Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας

Νικόλαος Ατρέας Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 3

Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Πίνακες σελ 4 Γενικά Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες 3 Είδη τετραγωνικών πινάκων 4 Πράξεις µε πίνακες 5 Ιδιότητες των πράξεων πινάκων 6 Άλλες χρήσιµες ιδιότητες Ασκήσεις Κεφάλαιο : Γραµµικά συστήµατα σελ 5 Αναγωγή πίνακα σε κλιµακωτή µορφή Απαλοιφή Gauss Τάξη πίνακα Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε επαυξηµένο πίνακα Ασκήσεις Κεφάλαιο 3: Ορίζουσες σελ 45 3 Ορισµοί 3 Ιδιότητες οριζουσών 33 Εφαρµογές οριζουσών Ασκήσεις Κεφάλαιο 4: Ευκλείδιοι χώροι σελ 64 4 Ορισµοί 4 Πράξεις µε διανύσµατα 43 ιάνυσµα θέσης Καρτεσιανό σύστηµα αξόνων 44 Οι χώροι Γραµµική ανεξαρτησία/εξάρτηση διανυσµάτων Βάση 45 Σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στον 3 46 Εξωτερικό και µικτό γινόµενο στον Ασκήσεις Κεφάλαιο 5: Εξισώσεις ευθειών και επιπέδων στο χώρο σελ 8 3 5 Εξισώσεις ευθείας στο

5 ιανυσµατική εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σηµείο Α και είναι παράλληλη σε διάνυσµα b Παραµετρικές και συµµετρικές εξισώσεις ευθείας 5 Εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από δυο σηµεία 53 Σχετικές θέσεις δυο ευθειών στο χώρο 3 5 Εξισώσεις επιπέδου στο χώρο 5 Ορισµός Αναλυτική εξίσωση επιπέδου 5 Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σηµείο και είναι παράλληλο σε δυο µη συγγραµικά διανύσµατα 53 Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία µη συνευθειακά σηµεία 54 Απόσταση σηµείου από επίπεδο Ασκήσεις Κεφάλαιο 6: Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα τετραγωνικών πινάκων σελ 97 6 Ορισµοί 6 ιαγωνοποίηση πίνακα 63 Ιδιότητες ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων Aσκήσεις Κεφάλαιο 7: ευτεροβάθµιες καµπύλες στο επίπεδο και δευτεροβάθµιες επιφάνειες σελ 8 7 ευτεροβάθµιες καµπύλες στο επίπεδο 7 ευτεροβάθµιες επιφάνειες 3

ΚEΦΑΛΑΙΟ Γενικά Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F της µορφής αριθµών ij A A A = Am A m καλείται πίνακας A = ( A ij ) διάστασης m (ή m πίνακας A) µε στοιχεία (ή συντελεστές) A ij Αν F = τότε ο A καλείται πραγµατικός πίνακας ενώ αν F = τότε ο A καλείται µιγαδικός πίνακας Το σύνολο όλων των m πινάκων µε στοιχεία από το F συµβολίζεται µε M F ( ) m Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ij µέσω των δεικτών i και j O πρώτος δείκτης (δηλ ο δείκτης i) δηλώνει πάντα ότι το στοιχείο A είναι τοποθετηµένο στην i γραµµή του πίνακα A, ενώ ο ij δεύτερος δείκτης (δηλ ο δείκτης j) δηλώνει πάντα ότι το στοιχείο είναι τοποθετηµένο στη j στήλη του πίνακα A Για παράδειγµα αν θεωρήσουµε τον 3 πίνακα A = 8,, A ij Με τον όρο σώµα εννοούµε ότι το (ή το ) είναι εφοδιασµένα µε τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολ/σµού πραγµατικών (ή µιγαδικών) αριθµών 4

τότε A3 =, A =, A = κλπ Από τα παραπάνω εύκολα διαπιστώνουµε ότι οι πίνακες 3 A= ( i), B=, C =, είναι 4, και πίνακες αντιστοίχως (ή ισοδύναµα είναι πίνακες διάστασης 4, και αντιστοίχως) µε στοιχεία από το όσον αφορά τον Α και από το όσον αφορά τους πίνακες Β και C Ορισµός Εστω πίνακας A Mm ( F) : A ( Aij) = Tα στοιχεία A, A,, A, όπου k = mi{ m, } καλούνται στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του πίνακα Α Για παράδειγµα αν θεωρήσουµε τους πίνακες τότε το τα στοιχεία B B του Β 3 A= ( 3 ), B=, A = είναι το µόνο στοιχείο της κυρίας διαγωνίου του Α, ενώ =, = είναι τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου Ορισµός 3 (Ισότητα πινάκων) Εστω A B M ( F) ( ij ), ( ij ) kk, : A = A B= B Θα λέµε ότι οι πίνακες A και B είναι ίσοι και θα γράφουµε A = B αν και µόνον αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα, δηλαδή Aij = Bij για κάθε i =,, m, j =,, Σηµείωση: Συνήθως συµβολίζουµε έναν πίνακα µε κεφαλαία γράµµατα της αγγλικής αλφαβήτου ηλαδή Α,Β,C, κλπ Ισοδύναµοι συµβολισµοί στη βιβλιογραφία είναι οι ακόλουθοι: A A ij A A i, j A a ij A = a i, j ή A = A ij ή A = A i, j ή = ( ) ή = ( ) ή = ( ) ή ( ) A = a ij ή A = a i, j m 5

Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες Eνας πίνακας διάστασης µε στοιχεία από το F καλείται και ως πίνακας γραµµή ενώ ένας πίνακας διάστασης m καλείται και ως πίνακας στήλη Σηµειώνουµε ότι ένας πίνακας γραµµή (ή στήλη) µπορεί να θεωρηθεί και ως ένα διάνυσµα µε τις καρτεσιανές συντεταγµένες του να δίνονται από τα στοιχεία του πίνακα Εστω A Mm ( F) : A ( Aij) Αν ij = A = για κάθε i =,, m και j,, µηδενικός πίνακας, συµβολικά m = τότε ο A καλείται Καλούµε ανάστροφο του A, έναν νέο m πίνακα, συµβολικά στοιχεία T i =, j =,, m ( A ) ij = A,,, Για παράδειγµα αν A = ( 3), τότε ji T A = 3 T A, µε ηλαδή οι γραµµές του πίνακα A είναι στήλες του αναστρόφου πίνακα T T A (και οι στήλες του A είναι γραµµές του A ) Καλούµε συζυγή του A, έναν νέο m πίνακα, συµβολικά A, µε στοιχεία A = A, i =,, m, j =,, ( ) ij ij Για παράδειγµα αν A = ( 3i + i), τότε A ( 3i i) = Καλούµε συζυγή ανάστροφο του A έναν έναν νέο m πίνακα, * συµβολικά A, µε στοιχεία * ( A ) ij = A, i,, ji = =, j,, m 6

3 Τετραγωνικοί πίνακες Ορισµός 4 Ενας πίνακας A που έχει τον ίδιο αριθµό γραµµών και στηλών καλείται τετραγωνικός πίνακας ηλαδή ένας m πίνακας A είναι τεραγωνικός αν m= Στην περίπτωση αυτή αντί να γράφουµε A M F A M F ( ) θα γράφουµε απλά ( ) Εστω A M( F) : A ( Aij) = Τότε: ο A καλείται συµµετρικός αν A = A i, j =,, Με άλλα λόγια ο A είναι συµµετρικός αν ταυτίζεται µε τον ανάστροφό του T T A, δηλαδή A = A ο A καλείται αντισυµµετρικός αν A = A i, j =,, Με άλλα λόγια ο A είναι αντισυµµετρικός αν ταυτίζεται µε τον αντίθετο T του αναστρόφου του, δηλαδή ij A = A ο A καλείται Ερµητιανός αν A = A i, j =,, Με άλλα λόγια ο A είναι Ερµητιανός αν ταυτίζεται µε τον συζυγή ανάστροφό * * του A, δηλαδή A = A ο A καλείται Aντιερµητιανός αν A = A i, j =,, Με άλλα λόγια ο A είναι Αντιερµητιανός αν ταυτίζεται µε τον αντίθετο * του συζυγή αναστρόφου του, δηλαδή ij ij ij ji ji A = A ο A καλείται διαγώνιος αν A = i j Για παράδειγµα οι 3 3 πίνακες ij 5 A=, B i = + 3 είναι διαγώνιοι Στην ειδική περίπτωση όπου ji ji A = i j και A =, i =,,, τότε ο A καλείται µοναδιαίος πίνακας και ii συµβολίζεται ως I Για παράδειγµα οι πίνακες ij 7

είναι µοναδιαίοι I =, I = 3 ο A εκαλείται άνω τριγωνικός αν Aij = i > j Οµοίως θα λέµε ότι ο A είναι κάτω τριγωνικός αν ισχύει Aij = i< j Για παράδειγµα ο 3 3 πίνακας 3 4 A = είναι άνω τριγωνικός ενώ ο 3 3 πίνακας είναι κάτω τριγωνικός 5 B= i + 8

4 Πράξεις µε πίνακες, : Ορισµός 5 (Αθροισµα πινάκων) Εστω A B M ( F) ( ij ), ( ij ) A A B B = = είναι δύο m πίνακα A B πινάκων A και B έναν νέο m m πίνακες Καλούµε άθροισµα των + µε στοιχεία ( ),,,,,, A + B = A + B i= m j = ij ij ij Για παράδειγµα αν A = 4 3 και 8 5 3 B = 7, τότε 8 + 5 + 3 6 6 3 A+ B= = 4+ 3+ + 7 3 6 Ορισµός 6 (Γινόµενο αριθµού επί πίνακα) Εστω k F και A = ( A ij ) είναι ένας m πίνακας Καλούµε γινόµενο του αριθµού k µε τον πίνακα A έναν νέο m πίνακα ka µε στοιχεία ( ),,,,,, ka = ka i = m j = ij ij Για παράδειγµα αν k = και A = 3 4, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 A = ( ) 3 = 3 6 4 = 4 4 4 8 Ορισµός 7 (Γινόµενο πινάκων) Εστω A = ( A ij ) είναι ένας m πίνακας και B= ( B js ) είναι ένας k πίνακας Καλούµε γινόµενο των πινάκων A και B έναν νέο m k πίνακα A B µε στοιχεία 9

