ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΕΚΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΕ 10-ΕΤΕΣ ΟΜΟΛΟΓΟ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΕΚΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΕ 10-ΕΤΕΣ ΟΜΟΛΟΓΟ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ 6.1 Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τα Συµβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης στο 10-ετές οµόλογο του Ελληνικού ηµοσίου. Ανήκουν στην ευρύτερη κατηγορία των ΣΜΕ επιτοκίου, που περιλαµβάνει υποκείµενα µέσα που η τιµή τους εξαρτάται κατά κύριο λόγο από το επίπεδο των επιτοκίων (π.χ. έντοκα γραµµάτια, Athibor, κτλ). Πριν ξεκινήσουµε την περιγραφή των ΣΜΕ στο 10-ετές οµόλογο, θα αναφερθούµε σύντοµα σε µερικά θέµατα που αφορούν στην χρονική διάρθρωση των επιτοκίων και την αποτίµηση των οµολόγων. 6.2 Τρέχοντα και προθεσµιακά επιτόκια Το τρέχων επιτόκιο n ετών, (n-year spot rate, ή n-year zero-coupon rate ή απλώς n-year zero rate), είναι το επιτόκιο για µια επένδυση η οποία αρχίζει σήµερα και διαρκεί n έτη. Έτσι λοιπόν, το τρέχων επιτόκιο τριών ετών είναι το επιτόκιο για µια επένδυση που διαρκεί τρία έτη, το τρέχων επιτόκιο πέντε ετών είναι το επιτόκιο για µια επένδυση που διαρκεί πέντε έτη, και πάει λέγοντας. Η επένδυση θα πρέπει να είναι απαραίτητα µια «καθαρή» επένδυση για n έτη χωρίς ενδιάµεσες πληρωµές. Αυτό σηµαίνει ότι όλοι οι τόκοι και τo κεφάλαιο πληρώνονται στον επενδυτή στο n έτος. Για παράδειγµα, τρέχων επιτόκιο 5 ετών 4,5% µε συνεχή ανατοκισµό, σηµαίνει ότι αρχικό κεφάλαιο 10.000 εάν επενδυθεί µε αυτό το επιτόκιο για πέντε έτη, θα γίνει τελικά: 10.000e 0,045 5 = 12.523 74

Τα 12.523 θα αποδοθούν στον επενδυτή µετά την πάροδο πέντε ετών. Ενδιάµεσα δεν θα γίνει καµία άλλη καταβολή µετρητών. Αντίθετα, τα οµόλογα όπως θα δούµε στην επόµενη ενότητα, είναι µία κατηγορία χρεογράφων που παρέχουν ενδιάµεσο εισόδηµα στον κάτοχό τους. Τα προθεσµιακά επιτόκια, (forward rates), είναι τα επιτόκια που υποδηλώνονται από τα τρέχοντα επιτόκια για κάποιο χρονικό διάστηµα στο µέλλον. Για να δείξουµε πώς υπολογίζονται, υποθέτουµε ότι τα τρέχοντα επιτόκια αντιστοιχούν στις τιµές της δεύτερης στήλης του Πίνακα 6.1. Έτος Πίνακας 6.1 Υπολογισµός Προθεσµιακών Επιτοκίων Τρέχων επιτόκιο (spot rate) για µία επένδυση n ετών (% ετησίως) Προθεσµιακό επιτόκιο (forward rate) για το έτος n (% ετησίως) 1 10,0 2 10,5 11,0 3 10,8 11,4 4 11,0 11,6 5 11,1 11,5 Τα επιτόκια στον Πίνακα 6.1 αντιστοιχούν σε συνεχή ανατοκισµό. Βλέπουµε ότι το προθεσµιακό επιτόκιο για το δεύτερο έτος είναι 11% ετησίως. Αυτό είναι το επιτόκιο που υπονοείται από τα τρέχοντα επιτόκια για την χρονική διάρκεια µεταξύ του τέλους του πρώτου έτους και του τέλους του δεύτερου έτους. Μπορεί να υπολογιστεί από το τρέχον επιτόκιο ενός έτους (10% ετησίως) και το τρέχον επιτόκιο δύο ετών (10,5% ετησίως) ως εξής: Εάν επενδύσουµε κεφάλαιο 100 µε επιτόκιο 10% για το πρώτο έτος και το προθεσµιακό επιτόκιο r ˆ για το δεύτερο έτος, στο τέλος του δεύτερου έτους το κεφάλαιό µας θα γίνει: 100 e 0,10 e rˆ Εάν όµως είχαµε επενδύσει το κεφάλαιό µας µε επιτόκιο 10,5% για δύο έτη (το τρέχων επιτόκιο δύο ετών), στο τέλος του δεύτερου έτους θα είχε γίνει: 100e 0,105 2 = 123,37 Επειδή όµως το προθεσµιακό επιτόκιο του δεύτερου έτους είναι αυτό που µας δίνει την ίδια µελλοντική αξία µε το τρέχων επιτόκιο δύο ετών συνάγεται ότι: 75

100e 0,10 e rˆ = 127,37 rˆ 127,37 e = 0,10 100e 127,37 ˆ r = ln 0,10 100e rˆ = 0,11 Το προθεσµιακό επιτόκιο για το τρίτο έτος είναι το επιτόκιο που υποδηλώνεται από το διετές τρέχων επιτόκιο 10,55% ετησίως και από το τριετές τρέχων επιτόκιο 10,8% ετησίως και υπολογίζεται σε 11,4% ετησίως. Τα υπόλοιπα προθεσµιακά επιτόκια µπορούν να υπολογιστούν µε τον ίδιο τρόπο και τα αποτελέσµατα φαίνονται στην τρίτη στήλη του Πίνακα 6.1. Εναλλακτικά, εάν r είναι το τρέχων επιτόκιο για Τ έτη, και r* το τρέχων επιτόκιο για Τ* έτη, όπου Τ* > Τ, το προθεσµιακό επιτόκιο για την χρονική περίοδο ανάµεσα στο Τ και Τ* µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: r T rt rˆ = (6.1) T T Ας δούµε πως το µπορεί να υπολογιστεί το προθεσµιακό επιτόκιο του τέταρτου έτους στον Πίνακα 6.1, από την παραπάνω εξίσωση. Είναι: Τ = 3, Τ* = 4, r = 0,108 και r* = 0,11. Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση (6.1) είναι: 0,11 4 0,108 3 r ˆ = = 0,116 4 3 6.3 Οµόλογα σταθερού επιτοκίου Ένα οµόλογο (bond) σταθερού επιτοκίου είναι ένα χρεόγραφο που εκφράζει την υποχρέωση του εκδότη του να παρέχει στον κάτοχό του τόκο για τα δανεισµένα κεφάλαια, σε προκαθορισµένες µελλοντικές ηµεροµηνίες (συνήθως περιοδικά), και την ονοµαστική αξία (ή αλλιώς άρτιο, face value ή par value) κατά την εξόφληση του οµολόγου (redemption) στην ηµερο- µηνία λήξης (maturity date). Η ονοµαστική αξία του οµολόγου αποτελεί την βάση υπολογισµού του ετήσιου τόκου του χρεογράφου. Το ποσό του ετήσιου τόκου ενός οµολόγου, που τυπικά εκφράζεται ως ένα σταθερό ποσοστό της ονοµαστικής αξίας του οµολόγου (π.χ., 6%, 8% κτλ), ονοµάζεται τοκοµερίδιο (coupon). Για παράδειγµα, τοκοµερίδιο 6% σε οµόλογο ονοµαστικής αξίας 100.000 α- 76

