Φθίνουσες - Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Τι μπορούμε να διδάξουμε στους μαθητές τελικά, εκτός από αυτά που γράφει το σχολικό βιβλίο; Α) Φθίνουσες ταλαντώσεις Μελετάμε την περίπτση όπου η σταθερά απόσβεσης είναι μικρή. Λ = /m < = υ D < m (εκτός ύλης) m F απ F επ Α) Εξίσση κίνησης Αρχικές συνθήκες: t =, x = +d (η αρχική εκτροπή του σώματος από τη θέση ισορροπίας), υ =. ος Νόμος Newton: F F m. a -Dx - υ = m.a επ απ Η λύση της εξίσσης αυτής της (διαφορικής) εξίσσης είναι x = d e -Λt ημ(t + φ) () όπου εφφ =, ημφ =, Λ = /m και = Λ (εκτός ύλης) Λ Τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, η () δίνει x = d e -ΛkT ημφ x = d e -ΛkT. x = d.e -ΛkT δηλαδή η () μας δίνει τις μέγιστες διαδοχικές απομακρύνσεις προς την ίδια κατεύθυνση. Αυτή την ποσότητα το σχολικό βιβλίο θερεί ς πλάτος και γράφει Α = Α e -Λt Οι συναρτήσεις x = Α e -Λt και x = -Α e -Λt εφάπτονται στη γραφική παράσταση της () είναι δηλαδή περιβάλλουσες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Υλικό σημείο μάζας m=kg κινείται στον άξονα x κάτ από την επίδραση δύο δυνάμεν, της F= - 36x (S.Ι.) και της F = - υ (S.Ι.) όπου υ η ταχύτητα του υλικού σημείου.
Τη χρονική στιγμή t=s η απόσταση του κινητού από τη θέση x = είναι d =,4m και η ταχύτητά του είναι μηδέν. Να μελετηθεί η κίνηση του υλικού σημείου. Απάντηση: Η λύση της διαφορικής εξίσσης δίνει: Προσέξτε: Το Α δεν είναι το αρχικό πλάτος d =,4m και η αρχική φάση δεν είναι π/ (όπς συχνά υπονοείται κατά αντιστοιχία με την αμείτη!!!), αλλά π/4. Μια προσεκτική γραφική παράσταση δίνει Αν η απόσβεση είναι πολύ πολύ μικρή << m οι προσεγγίσεις δίνουν, Α d, φ = π/ rad και η εξίσση κίνησης γίνεται x = de -Λt.ημ(t+π/) όπου τώρα έχει την μορφή του σχολικού βιβλίου και παρακάτ βλέπουμε τη «σχολική» γραφική παράσταση:
x x = Α e -Λt t x = -Α e -Λt Το πηλίκο δύο διαδοχικών μέγιστν απομακρύνσεν προς την ίδια κατεύθυνση, τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, είναι σταθερό και ισούται με Α) Ταχύτητα k ΛT... e k (με απόδειξη) Η ταχύτητα γίνεται τοπικά μέγιστη ανά περίοδο φορές όταν dυ α ή ΣF = -Dx - υ = x = - υ Άρα οι θέσεις ισορροπίας, δηλαδή οι θέσεις όπου ΣF και το κινητό περνάει με μέγιστη ταχύτητα κινούμενο προς τη θέση x = είναι ΔΥΟ σε κάθε περίοδο κίνησης και συνολικά ΑΠΕΙΡΕΣ οι οποίες σιγά-σιγά προσεγγίζουν τη x = με την οποία ταυτίζονται μετά από άπειρο χρόνο. Στη φθίνουσα ταλάντση η κάθε θέση ισορροπίας είναι μοναδική με την έννοια ότι όσες φορές και να βρεθεί το σώμα σε αυτή τη θέση μια και μόνο μία φορά θα είναι θέση ισορροπίας!!! Το x = δεν είναι ποτέ θέση ισορροπίας, απλά στη θέση αυτή το σώμα θα ηρεμήσει όταν τελειώσει την κίνησή του. Α3) Ενέργεια Όταν η κινητική ενέργεια γίνεται μέγιστη K = ½ mυ αυτή είναι μικρότερη της E ολ αφού όταν υ = υ x = -, δηλαδή θα έχει και δυναμική ενέργεια ταλάντσης υ U = ½ kx, με άλλα λόγια η δυναμική ενέργεια δεν είναι μηδέν! Στις ακραίες θέσεις όπου υ = και η κινητική ενέργεια είναι μηδέν, η δυναμική ενέργεια είναι μέγιστη U = E ολ = ½ D e -ΛkT
Δηλαδή η σχέση αυτή ισχύει μόνο τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, Για κάθε άλλη στιγμή t kt E ολ = ½ mυ + ½ kx η οποία συνεχώς ελαττώνεται και είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση του χρόνου, όπς φαίνεται από την παρακάτ (εκτός ύλης) εξίσση E D Λt Λ e συν(t φ - θ) με <θ<π/ και εφθ=/λ Προφανώς η ολική ενέργεια δεν είναι φθίνουσα εκθετική συνάρτηση του χρόνου, όπς υπονοείται στο σχολικό βιβλίο! ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύουν οι σχέσεις ½ mυ + ½ kx = Κ = U και υ = Α x, που ισχύουν σε α.α.τ. Το πηλίκο δύο διαδοχικών μέγιστν δυναμικών ενεργειών (ή ολικών ενεργειών) ανά περίοδο δηλαδή τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, είναι σταθερό και ισούται με E E k ΛT... e E E (με απόδειξη) E E k Α4) Ρυθμοί μεταβολής dk α) = ΣF.υ = mα.υ ΠΡΟΣΟΧΗ δεν ισχύει α = -.x, ούτε βέβαια ΣF = -Dx. du β) = Dx.υ γ) de ολ = dwf απ = -υ.υ = -υ
Β) Εξαναγκασμένες Μηχανικές ταλαντώσεις υ F δ F απ F επ ος Νόμος Newton: F F F m. a F συν δ t -Dx - υ = m.a διεγ επ απ και Η λύση της εξίσσης αυτής είναι x = ημ( δ t - θ) () με, m F δ δ m εφθ δηλαδή είναι μια αρμονική ταλάντση με φάση και πλάτος που εξαρτώνται από τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης. Η μέγιστη τιμή του πλάτους είναι mf 4m δ D δ και αυτό E.Y. συμβαίνει όταν m (συντονισμός πλάτους) Δηλαδή αν το πλάτος μεγιστοποιείται για δ = <. Αν ή m το πλάτος μεγιστοποιείται για δ =.