( ) ij js j= A B = a b, i =,, m, s =,, k is Για παράδειγµα αν A = 3 4 και a c e B = b d f, τότε a c e A B= 3 b d f 4 a+ b c+ d e+ f = ( 3) a+ ( ) b ( 3) c+ ( ) d ( 3) e+ ( ) f a+ ( 4) b c+ ( 4) d e+ ( 4) f a+ b c+ d e+ f = 3a b 3c d 3e f a 4b c 4d e 4f Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι το γινόµενο A B δύο πινάκων A και B ορίζεται µόνον όταν Αριθµός στηλών του πίνακα A = αριθµό γραµµών του πίνακα B Τότε για να υπολογίσουµε το στοιχείο της i -γραµµής και s -στήλης του πίνακα A B εργαζόµαστε ως εξής: πολλαπλασιάζουµε το ο στοιχείο της i -γραµµής του πίνακα A µε το ο στοιχείο της s -στήλης του πίνακα B, στη συνέχεια πολλαπλασιάζουµε το ο στοιχείο της i -γραµµής του πίνακα A µε το ο στοιχείο της s- στήλης του πίνακα B κλπ και στο τέλος αθροίζουµε όλα τα γινόµενα που έχουν προκύψει Σηµείωση: Η αφαίρεση δύο m πινάκων A και B ορίζεται ως άθροισµα του A µε τον αντίθετο πίνακα του B ο οποίος είναι ο πίνακας B= B ηλαδή ( )

A B= A+ ( B) Προσοχή: εν ορίζεται διαίρεση πινάκων Mπορούµε να ορίσουµε δυνάµεις ενός πίνακα A υπό την προϋπόθεση ότι ο A είναι τετραγωνικός πίνακας Πιο συγκεκριµένα έχουµε: Ορισµός 8 ( ύναµη τετραγωνικού πίνακα) Εστω A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας και k Τότε ορίζουµε την k -δύναµη του A να είναι ο πίνακας k A = A A A k φορες Ορισµός 9 (Αντίστροφος τετραγωνικού πίνακα) Εστω A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Τότε ο A καλείται αντιστρέψιµος αν υπάρχει πίνακας B τέτοιος ώστε όπου ο A B= B A= I, I είναι ο µοναδιαίος πίνακας (βλέπε σελ 4) Σ αυτή την περίπτωση ο πίνακας B καλείται αντίστροφος του πίνακα A και γράφουµε B= A Αρα A A A A I = = () Παρατηρήσεις: (α) O µοναδιαίος πίνακας I παίζει τον ρόλο της µονάδας στο χώρο των τετραγωνικών πινάκων ηλαδή η γνωστή ιδιότητα «το γινόµενο οποιουδήποτε αριθµού x µε το αφήνει τον αριθµό x αναλλοίωτο» µεταφράζεται στους πίνακες ως εξής: «Το γινόµενο οποιουδήποτε m πίνακα A µε το µοναδιαίο πίνακα I αφήνει τον πίνακα A αναλλοίωτο» (β) Με την ίδια λογική, όπως ο αντίστροφος ενός µη µηδενικού αριθµού x είναι ο x = (διότι x x x = x = ) έτσι και ο αντίστροφος x τετραγωνικού πίνακα A (αν υπάρχει) ικανοποιεί την () (γ) Ο αντίστροφος τετραγωνικού πίνακα A (όταν υπάρχει) είναι µοναδικός A

(δ) Αν ο A είναι αντιστρέψιµος πίνακας τότε µπορούµε να ορίσουµε δυνάµεις του A µε εκθέτη αρνητικό ακέραιο ως εξής: k A = A A A k φορες (ε) Εστω A είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας Τότε ο A καλείται ορθοµοναδιαίος (ή ορθοκανονικός) αν ισχύει A A T =

5 Ιδιότητες των πράξεων πινάκων,, m, είναι ο µηδενικός πίνακας διάστασης m και k, λ F Τότε για την πρόσθεση πινάκων ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: Eστω A BC M ( F) A + B = B+ A (αντιµεταθετική), ( A + B) + C = A+ ( B+ C) (προσεταιριστική), υπάρχει µοναδικός πίνακας (ο µηδενικός) έτσι ώστε A + = + A= A, για κάθε πίνακα A υπάρχει µοναδικός πίνακας (ο αντίθετος του A) έτσι ώστε A+ ( A) = A+ A= Οσον αφορά το γινόµενο αριθµού επί πίνακα έχουµε: k( A+ B) = ka+ kb, ( λ ) k + A= ka+ λ A, ( kλ ) A k( λa) λ( ka) = = Τέλος για το γινόµενο πινάκων έχουµε (υπό την προϋπόθεση ότι οι ακόλουθες πράξεις µε πίνακες είναι καλά ορισµένες): ( A B) C = A ( B C) (προσεταιριστική) A ( B+ C) = A B+ A C (επιµεριστική) ( A + B) C = A C+ B C (επιµεριστική) k( A B) = ( ka) B= A ( kb) 3

