ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε το ορισµό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθµώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εµφαίζοται στη θεωρία τω γραµµικώ συστηµάτω, στη θεωρία τω γραµµικώ απεικοίσεω και σήµερα πλέο χρησιµοποιούται σε όλους τους κλάδους τω µαθηµατικώ Θα ορίσουµε τις πράξεις µεταξύ τω πιάκω και θα µελετήσουµε τις ιδιότητές τους Οι πίακες που θα θεωρήσουµε στη συέχεια έχου στοιχεία πραγµατικούς ή µιγαδικούς αριθµούς Ότα ααφερόµαστε στο σώµα Κ, εοούµε ότι Κ= ή Κ= Βασικοί ορισµοί Ορισµός Μία ορθογώια παράταξη µ στοιχείω από το σώµα Κ σε µ οριζότιες σειρές, που λέγοται γραµµές, και σε κατακόρυφες σειρές, που λέγοται στήλες, της µορφής α α α α α α αµ αµ αµ λέγεται πίακας τύπου µ Συήθως συµβολίζεται µε έα από τα κεφαλαία γράµµατα ή µε το γεικό στοιχείο α σε παρέθεση, δηλαδή γράφουµε Α= ( α ) ή ( α ) µ Α=, α ο τύπος του πίακα είαι γωστός Οι αριθµοί α λέγοται στοιχεία του πίακα Α και οι δείκτες δηλώου τη γραµµή και τη στήλη, ατίστοιχα, που αήκει το στοιχείο α Για παράδειγµα, οι πίακες 3 Α=, Β= 0 5 4 5 είαι τύπου 3 και, ατίστοιχα, και έχουµε i και j
8 Κεφάλαιο Πίακες α =, α =, α3 = 5, β = 4, β = 5, κλπ Ότα είαι µ =, τότε ο πίακας λέγεται τετραγωικός Έας πίακας τύπου (ατ, µ ) λέγεται πίακας-γραµµή (ατ, πίακας - στήλη) Το σύολο όλω τω πιάκω τύπου µ µε στοιχεία από το σώµα Κ συµ- βολίζεται µε Μµ ( Κ ) ή Μ µ τω τετραγωικώ πιάκω συµβολίζεται µε ( ), α το σώµα Κ θεωρείται γωστό Το σύολο Μ Μ Κ ή απλά Τα στοιχεία α, α,, α ορίζου τη κύρια διαγώιο του τετραγωικού πίακα Α= ( α ) Ο τετραγωικός πίακας Α= ( α ) λέγεται τριγωικός άω, α όλα τα στοιχεία του που βρίσκοται κάτω από τη κύρια διαγώιο είαι 0, δηλαδή είαι 0, για i > j Οµοίως ο πίακας Α= α λέγεται α = ( ) τριγωικός κάτω, α όλα τα στοιχεία του που βρίσκοται πάω από τη κύρια διαγώιο είαι 0, δηλαδή ισχύει ότι α = 0, για i < j Η σχέση της ισότητας στο σύολο ( ) ( β ) Β=, ορίζεται ως εξής: µ Μ µ Κ, α είαι ( α ) µ Α=Β α = β, για κάθε i =,,, µ, j =,,, Α= και Πράξεις στο σύολο τω µ πιάκω Η πρόσθεση πιάκω Ορισµός Στο σύολο Μ µ τω µ πιάκω µε στοιχεία στο σώµα Κ= ή η πρόσθεση είαι µία εσωτερική πράξη, που ορίζεται ως εξής: ( a b ) + : Μ µ Μµ Μµ,( Α, Β) Α+Β : = +, όπου Α= ( a ) και Β= ( b ) Ο πίακας Α +Β λέγεται άθροισµα τω πιάκω Α, Β και κάθε του στοιχείο προκύπτει ως άθροισµα τω ατίστοιχω στοιχείω τω πιάκω Α και Β Για παράδειγµα, α είαι 0 Α= 3 3, Β= 3 4 5 3, τότε Α+Β= 4 4 3 4 0
Οι πράξεις στο σύολο τω µ πιάκω 9 Θεώρηµα Η πράξη της πρόσθεσης ικαοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) Α+Β=Β+Α, για κάθε ΑΒ Μ, µ (ατιµεταθετική ιδιότητα) (ii) ( Α+Β ) +Γ=Α+ ( Β+Γ), για κάθε ΑΒΓ Μ,, µ (προσεταιριστική ιδιότητα) (iii) Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο για τη πρόσθεση και είαι ο µηδεικός πίακας Ο= (0) µ, που όλα τα στοιχεία του είαι 0 Ισχύει ότι Α +Ο=Ο+Α=Α, για κάθε Α Μ µ (iv) Για κάθε πίακα ( a υπάρχει ο ατίθετος πίακας που είαι τέτοιος ώστε Α+ ( Α ) = ( Α ) +Α=Ο Έτσι, το σύολο Απόδειξη Α= ) Α = ( a ) Μ µ γίεται αβελιαή προσθετική οµάδα Α= Β=, (i) Σύµφωα µε το ορισµό της πρόσθεσης, α είαι ( a ), ( b ) (ii) Α έχουµε (iii) Α (iv) Α Α+Β= ( a + b ) = ( b a + ) =Β+Α Α= ( a ), Β= ( b ) και Γ= ( c ) είαι µ ( ) (( a b ) c ) ( a ( b c )) ( Α= ( a ) τότε: Ο+ Α=Α+Ο= ( a + 0) = ( a ) =Α Α= ) τότε: ( ) ( ) (( a ) a ) ( 0) πίακες, τότε Α+Β +Γ= + + = + + =Α+ Β+Γ) ( a Α+ Α = Α +Α= + = =Ο Η πράξη της αφαίρεσης στο σύολο Μ µ ορίζεται µέσω της πρόσθεσης από τη ισότητα Α Β : =Α+ ( Β) Από το ορισµό και τις ιδιότητες της πρόσθεσης εύκολα προκύπτει ότι το άθροισµα τριώ ή περισσότερω πιάκω του ιδίου τύπου είαι το ίδιο µε οποιαδήποτε σειρά και α εκτελεστού οι επιµέρους προσθέσεις Για παράδειγµα, ισχύει Α+Β+Γ+ = ( Α+Β ) + ( Γ+ ) = [( Α+Β ) +Γ ] + = + [ Β+ ( Γ+Α)] Η εξίσωση πιάκω Α+Χ=Β έχει µοαδική λύση Χ =Β Α, αφού Α+Χ=Β Α+ ( Α+Χ ) = ( Α ) +Β [( Α ) +Α ] +Χ =Β+ ( Α) Ο+Χ=Β Α Χ=Β Α
0 Κεφάλαιο Πίακες Ο πολλαπλασιασµός αριθµού µε πίακα Ορισµός Στο σύολο Κ= ή Μ µ τω µ πιάκω µε στοιχεία στο σώµα ο πολλαπλασιασµός αριθµού µε πίακα είαι µία εξωτε- ρική πράξη µε συτελεστές στο σώµα Κ, που, α Α= ( a ) και λ Κ, ορίζεται ως εξής: λ Α= ( λa ) Συήθως γράφουµε λα, ατί του τυπικού συµβόλου λ Α Για παράδειγµα, α είαι Θεώρηµα Για κάθε, 0 Α= 3 3, τότε 4 0 8 4 Α= 4 Α = a, Β= b Μµ( Κ λ µ Κ και ( ) ( ) ) ισχύου: (i) λ ( Α+Β ) = λ Α+ λ Β, (ii) ( λ + µ ) Α= λ Α+ µ Α, (iii) λ ( µ Α ) = ( λµ ) Α, (iv) Α=Α, όπου είαι η µοάδα τω πραγµατικώ αριθµώ Απόδειξη (i) ( ) ( ( a b )) ( a b ) ( a ) ( b ) (ii) ( ) (( ) a ) ( a a ) ( a ) ( a ) (iii) λ ( µ Α ) = λ ( µ a ) ( ( ) ) ( ( ) ) = λ µ a = λµ a = ( λµ ) Α Α= ( a ) = ( a ) =Α λ Α+Β = λ + = λ + λ = λ + λ = λ Α+ λ Β λ + µ Α = λ + µ = λ + µ = λ + µ = λ Α+ µ Α (iv) Παρατήρηση Το σύολο Μ ( Κ) µ εφοδιασµέο µε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού αριθµού µε πίακα, όπως θα µάθουµε στο κεφάλαιο 8, αποκτά τη δοµή διαυσµατικού χώρου πάω στο σώµα Κ Πολλαπλασιασµός πιάκω Η πράξη του πολλαπλασιασµού πιάκω δε είαι εσωτερική πράξη στο σύολο Μ ( Κ), είαι όµως εσωτερική πράξη στο σύολο Μ ( Κ ) Η αφετη- µ ρία του ορισµού του πολλαπλασιασµού πιάκω είαι η θεωρία τω γραµ-
