Κϊλυψη ενόσ κυρτού ςχήματοσ F με ομοιόθετα ίςα προσ kf. Γεωρ.Τςίντςιφασ

Σχετικά έγγραφα
Κάλυψη ενός κυρτού σχήματος F με ομοιόθετα ίσα προς kf. Γεωρ.Τσίντσιφας

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΥΗΜΑΣΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕ ΓΧΝΙΕ

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

4) Να γξάςεηε δηαδηθαζία (πξόγξακκα) ζηε Logo κε όλνκα θύθινο πνπ ζα ζρεδηάδεη έλα θύθιν. Λύζε Γηα θύθινο ζηθ επαλάιαβε 360 [κπ 1 δε 1] ηέινο

Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες

ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΓΗΑΓΩΝΗΜΑ ΣΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ 38. Ύλη: Σρίγωνα, Παράλληλες εσθείες, Παραλληλόγραμμα-Σραπέζια

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: /27 Υπνδίθηπν Β:

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός. Διάλεξη 14η

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e

ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ 1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΗΥ-150 Πξνγξακκατησκόο Ταμηλόκεσε θαη Αλαδήτεσε

Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x

Transcript:

1 Κϊλυψη ενόσ κυρτού ςχήματοσ F με ομοιόθετα ίςα προσ kf Γεωρ.Τςίντςιφασ Πξνθαλώο γηα k 1 δελ ππάξρεη θάπνην πξόβιεκα. Αο δνύκε ην πξόβιεκα αλαιπηηθά θαη αο ππνζέζνπκε νηη έρνπκε λα θαιύςνπκε έλα ηεηξάγσλν γηα k<1 κε νκνηόζεηα ηνπ ίζα πξνο kf. Το ςχήμα F'= A'B'C'D' είναι ομοιόθετό του F= ABCD με λόγο ομοιοθεςίασ k. Πρζπει να μεταφζρουμε παραλλήλωσ το F' κατάλληλα ϊςτε κάποιοσ αριθμόσ από F' να καλφψει το F.

Μποροφμε να δοφμε οτι αν πάρουμε 4 F' με κατάλληλο τρόπο καλφπτουμε το F. Στο παραπάνω ςχήμα φαίνεται καθαρά πωσ με 3 F' καλφπτουμε μόνο τρείσ κορυφζσ. Σνλ Κύθιν F(o,R) κπνξνύκε λα ηνλ θαιύςνπκε κε ηξείο θύθινπο F =kf όπνπ K=1-ε,. Τπάξρνπλ δηάθνξνη ηξόπνη λα βξνύκε απηνύο ηνπο ηξείο θύθινπο. ην παξαπάλσ ζρήκα, ην ABC είλαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν, Ρ ηπρόλ ζεκείν ηνπ ηκήκαηνο ΒΒ θαη O 1 ην κέζνλ ηνπ ΡΒ. Θεσξνύκε ην θύθιν (Ο 1,O 1 A). Αλάινγα πξνζδηνξίδνπκε άιινπο δύν θύθινπο. Αλ ηώξα ην F είλαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν γηα k πνιύ θνληά ζην 1 γηα λα θαιπθζεί επαξθνύλ 3 F =kf.

3 Γεληθά απνδεηθλύεηαη (βι.[3]) νηη γηα θάζε θπξηό ζρήκα F γηα θ=1-ε, ε πνιύ κηθξό Δπαξθνύλ ηέζζεξα νκνηόζεηα kf γηα λα θαιπθζεί. Τπάξρεη ε πεξίθεκε εηθαζία ηνπ Hadwiger πνπ ιάγεη νηη ζηνλ E n γηα θάζε θπξηό ζρήκα F επαξθνύλ n νκνηόζεηα kf γηα λα θαιπθζεί. Η εηθαζία παξακέλεη άιπηε Αθόκε θαη γηα n=3. Ο Πνισλόο Μαζεκαηηθόο Marek Lassak απέδεημε νηη γηα θ= επαξθνύλ ηέζζεξα νκνηόζεηα kf λα θαιύςνπλ ην θπξηό ζρήκα F. Παξαδείγκαηα ηα παξαθάησ ζρήκαηα AB C 1 1 AB C 1 1 ABC ABC, AD AA

4 Σελ ίδηα πεξίπνπ επνρή κε ην ζεώξεκα ηνπ Lassak βξήθα νηη: Θεώξεκα. 1 Γηα λα θαιπθζεί ην θπξηό ζρήκα F κε νκνηόζεηα F' F επαξθνύλ επηά νκνηόζεηα. Να δνύκε ιίγα παξαδείγκαηα. Σν ηζόπιεπξν ABC θαιύπηεηαη απν έμε ηξίγσλα ηεο κνξθήο BDE.

5 Ο θύθινο (O,R) To ABCDEF είλαη θαλνληθό εμάγσλν. Οπσο πνιύ εύθνια θαίλεηαη ν θύθινο (O,R} θαιύπηεηαη απν έμε θύθινπο AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA αθηίλνο R/.