Εστω τώρα A M ( F), I είναι ο µοναδιαίος πίνακας διάστασης Τότε ισχύει: και είναι ο µηδενικός πίνακας διάστασης A I = I A= A και A = A = λ + λ k, ( ), ( ) k k k k k k A A = A A = A µ A = µ A, k, λ Προσοχή: (α) Εν γένει ΕΝ ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα για το γινόµενο πινάκων ηλαδή γενικά ισχύει A B B A A B = A B Κατά συνέπεια εν γένει ΕΝ ισχύει και η ιδιότητα ( ) k k k όπου A, B τετραγωνικοί πίνακες και k Πίνακες που ικανοποιούν την ιδιότητα A B = B A καλούνται αντιµεταθετικοί πίνακες (β) Αν A B = ΕΝ ισχύει πάντα A = ή B = Κατά συνέπεια ΕΝ ισχύει πάντα A B= A C B= C Αν όµως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος τότε ισχύει A B= B= Γενικά στην απαλοιφή πινάκων πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί 4

6 Άλλες χρήσιµες ιδιότητες ( T A ) T * = A Οµοίως ( A ) * = A ( ) T T T A + B = A + B Οµοίως ( ) * * * A B A B + = + ( ) T T T A B = B A Οµοίως ( ) * * * A B B A = Αν A, B είναι τετραγωνικοί αντιστρέψιµοι πίνακες, τότε: ( ) A B B A = Οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι οι πράξεις είναι καλά ορισµένες και αποδεικνύονται εύκολα µε χρήση των ορισµών Αν A, B είναι τετραγωνικοί και αντιµεταθετικοί πίνακες (δηλ A B = B A) και k, τότε ισχύει το δυωνυµικό ανάπτυγµα k k k! A+ B = A B, k= k k = k! ( k)! ( ) 5

Λυµένες Ασκήσεις Εστω A 3 = 8, 5 B = 7, 4 9 C 4 = 3 9 8 5 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ( ) T T A + B, A 3 B, A B, C + A B, B A, 3C+ A B Λύση: Η παράσταση A + B δεν έχει νόηµα διότι η πρόσθεση πινάκων ορίζεται υπό την προϋπόθεση ότι οι πίνακες A και B έχουν τις ίδιες διαστάσεις Εφόσον ο A είναι πίνακας 3 και ο B είναι πίνακας 3 το άθροισµα A + B δεν ορίζεται Η παράσταση A 3B T ορίζεται διότι ο A είναι πίνακας 3 T B (ο ανάστροφος του B ) είναι επίσης πίνακας 3 πίνακας 3 ) Εχουµε λοιπόν T 3 7 4 A 3B = 3 8 5 9 T και ο (αφού ο B είναι 4 6 3 + 4 3 6 + = + = 4 6 5 7 4 5 6 + 7 5 = 9 6 9 Η παράσταση A B ορίζεται διότι ο A είναι πίνακας 3 και ο B είναι πίνακας 3, δηλαδή το πλήθος των στηλών του A ισούται µε το πλήθος των γραµµών του B Εχουµε λοιπόν 5 3 A B = 7 8 4 9 6

( ) ( ) ( ) ( ) + 37 + 4 5 + 3 + 9 = + 87 + 4 5 + 8 + 9 + + + + 3 = = + 56 + 4 + 9 58 9 T Η παράσταση C + A B δεν έχει νόηµα διότι η πρόσθεση πινάκων ορίζεται υπό την προϋπόθεση ότι όλοι οι προσθετέοι έχουν τις ίδιες T διαστάσεις Παρατηρούµε ότι ο C είναι πίνακας 3 3 (αφού ο C είναι πίνακας 3 3) ενώ όπως είδαµε παραπάνω το γινόµενο A B είναι πίνακας, άρα και ο A B είναι επίσης πίνακας Εποµένως T το άθροισµα C + A B δεν ορίζεται Η παράσταση B A ορίζεται διότι ο B είναι πίνακας 3 ενώ ο A είναι πίνακας 3, δηλαδή το πλήθος των στηλών του B ισούται µε το πλήθος των γραµµών του A Εχουµε λοιπόν 5 3 B A= 7 8 4 9 + 5 ( ) 3+ 5 8 + 5 ( ) 7 ( ) 7 3 8 7 ( ) ( 4) + 9 ( ) ( 4) 3+ 9 8 ( 4) + 9 ( ) = + + + 3+ 4 5 8 43 5 = 4 4 + + = 8 8 + 7 9 6 6 9 Παρατηρήστε ότι A B B A Η παράσταση 3C ( A B) T + δεν έχει νόηµα διότι η πρόσθεση πινάκων ορίζεται υπό την προϋπόθεση ότι όλοι οι προσθετέοι έχουν τις ίδιες διαστάσεις Παρατηρούµε ότι ο C είναι πίνακας 3 3 (άρα και ο 7