Οι πράξεις στο σύολο τω µ πιάκω µικώ απεικοίσεω που θα µελετήσουµε στο κεφάλαιο 9 Θα δούµε ότι σε κάθε γραµµική απεικόιση ατιστοιχίζεται έας πίακας και ατιστρόφως Επιπλέο, α οι πίακες Α και Β είαι ατίστοιχοι τω γραµµικώ απεικοίσεω f και g, τότε ο πίακας που ορίζουµε ως γιόµεο ΑΒ είαι ο ατίστοιχος της απεικόισης f g Έτσι οδηγούµεθα στο ακόλουθο ορισµό: Ορισµός 3 Α Α= ( a ) Μµ ( Κ), Β= ( b ) Μ ρ( Κ ), το γιόµεο Α Β ή απλά ΑΒ είαι έας πίακας τύπου µ ρ µε γεικό στοιχείο ibj ai b j i j ik kj k = που προκύπτει από το πολλαπλασιασµό τω στοιχείω της i- γραµµής του πίακα Α µε τα ατίστοιχα στοιχεία της j στήλης του πίακα Β και άθροιση τω γιοµέω που προκύπτου 3 0 Για παράδειγµα, α Α= 4, Β= 9, τότε ΑΒ = 5 0 5 6, εώ ορίζεται και ο πίακας + ( 3) 0+ ( 3) + ( 3) 4 4 3 8 ΒΑ = + 0 + + 4 = 5 0 5 + 6 50 + 6 5 + 6 4 7 6 34 Παρατηρήσεις Το γιόµεο ΑΒ ορίζεται µόο ότα ο αριθµός τω στηλώ του πίακα Α ισούται µε το αριθµό τω γραµµώ του πίακα Β Σχηµατικά έχουµε Α Β ΑΒ, µ ρ µ ρ εώ για τους παραπάω πίακες το γιόµεο ΒΑ ορίζεται, µόο ότα µ = ρ και ε γέει έχουµε ΑΒ ΒΑ Θεώρηµα 3 Α οι πίακες Α, ΒΓ, είαι κατάλληλου τύπου, ώστε α ορίζοται οι πράξεις που εµφαίζοται, τότε ισχύου: (i) ( ΑΒ ) Γ = Α(ΒΓ) (προσεταιριστική ιδιότητα) ii) ΑΒ ( +Γ) =ΑΒ+ΑΓ ( Β+ Γ) Α=ΒΑ+ΓΑ (iii) ΑΒ = Ο Α =Οή Β= Ο c a a b a b = + + + =,, (επιµεριστικές ιδιότητες)
Κεφάλαιο Πίακες Απόδειξη (i) Α είαι Α= ( a ), Β= ( b ), Γ= ( c ) µ ρ ρ τ a το γεικό στοιχείο του πίακα ως = Α κλπ, τότε έχουµε Α ( ), και γράψουµε ρ ρ ρ ( ΑΒ) Γ = ( ΑΒ) ik c kj = a i σbσ k c kj = a i σ bσ k c kj k= k= σ= σ= k= = a i σ( ΒΓ) σ j = Α( ΒΓ ) σ = (ii) Α είαι Α= ( a ), Β= ( b ), Γ= ( c ) µ ρ ρ, τότε έχουµε ΑΒ+Γ ( ) = a ( b + c ) = a b + a c =ΑΒ+ΑΓ ik kj kj ik kj ik kj k= k= k= Οµοίως, α Α= ( a ), Β= ( b ), Γ= ( c ) ρ µ µ, τότε έχουµε ( Β+Γ) Α= ( b + c ) a = b a + c a =ΒΑ+ΓΑ ik ik kj ik kj ik kj k= k= k= (iii) Αρκεί α βρούµε έα ατιπαράδειγµα µε πίακες για τους οποίους ισχύει ότι ΑΒ = Ο µε Α Ο και Β Ο Τέτοιοι είαι, για παράδειγµα, οι πίακες Α= και Β= 3 Ο µοαδιαίος πίακας Ο πίακας Ι 0 0 0 0 = ( δ ) =, όπου δ 0 0, α i = = 0, α i j j είαι η συάρτηση δέλτα του Kronecker, οοµάζεται µοαδιαίος πίακας και έχει τις ιδιότητες: ΑΙ =Ι Α = Α, για κάθε πίακα Α τύπου, ΑΙ = Α,για κάθε πίακα Α τύπου µ, Ι Α=Α, για κάθε πίακα Α τύπου ρ
Οι πράξεις στο σύολο τω µ πιάκω 3 Ο ατίστροφος πίακας Ορισµός 4 Α ο πίακας Α είαι τετραγωικός τύπου και υπάρχει πίακας Χ τέτοιος ώστε ΑΧ = ΧΑ = Ι, τότε λέµε ότι ο πίακας Α είαι ατιστρέψιµος και ο πίακας Χ είαι ο ατίστροφος πίακας του Α Γράφουµε τότε Χ =Α Θεώρηµα 4 Α οι πίακες Α, Β είαι ατιστρέψιµοι, τότε ισχύου: (i) Απόδειξη ( Α ) = Α (i) Από το ορισµό 4 έχουµε ότι ΑΑ (ii) = Α Α =Ι, οπότε προκύπτει άµεσα το ζητούµεο (ii) ( ΑΒ)( Β Α ) = Α( ΒΒ ) Α = ΑΙ Α = ΑΑ = Ι και οµοίως αποδεικύεται ότι: ( ΑΒ ) =Β Α Β Α ΑΒ =Ι ( )( ) Στα επόµεα κεφάλαια θα θεωρήσουµε δύο τρόπους εύρεσης του ατίστροφου εός πίακα, α αυτός υπάρχει Σηµειώουµε ότι δε έχου όλοι οι τετραγωικοί πίακες ατίστροφο πίακα Στο παρό κεφάλαιο θα δώσουµε έα τύπο για το υπολογισµό του ατίστροφου εός πίακα Α είαι Α= a a x y και a a Χ= z w είαι ο ζητούµεος ατίστροφος του πίακα,τότε από τις ισότητες ΑΧ =ΧΑ=Ι και τη επίλυση τω Α γραµµικώ συστηµάτω µε δύο εξισώσεις και δύο αγώστους που προκύπτου, µε τη προϋπόθεση ότι aa aa 0, λαµβάουµε: a a a a Χ= a a = a a a a a a Οι δυάµεις εός πίακα Για κάθε τετραγωικό πίακα Α ορίζουµε τις δυάµεις του ως εξής: 0 Α =Ι, n n * Α =Α και Α = Α Α, για κάθε n µε n