Όταν συμβαίνει συντονισμός πλάτους η U είναι η μέγιστη δυνατή. Η μέγιστη τιμή της ταχύτητας είναι υ δ E.Y. m F δ δ και μεγιστοποιείται όταν δ = (συντονισμός ενέργειας) Όταν συμβαίνει συντονισμός ενέργειας: α) η Κ είναι η μέγιστη δυνατή. β) εφθ = θ = και η ταχύτητα παίρνει τη μορφή υ = Α συν( t) και είναι συμφασική με τη διεγείρουσα δύναμη F = F συν t γ) Ο μέσος ρυθμός μεταφοράς ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι μέγιστος. δ) Μόνο σε αυτή την κατάσταση ο στιγμιαίος ρυθμός παροχής ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι ίσος με το στιγμιαίο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσ τν τριβών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α) Σε κάθε θέση -Dx + F απ + F δ = mα, όμς D = m και α = - x, οπότε -Dx + F απ + F δ = m(- x) -m x + F απ + F δ = m(- x) F απ + F δ = m( - )x Για δ σε κάθε θέση x ισχύει F απ + F δ F δ -F απ F δ υ -F απ υ P δ -P απ Για δ στη θέση x = ισχύει F απ + F δ = F δ = -F απ F δ υ = -F απ υ P δ = -P απ Επομένς: Για δ, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, ο διεγέρτης άλλοτε προσφέρει ενέργεια στον ταλανττή ( F υ ) και άλλοτε απορροφά ενέργεια από τον ταλανττή ( F υ ) και ο στιγμιαίος ρυθμός παροχής ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι διαφορετικός από το στιγμιαίο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσ τν τριβών, εκτός της στιγμής που διέρχεται από τη θέση χ =, όπου P δ = -P απ Αυτό έχει ς συνέπεια η συνολική ενέργεια της ταλάντσης να μην παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της ταλάντσης. Δεν ισχύει η ΑΔΕΤ όπς στις α.α.τ. Επειδή η κίνηση είναι αρμονική ισχύει x = ημ( δ t - θ) υ = Α δ συν( δ t - θ) από τις οποίες μπορούμε να αποδείξουμε την υ = Α x
Για δ = σε κάθε θέση x ισχύει F απ + F δ = F δ = -F απ F δ υ = -F απ υ P δ = -P απ β) Η μέγιστη κινητική ενέργεια δεν ταυτίζεται με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια. K U mδα mα δ Μάλιστα αν δ < Κ < U ενώ αν δ > Κ > U Οι δυο αυτές ενέργειες ταυτίζονται μόνο όταν δ = γ) Σε κάθε περίπτση εξαναγκασμένης ταλάντσης το πλάτος στη μόνιμη κατάσταση παραμένει σταθερό. Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος ρυθμός μεταφοράς ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι ίσος με το μέσο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσ τν τριβών. δ) Ρυθμοί μεταβολής dk i) = ΣF.υ = mα.υ = -m x.υ du ii) = Dx.υ = m x.υ iii) de ολ = dwf απ = -υ.υ = -υ Σε κάθε θέση -Dx + F απ + F δ = mα -Dxυ + F απ υ+ F δ υ = mαυ dk du mαυ + Dxυ = (F δ + F απ )υ + = (Fδ + F απ )υ dk du Αν δ - dk du Αν δ = = ε) (εκτός ύλης;) Στο συντονισμό του εξαναγκασμένου ταλανττή χρίς απόσβεση, δεν έχουμε ποτέ ΕΝΑ πλάτος άπειρο όπς δείχνει η καμπύλη, αλλά μια ταλάντση στην οποία οι μέγιστες απομακρύνσεις από το ελκτικό κέντρο αυξάνονται συνεχώς μέχρι απειρισμού τους. (Βοηθητικά τρέξτε την προσομοίση http://www.seilias.gr/images/stories/myvideos/sintonismos.swf και παρατηρείστε την απομάκρυνση από τη Θ.Ι.) Ανδρέας Ριζόπουλος