Διάλεξη 2 - Σημειώσεις

Διάλεξη 2 - Σημειώσεις Συναρτήσεις 1. Συνάρτηση: μία συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αναθέτει σε κάθε στοιχείο του συνόλου ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου. Το σύνολο καλείται πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή σύνολο ορισμού της συνάρτησης. 2. Ο συμβολισμός ( ) διαβάζεται ως «του» ή«στο» και καλείται (a) η τιμή της στο, (b) ή η εικόνα του υπό την 3. Το πεδίο τιμών της είναι το υπερσύνολο όλων των πιθανών τιμών της ( ) καθώς μεταβάλλουμε το στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ήπεριγραφικά ( ) ={ ( ) } όπου ( ) ηεικόνατης. 4. Το σύμβολο που αναπαριστά μία αυθαίρετη τιμή στο πεδίο ορισμού της καλείται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ το σύμβολο που αναπαριστά μία τιμή στο πεδίο τιμών της καλείται εξαρτημένη μεταβλητή. (a) Για παράδειγμα στη συνάρτηση ( ) = 2,η είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ αν γράψουμε τη συνάρτηση ως εξίσωση = 2 τότε η είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. Άλλα σύμβολα όπως κλπ θα αναπαριστούν συνήθως σταθερές, π.χ. ( ) = 2 5. Επίσης, μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών το γράφεται και ως : με = ( ) ή ( ) και ονομάζεται μετασχηματισμός ή απεικόνιση του στο. Για παράδειγμα :[0 + ) R με = ή :[0 + ) R με 6. Γραφικό παράδειγμα. Έστω το πεδίο ορισμού = { } και το πεδίο τιμών = {1 2 3 4 5}. Ποιό από τα παρακάτω βελοδιαγράμματα 1

παριστάνει συνάρτηση; (a) Το σχήμα (α) παριστάνει συνάρτηση, αφού κάθε στοιχείο του αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του (b) Το σχήμα (β) δεν παριστάνει συνάρτηση, αφού το αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του (c) Το σχήμα (γ) δεν παριστάνει συνάρτηση, αφού το δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του (d) Το σχήμα (δ) δεν παριστάνει συνάρτηση. Πρώτον διότι το δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του και δεύτερον διότι το αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του. 7. Στο μάθημά μας (και γενικότερα στην μαθηματική Οικονομική) θα αντιμετωπίσουμε συναρτήσεις όπου τα και είναι υποσύνολα του R του συνόλου δηλαδή των πραγματικών αριθμών R στο R (a) Για παράδειγμα, η συνάρτηση : R R με τύπο ( ) = (b) Για παράδειγμα, η συνάρτηση : R + R με τύπο ( ) = η οποία σε κάθε μη-αρνητικό πραγματικό αριθμό αντιστοιχεί τον αντίθετό του 8. Πραγματικές συναρτήσεις. R στο R. Το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι υποσύνολο του R. Για παράδειγμα η απλή γραμμική συνάρτηση = 2

9. Όταν δεν δίνονται τα σύνολα R, R αλλά μόνο η σχέση = ( ) που συνδέει τα και τότε θα εννοού ε ότι,ωςπεδίοορισ ού, πρέπει να θεωρηθεί το εγαλύτεροδυνατόυποσύνολοτωνπραγ ατικών αριθ ών για το οποίο η σχέση που συνδέει τα και ορίζεται. Για παράδειγμα = χωρίς άλλη πληροφόρηση υποννοεί 1 ( 1) 2 : R\{1} R ++ 10. Διανυσματικές (πραγματικές) συναρτήσεις. π.χ. R και R. Το πεδίο ορισμού είναι υποσύνολο του R και το πεδίο τιμών είναι υποσύνολο του R 1 µ µ 1 11 = 2 21 Γενικότερα R και R π.χ. µ µ 1 11 = 1 + 12 2 + 13 3 2 21 1 + 22 2 + 23 3 με =3και =2 11. Γράφημα Γ συνάρτησης :. Το γράφημα μίας συνάρτησης ορίζεται ως ένα υποσύνολο του Καρτεσιανού γινομένου και δίνεται περιγραφικά από το σύνολο Γ = {( ) : = ( )} Δηλαδή γράφημα είναιτοσύνολοόλωντωνζευγών( ( )) με. (a) Παράδειγμα. Γραμμική συνάρτηση με θετική κλίση = με R (κόκκινη γραμμή) και γραμμική συνάρτηση με αρνητική κλίση = με R (μπλέ γραμμή) 3

y 4 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-2 x -4 Η = καλείται και γραμμή των 45 [3 ]. (b) Παράδειγμα. = με R + (κόκκινη γραμμή) και =1+ με R (μπλέ γραμμή) y 6 4 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-2 x -4 12. Συνάρτηση επί (επίρριψη)(onto ή surjective). Μία συνάρτηση : είναι επί, όταν και μόνο όταν ( ) =. Δηλαδή για κάθε υπάρχει τουλάχιστον ένα έτσι ώστε = ( ). Ηεικόνατης συνάρτησης είναι και το πεδίο τιμών της. Παράδειγμα: ησυνάρτηση : R R, 2 με εικόνα το (R) =R + δεν είναι επί. Η συνάρτηση : R R +, 2 είναι επί. 4