4 Κεφάλαιο Πίακες Επιπλέο, α πίακας Α είαι ατιστρέψιµος, τότε ορίζουµε n Α = ( Α ) n *, για κάθε n Με βάση τις ιδιότητες που ικαοποιεί η πράξη του πολλαπλασιασµού πιάκω προκύπτου αµέσως οι ιδιότητες: m n n m m+ n Α Α = Α Α = Α, για κάθε mn, m ( ) n Α = Α mn, για κάθε mn, ( ) n n 3 λα = λ Α n, για κάθε n (Για n < 0 απαιτείται η ισότητα ( λ ) 4 ( Α ) ( Α ) =, για κάθε n n n 5 ( Α+Β ) = ( Α+Β) ( Α+Β ) =Α +ΑΒ+ΒΑ+Β 6 Α ΑΒ = ΒΑ, τότε ισχύου: ( Α±Β ) =Α ± ΑΒ+Β 3 3 ( Α ±Β ) =Α ± 3Α Β+ 3ΑΒ ±Β ( Α +Β) ( Α Β ) =Α Β Α = λ Α, για κάθε λ 0 ) n n n n k k * ( Α+Β) = Α Β, για κάθε k = 0 k n Ο αάστροφος πίακας Ορισµός 5 Α ( a ) µ 3 Α= Μ, τότε ο πίακας που προκύπτει από το Α µε εαλλαγή µεταξύ γραµµώ και στηλώ του λέγεται αάστροφος πίακας του Α και συµβολίζεται µε Α, έχουµε δηλαδή Για παράδειγµα, α είαι ( ji ) Α = Μ a µ Α= 3, 0 5 Β =, τότε Α = 3 0 5 3 και [ 3] Β = Από το ορισµό του αάστροφου πίακα άµεσα προκύπτου οι ιδιότητες:
Οι πράξεις στο σύολο τω µ πιάκω 5 ( Α+Β ) =Α +Β, γιακάθε Α, Β Μ, µ ( λα ) = λα, για κάθε λ Κ, Α Μ µ, 3 ( ΑΒ ) = Β Α, για κάθε Α Μ, Β Μ, 4 Ι =Ι, ( ) 5 Α = Α, για κάθε Α Μ µ και 6 ( Α ) = ( Α ) µ ρ Απόδειξη Η απόδειξη τω περισσοτέρω από τις παραπάω ιδιότητες είαι απλή εφαρµογή του ορισµού Ειδικότερα για τη 3, α µε ( Α συµβο- λίσουµε το γεικό στοιχείο του πίακα Α, έχουµε : (( ) ) ( ) ( ) ( ΑΒ = ΑΒ ji = ajkbki = Β ik Α ) kj = ( Β Α ) Για τη 6 έχουµε k= k= ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΑ = Α Α = Ι ΑΑ = Α Α = Ι Α Α = Α Α = Ι, οπότε, λόγω της µοαδικότητας του ατίστροφου εός πίακα, θα ισχύει ότι ( ) ( ) Ορισµός 6 Ο τετραγωικός πίακας Α = ( a ) (i) συµµετρικός, α (ii) ατισυµµετρικός, α i, j =,,, Για παράδειγµα, από τους πίακες Α = Α Μ λέγεται: Α = Α, δηλαδή, α a = a, για κάθε i, j =,,,, Α = Α, δηλαδή α ji 4 0 Α= 3, Β= 0, 4 0 0 ji a ) = a, για κάθε ο Α είαι συµµετρικός, εώ ο Β είαι ατισυµµετρικός Παρατηρούµε ότι τα στοιχεία της κυρίας διαγωίου του πίακα Β είαι όλα µηδέ Αυτό δε είαι τυχαίο, αλλά ισχύει σε κάθε ατισυµµετρικό πίακα, αφού από τη ισότητα a για προκύπτει ότι i = = a i= j a = 0, για κάθε,,, ji ii
6 Κεφάλαιο Πίακες 3 Ειδικοί τύποι πιάκω Κατ αρχή σηµειώουµε ότι, σε µία γραµµή που δε έχει όλα τα στοιχεία της 0 (µη µηδεική γραµµή), το ηγετικό στοιχείο της είαι το πρώτο, από αριστερά προς τα δεξιά, µη µηδεικό στοιχείο της Ορισµός 3 (α) Ο πίακας ( a ) Α= Μ λέγεται κλιµακωτός ή κλιµακωτής µορφής, ότα ισχύου τα ακόλουθα: (i) οι µηδεικές γραµµές, α υπάρχου, βρίσκοται στη σειρά µετά τις µη µηδεικές γραµµές και (ii) α γ, γ,, γκ, κ µ είαι οι µη µηδεικές γραµµές του πίακα Α, τότε το ηγετικό στοιχείο της γ i + - γραµµής βρίσκεται δεξιότερα από το ηγετικό στοιχείο της γ i -γραµµής (β) Ο πίακας ( a ) Α= Μ λέγεται αηγµέος κλιµακωτός ή αηγ- µ µέης κλιµακωτής µορφής, α ισχύου τα ακόλουθα: (i) είαι κλιµακωτός, (ii) το ηγετικό στοιχείο κάθε µη µηδεικής γραµµής είαι και (iii) σε µία στήλη που περιέχει το ηγετικό στοιχείο κάποιας γραµµής, όλα τα άλλα στοιχεία της είαι 0 Για παράδειγµα, οι παρακάτω πίακες είαι κλιµακωτοί 3 0 0 3 4 0 3 4 0 0 3 Α= και Β=, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 εώ αηγµέοι κλιµακωτοί είαι οι πίακες 0 0 0 0 0 0 Γ= 0 και = 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 Στοιχειώδεις πράξεις και πίακες Στο σύολο τω µ πιάκω θεωρούµε απεικοίσεις της µορφής τ: Μ Μ, Α τ( Α), µ µ που λέγοται στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ ή γραµµοπράξεις Ο πίακας τ ( Α ) προκύπτει από το πίακα Α µε εφαρµογή µιας από τις ακόλουθες διαδικασίες: µ
3 Ειδικοί τύποι πιάκω 7 II III γ γ, εαλλαγή της i γραµµής µε τη I i j j γραµµή γ λγ, λ 0, πολλαπλασιασµός της i γραµµής επί λ 0 i i γ γ + λγ, λ 0, ατικατάσταση της i γραµµής από το άθροισµα i i j αυτής και του λ πλασίου της j γραµµής Οι πίακες Α και τ ( Α ) λέγοται γραµµοϊσοδύαµοι Όµοια, ορίζοται και οι στοιχειώδεις πράξεις στηλώ ή στηλοπράξεις και συµβολίζοται µε σ: Μ Μ, Α σ( Α) µ µ σ σ, σ λσ, σ σ + λσ, λ 0 i j i i i i j Σε κάθε µία από τις στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ (ατίστοιχα, στηλώ) ατιστοιχίζουµε έα στοιχειώδη πίακα Έτσι, στη στοιχειώδη πράξη γραµµώ τ που εφαρµόζεται σε µ πίακα, ατιστοιχίζουµε το στοιχειώδη πίακα τ ( Ι µ ) που προκύπτει από τη εφαρµογή της τ στο µοαδιαίο πίακα Ι µ, εώ στη στοιχειώδη πράξη στηλώ σ που εφαρµόζεται σε µ πίακα, ατιστοιχίζουµε το στοιχειώδη πίακα σ ( Ι ) που προκύπτει από τη εφαρµογή της σ στο µοαδιαίο πίακα Ι Για παράδειγµα, στις στοιχειώδεις πράξεις γ γ, σ 3 σ, γ3 γ3 + γ, ότα εφαρµόζοται σε 3 4 πίακα, ατιστοιχίζοται οι παρακάτω στοιχειώδεις πίακες: 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0,, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 Ααγωγή πίακα σε αηγµέο κλιµακωτό Θεωρούµε έα πίακα ( a ) Α= Μ Αυτός µε διαδοχική εφαρµογή στοιχειωδώ πράξεω γραµµώ αάγεται αρχικά σε κλιµακωτό και στη συέχεια σε αηγµέο κλιµακωτό πίακα Η διαδικασία ααγωγής είαι αλγοριθµική (αλγόριθµος τω Gauss-Jordan) και περιγράφεται ως εξής: µ