3C είναι επίσης πίνακας 3 3 A B είναι πίνακας ) ενώ όπως είδαµε παραπάνω το γινόµενο A B είναι επίσης πίνακας, άρα και ο ( ) T Εποµένως το άθροισµα 3C ( A B) T + δεν ορίζεται Να βρεθούν όλοι οι πίνακες X = ( X ij ) µε στοιχεία X ij έτσι ώστε A X = X A, όπου A = 4 Λύση: Είναι εύκολο να δούµε ότι για να ορίζονται τα γινόµενα A X, X A θα πρέπει ο X = ( X ij ) να είναι πίνακας Τότε έχουµε: A X X A X X X X 4 4 = X X = X X X X X X X + X X + 4X = X 4X X 4X X X X 4X + + + + X X = X + X X = X X X X 4X = + X X = 3X X + 4X = X + X X + 3X = X X + 4X = X + 4X X = X X = X X = X X = X X X = 3X X X = 3X X X 3X X 3 ( X ) X = X 3X X + = = Eστω X = a και X X = b a Συνεπώς: 3 = b,, ab Τότε X a = και X X X b a X X a b 3a = =, a, b 8

3 Εστω A είναι τετραγωνικός πίνακας τέτοιος ώστε 3 A A A I 3 + 3 = είξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και υπολογίστε τον αντίστροφό του Επίσης δείξτε ότι ο A k I, k είναι αντιστρέψιµος για κάθε k Λύση: Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει τετραγωνικός πίνακας B τέτοιος ώστε A B= I Aπό τη σχέση 3 A A A I 3 + 3 = έχουµε: A 3 3A + 3A I ( 3 3 = A A + 3A) = I A 3A+ 3I A = I Aρα ο A είναι αντιστρέψιµος και A 3A+ 3I A = Εστω τώρα στην C = A k I Τότε A C k I 3 A 3A + 3A I = παίρνουµε: 3 ( ) ( ) ( ) = + και αντικαθιστώντας C+ k I 3 C+ k I + 3 C+ k I I = 3 3 ( ) ( ) ( ) C + 3k C+ 3kC + k I 3 C + kc+ k I + 3 C+ ki I = ( ) ( ) ( ) 3 3 C + k C + k k + C = k k + k I () 3 3 6 3 3 3 Eπειδή k 3 3k 3k ( k )( k k ) + = + έχουµε ( )( ) 3 + 3 = + για κάθε k 3 k k k k k k Τότε για κάθε k η () γράφεται ως 9

( 3 ( ) ( 3 6 3 ) ) ( 3 3 3 ) C C + k C+ k k + I = k k + k I και διαιρώντας και τα δύο µέλη µε το µη µηδενικό αριθµό ( k 3 3k 3k ) + προκύπτει το ζητούµενο 4 Αν A = υπολογίστε τον πίνακα A Λύση: Εχουµε: A = = = I 3 A A A I A A = = =, Aρα: ( ) ( ) 4 A A A I I I A = = = I, = 4k A, = 4k + =, k I, = 4k + A, = 4k + 3 5 Αν A, B είναι τετραγωνικοί m m πίνακες και αν A B B A= Im δείξτε ότι + + A B B A A = ( + ), =,, Λύση: Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο επαγωγής Για = έχουµε: A B B A= A = I m που ισχύει λόγω υπόθεσης Eστω ότι η πρόταση ισχύει για = k, k+ k+ k A B B A = ( k + ) A Θα δείξουµε ότι η πρόταση ισχύει για = k + Πολ/ζουµε και τα δύο k+ k+ k µέλη της ισότητας A B B A = ( k + ) A µε A και έχουµε

( ) A B B A = ( k + ) A A A B B A = ( k+ ) A k+ k+ k k+ k+ k+ ( ) ( ) A B A BA = ( k + ) A A B AB A = ( k + ) A k+ k+ k+ k+ k+ k+ ( ) A B BA+ I A = ( k + ) A (λόγω της AB BA= Im ) k+ k+ k+ m A B BA I A = ( k + ) A A B BA = ( k + ) A k+ k+ k+ k+ k+ k+ k+ m Aρα η πρόταση ισχύει για = k + και συνεπώς ισχύει για κάθε 6 Εστω A, B, Γ είναι τετραγωνικοί m m πίνακες Αν ο A είναι αντιστρέψιµος και A = B +Γ δείξτε ότι BA Γ =Γ A B Λύση: Εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος υπάρχει ο αντίστροφός του A Τότε: ( ) ( ) ( )( ) BA Γ= A Γ A A B = I ΓA A B m = A B Γ+Γ A B= +Γ A B=ΓA B 7 Αν A είναι πραγµατικός συµµετρικός πίνακας και B είναι T m πίνακας δείξτε ότι ο πίνακας B AB είναι συµµετρικός T Λύση: ( ) ( ) T T T T T T T T B AB = B A B = B A B= B AB