13. Συνάρτηση 1-1 ή ένα-προς-ένα (ένριψη) (one-to-one ή injective). Μία συνάρτηση : καλείται 1-1 όταν και μόνο όταν 1 2, 1 = 2 ( 1 )= ( 2 ) Δηλαδή δεν υπάρχουν στοιχεία στο πεδίο ορισμού με την ίδια εικόνα. Δύο οποιαδήποτε στοιχεία 1 2 του πεδίου ορισμού δενέχουντηνίδια εικόνα. Παράδειγμα: οι συναρτήσεις και : R R, 2 : R R +, 2 δεν είναι 1-1 αφού π.χ. (2) = ( 2) = 4. Ησυνάρτηση : R + R, 2 είναι 1-1 αλλά δεν είναι επί αφού η εικόνα δεν είναι ίση με το πεδίο τιμών. Η εικόνα (R + ) είναι το R + ενώ, όπως το έχουμε ορίσει, το πεδίο τιμών είναι το R. 14. Μία συνάρτηση : καλείται αμφίεση (bijective) όταν και μόνο όταν η είναι επί και 1-1. Παράδειγμα: η συνάρτηση είναι μία αμφίεση : R + R +, 2 15. Αντίστροφη συνάρτηση. Έστω ότι είναι επί και ένα-προς-ένα (αμφίεση) με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών. Ησυνάρτηση 1 :, ( ) καλείται αντίστροφη συνάρτηση και ικανοποιεί τις ιδιότητες 1 ( ( )) = για κάθε στο 1 ( ) = για κάθε στο Αν η δεν είναι αμφίεση τότε η αντίστροφη 1 μπορεί να είναι μία σχέση όχι όμως συνάρτηση. Για παράδειγμα, γενικά η = 2 δίνει αντίστροφη = ± ενώ η : R + R +, 2 δίνει = 5

16. Σταθερή συνάρτηση. ( ) = για παράδειγμα σχεδιάστε στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις = 1 =1 =2 (οριζόντιες γραμμές). Παρομοίως έστω ότι =1ή =2ή γενικότερα = R (σχεδιάζονται στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ως κάθετες γραμμές) 17. Γραμμική συνάρτηση. ( ) = +. Παράδειγμα: =2+ (κόκκινη γραμμή) y 12 10 8 6 4 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-2 x -4-6 -8 Η κλίση της γραμμικής = + δίνεταιμεβάσηδύοκαιμόνοσημεία ( 1 1 ) και ( 2 2 ) με τετμημένη και τεταγμένη, καιείναιίσημε = 2 1 2 1 = Το σημείο τομής με τον κάθετο άξονα των (τεταγμένη της ευθείας) ή σταθερός όρος, δίνεται από Επίσης = 1 1 ή = 2 2 = (0) Παραδείγματα στον πίνακα θετικής και αρνητικής κλίσης και παράδειγμα με tan ή =1 =45 tan = 1 = 135 6

y 4 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-2 x -4 18. Άρτιες και περιττές συναρτήσεις: Όταν ( ) = ( ) ησυνάρτηση λέγεται άρτια και όταν ( ) = ( ) η συνάρτηση λέγεται περιττή. (a) Παράδειγμα: Η συνάρτηση ( ) = είναι άρτια ή περιττή ανάλογα με το αν το είναιάρτιοςήπεριττόςακέραιος. 19. Σύνθεση συναρτήσεων. Έστω : και : με R, τότε μπορεί να οριστεί μία συνάρτηση ( ( )) = από το στο με εφαρμογή αρχικά της («πρώτη συνάρτηση») και μετά της («δεύτερη συνάρτηση») στην. (a) Παράδειγμα: Έστω ότι ( ) = + και ( ) = + τότε ( ( )) = ( )( ) = + ( + ) = ( + )+( ) = 1 + 2 20. Αντίστοιχα ορίζεται η = ( ( )),η = ( ( )) κ.ο.κ. 21. Γενικά, 6= (a) Για παράδειγμα, ( ) = 2 ( ) = +1δίνει = 2 +1 =( +1) 2 = 2 +2 +1 22. Μονοτονία συνάρτησης: : R R 7

(a) αύξουσα ή μη-φθίνουσα, 1 2 1 2 ( 1 ) ( 2 ) (b) αυστηρώς (ή γνησίως) αύξουσα, 1 2 1 2 ( 1 ) ( 2 ) (c) φθίνουσα ή μη-αύξουσα, 1 2 1 2 ( 1 ) ( 2 ) (d) αυστηρώς (ή γνησίως) φθίνουσα, 1 2 1 2 ( 1 ) ( 2 ) (e) Μία συνάρτηση ονομάζεται μονότονη αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της (f) Αν η είναι αυστηρώς αύξουσα (φθίνουσα) τότε η 1 υπάρχει και είναι αυστηρώς αύξουσα (φθίνουσα) 23. Πολυωνυμικές συναρτήσεις. Έστω : R R μία συνάρτηση. Έστω ότι N {0}. Η ( ) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού αν και μόνο αν υπάρχουν 0 R με 6=0τέτοια ώστε P ( ) = =0, ήαναλυτικά ( ) = + 1 1 + + 2 2 + 1 + 0 (a) Παράδειγμα: σταθερή συνάρτηση, =0 ( ) = 0 (b) Παράδειγμα: γραμμική συνάρτηση, =1 ( ) = 0 + 1 (c) Παράδειγμα: τετραγωνική συνάρτηση, =2 ( ) = 0 + 1 + 2 2 (d) Παράδειγμα με γράφημα: = 2 (μαύρη καμπύλη), = 2 +2 (μπλέ καμπύλη), = 2 3 +4(κόκκινη καμπύλη) 8