ντιστοιχεί σε χρηµατική ροή 6.000 ετησίως για τον κάτοχό του µέχρι την λήξη του οµολόγου. Στη λήξη του οµολόγου ο κάτοχός του θα εισπράξει επιπλέον και τις 100.000 που είναι η ονοµαστική αξία του οµολόγου. Η τιµή του οµολόγου δίνεται στη βάση 100 ονοµαστικής αξίας. ηλαδή, τιµή 99,05 για οµόλογο ονοµαστικής αξίας 100.000 αντιστοιχεί σε 99.050. Το τοκοµερίδιο µπορεί να αποδίδεται µία φορά το έτος ή και περισσότερες. Στο προηγούµενο παράδειγµα τα 6.000 που αντιστοιχούσαν σε τοκοµερίδιο 6% µπορεί να αποδίδονται µία φορά το έτος ή να αποδίδονται 3.000 κάθε εξάµηνο. Ο Πίνακας 6.2 δείχνει τις χρηµατικές ροές για τον κάτοχο δύο οµολόγων. Και τα δύο οµόλογα αποδίδουν τοκοµερίδιο 6%, έχουν ονοµαστική αξία 100.000 και λήγουν σε πέντε έτη. Η διαφορά είναι ότι το οµόλογο Α αποδίδει το τοκοµερίδιο µία φορά το έτος ενώ το οµόλογο Β κάθε εξάµηνο. Πίνακας 6.2 Οµόλογο Α Οµόλογο Β Έτος Χρηµατική ροή Εξάµηνο Χρηµατική ροή 1 6.000 1 3.000 2 6.000 2 3.000 3 6.000 3 3.000 4 6.000 4 3.000 5 106.000 5 3.000 6 3.000 7 3.000 8 3.000 9 3.000 10 103.000 6.4 Αποτίµηση οµολόγων 6.4.1 Ακαθάριστη τιµή οµολόγου Η ακαθάριστη τιµή (dirty price) ενός οµολόγου είναι ίση µε την η παρούσα αξία όλων των µελλοντικών εσόδων (τοκοµερίδια και ονοµαστική αξία) που θα αποδώσει το οµόλογο µέχρι την λήξη του. Εάν είναι γνωστά τα τρέχοντα επιτόκια για τις λήξεις που συµπίπτουν µε τις πληρωµές που θα αποδώσει το οµόλογο στον κάτοχό, τότε η ακαθάριστη τιµή (θεωρητική) του οµολόγου δίνεται από την παρακάτω σχέση (µε συνεχή ανατοκισµό): B = n i= 1 C e i r t i i (6.2) όπου: 77

Β: η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου, n: ο αριθµός των πληρωµών µέχρι την λήξη του οµολόγου, t i : ο χρόνος εκφρασµένος σε έτη µέχρι την πληρωµή i, C i : η πληρωµή σε χρόνο t i (σηµειώστε ότι η τελευταία πληρωµή c n συµπεριλαµβάνει την τελευταία καταβολή τοκοµεριδίου και του ονοµαστικού κεφαλαίου), r i : το τρέχων επιτόκιο (spot rate) για λήξη t i. Για παράδειγµα, υποθέστε οµόλογο µε ονοµαστικό κεφάλαιο 100.000, τοκοµερίδιο 6% ετησίως και λήξη σε δύο έτη. Τα τοκοµερίδια καταβάλλονται κάθε εξάµηνο και τα τρέχοντα επιτόκια για 6, 12, 18 και 24 µήνες από σήµερα δίνονται από τον Πίνακα 6.3. Πίνακας 6.3 Λήξη (έτη) Τρέχων Επιτόκιο (% µε συνεχή ανατοκισµό) 0,5 4,5 1,0 5,1 1,5 6,2 2,0 6,7 Η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου θα είναι λοιπόν: B = 3e 0,045 0,5 + 3e 0,051 1,0 + 3e 0,062 1,5 + 103e 0,067 2,0 = 98,60 Προσέξτε ότι εκφράζουµε την τιµή του οµολόγου σε ευρώ ανά 100 ονοµαστικής αξίας. Το κόστος αγοράς του συγκεκριµένου οµολόγου είναι 98.600. Με ετήσιο ανατοκισµό η ισοδύναµη σχέση της (6.1) είναι προφανώς: B = C n i i= 1 1 + i ( R ) t i (6.3) Για να χρησιµοποιηθεί η παραπάνω σχέση τα τρέχοντα επιτόκια θα πρέπει να εκφραστούν µε ετήσιο ανατοκισµό. Το τρέχον επιτόκιο ετήσιου ανατοκισµού για 6 µήνες εξάγεται από το α- ντίστοιχο συνεχούς ανατοκισµού ως εξής (δες σχετικό κεφάλαιο): R 1 r1 0,045 ( e 1) = ( 1) = 0, 046 = e 78

Οµοίως υπολογίζουµε ότι R 2 = 0,0523, R 3 = 0,0639 και R 4 = 0,0693. Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση (6.3) έχουµε: B = 3 3 103 + + + = 0 2,0,5 1,0 1,5 ( 1+ 0,046) ( 1 + 0,0523) ( 1 + 0,0639) ( 1+ 0,0693) 3 98,60 6.4.2 εδουλευµένοι τόκοι και καθαρή τιµή οµολόγου Η ακαθάριστη τιµή είναι το άθροισµα της λεγόµενης καθαρής τιµής (clean price) και των δεδουλευµένων τόκων (accrued interest). Η συνήθης πρακτική στην αγορά είναι η αγοραία τιµή του οµολόγου να εκφράζει την καθαρή τιµή του. Οι δεδουλευµένοι τόκοι είναι το τµήµα του τοκοµεριδίου που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστη- µα που µεσολάβησε από την τελευταία πληρωµή τοκοµεριδίου µέχρι σήµερα. Τα τοκοµερίδια καταβάλλονται µε συγκεκριµένη περιοδικότητα (1 φορά το έτος, 2 φορές το έτος κτλ) ενώ η διαπραγµάτευση των οµολόγων είναι καθηµερινή. Έτσι λοιπόν εάν η ηµεροµηνία αγοράς του οµολόγου δεν συµπίπτει µε την ηµεροµηνία καταβολής του τοκοµεριδίου θα πρέπει να καταβληθούν στον πωλητή και οι δεδουλευµένοι τόκοι. Με αυτό τον τρόπο ο πωλητής αποζηµιώνεται για το τµήµα του τοκοµεριδίου που αντιστοιχεί στην περίοδο που έχει µεσολαβήσει από την τελευταία καταβολή τοκοµεριδίου µέχρι την στιγµή της πώλησης. Είναι λοιπόν: B = P + AI P = B AI (6.4) όπου: Β: η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου, P: η καθαρή τιµή του οµολόγου, AI: οι δεδουλευµένοι τόκοι. Η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου επειδή είναι αυτή που τελικά πληρώνεται από τον αγοραστή είναι γνωστή και ως τιµή πινακιδίου. Για τα 10-ετή οµόλογα Ε.. ο υπολογισµός των ηµερών για τους δεδουλευµένους τόκους γίνεται µε Ευρωπαϊκό σύστηµα 30/360., σύµφωνα µε το οποίο θεωρείται ότι δηλαδή ότι οι µήνες έχουν 30 ηµέρες και το έτος 360. Παράδειγµα 6.1 79

Υποθέστε ότι είναι 15 Μαρτίου 2003 και κάποιο οµόλογο αποδίδει τοκοµερίδιο 11% ετησίως και λήγει στις 10 Ιανουαρίου του 2015. Η τιµή του είναι 95,50. Έστω επίσης ότι τα τοκοµερίδια πληρώνονται µία φορά το έτος. Η πλησιέστερη ηµεροµηνία πληρωµής τοκοµεριδίου είναι στις 10 Ιανουαρίου 2003 και η επόµενη στις 10 Ιανουαρίου 2004. Ο αριθµός των ηµερών α- νάµεσα στις 10 Ιανουαρίου 2003 και στις 15 Μαρτίου 2003 υπολογίζεται ως εξής: από 10 Ιανουαρίου έως 10 Μαρτίου 2 µήνες 30 ηµέρες = 60 ηµέρες + 5 ηµέρες από 10 έως 15 Μαρτίου, σύνολο 65 ηµέρες. Ο αριθµός των ηµερών ανάµεσα στις 10 Ιανουαρίου 2003 και 10 Ιανουαρίου 2004 θεωρείται ότι είναι 360. Σε ονοµαστική αξία οµολόγου 100, αντιστοιχούν τοκοµερίδια 11 που αποδίδονται κάθε 10 Ιανουαρίου. Οι δεδουλευµένοι τόκοι στις 15 Μαρτίου 2003, αντιστοιχούν στο ποσοστό του τοκοµεριδίου της 10ης Ιανουαρίου 2004 που αναλογεί στον κάτοχο του οµολόγου στις 15 Μαρτίου 2003, και υπολογίζονται ως εξής: (65/360) x 11 = 1,98 Η τιµή πινακιδίου για ονοµαστική αξία 100 αντιστοιχεί σε: 95,5 + 1,98 = 97,48 6.4.3 Απόδοση στη λήξη Ο εσωτερικός βαθµός απόδοσης µιας επένδυσης είναι το επιτόκιο, y, το οποίο εξισώνει την παρούσα αξία των χρηµατικών ροών της επένδυσης µε την τιµή (ή την αρχική επένδυση). Η απόδοση στη λήξη (yield to maturity) ενός οµολόγου υπολογίζεται µε τον ίδιο τρόπο όπως ο εσωτερικός βαθµός απόδοσης: οι χρηµατικές ροές είναι αυτές που θα είχε ο κάτοχός του εάν κρατούσε το οµόλογο µέχρι την λήξη του. Με δεδοµένη την αγοραία τιµή του οµολόγου, Β, η απόδοση στη λήξη, y, υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση (συνεχής ανατοκισµός): B = n i= 1 C e i yt i (6.5) Η Εξίσωση (6.8) δεν επιλύεται απ ευθείας ως προς y και θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος της «δοκιµής και του λάθους» (trial and error) για να βρεθεί η τιµή του y που εξισώνει τις δύο πλευρές της ισότητας. ηλαδή, δίνουµε µία τυχαία τιµή στο y, υπολογίζουµε την τιµή του Β από την Εξίσωση (6.5) και την συγκρίνουµε µε την αγοραία τιµή. Επαναλαµβάνουµε αυτή 80