Εστω A = Aλυτες ασκήσεις, B ( i) =, C = 3 Υπολογίστε τις T παραστάσεις ( ) T A B, C 3 AB, BA I ( )( *, A B A B ) + + + + Απάντ 3, i 8+ 6i 8+ i + 3i 3 + 6i, 3 i, Αν A = υπολογίστε τον πίνακα A Απάντ A = 3 Υπολογίστε όλους τους πραγµατικούς πίνακες A που ικανοποιούν την εξίσωση A = Απάντ A = x ή x A = ή x y A = x / y x 4 Aν A είναι τετραγωνικός πίνακας έτσι ώστε A = 4A 3I δείξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και υπολογίστε τον αντίστροφό του Στη 3 3 3 συνέχεια δείξτε ότι A = A+ I, 4I A Απάντ A = 3 5 Εστω A B M ( F) ( A B), είναι αντιστρέψιµοι και υπάρχει ο + Υπολογίστε τον ( A B ) + Απάντ ( ) B A+ B A 6 είξτε ότι το γινόµενο άνω (κάτω) τριγωνικών πινάκων είναι άνω (κάτω) τριγωνικός πίνακας

/ 3 / 3 x 7 Υπολογίστε τον πίνακα A = / 6 / 6 y ώστε ο A να / / z είναι ορθοµοναδιαίος Aπάντ x= / 3, y = / 3, z = 8 Εστω A B M ( F), είξτε ότι: Ο πίνακας T AA είναι συµµετρικός Αν A, B είναι αντισυµµετρικοί τότε ο πίνακας A B B A είναι επίσης αντισυµµετρικός Αν A, B είναι συµµετρικοί, τότε το γινόµενο A B είναι συµµετρικός πίνακας αν και µόνον αν A B = B A 9 Εστω A M ( F) k τέτοιος ώστε A = είξτε ότι ο πίνακας I + A είναι αντιστρέψιµoς και υπολογίστε τον αντίστροφό του Απάντ k k k A = A A + + ( ) I Υπόδειξη: Xρησιµοποιείστε την ταυτότητα ( ) ( ) ( ) k k k x + = x+ x x + + k Αν A, B είναι τετραγωνικοί πίνακες δείξτε ότι (α) ( )( ) A B = A+ B A B A B= B A, (β) ( ) A + B = A + A B+ B A B= B A Να δείξετε ότι ο A 3 5 = 3 5 δεν έχει αντίστροφο πίνακα 3

4 6 Υπολογίστε τον αντίστροφο του πίνακα A = /8 3/4 Απάντ A = /4 / 3 είξτε την προσεταιριστική ιδιότητα ( A B) C = A ( B C) 4 Αν A, B είναι τετραγωνικοί πίνακες δείξτε ότι (α) ( ) A = A, (β) ( ) A B = B A 5 Αν A, B είναι τετραγωνικοί πίνακες έτσι ώστε A B = B A δείξτε ότι (α) A B = B A, (β) B A A B =, (γ) A B B A = 6 Αν A είναι τετραγωνικός πίνακας έτσι ώστε k A = A, k A = A δείξτε ότι 7 Αν A, B είναι τετραγωνικοί πίνακες δείξτε ότι (α) ( ) T T T A + B = A + B, (β) ( ) T T T A B B A =, (γ) ( ) * * * A + B = A + B, (δ) ( ) * * * A B B A = T 8 Αν A είναι συµµετρικός πίνακας δείξτε ότι ο A + A είναι T συµµετρικός ενώ ο A A είναι αντισυµµετρικός Στη συνέχεια δείξτε ότι ο A µπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντισυµµετρικού πίνακα 9 είξτε ότι A I ( I A) ( I A) = + = 4

ΚEΦΑΛΑΙΟ Γραµµικά Συστήµατα Στο Κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss που χρησιµοποιείται ευρύτατα για την επίλυση γραµµικών συστηµάτων Αναγωγή πίνακα σε κλιµακωτό Απαλοιφή Gauss Tάξη πίνακα = είναι ένας m πίνακας µε στοιχεία Aij F Στο εξής θα συµβολίζουµε µε A = A : j =,, Εστω A ( A ij ) την i -γραµµή του πίνακα A i { ij } Κάθε µία από τις ακόλουθες διαδικασίες καλείται στοιχειώδης πράξη στις γραµµές του πίνακα A: Αντιµετάθεση της γραµµής A i A j A i µε τη γραµµή A j, συµβολικά Αντικατάσταση της γραµµής k, συµβολικά Ai kai A µε τη γραµµή ka, k F, i i Αντικατάσταση της γραµµής A i µε τη γραµµή Ai + kaj για κάποιο k F, συµβολικά Ai Ai + kaj Ορισµός Ένας πίνακας A Mm ( F) µε στοιχεία από το σώµα F ( F = ή F = ) καλείται κλιµακωτός κατά γραµµές αν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Σε κάθε γραµµή το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο εξ αριστερών είναι το To στοιχείο αυτό καλείται καθοδηγητική µονάδα Tο πρώτο σε κάθε µη µηδενική γραµµή βρίσκεται πάντα εκ δεξιών του πρώτου της προηγούµενης γραµµής 5