8 Κεφάλαιο Πίακες Ι Με εαλλαγή γραµµώ, α είαι αάγκη, κάουµε το πρώτο στοιχείο της πρώτης µη µηδεικής στήλης διάφορο του 0 Το στοιχείο αυτό το οοµάζου- µε βασικό (pivot), όπως και το ηγετικό στοιχείο κάθε µη µηδεικής γραµµής ΙΙ Με εφαρµογή της γραµµοπράξης γ ( ) γ a το στοιχείο a γίεται ίσο µε Στη συέχεια µε εφαρµογή τω γραµµοπράξεω γ γ a γ,, γ γ a γ µ µ µ µηδείζουµε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης εκτός του βασικού Α όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είαι 0, τότε εφαρµόζουµε τη διαδικασία που περιγράψαµε στη πρώτη από τις επόµεες στήλες που έχει µη µηδεικά στοιχεία, κοκ ΙΙΙ Αγοώτας τη πρώτη γραµµή και τη πρώτη στήλη του πίακα που έχει προκύψει, επααλαµβάουµε τη παραπάω διαδικασία για α κάουµε το στοιχείο a ίσο µε και τα στοιχεία a3,,a µ της δεύτερης στήλης που βρίσκοται κάτω από το a ίσα µε 0 Συεχίζουµε τη ίδια διαδικα- σία µέχρις ότου ο πίακας Α γίει κλιµακωτός και µε τα ηγετικά στοιχεία τω γραµµώ του ίσα µε ΙVΜε στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ τύπου ΙΙΙ µετατρέπουµε τα µη µηδεικά στοιχεία κάθε στήλης που περιέχει το ηγετικό µιας γραµµής σε µηδεικά αρχίζοτας από αυτή που είαι δεξιότερα Παρατηρήσεις Με τα βήµατα Ι και ΙΙ ο πίακας µετατρέπεται σε κλιµακωτό, χωρίς α είαι ααγκαίο α γίου τα ηγετικά στοιχεία τω γραµµώ ίσα µε Γεικά ο κλιµακωτός πίακας που προκύπτει δε είαι µοαδικός έχει όµως πάτοτε το ίδιο αριθµό µη µηδεικώ γραµµώ Ο αριθµός αυτός έχει µεγάλη σηµασία για έα πίακα και στα επόµεα κεφάλαια θα δούµε ότι οοµάζεται βαθµός του πίακα Ο αηγµέος κλιµακωτός πίακας που προκύπτει µε το παραπάω αλγόριθµο είαι µοαδικός 3 Τα τρία πρώτα βήµατα της παραπάω µεθόδου αποτελού τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss, εώ η πλήρης µέθοδος είαι η µέθοδος απαλοιφής τω Gauss-Jordan Η ααγωγή πίακα σε αηγµέο κλιµακωτό είαι πολύ χρήσιµη για τη εύρεση του βαθµού πίακα, αλλά και για τη επίλυση γραµµικώ συστηµάτω Παράδειγµα 4 Να µετατραπεί σε αηγµέο κλιµακωτό ο πίακας 0 4 8 4 4 6 8 Α= 0 5 3 8 0 7
4 Ααγωγή πίακα σε αηγµέο κλιµακωτό 9 Λύση Ο πίακας Α γίεται: 0 4 8 4 0 5 0 5 4 6 8 4 6 8 3 0 4 8 γ γ γ γ γ γ4 γ4 3γ 0 5 0 4 8 4 0 4 8 4 3 8 0 7 3 8 0 7 0 8 6 8 0 5 0 5 3 ( 4) γ γ3 0 γ3 γ3 4γ 0 γ γ3 γ4 γ4 8γ 0 4 8 0 0 0 4 0 8 6 8 0 0 0 0 0 5 0 5 γ3 γ 0 4 γ4 γ4 0γ 0 3 γ3 ( ) γ3 4 ( 0 0 0 0 γ 4) γ4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 γ γ γ 0 0 4 0 0 0 γ γ + γ3 γ γ+ 5γ4 γ γ γ3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Στη συέχεια θα δούµε µερικές προτάσεις σχετικές µε τις στοιχειώδεις πράξεις, τους στοιχειώδεις πίακες και τη εύρεση του ατίστροφου εός πίακα Πρόταση 4 (α) Α τ : Μµ Μ µ είαι µία στοιχειώδης πράξη γραµµώ και Α Μ µ, τότε ( ) τ( Α ) = τ Ιµ Α (β) Α σ : Μµ Μ µ είαι µία στοιχειώδης πράξη στηλώ και Α Μ µ, τότε σ( Α ) =Ασ( Ι ) Απόδειξη (α) Θα εξετάσουµε µόο τις στοιχειώδεις πράξεις τύπου Ι, ( γ γ ) Οι άλλες δύο περιπτώσεις και το ερώτηµα (β) αποδεικύοται αάλογα Ο στοιχειώδης πίακας που ατιστοιχεί στη γραµµοπράξη τ ( γ γ ) είαι i i j j
30 Κεφάλαιο Πίακες ( µ ) µ ii jj ji, τ Ι =Ι Ε Ε +Ε +Ε όπου Ε είαι µ µ πίακας που έχει το στοιχείο του ίσο µε και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του είαι 0 Έστω ότι ο πίακας ( a ) =, γραµµές γ k aka k ak k Επίσης έχουµε µ Τότε θα είαι i jγ i+, j i j + µ τ( Α ) = γ γ γ γ γ γ γ τ ( Ιµ ) Α = ( µ ) Α= έχει ii jj ji ii jj ji µ Ι Ε Ε +Ε +Ε Α=Α Ε Α Ε Α+Ε Α+Ε Α γ 0 0 0 0 γ γi γ 0 a i j 0 γ j = + + = = τ ( Α) γ j 0 γ j 0 γ i γ i γµ 0 a µ γµ 0 γµ Παρατήρηση Σηµειώουµε ότι οι στοιχειώδεις πίακες που ατιστοιχίζοται στις στοιχειώδεις πράξεις γ i λγ i και γ γ + λγ, λ 0 είαι οι diag(,, λ,) και Ι µ + λε, ατίστοιχα i i j Πρόταση 4 Κάθε στοιχειώδης πίακας είαι ατιστρέψιµος Απόδειξη Έστω P και Q οι στοιχειώδεις πίακες που ατιστοιχού σε µία γραµµοπράξη τ και στη ατίστροφή της, έστω τ Σύµφωα µε τη πρόταση 4 έχουµε ( ( )) ( ) ( ) ( ) τ µ τ τ µ τ µ µ Ι = Ι = PΙ = Q PΙ = QP, ( ) ( ) ( ) Ι = τ τ Ι = QΙ = P QΙ = PQ µ µ µ µ Άρα έχουµε τη ισότητα PQ = QP =Ι µ, οπότε ο πίακας P είαι ατιστρέψιµος µε P = Q