την διαδικασία έως ότου η τιµή του Β που υπολογίζεται από την Εξίσωση (6.5) να συµπέσει µε την αγοραία τιµή του οµολόγου. Για την επίλυση τέτοιου είδους προβληµάτων µπορούν να χρησιµοποιηθούν και πιο εξελιγµένες προσεγγίσεις όπως ο αλγόριθµος Newton-Raphson. Για παράδειγµα, υποθέστε οµόλογο µε τοκοµερίδιο 6% ετησίως και λήξη σε δύο έτη. Τα τοκοµερίδια καταβάλλονται κάθε εξάµηνο και η τιµή του οµολόγου είναι 98,60. Η απόδοση στη λήξη υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: 3e y 0,5 + 3e y 1,0 + 3e y 1,5 + 103e y 2,0 = 98,60 ίνοντας διαφορετικές τιµές στο y, υπολογίζουµε τελικά ότι η απόδοση στη λήξη είναι 6,64%. Με ετήσιο ανατοκισµό η ισοδύναµη σχέση της (6.5) είναι προφανώς: B = C n i i= 1 1 + ( y) t i (6.6) 6.4.4 Απόδοση (εσωτερικός βαθµός απόδοσης) χαρτοφυλακίου Η απόδοση ενός χαρτοφυλακίου οµολόγων δεν είναι απλώς ο σταθµισµένος µέσος όρος των επί µέρους οµολόγων που συνθέτουν το χαρτοφυλάκιο. Υπολογίζεται πρώτα καθορίζοντας όλες τις χρηµατικές ροές του χαρτοφυλακίου και έπειτα καθορίζοντας το επιτόκιο το οποίο εξισώνει την παρούσα αξία των χρηµατικών ροών µε την τρέχουσα αγοραία αξία του χαρτοφυλακίου. Για παράδειγµα ας εξετάσουµε το χαρτοφυλάκιο τριών οµολόγων Α, Β και Γ του Πίνακα 6.4. Πίνακας 6.4 Οµόλογο Τοκοµερίδιο (%) Λήξη (έτη) Ονοµαστική αξία Τιµή Απόδοση στη λήξη Α 7,0 5 10.000.000 9.209.000 9,0 Β 10,5 7 20.000.000 20.000.000 10,5 Γ 6,0 3 30.000.000 28.050.000 8,5 Σύνολο 57.259.000 Για να απλοποιήσουµε το παράδειγµα θα υποθέσουµε ότι οι πληρωµές των τοκοµεριδίων γίνονται στις ίδιες ηµεροµηνίες και για τα τρία οµόλογα. Υποθέτουµε επίσης ότι τα τοκοµερίδια αποδίδονται κάθε έξι µήνες. Η συνολική τρέχουσα αξία του χαρτοφυλακίου είναι 57.259.000. 81

Οι χρηµατικές ροές για κάθε οµόλογο ξεχωριστά και για το χαρτοφυλάκιο ως σύνολο δίνονται στον Πίνακα 6.5. Πίνακας 6.5 Περίοδος είσπραξης της Οµόλογο Οµόλογο Οµόλογο Χαρτοφυλάκιο χρηµατικής ροής Α Β Γ 1 350.000 1.050.000 900.000 2.300.000 2 350.000 1.050.000 900.000 2.300.000 3 350.000 1.050.000 900.000 2.300.000 4 350.000 1.050.000 900.000 2.300.000 5 350.000 1.050.000 900.000 2.300.000 6 350.000 1.050.000 30.900.000 32.300.000 7 350.000 1.050.000 1.400.000 8 350.000 1.050.000 1.400.000 9 350.000 1.050.000 1.400.000 10 10.350.000 1.050.000 11.400.000 11 1.050.000 1.050.000 12 1.050.000 1.050.000 13 1.050.000 1.050.000 14 21.050.000 21.050.000 Για να καθορίσουµε την απόδοση (εσωτερικός βαθµός απόδοσης) του χαρτοφυλακίου των τριών οµολόγων, πρέπει να υπολογίσουµε το επιτόκιο το οποίο εξισώνει την παρούσα αξία των χρηµατικών ροών της τελευταίας στήλης του Πίνακα 6.5 µε την τρέχουσα αξία του χαρτοφυλακίου ( 57.259.000). Με διαδοχικές δοκιµές βρίσκουµε ότι το επιτόκιο αυτό είναι 9,54%. Μια καλή προσέγγιση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου, προκύπτει από την στάθµιση των αποδόσεων στη λήξη των οµολόγων που συνθέτουν το χαρτοφυλάκιο σύµφωνα µε την διάρκειά τους (duration). Η έννοια της διάρκειας θα αναλυθεί σε επόµενη ενότητα. 6.5 Η χρονική διάρθρωση των επιτοκίων Ένα οµόλογο δίχως τοκοµερίδια (zero-coupon bond), αποδίδει όλους τους τόκους και το κεφάλαιο στην λήξη του οµολόγου. Στην πράξη, συνήθως δεν εκδίδονται οµόλογα δίχως τοκο- µερίδια. Ωστόσο, καµιά φορά τέτοια οµόλογα δηµιουργούνται τεχνητά, όταν αποκόπτονται τα 82

τοκοµερίδια από κανονικά οµόλογα 1, και πωλούνται ξεχωριστά από το οµόλογο. Εξ ορισµού, η απόδοση n ετών ενός οµολόγου δίχως τοκοµερίδια είναι το τρέχων επιτόκιο n ετών. Η καµπύλη απόδοσης των οµολόγων δίχως τοκοµερίδια (zero-coupon yield curve) είναι η κα- µπύλη που δείχνει την σχέση µεταξύ των αποδόσεων των οµόλογων δίχως τοκοµερίδια και της λήξης τους (ισοδύναµα, είναι η καµπύλη που δείχνει την σχέση ανάµεσα στα τρέχοντα επιτόκια και την λήξη). Είναι σηµαντικό να διακρίνουµε την καµπύλη απόδοσης των οµολόγων δίχως τοκοµερίδια από την καµπύλη απόδοσης των οµολόγων που αποδίδουν τοκοµερίδια (coupon bearing bonds). Γενικά, η σχέση ανάµεσα στην απόδοση και την λήξη ονοµάζεται και χρονική διάρθρωση των επιτοκίων. Στην πράξη, τα τρέχοντα επιτόκια δεν µπορούν συνήθως να παρατηρηθούν άµεσα. Αυτό που µπορεί να παρατηρηθεί άµεσα είναι οι τιµές των οµολόγων µε τοκοµερίδια. Έτσι λοιπόν, ένα σηµαντικό θέµα σχετίζεται µε το πώς µπορούν να εξαχθούν τα τρέχοντα επιτόκια από τις α- ποδόσεις των οµολόγων. Μία από τις διαθέσιµες προσεγγίσεις είναι η λεγόµενη µέθοδος bootstrap. Θα δούµε πώς λειτουργεί αυτή η µέθοδος, χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα για τα πέντε οµόλογα που δίνονται στον Πίνακα 6.5. Οι τιµές των οµολόγων δίνονται στη βάση 100 ονοµαστικής αξίας. Στην τελευταία στήλη του Πίνακα 6.5 δίνονται τα τρέχοντα επιτόκια που έχουν εξαχθεί µε την µέθοδο bootstrap. Παρακάτω θα αναλύσουµε τους απαιτούµενους υπολογισµούς. Από την στιγµή που τα τρία πρώτα οµόλογα δεν πληρώνουν τοκοµερίδιο, τα τρέχοντα επιτόκια µε συνεχή ανατοκισµό που αντιστοιχούν στις λήξεις αυτών των οµολόγων εξάγονται πολύ εύκολα από την ονοµαστική αξία και την αγοραία τιµή κάθε οµολόγου. Το πρώτο οµόλογο είναι ουσιαστικά µία επένδυση 97,6 που σε τρεις µήνες θα γίνουν 100. Συνεπώς εάν συµβολίσουµε µε r 0,25 το τρέχων επιτόκιο τριών µηνών, θα είναι: 97,6e e r r r 0,25 r 0,25 r 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = = 100 100 97,6 0,25 = ln ln = 0,25 = 0,0972 100 97,6 ( 100 97,6) Πίνακας 6.5 1 ιαδικασία γνωστή ως stripping. 83

