητύ αυξάνεται κατά τα χρνικά διαστήµατα (0, 1), (4, 5) και µειώνεται κατά τ χρνικό διάστηµα (1, ).
10 4. Η τιµή V (σε ευρώ) ενός ρϊόντς, t µήνες µετά την αραγωγή τυ, δίνεται αό τν τύ V = 50 5t. (t + ) Να αδείξετε ότι τ ρϊόν συνεχώς υτιµάται χωρίς, όµως, η τιµή τυ να µρεί να γίνει µικρότερη αό τ µισό της αρχικής τιµής τυ. Η τιµή τυ ρϊόντς εκφράζεται αό τη συνάρτηση V(t) = 50 5t = 5 [ t ], t [0, + ) (t + ) (t + ) V (t) = 5 [ t (t + ) ] t(t + ) t (t + ) 4 ] = 5 [0 (t + ) t(t + )(t + t) = 5 = 5 4t < 0 4 (t + ) (t + ) Άρα η συνάρτηση V είναι γνησίως φθίνυσα, εµένως τ ρϊόν συνεχώς υτιµάται. Η αρχική τιµή είναι V(0) = 50 lim V(t) = t + lim [50 t + = 50 5 = 50 5 lim t + lim t + 5t (t + ) t (t + ) t ] t + 4t + 4 5.0 (0+ ) = 50 5 = 50 lim t + t t = 5 = 1 V(0)
11 5. Να αδείξετε ότι : i) Η συνάρτηση f() = 9 είναι γνησίως αύξυσα σε καθένα αό τα 1 διαστήµατα τυ εδίυ ρισµύ της και να βρείτε τ σύνλ τιµών της f σε καθένα αό τα διαστήµατα αυτά. Η εξίσωση α 9 + α = 0 είναι ισδύναµη µε την f() = α και στη συνέχεια ότι έχει τρεις ραγµατικές ρίζες για κάθε α R. i) Πρέει 1 0 1 και 1. Άρα D = (, 1) ( 1, 1) (1, + ) f () = = f ( 9) ( 1) ( 9)( 1) ( 1) ( 9)( 1) ( 9) ( 1) 4 4 4 = 9 + 9 + 18 = + 6 + 9 ( + ) = > 0 ( 1) ( 1) ( 1) Άρα η f είναι γνησίως αύξυσα σε καθένα αό τα διαστήµατα τυ εδίυ ρισµύ της. lim f() = lim = lim = lim ( 9) = ( 1) 9( 1) = 1 + 9 = 8 > 0 1 και lim ( 1) = 0 µε 1 > 0 Άρα lim f() = + 1 1 Εµένως f((, 1)) = (, + ) Οµίως f(( 1, 1)) = (, + ) και f((1, + )) = (, + ) Για κάθε ± 1 η εξίσωση f() = α Ελέγχυµε µήως ι αριθµί 1 ή 1 Για τν 1 : ( 1) είναι ρίζες της α ( 1) 9( 1) + α = 0 1 α + 9 + α = 0 8 = 0 υ είναι άτ 9 = α 1 9 = α α α 9 + α = 0 α 9 + α = 0. Για τν 1 : 1 α1 9.1 + α = 0 1 α 9 + α = 0 8 = 0 υ είναι άτ Εειδή τ σύνλ τιµών της συνεχύς, σε καθένα αό τα τρία διαστήµατα (, 1), ( 1, 1), (1, + ), συνάρτησης f είναι τ (, + ), η ευθεία
1 y = α θα τέµνει τη C f σε τρία σηµεία. Άρα η εξίσωση f() = α θα έχει τρεις ρίζες. Και εειδή η f είναι γνησίως αύξυσα σε καθένα αό τα διαστήµατα, ι τρεις ρίζες θα είναι µναδικές. 6. Να βρείτε τις τιµές τυ α R για τις ίες η συνάρτηση f() = α + + + 1 είναι γνησίως αύξυσα στ R. Στ R είναι f () = α + 6 + 1 = 6 1α = 1( α) Όταν α =, δηλαδή = 0 β Τ τριώνυµ f () έχει διλή ρίζα = α = 6 ( α ) = 1 α = 1 και είναι µόσηµ τυ α =. = 9, δηλαδή θετικό για κάθε < 1 κάθε > 1. και για Άρα η f είναι γνησίως αύξυσα σε καθένα αό τα διαστήµατα (, 1 ], [ 1, +, άρα και στ R. Όταν α <, δηλαδή > 0 Τ τριώνυµ f () έχει δύ ραγµατικές ρίζες και εναλλάσσει ρόσηµ, άρα η f εναλλάσσει µντνία. Όταν α >, δηλαδή < 0 Τ τριώνυµ f () είναι µόσηµ τυ α, δηλαδή θετικό για κάθε R, ότε η f είναι γνησίως αύξυσα στ R. Τελικά, ι ζητύµενες τιµές τυ α είναι α.
1 7. Να αδείξετε ότι : i) Η συνάρτηση f() = ηµ συν είναι γνησίως αύξυσα στ κλειστό διάστηµα 0, ηµ συν > 0, για κάθε ( 0, ) i Η συνάρτηση f() = i) διάστηµα ( 0, ) ηµ είναι γνησίως φθίνυσα στ ανικτό f () = συν (συν ηµ) = συν συν + ηµ = ηµ > 0 στ ( 0, ) Και εειδή f συνεχής στ διάστηµα 0, Για κάθε ( 0, ) θα έχυµε f(0) < f() i Για κάθε ( 0, ) Άρα f γνησίως φθίνυσα στ ( 0, ) 0,, θα είναι γνησίως αύξυσα στ κλειστό είναι 0 < < και εειδή f γνησίως αύξυσα στ ηµ0 0συν0 < ηµ συν 0 < ηµ συν συν ηµ είναι f () = < 0 (αό. 0,,
14 8. Να αδείξετε ότι : i) Η συνάρτηση f() = ηµ + εφ, 0, ) είναι γνησίως αύξυσα ηµ + εφ, για κάθε 0, ) i) f () = συν + 1 = συν συν + 1 (1) συν συν Αλλά συν συν + 1 = συν συν συν + 1 = συν (συν 1) ( συν 1) = συν (συν 1) (συν 1)( συν + 1) = (συν 1) (συν συν 1) = (συν 1) (συν + 1 )(συν 1) = (συν 1 0, = 1 + 8 = 9, συν = 1 ± 9 4 (1) f () > 0 στ ( ) f γνησίως αύξυσα στ 0, ) Για κάθε ( 0, ) ) (συν + 1) > 0 στ ( ) = 1 ± = 1 ή 1 4 0,, και εειδή f συνεχής στ 0, ), θα είναι είναι 0 < < και εειδή f γνησίως αύξυσα στ 0, ) θα έχυµε f(0) f() ηµ0 + εφ0 0 ηµ + εφ 0 ηµ + εφ ηµ + εφ