5 Εύρεση του ατίστροφου πίακα 3 5 Εύρεση του ατίστροφου πίακα Από τις προτάσεις 4 και 4 έπεται ότι ο πίακας που προκύπτει µε διαδοχική εφαρµογή γραµµοπράξεω σε έα µ πίακα Α είαι της µορφής PΑ, όπου ο P είαι ατιστρέψιµος µ µ πίακας ως γιόµεο στοιχειωδώ πιάκω Ειδικότερα, για τετραγωικούς πίακες έχουµε: Πρόταση 5 Έστω ότι ο πίακας Α Μ ( Κ ) µε διαδοχική εφαρµογή γραµµοπράξεω τ, τ,, τ s µε ατίστοιχους στοιχειώδεις πίακες P,, P µ, P s µετασχηµατίζεται στο αηγµέο κλιµακωτό πίακα Α R Τότε ισχύου: I Α ο ΑR έχει µία τουλάχιστο µηδεική γραµµή, τότε ο πίακας Α είαι µη ατιστρέψιµος II Α ο Α δε έχει µηδεικές γραµµές, τότε Α =Ι, ο πίακας Α είαι R R µ ατιστρέψιµος και Α = P PP Ι µ s Απόδειξη Ι Έστω ότι ο πίακας έχει µία τουλάχιστο µηδεική γραµµή και ας Α R είαι ατιστρέψιµος Τότε θα υπάρχει πία- υποθέσουµε ότι ο πίακας Α κας Χ τέτοιος ώστε ΑΧ = ΧΑ = Ι µ () Από τη πρόταση 4, θα υπάρχει ατιστρέψιµος πίακας τέτοιος, ώστε α ισχύει s R P = P PP P PPΑ = PΑ = Α () Από τις () και () έχουµε Ι = PP = PΑΧ P = Α ΧP από τις οποίες προκύπτει ότι δηλαδή ο πίακας Α R Α R µ R Ι = ΧΑ = ΧP PΑ = ΧP Α, µ ( ) ( ) ΑR Χ P = ΧP Α =Ι µ, είαι ατιστρέψιµος, που είαι άτοπο, γιατί ο πίακας έχει µία τουλάχιστο µηδεική γραµµή και το γιόµεό του µε οποιοδήποτε πίακα θα περιέχει επίσης µία τουλάχιστο µηδεική γραµ- µή και έτσι δε µπορεί α είαι ο µοαδιαίος πίακας Άρα ο πίακας Α δε είαι ατιστρέψιµος R s
3 Κεφάλαιο Πίακες ΙΙ Α ο πίακας Α R δε έχει µηδεική γραµµή, τότε αυτός θα περιέχει µ ηγετικά καταεµηµέα σε µ µη µηδεικές γραµµές, που το καθέα βρίσκεται δεξιότερα από το ηγετικό της προηγούµεης γραµµής, οπότε θα είαι Α R =Ι µ Επιπλέο θα ισχύει s R µ s P PPΑ= PΑ=Α =Ι Α = P PP = P Α γράψουµε δίπλα στο πίακα Α Μµ ( Κ ) το µοαδιαίο πίακα Ι µ και εφαρµόσουµε και στους δύο ταυτόχροα τις ίδιες στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ, ώστε ο πίακας Α α µετασχηµατιστεί στο αηγµέο κλιµακωτό πίακα, τότε θα έχουµε Α R [ ] Α Ιµ ΑR Β Από τη πρόταση 5 συµπεραίουµε ότι: Α ΑR Ι µ, τότε ο πίακας Α δε ατιστρέφεται Α Α R =Ι µ, τότε ο πίακας Α ατιστρέφεται και Α =Β Παράδειγµα 5 Να βρεθεί ο ατίστροφος του πίακα 3 Α= 3 4 3 4 6 Λύση Έχουµε 3 0 0 3 0 0 [ Α Ι γ γ γ 3] = 3 4 0 0 0 0 γ3 γ3 3γ 3 4 6 0 0 0 3 3 0 3 0 0 0 6 3 γ3 γ3 γ γ γ γ3 0 0 0 0 0 3 γ ( ) γ γ γ 3γ3 0 0 0 0 0 0 0 γ γ γ 0 0 0 3 = Ι3 Β 0 0 Άρα ο πίακας Α είαι ατιστρέψιµος και ο ατίστροφός του είαι ο 0 Α =Β= 0 3
6 Εισαγωγή στα γραµµικά συστήµατα 33 6 Εισαγωγή στα γραµµικά συστήµατα Κάθε εξίσωση της µορφής λx+ λx + + λ x = β, (),,, όπου λ, λ,, λ, β Κ = ή και x x x άγωστοι αριθµοί από το σώµα Κ, λέγεται γραµµική εξίσωση µε αγώστους Ο αριθµός β λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης, εώ οι αριθµοί λ, λ,, λ λέγοται συτελεστές τω αγώστω Λύση της γραµµικής εξίσωσης () λέγεται κάθε διατεταγµέη -άδα ω, ω,, ω ) Κ τέτοια ώστε ( λω+ λω + + λω = β, δηλαδή επαληθεύεται η εξίσωση, α θέσουµε xi = ωi, i =,,, Γραµµικό σύστηµα µε µ εξισώσεις και αγώστους ή µ - γραµµικό σύστηµα είαι έα (πεπερασµέο) πλήθος µ γραµµικώ εξισώσεω µε αγώστους, δηλαδή έχει τη µορφή αx + αx + + α x = β x x x α + α + + α = β α µ x+ αµ x+ + αµx = βµ Α θεωρήσουµε τους πίακες () α α α α α α Α=, αµ αµ αµ x β x β Χ=, Β= x βµ τότε το γραµµικό σύστηµα () γράφεται ως µία εξίσωση πιάκω ΑΧ =Β, (3) όπου ο πίακας Α είαι πίακας τω συτελεστώ, ο πίακας Χ είαι ο πίακας τω αγώστω και ο πίακας Β είαι πίακας τω σταθερώ όρω Λύση της γραµµικού συστήµατος () λέγεται κάθε διατεταγµέη -άδα (,,, ) ξ ξ ξ Κ που επαληθεύει και τις µ εξισώσεις του συστήµατος ()
34 Κεφάλαιο Πίακες Το γραµµικό σύστηµα () λέγεται συµβιβαστό, α έχει µία τουλάχιστο λύση, εώ λέγεται αδύατο, α δε έχει λύση Για λόγους συµβατότητας µε τους συµβολισµούς µας θα συµβολίζουµε τη λύση ( ξ, ξ,, ξ ) και µε το πίακα-στήλη [ ] ξ ξ ξ ξ = ύο γραµµικά συστήµατα µε µ εξισώσεις και αγώστους ΑΧ=Β και Α Χ=Β, λέγοται ισοδύαµα, α έχου ακριβώς τις ίδιες λύσεις Η επίλυση εός γραµµικού συστήµατος, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης όλω τω λύσεω του συστήµατος, βασίζεται στη εύρεση άλλω γραµµικώ συστηµάτω ισοδυάµω προς το αρχικό, αλλά απλούστερης µορφής Α ο πίακας Β τω σταθερώ όρω είαι ο µηδεικός πίακας, δηλαδή α είαι Β= [ 0 0 0], τότε το γραµµικό σύστηµα γίεται ΑΧ =Ο (4) και λέγεται οµογεές Ο πίακας ΑΒ Μµ ( + ) που είαι ο πίακας Α συµπληρωµέος µε µία τελευταία στήλη, αυτή που ορίζει ο πίακας Β τω σταθερώ όρω λέγεται επαυξηµέος πίακας του συστήµατος ΑΧ =Β 7 Η µέθοδος απαλοιφής του Gauss Η βασική µέθοδος επίλυσης του γραµµικού συστήµατος ΑΧ =Β, (Σ) όπου Α= ( α ) Μ µ, Χ= [ x x x ], Β= β β β µ, είαι η µέθοδος απαλοιφής του Gauss Η µέθοδος αυτή ουσιαστικά συίσταται στο µετασχηµατισµό του επαυξη- µέου πίακα ΑΒ του συστήµατος (Σ) σε αηγµέο κλιµακωτό µε χρήση µόο στοιχειωδώ πράξεω γραµµώ, ακολουθώτας το αλγόριθµο τω Gauss-Jordan που περιγράψαµε παραπάω στη παράγραφο 4, ως εξής: Ι Με εαλλαγή γραµµώ, α είαι αάγκη κάουµε το πρώτο στοιχείο της πρώτης µη µηδεικής στήλης διάφορο του 0 Το στοιχείο αυτό το οοµάζουµε βασικό (pivot), όπως και το ηγετικό στοιχείο κάθε µη µηδεικής γραµµής