Ετήσιο τοκοµερίδιο 2 Χρόνος έως την λήξη (έτη) Τιµή οµολόγου Τρέχων επιτόκιο που εξάγεται µε την µέθοδο Bootstrap 0 0,25 97,6 9,72% 0 0,50 95,1 10,05% 0 1,00 89,9 10,65% 9% 1,50 97,2 10,79% 13% 2,00 103,1 10,95% ή 9,72% ετησίως. Παροµοίως, εξάγονται τα τρέχοντα επιτόκια για 6 και 12 µήνες από το δεύτερο και το τρίτο οµόλογο: 95,1 e r r 0,5 r0, 5 0,5 0,5 = 100 ( 95,1 ) ln 100 = 0,5 = 0,1005 και 89,9 r r e r 1,0 1,0 1,0 = 100 = ln ( 100 89,9) = 0,1065 ή 10,05% και 10,65% ετησίως για περιόδους 6 και 12 µηνών αντίστοιχα. Το τέταρτο οµόλογο διαρκεί ενάµιση έτος. Για κάθε 100 ονοµαστικής αξίας το οµόλογο θα αποδώσει στον κάτοχό του µετά από 6 µήνες 4,5, µετά από 12 µήνες 4,5 και µετά από 18 µήνες 104,5. Υπολογίσαµε νωρίτερα ότι, το προεξοφλητικό επιτόκιο για τις πληρωµές στο τέλος του έκτου µήνα είναι 10,05% και το προεξοφλητικό επιτόκιο για τις πληρωµές στο τέλος του πρώτου έτους είναι 10,65%. Επίσης, γνωρίζουµε ότι η τιµή του οµολόγου (97,2) πρέπει να ισοδυναµεί µε την παρούσα αξία όλων των πληρωµών που θα λάβει ο κάτοχός του. Έπεται ότι: 4,5e e r r 0,1005 0,5 1,5 r 1,5 1,5 1,5 + 4,5e = 0,85048 ( 0,85048) ln = 1,5 = 0,1079 0,1065 + 104,5e 1,5 r 1,5 = 97,2 2 Το µισό τοκοµερίδιο υποθέτουµε ότι πληρώνεται κάθε 6 µήνες. 84

11.2 11 10.8 Τρέχων Επιτόκιο (%) 10.6 10.4 10.2 10 9.8 9.6 0.25 0.5 1 1.5 2 Λήξη (έτη) Εικόνα 6.1 : Τρέχοντα επιτόκια για τα δεδοµένα του Πίνακα 6.5. Έτσι λοιπόν, το τρέχων επιτόκιο για ενάµιση έτος αντιστοιχεί σε 10,79%. Παροµοίως, µπορεί να υπολογιστεί και το τρέχων επιτόκιο για δύο έτη, από το εξαµηνιαίο, το ετήσιο και το τρέχων επιτόκιο ενάµιση έτους, καθώς επίσης και από τις πληροφορίες του Πίνακα 6.2 σχετικά µε το πέµπτο οµόλογο. Εάν r 2,0 είναι το τρέχων επιτόκιο για δύο έτη, τότε: 6,5e r r 0,1005 0,5 0,1065 1,0 0,1079 1,5 2r2, 0 2,0 2,0 + 6,5e ln = 2 = 0,1095 ( 0,80325) + 6,5e + 106,5e = 103,1 Στην Εικόνα 6.1 βλέπουµε την απεικόνιση της χρονικής διάρθρωσης των επιτοκίων που υπολογίσαµε σ αυτό το παράδειγµα. Τα τρέχοντα επιτόκια για ενδιάµεσες λήξεις υπολογίζονται µε γραµµική παρεµβολή. Σύµφωνα µε το προηγούµενο παράδειγµα, το τρέχων επιτόκιο για 21 µήνες (1,75 έτη) θα αντιστοιχούσε µε: 0,5 x 10,79 + 0,5 x 10,95 = 10,87%. 85

6.6 Η δευτερογενής αγορά 10-ετών οµολόγων Ε.. Η διαπραγµάτευση των 10-ετών οµολόγων Ελληνικού ηµοσίου γίνεται µέσω του συστήµατος της Ηλεκτρονικής ευτερογενούς Αγοράς Τίτλων (Η ΑΤ) το οποίο διαχειρίζεται η Τράπεζα της Ελλάδος. Σ αυτή την αγορά συµµετέχουν φορείς που διενεργούν πράξεις είτε για ίδιο λογαριασµό είτε για λογαριασµό των πελατών τους. Η αγορά βασίζεται στις προσφορές (quote driven) αλλά υπάρχουν και Βασικοί ιαπραγµατευτές (primary dealers) οι οποίοι προσφέρουν συνεχώς ρευστότητα στους τίτλους που έχουν αναλάβει. Η αγορά λειτουργεί µεταξύ 10:15 και 17:00 κατά τις ηµέρες συναλλαγών. Τα 10-ετή οµόλογα Ε.. σταθερού επιτοκίου πληρώνουν τοκοµερίδιο σε ετήσια βάση και ο υπολογισµός των ηµερών για τους δεδουλευµένους τόκους γίνεται σύµφωνα µε το Ευρωπαϊκό σύστηµα υπολογισµού των ηµερών εντοκισµού, 30/360. Η εκκαθάριση γίνεται µε φυσική παράδοση κατά την ηµέρα (Τ+3), όπου Τ είναι η ηµέρα που έγινε η πράξη. 6.7. Βασικά χαρακτηριστικά του ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο Ε.. Στο ΧΠΑ διαπραγµατεύεται σήµερα ΣΜΕ µε υποκείµενο τίτλο ένα οµόλογο µε εκδότη το Ελληνικό ηµόσιο, µε τοκοµερίδιο 6% ετησίως, ονοµαστική αξία 100.000 και διάρκεια 10 ετών από την ηµέρα τελικής εκκαθάρισης. Η τιµή του ΣΜΕ εκφράζεται (επί τοις εκατό) ως ποσοστό της ονοµαστικής αξίας του υποκείµενου οµολόγου. ηλαδή, µε τον ίδιο τρόπο που εκφράζονται και οι τιµές των οµολόγων. Η ανάλυση του συγκεκριµένου ΣΜΕ εµπεριέχει κάποιο βαθµό πολυπλοκότητας γιατί αν και η εκκαθάριση του συµβολαίου γίνεται µε φυσική παράδοση του υποκείµενου τίτλου, το 10-ετές οµόλογο Ε.. µε τοκοµερίδιο 6% και ονοµαστική αξία 100.000 δεν έχει φυσική υπόσταση. Είναι όπως λέµε ένα συνθετικό οµόλογο. Το συνθετικό οµόλογο προσοµοιάζει µε ορισµένα από τα οµόλογα που διαπραγµατεύονται στην υποκείµενη αγορά αλλά δεν έχει µε κανένα από αυτά ακριβώς τα ίδια χαρακτηριστικά. Ο πωλητής του ΣΜΕ έχει το δικαίωµα να επιλέξει προς παράδοση ένα από τα οµόλογα που συνθέτουν το καλάθι των παραδοτέων οµολόγων. Η σύνθεση του καλαθιού των παραδοτέων οµολόγων καθορίζεται από το ΧΠΑ. Το συµβόλαιο θα µπορούσε να ορισθεί έτσι ώστε µόνον ένα οµόλογο να είναι παραδοτέο. Σ αυτή την περίπτωση όµως θα υπήρχε το ενδεχόµενο ένας όµιλος επενδυτών να πάρει θέση αγοραστή στο ΣΜΕ και ταυτόχρονα να αγοράσει µία µεγάλη ποσότητα από το µοναδικό παραδοτέο οµόλογο (deliverable bond). Στη λήξη του ΣΜΕ οι επενδυτές µε θέση πωλητή θα έ- σπευδαν να αγοράσουν το παραδοτέο οµόλογο ώστε να κάνουν την παράδοση. Ο όµιλος των 86