y 40 30 20 10-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 (e) Ρίζες τετραγωνικής (δευτεροβάθμιας) εξίσωσης. Θέτουμε ( ) =0 όπου ( ) = 2 + + και λύνουμε ως προς τα που ικανοποιούν τηνεξίσωση. Αντα 1 και 2 είναι δύο ρίζες της ( ) = 2 + + τότε μπορούμε να γράψουμε ( ) = 2 + + =( 1 )( 2 ) x Περιπτώσεις: (α) όταν = 2 4 0 τότε υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες 1 2 = ± 2 = 2 ± 2 = p 2 2 ± 4 2 (β) όταν = 2 4 =0τότε υπάρχει μία πραγματική ρίζα 1 2 = 2 (γ) όταν = 2 4 0 τότε δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες... υπάρχουν όμως μιγαδικές. Έτσι 1 2 = ± = 2 2 ± = 2 2 ± p 4 2 2 Παράδειγμα στον πίνακα και γράφημα... 9

24. Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση. Η εκθετική συνάρτηση λαμβάνει τη μορφή = : R R με το R να καλείται βάση. Συνήθως, η βάση είναι το 10 ήτο. Ανθέσουμετηβάσηίσημε =2 71828 τότε ορίζεται μία εκθετική συνάρτηση την οποία θα συναντήσουμε συχνά (εκθετικό του ) = : R R ++ Η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης = είναι η λογαριθμική συνάρτηση log = Αν βάση είναι το τότε γράφουμε ln αντί log. Γενικά, η συνάρτηση =log : R ++ R καλείται λογαριθμική συνάρτηση ενώ η = ln καλείται φυσικός ή νεπέρειος λογάριθμος. Όταν η βάση είναι το 10 τότε συνήθως γράφουμε απλώς log αντί log 10. (a) Ιδιότητες και άλγεβρα λογαρίθμων ³ ln ( ( ) )= ln ( ) = ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ( ) ( )) = ln ( )+ln ( ) ln =1 ln1=0 ln ( ) = ( ) log =1 log 1=0 log ( ) = ( ) log = log log (b) Γραφήματα στον πίνακα... Κατασκευή γραφημάτων στο Excel =ln (μαύρη καμπύλη), =log 5 (πράσινη καμπύλη), = log 10 (κόκκινη καμπύλη), =log 0 5 (μπλέ καμπύλη) 10

y 1 0 1 2 3 4 5 x -1-2 Συνέχεια 1. Συνέχεια (σημειακή). Μία συνάρτηση : με R είναι συνεχής στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της αν και μόνο αν για κάθε 0 υπάρχει 0 με 0 τέτοιο ώστε ( ) ( 0 ) Τεχνικός ορισμός. Εξεζητημένες αποδείξεις συνέχειας. Ακόμα πιο επίσημος ορισμός R ++, R ++ : ( ) ( 0 ), 0 ή αν θέλετε με χρήση της έννοιας της γειτνίασης R ++, R ++ : ( ) ( ( 0 )), ( 0 ) Ησυνάρτηση ( ) είναι συνεχής στο αν και μόνο αν είναι συνεχής σε κάθε 0. Σεαυτήτηπερίπτωσηλέμεότιη ( ) είναι συνεχής. (a) Παράδειγμα. Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) :R R με ( ) = + 11

είναι συνεχής στο σημείο 0 =2.Έχουμεότι ( ) ( 0 ) + 2 ( 2) 2 Άρα ο ορισμός ικανοποιείται αν θέσουμε = το οποίο όντως είναι θετικό 0 αφού 0. Παρομοίως, η σημειακή συνέχεια ισχύει για κάθε σημείο 0 τουπεδίουορισμούr, άραη ( ) = + είναι συνεχής στο R. (b) Παράδειγμα. Δείξτε ότι η συνάρτηση ½ 1, 0 ( ) = 2, 0 δεν είναι συνεχής στο 0 =0.Έχουμεότι και ( ) ( 0 ) ( ) 1 0 Δηλαδή πρέπει ( ) (1 1+ ) για κάθε ( ). Όμως, για παράδειγμα, αν το βρίσκεται μεταξύ του 0 και του τότε πρέπει η ( ) = 2 να βρίσκεται στο διάστημα (1 1+ ) δηλαδή ( ) = 2 (1 1+ ) κάτι το οποίο δεν ικανοποιείται για κάθε 0 παρά μόνο για 1. 12