7 Η µέθοδος απαλοιφής του Gauss 35 ΙΙ Με εφαρµογή της γραµµοπράξης γ ( ) γ a το στοιχείο a γίεται ίσο µε Στη συέχεια µε εφαρµογή τω γραµµοπράξεω γ γ aγ,, γµ γµ aµ γ, µηδείζουµε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης εκτός του βασικού Α όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είαι 0, τότε η διαδικασία που περιγράψαµε εφαρµόζεται στη πρώτη από τις επόµεες στήλες που έχει µη µηδεικά στοιχεία, κοκ III Αγοώτας τη πρώτη γραµµή και τη πρώτη στήλη του πίακα που έχει προκύψει, επααλαµβάουµε τη παραπάω διαδικασία για α κάου- µε το στοιχείο ίσο µε και τα στοιχεία a της δεύτερης στη- a 3,,a µ λης που βρίσκοται κάτω από το a ίσα µε 0 Συεχίζουµε τη ίδια δια- δικασία µέχρις ότου ο πίακας Α γίει κλιµακωτός και µε τα ηγετικά στοιχεία τω γραµµώ του ίσα µε IV Με στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ τύπου ΙΙΙ µετατρέπουµε τα µη µηδεικά στοιχεία κάθε στήλης που περιέχει το ηγετικό µιας γραµµής σε µηδεικά, αρχίζοτας από αυτή που είαι δεξιότερα Είαι φαερό ότι µε διαδοχική εφαρµογή στοιχειωδώ πράξεω γραµ- µώ στο επαυξηµέο πίακα του συστήµατος (Σ), τα προκύπτοτα συστή- µατα έχου εξισώσεις που είαι γραµµικοί συδυασµοί τω εξισώσεω του αρχικού συστήµατος (Σ) Έτσι, τα συστήµατα που προκύπτου είαι ισοδύαµα προς το αρχικό σύστηµα, δηλαδή έχου το ίδιο σύολο λύσεω µε το σύστηµα (Σ) Μετά τη ααγωγή του επαυξηµέου πίακα [ Α Β ] σε αηγµέο κλιµακωτό διακρίουµε τις περιπτώσεις: Α στο αηγµέο κλιµακωτό πίακα υπάρχει γραµµή της µορφής 0 0 0 β, β 0, τότε το σύστηµα είαι αδύατο Α δε υπάρχου γραµµές της µορφής 0 0 0 β, β 0 και έχουµε συολικά κ µη µηδεικές γραµµές, κ min{ µ, }, τότε θεωρούµε τους κ αγώστους που ατιστοιχού σε στήλες του αηγµέου κλιµακωτού πίακα, που δε περιέχου κάποιο από τα ηγετικά, ως αυθαίρετους και εκφράζουµε τους υπόλοιπους αγώστους ως συαρτήσεις τω αυθαίρετω αγώστω Παράδειγµα Να προσδιορίσετε το σύολο τω λύσεω του γραµµικού συστήµατος: x+ y+ 3z+ w= 3, y z+ w= 4, x+ 3y+ z+ 3w= 7 { }
36 Κεφάλαιο Πίακες Λύση Με στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ µετασχηµατίζουµε το επαυξηµέο πίακα του συστήµατος σε αηγµέο κλιµακωτό Έχουµε: 3 3 3 3 γ3 3 0 4 γ γ 0 4 3 3 7 0 4 3 3 0 5 3 5 γ3 γ3 γ γ γ γ 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Από τη µορφή του αηγµέου κλιµακωτού πίακα που προκύπτει συ- µπεραίουµε ότι το σύστηµα είαι συµβιβαστό Οι άγωστοι z και w που ατιστοιχού στις δύο τελευταίες στήλες, οι οποίες δε περιέχου κάποιο από τα ηγετικά τω µη µηδεικώ γραµµώ, επιλέγοται ως αεξάρτητοι (αυθαίρετοι) άγωστοι, εώ οι άγωστοι x και y που ατιστοιχού στις δύο πρώτες στήλες, οι οποίες περιέχου τα ηγετικά τω µη µηδεικώ γραµ- µώ, είαι οι εξαρτηµέοι άγωστοι Έτσι έχουµε το ισοδύαµο σύστηµα x+ 5z 3w= 5 x = 5 5z+ 3w y z + w = 4 y = 4 + z w, z, w Εποµέως, η τυχούσα από τις άπειρες λύσεις του συστήµατος είαι ( xyzw,,, ) = ( 5 5κ + 3 λ,4+ κ λ, κ, λ) = ( 5, 4, 0, 0) + κ( 5,,, 0) + λ(3,, 0,), κ, λ, εώ το σύολο τω λύσεω του συστήµατος είαι το Λ= ( 5 5κ+ 3 λ,4+ κ λκλ,, ): κλ, { } Παράδειγµα Να προσδιορίσετε το σύολο τω λύσεω του οµογεούς συστήµατος: x + x + 3x + 4x = 0 3 4 x + 3x + 4x + 5x = 0 3 4 Λύση Ο επαυξηµέος πίακας του συστήµατος γίεται : 3 4 0 γ 3 4 0 γ γ 3 4 5 0 0 0 γ γ γ 0 0 0 0 και το σύστηµα είαι ισοδύαµο µε το
7 Η µέθοδος απαλοιφής του Gauss 37 x + x + x = 0 x = x x 3 4 3 4 x + x3 + x4 = 0 x = x3 x4, x3, x4 Εποµέως το σύολο τω λύσεω του δεδοµέου οµογεούς συστήµατος είαι {( κ λ, κ λκλ,, ) : κλ, } { κ λ κ λ } Λ= = (,,, 0) + (,, 0,):, Παράδειγµα 3 Να προσδιορίσετε τις τιµές της παραµέτρου a για τις οποίες έχει λύση το σύστηµα x+ 3y+ 5z = x+ 4z = x y+ z = a, a και στη συέχεια α βρείτε τη λύση του συστήµατος Λύση Ο επαυξηµέος πίακας του συστήµατος γίεται: 3 5 3 5 γ γ γ ΑΒ = 0 4 0 6 6 γ3 γ3 γ a 0 4 4 a 3 5 0 γ γ 6 γ3 γ3+ 4γ 0 0 6 γ γ 3γ 6 0 4 4 a 0 0 0 a 3 Εποµέως το σύστηµα είαι συµβιβαστό, ότα a = 0 a = 3 3 Για a =, το σύστηµα είαι ισοδύαµο µε το σύστηµα 3 x+ z = x = z, z y+ z = y = z 6 6 οπότε το σύολο τω λύσεω του είαι Λ= c, c, c : c 6