επενδυτών µε θέση αγοραστή στο ΣΜΕ θα µπορούσε να χειραγωγήσει την αγορά πουλώντας το παραδοτέο οµόλογο σε τεχνητά υψηλή τιµή. Επειδή ο πωλητής έχει το δικαίωµα να παραδώσει οποιοδήποτε από τα οµόλογα στο καλάθι των παραδοτέων οµολόγων, τα χρηµατιστήρια έχουν αναπτύξει συγκεκριµένες διαδικασίες µε σκοπό την προσαρµογή της τιµής που λαµβάνει ο πωλητής, ανάλογα µε το συγκεκριµένο ο- µόλογο που θα παραδοθεί. Θέσεις αγοράς και πώλησης Ο επενδυτής µε θέση αγοράς στο ΣΜΕ κερδίζει από την άνοδο της τιµής του, ενώ ο επενδυτής µε θέση πώλησης από την πτώση της τιµής του. Για κάθε θέση αγοράς και πώλησης που προέρχεται από µία συναλλαγή, αντισυµβαλλόµενος στον κάθε επενδυτή, αγοραστή ή πωλητή είναι η ΕΤΕΣΕΠ. Μήνες Λήξεις Ηµέρα λήξης, τελικής συναλλαγής και τελικής εκκαθάρισης Όλες οι σειρές ακολουθούν τον τριµηνιαίο κύκλο εκπνοής, Μαρτίου, Ιουνίου, Σεπτεµβρίου και εκεµβρίου. Έξι εβδοµάδες πριν από την λήξη µιας σειράς εισάγεται προς διαπραγµάτευση µία νέα σειρά. Η ηµέρα τελικής εκκαθάρισης είναι η δέκατη ηµερολογιακή ηµέρα του µήνα λήξης ή η αµέσως επόµενη εργάσιµη εάν είναι αργία. Η ηµέρα λήξης είναι η πέµπτη εργάσιµη ηµέρα, πριν από την ηµέρα τελικής εκκαθάρισης. Η ηµέρα λήξης είναι επίσης η τελευταία ηµέρα συναλλαγής. Την ηµέρα λήξης οι συναλλαγές σταµατούν στις 12 πµ. Κλείσιµο θέσεων κέρδη και ζηµίες Όπως ήδη αναφέραµε, η πλειοψηφία των θέσεων σε ΣΜΕ δεν διατηρούνται ανοιχτές µέχρι την ηµέρα λήξης, αφού ο αρχικός στόχος του επενδυτή (κερδοσκοπία, αντιστάθµιση, arbitrage) µπορεί να επιτευχθεί µε το κλείσιµο της θέσης του. Το κλείσιµο µιας θέσης σε ΣΜΕ στο 10-ετές οµόλογο συνίσταται στην αντίθετη συναλλαγή ίσου αριθµού συµβολαίων µε την ίδια λήξη. Για παράδειγµα, υποθέστε ότι επενδυτής τον Μάρτιο πήρε θέση αγοραστή σε 2 ΣΜΕ στο 10- ετές οµόλογο, λήξης Ιουνίου στα 101,23. Την επόµενη ηµέρα ο επενδυτής παίρνει θέση πωλητή σε 2 ΣΜΕ, Ιουνίου στα 101,45. Το αποτέλεσµα είναι ότι ο επενδυτής έκλεισε την θέση του αποκοµίζοντας κέρδος: 2 (101,45 101,23) 1.000 = 440. Ο πολλαπλασιαστής 1.000 προκύπτει διαιρώντας την ονοµαστική αξία του υποκείµενου οµολόγου ( 100.000) µε το 100, καθώς η τιµή του ΣΜΕ αναφέρεται σε 100 ονοµαστικής αξίας. Γενικά το κέρδος ή η ζηµία σε 87

ευρώ του αγοραστή ή του πωλητή ενός ΣΜΕ που κλείνει την θέση του πριν την λήξη του συµβολαίου υπολογίζονται ως εξής: Κέρδος ή ζηµία αγοραστή: N ( F S F ) 1. 000 B Κέρδος ή ζηµία πωλητή: N ( F B F ) 1. 000 S όπου: N: ο αριθµός των συµβολαίων, F S : F B : η προθεσµιακή τιµή πώλησης, η προθεσµιακή τιµή αγοράς. Καθηµερινή αποτίµηση και ο λογαριασµός περιθωρίου ασφάλισης Οι ανοιχτές θέσεις στο ΣΜΕ υπόκεινται σε καθηµερινή διαδικασία αποτίµησης (marking to market), κατά την οποία στο τέλος κάθε ηµέρας συναλλαγών οι επενδυτές των οποίων οι θέσεις (αγοράς ή πώλησης) σηµείωσαν ζηµίες, πληρώνουν τις ζηµίες τους στους επενδυτές των οποίων οι θέσεις σηµείωσαν κέρδη. Τα κέρδη ή οι ζηµίες υπολογίζονται στη βάση της ηµερήσιας τιµής εκκαθάρισης του ΣΜΕ που ανακοινώνεται από το ΧΠΑ µετά την λήξη της συνεδρίασης και υπολογίζεται από ειδικό αλγόριθµο. Κάθε επενδυτής που συναλλάσσεται σε ΣΜΕ στο 10-ετές οµόλογο οφείλει να τηρεί ένα λογαριασµό περιθωρίου ασφάλισης, στον οποίο γίνεται η χρεοπίστωση των ποσών που προκύπτουν από την διαδικασία της καθηµερινής αποτίµησης. Για παράδειγµα, εάν ένας επενδυτής αγόρασε ένα ΣΜΕ στο 10-ετές οµόλογο Ιουνίου στα 101,21 και η τιµή εκκαθάρισης µετά την λήξη της συνεδρίασης είναι 101,45, τότε το ίδιο βράδυ ο λογαριασµός περιθωρίου ασφάλισης του επενδυτή πιστώνεται µε (101,45 101,21) 1.000 = 240. Αντίθετα ο λογαριασµός του επενδυτή µε την αντίθετη θέση, δηλαδή πωλητής σε ένα ΣΜΕ Ιουνίου στα 101,21 χρεώνεται µε 240. Η χρεοπίστωση των λογαριασµών περιθωρίου ασφάλισης είναι ευθύνη της ΕΤΕΣΕΠ. Το ελάχιστο ποσό που θα πρέπει να βρίσκεται πάντοτε µέσα στον λογαριασµό περιθωρίου ασφάλισης είναι το περιθώριο ασφάλισης και καθορίζεται από την ΕΤΕΣΕΠ, µέσω του µοντέλου διαχείρισης κινδύνου RIVA (Risk Valuation). Σήµερα, το απαιτούµενο περιθώριο ασφάλισης για ανοικτές θέσεις στο ΣΜΕ στο 10-ετές οµόλογο είναι 3% επί της αξίας της θέσης µε βάση την τιµή εκκαθάρισης του συµβολαίου. Εκκαθάριση µε φυσική παράδοση 88

Το ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο Ε.. προβλέπει την εκκαθάριση των ανοικτών θέσεων κατά την λήξη του συµβολαίου, µέσω φυσικής παράδοσης 10-ετών οµολόγων, υπό µορφή άυλων τίτλων. Οι µεταβιβάσεις των τίτλων γίνονται µέσω του Συστήµατος Άυλων Τίτλων (ΣΑΤ) του Κεντρικού Αποθετηρίου Αξιών (ΚΑΑ), απευθείας από µερίδα σε µερίδα επενδυτή, µε εντολή της ΕΤΕΣΕΠ. 6.8. Παραδοτέα οµόλογα και ο συντελεστής τιµής Όπως αναφέρθηκε, στο ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο που διαπραγµατεύεται στο ΧΠΑ υπάρχει η δυνατότητα για την πλευρά του πωλητή να επιλέξει ποιο οµόλογο θα παραδώσει (quality option) από το καλάθι των παραδοτέων οµολόγων. Επειδή τα οµόλογα αυτά διαφέρουν ως αναφορά την λήξη και τα τοκοµερίδιά τους, για να προσαρµοστούν σε κοινή βάση για παράδοση χρησιµοποιείται ο συντελεστής τιµής (price factor) ή αλλιώς συντελεστής µετατροπής (conversion factor). Ο συντελεστής τιµής είναι διαφορετικός για κάθε παραδοτέο οµόλογο και προσδιορίζει την αξία του παραδοτέου οµολόγου σε σχέση µ αυτή του συνθετικού οµολόγου. Συγκεκριµένα ορίζεται ως ο λόγος της παρούσας αξίας του παραδοτέου οµολόγου κατά την ηµέρα παράδοσης δια την αξία του συνθετικού οµολόγου. Για τον υπολογισµό της παρούσας αξίας του παραδοτέου οµολόγου γίνεται η υπόθεση ότι η χρονική διάρθρωση των επιτοκίων είναι οριζόντια στο 6%. Επειδή όµως το τοκοµερίδιο του συνθετικού οµολόγου είναι επίσης 6% η τιµή του θα είναι 100. Συνεπώς εάν συµβολίσουµε µε PV(6%) την παρούσα αξία του παραδοτέου οµολόγου, υπολογισµένη µε συντελεστή προεξόφλησης 6%, ο συντελεστής τιµής, PF, δίνεται από τον λόγο: PV (6%) PF = (6.7) 100 Έτσι λοιπόν, εάν ο συντελεστής τιµής ενός παραδοτέου οµολόγου είναι 1,15 αυτό σηµαίνει ότι η αξία του παραδοτέου οµολόγου είναι 1,15 φορές η αξία του συνθετικού οµολόγου. Στην πράξη, για την διευκόλυνση των υπολογισµών, στρογγυλοποιείται και ο χρόνος µέχρι την λήξη του παραδοτέου οµολόγου στον πλησιέστερο ακέραιο αριθµό ετών. Με όλες αυτές τις υ- ποθέσεις η ακριβής έκφραση υπολογισµού του συντελεστή µετατροπής είναι η παρακάτω: 89