Ολες οι µηδενικές γραµµές (αν υπάρχουν) βρίσκονται κάτω από όλες τις µη µηδενικές γραµµές Ορισµός Θα λέµε ότι ένας κλιµακωτός πίνακας είναι σε ελαττωµένη κλιµακωτή µορφή γραµµών αν το πρώτο σε κάθε γραµµή είναι το µοναδικό µη µηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει Για παράδειγµα οι πίνακες 3 9 A=, B = 9 είναι κλιµακωτοί κατά γραµµές και επιπρόσθετα ο A είναι σε ελαττωµένη κλιµακωτή µορφή γραµµών Περιγράφουµε τώρα τον αλγόριθµο του Gauss που µετατρέπει έναν m πίνακα A σε κλιµακωτή µορφή γραµµών Βήµα : (a) Επιλέγουµε την πρώτη µη µηδενική στήλη του A, έστω στη θέση j Από τα µη µηδενικά στοιχεία της στήλης j επιλέγουµε αυτό που βρίσκεται στη µικρότερη γραµµή, έστω A Τότε αντιµεταθέτουµε i, j την η γραµµή µε την i -γραµµή: A A i (b) Αντικαθιστούµε την η γραµµή που προέκυψε µετά το (a) µε τη γραµµή A A ηλαδή: A A A (c) Αντικαθιστούµε όλες τις υπόλοιπες γραµµές A, i=,, m του i πίνακα A µε τις γραµµές A A A A Μετά το πέρας του i i i () βήµατος 3 έχουµε καταλήξει σ έναν πίνακα A του οποίου η η στήλη είναι η m Βήµα : Εστω m πίνακας που προκύπτει µε διαγραφή της ης γραµµής και της η στήλης του A είναι ο ( ) ( ) 6

() πίνακα A που προέκυψε στο βήµα Επαναλαµβάνουµε τα (a)- (c) του βήµατας για τον πίνακα A ώστε να προκύψει πίνακας () A του οποίου η η στήλη να είναι η ( m ) του αρχικού πίνακα µετασχηµατίσθηκε στη στήλη Τότε η η στήλη () A m Βήµα 3: Εστω m πίνακας που προκύπτει µε διαγραφή της ης γραµµής και της η στήλης του () πίνακα A επαναλαµβάνουµε τα (a)-(c) και συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο Ορισµός 3 Εστω A Mm ( F ) συµβολικά ( ) A να είναι ο ( ) ( ) Καλούµε τάξη ή βαθµό του πίνακα A, rak A το πλήθος όλων των καθοδηγητικών µονάδων στην κλιµακωτή µορφή γραµµών του A Παρατηρήσεις: (α) Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει άµεσα ότι η τάξη ενός m πίνακα A ικανοποιεί τη σχέση rak A ( ) mi { m, } (β) Η τάξη πίνακα A είναι φυσικός αριθµός καλά ορισµένος Πράγµατι αποδεικνύεται ότι αν A Mm ( F ) και B, C Mm ( F ) είναι δύο πίνακες σε κλιµακωτή µορφή γραµµών οι οποίοι προκύπτουν από τον A µε χρήση διαφορετικών στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών, τότε το πλήθος όλων των καθοδηγητικών µονάδων στην κλιµακωτή µορφή του A είναι το ίδιο είτε η κλιµακωτή µορφή του A ταυτίζεται µε τον πίνακα B είτε µε τον πίνακα C Θεώρηµα Εστω A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Τότε ο A rak A = είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν ισχύει ( ) 7

Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε επαυξηµένο πίνακα Ορισµός 4 (γραµµικά συστήµατα) Καλούµε γραµµικό σύστηµα m εξισώσεων µε αγνώστους κάθε σύστηµα της µορφής Ax+ Ax+ + Ax = B, A, B () ij i A x + A x + + A x = B m m m m Το παραπάνω σύστηµα () µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή πινάκων ως όπου ο m πίνακας A X = B, A A A = A A m m καλείται πίνακας των συντελεστών των αγνώστων x,, x, ο πίνακας B B = B m καλείται πίνακας στήλη των σταθερών όρων, ενώ ο πίνακας X x = x καλείται πίνακας στήλη των αγνώστων Ο m ( ) [ AB, ] A A B A A B A A B m m m = + πίνακας 8