38 Κεφάλαιο Πίακες 8 Η LU παραγοτοποίηση πίακα Όπως ξέρουµε, η µέθοδος απαλοιφής του Gauss για τη επίλυση του γραµµικού συστήµατος ΑΧ =Β (Σ) Α Β σε αηγµέο βασίζεται στη µετατροπή του επαυξηµέου πίακα [ ] κλιµακωτό Στη παράγραφο αυτή θα περιγράψουµε µία διαφορετική µεθοδο επίλυσης του γραµµικού συστήµατος (Σ) η οποία βασίζεται στη παραγοτοποίηση του πίακα Α τω συτελεστώ σε γιόµεο δύο πιάκω, εός κάτω τριγωικού και εός κλιµακωτού πίακα Η µέθοδος αυτή είαι ιδιαίτερα χρήσιµη ότα έχουµε α λύσουµε πολλά γραµµικά συστήµατα µε το ίδιο πίακα συτελεστώ και διαφορετικό πίακα σταθερώ όρω, είαι κατάλληλη για ηλεκτροικούς υπολογιστές και αποτελεί τη βάση πολλώ υπολογιστικώ πακέτω Ας υποθέσουµε ότι έχουµε α λύσουµε το γραµµικό σύστηµα (Σ) και ότι έχουµε παραγοτοποιήσει το πίακα Α Μ ( Κ), Κ = ή τω συτελεστώ σε γιόµεο δύο πιάκω της µορφής Α = LU, () όπου ο L είαι m m κάτω τριγωικός µε τα στοιχεία της κυρίας διαγωίου ίσα µε, εώ ο U είαι κλιµακωτός m n πίακας Έχουµε ΑΧ=Β LU Χ=Β L U Χ =Β, m n ( ) ( ) οπότε, α θέσουµε Y = U Χ, τότε έχουµε α επιλύσουµε τα απλά γραµµικά συστήµατα µε πίακα κλιµακωτής µορφής L Y =Β και U Χ = Y Επιλύουµε το σύστηµα L Y =Β µε ατικατάσταση προς τα εµπρός και στη συέχεια επιλύουµε το σύστηµα U Χ = Y µε ατικατάσταση προς τα πίσω Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι έχουµε προς λύση το σύστηµα x 0 x ΑΧ = 4 3 0 = = Β x 3 9 8 3 x4 και ότι έχουµε βρει τη παραγοτοποίηση 0 0 0 0 Α= 4 3 0 = 00 = LU 9 8 3 0 0 Επιλύουµε πρώτα το σύστηµα
8 Η LU- παραγοτοποίηση πίακα 39 0 0 y y 0 y = Y= y = 3 3 y 3 7 3 y 3 Στη συέχεια προκύπτει το σύστηµα x x 7,75 + 0,5α 0 x x 0 0 = 3 Χ = =, α x 3, 5 3 x + α 3 0 0 7 x4 x α 4 Ο αλγόριθµος της LU -παραγοτοποίησης ( ) Θεωρούµε πίακα Α Μm n Κ και µε διαδοχικές στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ, χωρίς α κάουµε εαλλαγή γραµµώ, µετατρέπουµε το πίακα σε κλιµακωτό, οπότε έχουµε Ρ Ρ Ρ Α = U, (),, s s όπου Ρ Ρ Ρ είαι οι ατίστοιχοι στοιχειώδεις πίακες Επειδή όλοι οι στοιχειώδεις πίακες είαι ατιστρέψιµοι έχουµε Α=Ρ U LU Ρ Ρ s =, (3) όπου έχουµε θέσει s L =Ρ Ρ Ρ Επιπλέο λαµβάουµε Ρ Ρ Ρ L =Ι, (4) s οπότε παρατηρούµε ότι οι ίδιες γραµµοπράξεις µετατρέπου το πίακα L στο µοαδιαίο πίακα Για παράδειγµα, ας θεωρήσουµε το πίακα 0 Α= 4 3 0 9 8 τω συτελεστώ του συστήµατος που λύσαµε προηγουµέως Έχουµε 0 0 γ γ γ 4 3 0 0 γ3 γ3 γ 9 8 0 3 8 8 Μέχρι τώρα χρησιµοποιήσαµε ως βασικό (pivot) στοιχείο το a = (συµβολίζεται µε παχύ µαύρο) και παρατηρούµε ότι οι ίδιες στοιχειώδεις πράξεις δίου
40 Κεφάλαιο Πίακες 0 0 0 0 0 γ γ γ 0 0 γ3 γ3 γ * 0 * Στη συέχεια έχουµε 0 0 γ3 γ+ γ 0 3 0 = U, 0 3 8 8 0 0 όπου χρησιµοποιήσαµε ως βασικό το στοιχείο a = Παρατηρούµε ότι η ίδια στοιχειώδης πράξη δίει 0 0 0 0 3 3 3 0 0 γ γ + γ 0 0, 0 3 0 0 οπότε πλέο είαι φαερό ότι ο κατάλληλος πίακας L που µε τις ίδιες γραµµοπράξεις µετατρέπεται στο µοαδιαίο πίακα είαι ο 0 0 L = 0 3 Μπορούµε πλέο α περιγράψουµε τη διαδικασία παραγοτοποίησης του πίακα Α ως εξής: (i) (ii) Μετατρέπουµε το πίακα Α µε στοιχειώδεις πράξεις γραµµώ, χωρίς εαλλαγές γραµµώ, σε κλιµακωτό, οπότε προκύπτει ο πίακας U ιαµορφώουµε κάθε στήλη του Α που έχει βασικό στοιχείο, κάθε φορά που εµφαίζεται, µε µηδεικά πάω από το βασικό στοιχείο και διαιρώτας τα υπόλοιπα στοιχεία της µε το βασικό στοιχείο Οι στήλες που διαµορφώοται µαζί µε µία τελευταία στήλη της µορφής [ 0 0 ] αποτελού τις στήλες του πίακα L 9 ιαµερίσεις πιάκω Θεωρούµε πίακα ( a ) Α= και τους φυσικούς αριθµούς µ µ, µ,, µ r,,,, s έτσι, ώστε µ + µ + + µ r = µ και + + + s =
9 ιαµερίσεις πιάκω 4 Στη συέχεια µε διακεκοµµέες οριζότιες και κατακόρυφες γραµµές απoκόβουµε τις µ πρώτες γραµµές µετά τις µ επόµεες γραµµές κοκ, τις πρώτες στήλες κοκ Έτσι από το πίακα Α σχηµατίζουµε rs πίακες, έστω Α, κ =,,, r, λ = κλ,,, s, τύπου µ κ λ Οι πίακες Α κλ αποτελού µία r s διαµέριση του πίακα Α που ατιστοιχεί στους αριθµούς ( µ, µ,, µ ) και ( r,,, s ) Συµβολικά γράφουµε Α= ( Α κλ Για παράδειγµα, ο 3 5 πίακας ) r s 3 5 Α= 0 4 0 µπορεί α διαµεριστεί σε 6 υποπίακες ως εξής 3 5 Α Α Α3 Α= ( Αλµ ) = 0 4 3 = Α Α Α 3 0 Ας θεωρήσουµε τώρα το 5 4πίακα Β µε µία 3 διαµέριση 0 3 0 Β Β 4 Β= Β Β = 0 0 Β 3 Β 3 0 0 6 Το γιόµεο τω δύο πιάκω Α και Β είαι ο πίακας 0 6 3 ΑΒ = ΑikΒkj = 0 5 9 0 k = 6 4 Σηµειώουµε ότι για α είαι γεικά δυατός ο παραπάω πολλαπλασιασµός διαµερισµέω πιάκω πρέπει και αρκεί α είαι δυατός ο πολλαπλασιασµός όλω τω ατίστοιχω υποπιάκω Α και Β Με κατάλληλη επιλογή τω διαµερίσεω, συήθως γίεται ευκολότερα ο πολλαπλασιασµός δύο πιάκω Στο προηγούµεο παράδειγµα, ατί α κάουµε απ ευθείας το πολλαπλασιασµό τω δύο πιάκω, πολλαπλασιάζουµε υποπίακες που έχου µικρότερο αριθµό γραµµώ και στηλώ Αυτό ik kj
4 Κεφάλαιο Πίακες είαι σηµατικό, κυρίως ότα οι δεδοµέοι πίακες έχου µεγάλο αριθµό γραµµώ και στηλώ Μία ιδιαίτερη περίπτωση έχουµε, ότα ο πίακας Α µπορεί α διαµεριστεί σε υποπίακες Α, Α,, Αr, πιθαώς διαφορετικώ τάξεω, έτσι ώστε Α Ο Ο Ο Α Ο Α= = diag ( Α, Α,, Αr ) Ο Ο Α r Επιπλέο, α [ ], Α= Α Α Β= Β Β, τότε ΑΒ =ΑΒ +ΑΒ, ότα βέβαια ορίζοται οι πολλαπλασιασµοί και οι προσθέσεις υποπιάκω που εµφαίζοται, π χ 3 4 4 3 4 4 5 = + 0 3 0 5 0 5 5 0 3 και 5 3 6 0 8 5 6 = + = 5 0 0 5 5 6 0 0 0 0 0 0 = + = 0 3 0 0 5 3 0 3 0 0 0 3 4 0 Πίακες µε στοιχεία συαρτήσεις [ ] Πολλές φορές θεωρούµε πίακες µε στοιχεία συαρτήσεις µιας ή περισσοτέρω πραγµατικώ µεταβλητώ, όπως οι πίακες a() t a () t a () t x () t a() t a () t a () t x () t Α () t =, Χ () t = aµ () t aµ () t aµ() t x () t