PF = 1 x C 1 C 1 1 1,06 y + x (6.8) n n ( 1,06) 6 1,06 1,06 100 y όπου: PF: ο συντελεστής µετατροπής υποθέτοντας ότι η χρονική διάρθρωση των επιτοκίων είναι οριζόντια στο 6%, n: ο αριθµός των υπόλοιπων ολόκληρων ετών από την ηµέρα παράδοσης έως την λήξη του οµολόγου, x: ο αριθµός των ηµερών από την ηµέρα παράδοσης µέχρι το επόµενο τοκοµερίδιο (χρησιµοποιείται ο τρόπος υπολογισµού 30/360), y: ο αριθµός των ηµερών από το τελευταίο τοκοµερίδιο, ή αν δεν έχει ακόµη πληρωθεί τοκοµερίδιο, από την ηµέρα έκδοσης µέχρι το επόµενο τοκοµερίδιο (χρησιµοποιείται ο τρόπος υπολογισµού 30/360), C: το τοκοµερίδιο της έκδοσης (%), δηλαδή εάν το ποσοστό τοκοµεριδίου είναι 6,50% τότε C = 6,5. Το ΧΠΑ αρχικά καθορίζει ποια οµόλογα θα είναι παραδοτέα για κάθε σειρά, πέντε εργάσιµες ηµέρες πριν από την πρώτη ηµέρα συναλλαγής κάθε καινούργιας σειράς ΣΜΕ. ύο εβδοµάδες πριν από την τελευταία ηµέρα συναλλαγής του µήνα παράδοσης, το ΧΠΑ εκδίδει µία τελική λίστα των οµολόγων που είναι παραδοτέα προς εκκαθάριση του συµβολαίου µαζί µε τους α- ντίστοιχους συντελεστές τιµής. Τα παραδοτέα οµόλογα επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε η εναποµένουσα διάρκεια ζωής τους από την ηµέρα λήξης του ΣΜΕ (η δέκατη ηµέρα του µήνα λήξης) να προσοµοιάζει όσο το δυνατόν περισσότερο τη διάρκεια ζωής του συνθετικού οµολόγου (από 7,5 έως 11 έτη). Επιπρόσθετα θα πρέπει το συνολικό ποσό της έκδοσης να είναι τουλάχιστον 600.000, έτσι ώστε να υπάρχει αρκετή ρευστότητα στην υποκείµενη αγορά. Σε περίπτωση που το ποσό της έκδοσης των παραδοτέων οµολόγων πέσει κάτω από αυτό το ποσό, το ΧΠΑ θα εισάγει πρόσθετα παραδοτέα οµόλογα για να καλυφθούν οι απαιτήσεις της αγοράς. Αυτή την στιγµή τα παραδοτέα οµόλογα είναι τα παρακάτω: 10-ετές οµόλογο Ε.. 6,0% 19/05/10 10-ετές οµόλογο Ε.. 6,3% 29/01/09 10-ετές οµόλογο Ε.. 8,6% 26/03/08 90

6.9 Ποσό τιµολογίου Εάν ένα ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο αφεθεί να φθάσει στη λήξη του, τότε ο πωλητής θα πρέπει να προχωρήσει σε φυσική παράδοση οµολόγων ονοµαστικής αξίας 100.000. Το ποσό που θα εισπράξει από τον αγοραστή ονοµάζεται ποσό τιµολογίου (invoice amount). Η τιµή που χρησιµοποιείται για να υπολογιστεί το ποσό τιµολογίου ονοµάζεται τιµή διακανονισµού χρηµατιστηριακής παράδοσης (exchange derivery settlement price EDSP) και από το ΧΠΑ καθορίζεται ως η τελευταία τιµή συναλλαγής κατά την ηµέρα λήξης της κάθε σειράς. Ο υπολογισµός του ποσού τιµολογίου γίνεται από την ακόλουθη σχέση: M IA = ( EDSP PF + AI ) (6.9) 100 Όπου: ΙΑ: το ποσό τιµολογίου, EDSP: η τιµή διακανονισµού χρηµατιστηριακής παράδοσης, PF: ο συντελεστής τιµής του παραδοτέου οµολόγου, AI: οι δεδουλευµένοι τόκοι (accrued interest), Μ: η ονοµαστική αξία του συνθετικού οµολόγου. Επειδή η ονοµαστική αξία του συνθετικού οµολόγου για το ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο είναι 100.000 η παραπάνω σχέση απλοποιείται ως εξής: IA = ( EDSP PF + AI ) 1. 000 (6.10) Παράδειγµα 6.7 Κατά την ηµέρα λήξης ενός ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο η τιµή διακανονισµού χρηµατιστηριακής παράδοσης διαµορφώθηκε σε EDSP = 100,4. Ο πωλητής επέλεξε να παραδώσει από το καλάθι των παραδοτέων οµολόγων ένα οµόλογο µε ακαθάριστη τιµή 104 και καθαρή τιµή 103. Συνεπώς οι δεδουλευµένοι τόκοι γι αυτό το οµόλογο θα είναι 1 ανά 100 ονοµαστικής αξίας. Ο συντελεστής τιµής του οµολόγου είναι 1,245476. Να υπολογισθεί το ποσό τιµολογίου. IA = ( 100,4 1,245476 + 1) 1.000 = 126. 045 Άρα ο πωλητής θα εισπράξει 126.045. 91

Παράδειγµα 6.8 Στο προηγούµενο παράδειγµα υποθέστε ότι στο καλάθι των παραδοτέων οµολόγων υπήρχε ένα ακόµη οµόλογο µε ακαθάριστη τιµή 104, καθαρή τιµή 102 και δεδουλευµένους τόκους 2. Ο συντελεστής τιµής του δεύτερου οµολόγου είναι 1,234453. Το ποσό τιµολογίου για το δεύτερο οµόλογο θα είναι: IA = ( 100,4 1,234453 + 2) 1.000 = 125. 939 Βλέπουµε λοιπόν ότι παρόλο που τα δύο οµόλογα έχουν την ίδια ακαθάριστη τιµή το ποσό τιµολογίου είναι διαφορετικό. Συνεπώς ο πωλητής θα επιλέξει να παραδώσει το οµόλογο το είναι βέλτιστο γι αυτόν. 6.10 Το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο Αυτή την στιγµή στο ΧΠΑ τα διαθέσιµα προς παράδοση τρία οµόλογα. Σε άλλα χρηµατιστήρια παραγώγων είναι πολύ περισσότερα, για παράδειγµα στο CBOT υπάρχουν περίπου 30 παραδοτέα οµόλογα για τα αντίστοιχα ΣΜΕ σε οµόλογα. Αυτά ποικίλουν αρκετά, όσον αφορά το τοκοµερίδιο και την λήξη. Η πλευρά µε θέση πωλητή, µπορεί να επιλέξει ποιο από τα διαθέσι- µα οµόλογα θα παραδώσει και συνεπώς θα επιλέξει το οµόλογο που συµφέρει περισσότερο. Ο πωλητής του ΣΜΕ για κάθε 100 ονοµαστικής αξίας του παραδοτέου οµολόγου λαµβάνει : Έσοδα : EDSP PF + AI ενώ το κόστος αγοράς του οµολόγου είναι ακαθάριστη τιµή του: Έξοδα: B = P + AI Όπου P είναι η καθαρή τιµή του οµολόγου. Άρα το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο (cheapest to deliver bond ), είναι αυτό που µεγιστοποιεί την διαφορά: ( EDSP PF + AI ) ( P + AI ) Επειδή οι δεδουλευµένοι τόκοι εµφανίζονται και στους δύο όρους της διαφοράς, είναι τελικά: = max [ EDSP PF P] (6.11) 92