6 Σν θαλνληθό εμάγσλν F=ABCDEF γηα λα θαιπθζεί απν ηα νκνηόζεηα ηνπ 1 F ρξεηάδνληαη επηά νκνηόζεηα, είλαη ην A B C D E F θαη έμε πεξηθεξηθά ηνπ ηύπνπ ηνπ BMNCC B. Γηα ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο ρξεζηκνπνηήζεθε ην παξαθάησ ιήκκα, (βι.[]). ε θάζε θπξηό ζρήκα F ππάξρεη εγγεγξακκέλν affine θαλνληθό εμάγσλν, δειαδή εμάγσλν ηνπ νπνίνπ νη απέλαληη πιεπξέο είλαη παξάιιειεο θαη ίζεο. Μηά ζπλνπηηθή απόδεημε ηνπ ιήκκαηνο είλαη ε εμήο. Δζησ Α,Β ζεκεία ηεο πεξηκέηξνπ ηνπ F θαη ΑΒ παξάιιεινο πξνο επζεία (ε) ζε απόζηαζε p. Δηλαη πξνθαλέο νηη κπνξνύκε λα βξνύκε δύν ρνξδέο CD,EF παξαιιειεο θαη ίζεο πξνο ΑΒ/ ζε απνζηάζεηο a θαη b αληίζηνηρα. Παξαηεξνύκε νηη ηα a θαη b είλαη ζπλαξηήζεηο ηνπ p θαη έζησ νηη a( p) b( p). Αθόκε κπνξεί λα Βξεζεί ζέζε ηεο ΑΒ παξάιιειε πξνο (ε), ζε απόζηαζε p ώζηε. Λόγσ ηεο ζπλέρεηαο πξνο p ζα ππάξρεη po ώζηε a(po)=b(po). Δζησ νηη ηα παξαπάλσ ζπκβαίλνπλ γηα ηε ζέζε AoCoDoBoZoEo θαη νηη ε AoBo ρεκαηίδεη γσλία θ κε ηνλ άμσλα νρ. Τπνζέηνπκε αθόκε AoM MBo Αλ πεξηζηξαθεί ε AoBo θαηά 180 κνίξεο ζηε λέα ζέζε ζα είλαη AoM MBo. Λόγσ ηεο ζπλέρεηαο ζα ππάξρεη γσλία θ1 ώζηε Α1Μ=ΜΒ1. Απ όζα έρνπκε ήδε αλαθέξεη πξνθύπηεη νηη ππάξρεη εγγεγξακκέλν εμάγσλν ζην F ώζηε CD,EZ είλαη παξάιιειεο θαη ίζεο πξνο ην ήκηζε ηεο ΑΒ θαη αθόκε νη δηαγώληνη AB,CZ,DE αιιεινδηρνηνκνύληαη. Γειαδή ην ACDBZE εηλαη affine Δμάγσλν.

7 ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο ηώξα. Θεσξνύκε ην affine θαλνληθό εμάγσλν θέληξνπ Ο, ην εγγεγξακκέλν ζην θπξηό ζρήκα F, έζησ T=ABCDEG θαη είλαη AB θαη ED ίζεο, παξάιιειεο θαη παξάιιειεο θαη ίζεο πξόο CG/. Σα ζεκεία A,O, G δηαηξνύλ ηελ AD ζε ηέζζεξα ίζα κέξε. Οκνηα ηα B, O, E ηελ BE θαη ηέινο ηα C, O, G ηελ CG ζε ηέζζεξα ίζα κέξε. Δζησ 1 F=h(F). ην εμάγσλν A B C D E G είλαη πεξηγεγξακκέλν ην 1 F=h(F) Δύθνια βιέπνπκε νηη ην ζρήκα F θαιύπηεηαη απν ην h(f) θαη απν ηα αθόινπζα ζρήκαηα πνπ πξνθύπηνπλ απν ην h(f) θαηα ηελ κεηαθνξά θαηά ηα δηαλύζκαηα: B A, C B, E D, G E, A G,. Αξα ινηπόλ ην F θαιύπηεηαη απν επηά νκνηόζεηα ηνπ ίζα πξνο 1 F.

8

9 Βιβλιογραφία 1. T.Bonnesen, W. Fencel, Theory of convex bodies, B.Associetes.. I.M. Yaglom,V.C Boltyanskii, Convex Figures, Holt Rinehart and Winston 3. V. Voltjansky, I. Golberg, Results and Problems in Combinatorial Geometry, Cambridge Uni. Press. 4. K. Bezdek, Classical topics in Discrete Geometry, Can. Math. Society. 5. Marek Lassak, Covering a plane convex body by four homothetical copies with the smalest positive ratio, Geometriae Dedicata 1 (1986) 157-167. 6. G.A. Rogers, Packing and Covering, Camb. Uni. Press.