0 Πίακες µε στοιχεία συαρτήσεις 43 Ορισµός 0 (i) Ο πίακας () t ( a () t ) Α = είαι συεχής για t = t0, α κάθε συάρτηση a () t είαι συεχής για t = t0 Ο πίακας Α () t είαι συεχής στο διάστηµα [ α, β ], α είαι συεχής σε κάθε σηµείο του διαστή- µατος [ α, β ] ( (ii) Ο πίακας Α () t = a () t ) είαι παραγωγίσιµος στο διάστηµα [ α, β ], α κάθε µία από τις συαρτήσεις a () t είαι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ α, β ] και η παράγωγός του είαι ο πίακας dα Α () t : = ( a () t ) dt (iii) Όµοια ορίζουµε το ολοκλήρωµα του πίακα Α () t = ( a () t ) β β α Α () tdt: = ( α a () tdt) Για παράδειγµα, ο πίακας t t Α e e t = () cos t sin t είαι συεχής στο και ισχύει π t t e e e Α () t = sin t cos t και e π π Α() tdt = 0 0 Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της παραγώγισης πιάκω µε στοιχεία συαρτήσεις παραθέτουµε παρακάτω, όπου ( a () t ), ( b () t ) Α= Β= και Γ= ( c () t ) (σταθερός πίακας) είαι πίακες κατάλληλου τύπου, ώστε α ορίζοται οι εµφαιζόµεες πράξεις πιάκω : d dα d dα dβ ΑΒ = Β + Α dt dt dt dt dt d dα dβ d dα Α+Β = + 4 ( Α ) = Α Α dt dt dt dt dt ( ΓΑ ) = Γ 3 ( ) ( )
44 Κεφάλαιο Πίακες ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ο πίακας Α Μ ( Κ) είαι τέτοιος ώστε ( Α + Ι ) =Ο (α) Να αποδείξετε ότι ο πίακας Α είαι ατιστρέψιµος και α εκφρά- σετε το πίακα Α ως πολυώυµο του Α (β) Να αποδείξετε ότι ο πίακας Α +Ι είαι ατιστρέψιµος Α ΑΒ Μ, ( Κ), α χαρακτηρίσετε τις επόµεες προτάσεις ως αληθείς ή ψευδείς, δικαιολογώτας τη απάτησή σας µε απόδειξη ή µε κάποιο ατιπαράδειγµα : (i) Α ΑΒ = Α Β και ΑΒ, ατιστρέψιµοι, τότε Α =Β (ii) Α ΑΒ, ατιστρέψιµοι, τότε και Α +Β ατιστρέψιµος (iii) Α ΑΒ = Ο και Α Ο, τότε Α, Β µη ατιστρέψιµοι (iv) Α ΑΒΑ = Ο και Β µη ατιστρέψιµος, τότε ( ) 3 Α ο πίακας Α Μ είαι τέτοιος ώστε υπάρχου xy, έτσι, ώστε α ισχύει xy Α= y Ισχύει το ίδιο, ότα Α Μ ; ( ( ) x xy Α =Ο Α =Ο, α αποδείξετε ότι 4 Οι πίακες ΑΒ Μ Κ) είαι τέτοιοι ώστε Α =ΑΒ, =Β και ( ), Α+Β =Α+Β Να αποδείξετε ότι: ΑΒ= ΒΑ=Ο 5 Α οι πίακες Α, Β είαι συµµετρικοί, α αποδείξετε ότι: (α) ΑΒ συµµετρικός ΑΒ=ΒΑ (β) Ο πίακας ΑΒ ΒΑ είαι ατισυµµετρικός k 6 Α Α = Ο για κάποιο k, α αποδείξετε ότι: * ( ) k Ι Α =Ι+Α+ +Α 7 Ο πίακας J έχει όλα τα στοιχεία του ίσα µε Θεωρούµε α, β µε α + β 0 (Α) Να αποδείξετε ότι: (i) J = J (ii) ο πίακας Χ= αι + β J είαι ατιστρέψιµος, ααζητώτας το
Ασκήσεις 45 ατίστροφό του στη µορφή ( γ J ) α Ι + (Β) Να βρείτε το ατίστροφο του πίακα 3 3 3 3 8 (i) Α οι πίακες ΑΒ, και Ρ είαι τέτοιοι, ώστε ΑΡ =ΡΒ και * ο Ρ είαι ατιστρέψιµος, α αποδείξετε ότι για κάθε n ισχύει: n n Α =ΡΒ Ρ 4 (ii) Έστω Α= 3, Β= 0 0 και Ρ Μ ( ) Κ Να αποδείξετε ότι: x y ΑΡ = ΡΒ Ρ =, x, y x 3y * Θεωρώτας x = y =, βρείτε το πίακα Α n, n Ν 9 Οι πίακες ΑΒ Μ ( Κ) είαι τέτοιοι ώστε ( ), ΑΒ =Ι Να αποδείξετε ότι οι πίακες Α, Β είαι ατιστρέψιµοι και ( ΒΑ ) =Ι 0 Α ΑΒ Μ, ( Κ ) µε Α+Β=ΑΒ, α αποδείξετε ότι: Α Α είαι πίακας τέτοιος, ώστε Α Α=Ι = [ ] ΑΒ =ΒΑ, τότε ο πίακας Η=Ι ΑΑ είαι ο ατίστοιχος πίακας Householder, που οοµάστηκε έτσι προς τιµή του Αµερικαού µαθηµατικού A Householder 3 5 5 (i) Α Α = 4 6 4 Α Α=Ι = και α υπολογίσετε το ατίστοιχο πίακα του Householder (ii) Α Η είαι πίακας Householder, α αποδείξετε ότι: Η=Η και Η Η=Ι, α επαληθεύσετε ότι [ ] Με τη υπόθεση ότι όλοι οι ατίστροφοι πίακες που εµφαίζοται υπάρχου, α αποδείξετε ότι: (i) ( ) ( ) (ii) ( ) (iii) ( Α+ΒΒ ) Β=Α Β( Ι+Β Α Β) Α +Β = Α Α+Β Β Ι +ΑΒ Α=Α( Ι+ΒΑ )
46 Κεφάλαιο Πίακες 3 Να βρεθεί αηγµέος κλιµακωτός πίακας που είαι γραµµοϊσοδύα- µος µε καθέα από τους παρακάτω πίακες: 0 4 3 Α= 4, Β= 7 0 4 4 Να βρεθεί ο ατίστροφος, α υπάρχει, τω παρακάτω πιάκω: 0 Α= 3 4, Β= 3 5 5 4 5 Ο επαυξηµέος πίακας εός γραµµικού συστήµατος είαι ο a 0 b a a 4 4 0 a b Να εξετάσετε για ποιες τιµές τω παραµέτρω ab, το σύστηµα: (i) Έχει µοαδική λύση (ii) Έχει µοοπαραµετρική απειρία λύσεω (iii) Έχει διπαραµετρική απειρία λύσεω (iv) ε έχει λύση 6 Να λύσετε τα γραµµικά συστήµατα x+ x + 3x3 = x 3x + x3 = 0 (i) (ii) x + x3 = 4 x + x 3x3 = 0 x x + x3 = 9x + x3 5x4 = 0 x x + 3x3 = (iii) x+ x 4x4 = 0 (iv) x3 + 8x4 = 0 3x 3x + 7x3 = 0 0 x 0x + 4x3 = 0 0 0 0 0 7 Α είαι Α Μ4 ( ), Β Μ 4( ) και ΑΒ =, α 0 0 0 0 προσδιορίσετε το πίακα ΒΑ