και ισοδύναµα αν διαιρέσουµε και τους δύο όρους της διαφοράς µε PF: P = max EDSP (6.12) PF Και επειδή η EDSP είναι η ίδια για όλα τα οµόλογα στο καλάθι των παραδοτέων οµολόγων, το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο είναι αυτό το οποίο ελαχιστοποιεί τον λόγο P/PF (ώστε να µεγιστοποιείται η διαφορά). Είναι λοιπόν: P = min (6.13) PF Γενικά, το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο καθορίζεται από διάφορους παράγοντες. Ό- ταν οι αποδόσεις υπερβαίνουν την απόδοση αναφοράς (6% για το ΧΠΑ, 8% για το CBOT), υπάρχει η τάση ο τρόπος υπολογισµού του συντελεστή τιµής να ευνοεί την παράδοση οµολόγων µε µικρό τοκοµερίδιο και αποµακρυσµένη λήξη. Όταν οι αποδόσεις υπολείπονται της α- πόδοσης αναφοράς, τότε υπάρχει η τάση να ευνοείται η παράδοση οµολόγων µε µεγάλο τοκοµερίδιο και κοντινή λήξη. Επίσης, όταν η καµπύλη απόδοσης έχει κλίση προς τα επάνω, υ- πάρχει η τάση να ευνοούνται τα οµόλογα µε αποµακρυσµένη λήξη, ενώ όταν η καµπύλη απόδοσης έχει κλίση προς τα κάτω, τότε παραδίνονται οµόλογα µε κοντινή λήξη. Παράδειγµα 6.9 Η πλευρά µε θέση πωλητή σε ΣΜΕ έχει αποφασίσει να πραγµατοποιήσει την παράδοση και προσπαθεί να επιλέξει ανάµεσα στα τρία οµόλογα του Πίνακα 6.11. H EDSP του ΣΜΕ είναι 93,25. Πίνακας 6.11 Παραδοτέα οµόλογα για το παράδειγµα 6.9 Οµόλογο Καθαρή τιµή οµολόγου Συντελεστής τιµής A 99,50 1,038234 B 143,50 1,518837 Γ 119,75 1,261589 Το κόστος παράδοσης κάθε οµολόγου ανά 100 ονοµαστικής αξίας είναι: Οµόλογο A : (94,25 1,038234) 99,50 = -1,646 93

Οµόλογο B : (94,25 1,318837) 123,50 = 0,800 Οµόλογο Γ : (94,25 1,261589) 119,75 = -0,845 Και το συνολικό κόστος παράδοσης για ονοµαστική αξία 100.000: Οµόλογο A : -1,646 1.000 = - 1.646 Οµόλογο B : +0,800 1.000 = + 800 Οµόλογο Γ : -0,845 1.000 = - 845 Άρα ο πωλητής θα επιλέξει να παραδώσει το οµόλογο B. Θα µπορούσαµε να καταλήξουµε στο ίδιο αποτέλεσµα υπολογίζοντας τον λόγο P/PF για κάθε οµόλογο και επιλέγοντας αυτό που τον ελαχιστοποιεί. Οµόλογο A : 99,50 1,038234 = 95,835 Οµόλογο B : 123,50 1,318837 = 93,643 Οµόλογο Γ : 119,75 1,261589 = 94,919 Όπως βλέπουµε το οµόλογο B είναι αυτό που ελαχιστοποιεί τον λόγο P/PF. 6.11 Η θεωρητική τιµή του ΣΜΕ Εάν το ΣΜΕ ήταν γραµµένο επάνω στο φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο () και το συγκεκριµένο οµόλογο δεν πλήρωνε τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ, τότε η θεωρητική καθαρή τιµή του ΣΜΕ θα δινόταν από την σχέση: F = B e r ( T t ) C T (6.14) όπου: F : η θεωρητική καθαρή τιµή του ΣΜΕ που είναι γραµµένο πάνω στο φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο () σε ευρώ ανά 100 ονοµαστικής αξίας του οµολόγου, B : η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου σε ευρώ ανά 100 ονοµαστικής αξίας, C : η αξία του τοκοµεριδίου του οµολόγου σε ευρώ, r : το επιτόκιο δίχως κίνδυνο µε συνεχή ανατοκισµό, T : ο χρόνος σε έτη από την περισσότερο πρόσφατη πληρωµή τοκοµεριδίου από το οµόλογο έως την λήξη του ΣΜΕ (υποθέτουµε ότι ένα έτος διαρκεί 360 ηµέρες), 94

t : ο χρόνος σε έτη από την περισσότερο πρόσφατη πληρωµή τοκοµεριδίου από το οµόλογο έως σήµερα (υποθέτουµε ότι ένα έτος διαρκεί 360 ηµέρες). Η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου είναι: B = P + C t (6.15) όπου P είναι η καθαρή τιµή του και Ct οι δεδουλευµένοι τόκοι από την προηγούµενη πληρωµή τοκοµεριδίου έως σήµερα. Προσέξτε, ότι εδώ το σύµβολο T δεν εκφράζει τον χρόνο από σήµερα έως την λήξη του ΣΜΕ, αλλά τον χρόνο από την περισσότερο πρόσφατη πληρωµή τοκοµεριδίου από το οµόλογο έως την λήξη του ΣΜΕ. Επειδή το σύµβολο t εκφράζει τον χρόνο από την περισσότερο πρόσφατη πληρωµή τοκοµεριδίου από το οµόλογο έως σήµερα, η διαφορά (T t) είναι ο χρόνος που µεσολαβεί από σήµερα έως την λήξη του ΣΜΕ. Σηµειώστε επίσης, ότι για τον υ- πολογισµό των χρονικών διαστηµάτων ακολουθούµε την σύµβαση υπολογισµού 30/360, δηλαδή θεωρούµε ότι µεταξύ δύο διαδοχικών πληρωµών τοκοµεριδίων παρεµβάλλονται 360 ηµέρες. Τέλος, υποθέτουµε ότι τα τοκοµερίδια πληρώνονται µία φορά το έτος. Στην Εικόνα (6.2) δίνεται σχηµατικά η έννοια των συµβόλων T και t στην Εξίσωση (6.14). Θα αποδείξουµε ότι η Εξίσωση (6.14) είναι αληθής χρησιµοποιώντας την µεθοδολογία της «εις άτοπον απαγωγής». ηλαδή, θα αποδείξουµε ότι εάν η καθαρή τιµή του ΣΜΕ είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη του δεξιού µέρους της ισότητας δηµιουργούνται συνθήκες arbitrage. Υποθέστε αρχικά ότι η καθαρή τιµή του ΣΜΕ είναι µεγαλύτερη της θεωρητικής τιµής που δίνεται από την Εξίσωση (6.14), δηλαδή ότι: F > B e r ( T t ) C T Τότε κάποιος επενδυτής θα µπορούσε να πάρει θέση πωλητή στο ΣΜΕ στην τιµή F, να δανεισθεί B ευρώ µε το επιτόκιο δίχως κίνδυνο r έως την λήξη του ΣΜΕ, δηλαδή για χρονικό διάστηµα (T t) και µε τα χρήµατα αυτά να αγοράσει το οµόλογο. Στη λήξη του ΣΜΕ ο επενδυτής παραδίδει το οµόλογο (το οποίο έχει στην κατοχή του αφού το έχει αγοράσει) και εισπράττει την καθαρή προθεσµιακή τιµή F συν τους δεδουλευµένους τόκους του οµολόγου για το χρονικό διάστηµα από την προηγούµενη καταβολή τοκοµεριδίου έως την λήξη του ΣΜΕ, που το συµβολίσαµε ως T. Πληρωµή τοκοµεριδίου Πληρωµή τοκοµεριδίου 95

Σήµερα Λήξη ΣΜΕ t T 360 ηµέρες Εικόνα 6.2 : Συµβολισµοί για τα διάφορα χρονικά διαστήµατα όταν το οµόλογο δεν πληρώνει τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ. ηλαδή, εισπράττει συνολικά (F + C. Τ) ευρώ. Επίσης επιστρέφει τα χρήµατα που έχει δανεισθεί συν τους αναλογούντες τόκους για χρονικό διάστηµα (T t), δηλαδή επιστρέφει B. e r(t t). Επειδή όµως F > B. e r(t t) - C. Τ συνάγεται ότι F + C. Τ > B. e r(t t) και συνεπώς ο επενδυτής έχει ένα καθαρό κέρδος ίσο µε την διαφορά (F + C. Τ ) - B. e r(t t). Το κέρδος αυτό κλειδώνεται την στιγµή που επενδυτής παίρνει τις παραπάνω θέσεις και δεν εξαρτάται από τις µελλοντικές µεταβολές στην τιµή του ΣΜΕ ή του οµολόγου. Ο επενδυτής αποκοµίζει κέρδος δίχως την ανάληψη κινδύνου και συνεπώς έχει κάνει arbitrage. Καθώς ολοένα και περισσότεροι επενδυτές θα παίρνουν τις ίδιες θέσεις (πωλητές στο ΣΜΕ, αγοραστές στο οµόλογο) για να κάνουν και αυτοί arbitrage, η τιµή του ΣΜΕ θα πιέζεται προς τα κάτω ενώ η τιµή του οµολόγου θα αυξάνεται ώσπου τελικά να φθάσουµε στο σηµείο ισορροπίας που δίνεται από την Εξίσωση (6.14). Εάν η τιµή του ΣΜΕ διαµορφωθεί σε επίπεδα χαµηλότερα της θεωρητικής τιµής που δίνεται από την Εξίσωση (6.14), δηλαδή παρατηρηθεί ότι: F < B e r ( T t ) C T τότε µπορεί να γίνει arbitrage µε τον ακόλουθο συνδυασµό θέσεων: θέση αγοραστή στο ΣΜΕ στην τιµή F και πώληση (ανοικτή) του οµολόγου προς B ευρώ, τα οποία επενδύονται µε το επιτόκιο δίχως κίνδυνο r έως την λήξη του ΣΜΕ. Στη λήξη του ΣΜΕ αγορά του οµολόγου και συνεπώς καταβολή της προθεσµιακής καθαρής τιµής F συν των δεδουλευµένων τόκων του οµολόγου για το χρονικό διάστηµα από την προηγούµενη καταβολή τοκοµεριδίου έως την λήξη του ΣΜΕ. ηλαδή, συνολική καταβολή (F + C. Τ) ευρώ. Το οµόλογο που αγοράστηκε χρησιµοποιείται για να κλείσει η θέση της ανοικτής πώλησης. 96

Τα B ευρώ που εισπράχθηκαν από την πώληση του οµολόγου µαζί µε τους αναλογούντες τόκους για χρονικό διάστηµα T, έχουν ανέλθει σε B. e r(t t) ευρώ. Επειδή όµως F < B. e r(t t) - C. Τ συνάγεται ότι B. e r(t t) > F + C. Τ και συνεπώς ο επενδυτής έχει ένα καθαρό κέρδος ίσο µε την διαφορά B. e r(t t) - (F + C. Τ). Καθώς ολοένα και περισσότεροι επενδυτές θα παίρνουν θέση αγοραστή στο ΣΜΕ και θέση πωλητή στο οµόλογο για να κάνουν και αυτοί arbitrage, η τιµή του ΣΜΕ θα αυξάνεται ενώ η τιµή του οµολόγου θα µειώνεται, ώσπου τελικά να φθάσουµε και πάλι στο σηµείο ισορροπίας που δίνεται από την Εξίσωση (6.14). Η θεωρητική καθαρή τιµή του ΣΜΕ που δίνεται από την Εξίσωση (6.14) αφορά το οµόλογο. Το ΣΜΕ όµως έχει ως υποκείµενο τίτλο το συνθετικό 10-ετές οµόλογο Ε.. Η τελική καθαρή τιµή του ΣΜΕ λοιπόν θα πρέπει να προσαρµοστεί διαιρώντας την µε τον συντελεστή τιµής: F F = (6.16) PF Άρα η θεωρητική καθαρή τιµή του ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο Ε.., όταν το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο δεν πληρώνει τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ, είναι: F = B ( T t ) r e PF C T (6.17) Εάν το οµόλογο πληρώνει τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ, τότε η θεωρητική καθαρή τιµή ενός ΣΜΕ που είναι γραµµένο πάνω στο οµόλογο είναι: F = r( T t ) ( B I ) e C ( T tc ) (6.18) όπου: F : η θεωρητική καθαρή τιµή του ΣΜΕ που είναι γραµµένο πάνω στο φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο () σε ευρώ ανά 100 ονοµαστικής αξίας του οµολόγου, B : η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου σε ευρώ ανά 100 ονοµαστικής αξίας, C : η αξία του τοκοµεριδίου του οµολόγου σε ευρώ, r : το επιτόκιο δίχως κίνδυνο µε συνεχή ανατοκισµό, T : ο χρόνος σε έτη από την περισσότερο πρόσφατη πληρωµή τοκοµεριδίου από το οµόλογο έως την λήξη του ΣΜΕ, 97

t : ο χρόνος σε έτη από την περισσότερο πρόσφατη πληρωµή τοκοµεριδίου από το οµόλογο έως σήµερα, t c : ο χρόνος σε έτη από την περισσότερο πρόσφατη πληρωµή τοκοµεριδίου από το οµόλογο έως την επόµενη πληρωµή τοκοµεριδίου πριν από την λήξη του ΣΜΕ, Ι : η παρούσα αξία του τοκοµεριδίου του οµολόγου που πληρώνεται πριν από την λήξη του ΣΜΕ, σε ευρώ. Στην Εικόνα (6.3) δίνεται σχηµατικά η έννοια των συµβόλων T, t και t c στην Εξίσωση (6.19). H παρούσα αξία του τοκοµεριδίου (C ευρώ) που πληρώνεται πριν από την λήξη του ΣΜΕ είναι: I = Ce r( t t c ) (6.19) Παρατηρείστε ότι εάν δεν έχουµε ενδιάµεση πληρωµή τοκοµεριδίου µέχρι την λήξη του ΣΜΕ, τότε θέτοντας I = 0 και t c = 0 στην Εξίσωση (6.18) παίρνουµε την Εξίσωση (6.14). Μπορούµε να αποδείξουµε ότι η ισότητα (6.18) είναι αληθής χρησιµοποιώντας τα ίδια επιχειρήµατα όπως και πριν. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Εάν στην Εξίσωση (6.18) αντικαταστήσουµε την παρούσα αξία του τοκοµεριδίου από την Εξίσωση (6.19) παίρνουµε: F r( tc t ) r( T t ) = ( B Ce ) e C ( T tc ) r( T t ) r( tc t ) r( T t ) = B e C e e C ( T t ) (6.20) = B e r ( T t ) r( T tc ) C e C ( T t ) c c Άρα η θεωρητική καθαρή τιµή του ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο Ε.., όταν το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο πληρώνει τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ, είναι: F = B e r ( T t ) r( T tc ) C e C ( T t ) PF c (6.21) 98

Πληρωµή τοκοµεριδίου Σήµερα Πληρωµή τοκοµεριδίου Λήξη ΣΜΕ Πληρωµή τοκοµεριδίου t t c T 360 ηµέρες Εικόνα 6.3 : Συµβολισµοί για τα διάφορα χρονικά διαστήµατα όταν το οµόλογο πληρώνει τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ. Παράδειγµα 6.10 Υποθέστε ότι το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο έχει καθαρή τιµή 102, τοκοµερίδιο 10% που πληρώνεται µία φορά το έτος και συντελεστή τιµής 1,1916. Από την τελευταία πληρωµή τοκοµεριδίου έως σήµερα µεσολάβησαν 60 ηµέρες. Το ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο λήγει σε 270 ηµέρες και το επιτόκιο δίχως κίνδυνο µε συνεχή ανατοκισµό είναι 6%. Να υπολογισθεί η καθαρή προθεσµιακή τιµή του ΣΜΕ. Το οµόλογο δεν πληρώνει τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ (270+30<360). Γνωρίζουµε ότι P = 102, C = 10, r = 0,06, PF = 1,1916, t = 60/360 έτη και (T t) = 270/360 έτη. Η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου υπολογίζεται από την Εξίσωση (6.15): B 60 = 102 + 10 = 103,67 360 Επειδή το οµόλογο δεν πληρώνει τοκοµερίδιο µέχρι την λήξη του ΣΜΕ, η καθαρή προθεσµιακή τιµή δίνεται από την Εξίσωση (6.17): 99

F 103,67 e = 270 0,06 360 270 + 60 10 360 = 1,1916 99,2750 1,1916 = 83,31 Παράδειγµα 6.11 Υποθέστε ότι το φθηνότερο προς παράδοση οµόλογο έχει καθαρή τιµή 102, τοκοµερίδιο 10% που πληρώνεται µία φορά το έτος και συντελεστή τιµής 1,1916. Η τρέχουσα ηµεροµηνία είναι 1/7/2002, η τελευταία πληρωµή τοκοµεριδίου έγινε στις 1/1/2002 και το ΣΜΕ σε 10-ετές οµόλογο λήγει στις 15/3/2003. Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο µε συνεχή ανατοκισµό είναι 6%. Να υπολογισθεί η καθαρή προθεσµιακή τιµή του ΣΜΕ. Το οµόλογο πληρώνει το επόµενο τοκοµερίδιο στις 1/1/2003 ενώ το ΣΜΕ λήγει στις 15/3/2003. Συνεπώς εφόσον το οµόλογο πληρώνει τοκοµερίδιο πριν από την λήξη του ΣΜΕ θα χρησιµοποιήσουµε την Εξίσωση (6.21). Γνωρίζουµε ότι P = 102, C = 10, r = 0,06, PF = 1,1916, t = (6 30)/360 έτη, Τ = (180+3 80+15)/360 έτη και (T t) = 255/360 έτη. Η ακαθάριστη τιµή του οµολόγου υπολογίζεται από την Εξίσωση (6.15): B 180 = 102 + 10 = 107 360 Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση (6.21) βρίσκουµε την καθαρή προθεσµιακή τιµή του ΣΜΕ: F 107 e = 255 0,06 360 10 e 0,06 1,1916 75 360 10 75 360 = 99,4364 1,1916 = 83,45 100