καλείται επαυξηµένος (ή επεκτεταµένος) πίνακας του συστήµατος Αν ένα γραµµικό σύστηµα m εξισώσεων µε αγνώστους έχει τουλάχιστον µία λύση τότε λέµε ότι το σύστηµα είναι συµβιβαστό ενώ αν δεν έχει καµία λύση τότε λέµε ότι είναι ασυµβίβαστο (ή αδύνατο) Αν ένα συµβιβαστό σύστηµα έχει άπειρες λύσεις τότε καλείται αόριστο Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία όλοι οι σταθεροί όροι του γραµµικού συστήµατος εξισώσεων () είναι ίσοι µε το µηδέν, δηλαδή B = = B m = τότε λέµε ότι το γραµµικό σύστηµα είναι οµογενές Θεώρηµα Εστω A X = B είναι ένα γραµµικό σύστηµα m εξισώσεων A, B είναι ο επαυξηµένος πίνακας µε αγνώστους όπως παραπάνω Αν [ ] του συστήµατος και αν [ A, B ] [, ] είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον A B µετά από οποιονδήποτε στοιχειώδη µετασχηµατισµό γραµµών, τότε το σύστηµα A X = B έχει το ίδιο σύνολο λύσεων µε το αρχικό σύστηµα A X = B Σηµείωση: To Θεώρηµα είναι πολύ σηµαντικό διότι µας επιτρέπει να εφαρµόσουµε τον αλγόριθµο απαλοιφής του Gauss στον επαυξηµένο πίνακα [ A, B ] ώστε να µετασχηµατισθεί σ έναν πίνακα [ A, B ] σε κλιµακωτή µορφή γραµµών χωρίς να επηρεασθούν οι λύσεις του αρχικού συστήµατος Αν κατά την πορεία µετασχηµατισµού του πίνακα [ A, B ] βρούµε µία γραµµή της µορφής ( c) για κάποιο c, τότε το σύστηµα µας είναι αδύνατο Αυτό συµβαίνει διότι µέσω των στοιχειωδών µετασχηµατισµών που κάναµε κάποια από τις m εξισώσεις του αρχικού συστήµατος πήρε τη µορφή ( c ) = c η οποία είναι αδύνατη άρα και το σύστηµά µας είναι αδύνατο Αν κατά την πορεία µετασχηµατισµού του πίνακα [ A, B ] βρούµε µία γραµµή της µορφής ( ), τότε µέσω των στοιχειωδών µετασχηµατισµών που κάναµε κάποια από τις m εξισώσεις του αρχικού συστήµατος πήρε τη µορφή =, 9

η οποία ισχύει πάντα Αρα κάποια εξίσωση «περισσεύει» Για το σύνολο λύσεων ενός γραµµικού συστήµατος ισχύουν τα ακόλουθα: Θεώρηµα 3 Έστω ένα γραµµικό σύστηµα m εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής A X = B Τότε: Aν rak ([ A, B] ) rak ( A) Αν rak ([ A, B] ) rak ( A) τότε το σύστηµα είναι αδύνατο = τότε το σύστηµα έχει λύσεις Eπιπλέον: το σύστηµα έχει µοναδική λύση aν ([, ]) ( ) rak A B = rak A = το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις aν ([, ]) ( ) rak A B = rak A < Ειδικά αν το σύστηµα είναι οµογενές, δηλαδή A X = O, τότε προφανώς rak ([ A, B] ) = rak ( A), άρα έχει πάντοτε λύσεις Αυτό είναι και διαισθητικά αληθές αφού µια προφανής λύση ενός οµογενούς συστήµατος είναι η µηδενική Ετσι το παραπάνω Θεώρηµα γίνεται: Θεώρηµα 4 Ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα m εξισώσεων και αγνώστων της µορφής A X =O έχει πάντοτε µία λύση (τη µηδενική) Aν rak ( A) Αν rak ( A) = τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση (τη µηδενική) < τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις Σηµείωση: Συνέπεια του Θεωρήµατος 4 και του γεγονότος rak( A) = mi { m, } είναι ότι αν m<, δηλαδή αν ο αριθµός εξισώσεων είναι µικρότερος του αριθµού των αγνώστων τότε ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα A X = O έχει πάντα άπειρες λύσεις 3

Λυµένες ασκήσεις Να βρεθούν όλες οι λύσεις του οµογενούς συστήµατος x+ x 4x3 + 3x4 = x+ x x3 + x4 = x+ 4x x3 + 3x4 = Λύση: To σύστηµα γράφεται υπό µορφή πινάκων ως x 4 3 x = x 3 4 3 x 4 Θα εργασθούµε µε τη µέθοδο απαλοιφής Gauss για τον επαυξηµένο πίνακα 4 3 [ A B] = 4 3 Eχουµε: 4 3 4 3 A A A, = A3 A3 A 4 3 6 3 [ AB] 4 3 4 3 / / 6 3 / A3 6 A A3 A A + Aρα: x+ x 4x3 + 3x4 = x = x + 4 x4/ 3x4 x = x x4 x3 x4/= x3 = x4/ x3 = x4/ 3

Θέτουµε x = c, x4 = d, c, d Τότε το σύνολο λύσεων του συστήµατος είναι: ( x, x, x, x ) = ( c d, c, d/, d) = ( c, c,, ) + ( d,, d/, d) 3 4 ( ) ( ) = c,,, + d,,/,, c, d Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες το σύστηµα x+ x + x3 = 3 x x x3 = 3x + x + x3 = a 4x+ x x3 = a είναι συµβιβαστό Λύση: Aπό το Θεώρηµα 3 για να είναι το σύστηµα συµβιβαστό πρέπει rak A, B = rak A Εχουµε λοιπόν: και αρκεί ([ ]) ( ) [ AB, ] 3 3 A A A 3 = 3 a 4 4 9 + a A A + 3A 3 3 A4 A4 4 A 4 a 3 6 + a A A / 3 3 3 3 4 3/ A A A 3/ 4 4 9+ a 3+ a () A A + 3A 4 4 3 6 + a 3 5/ + a 3 3 3/ 3/ 3 5/+ a 5/ a/3 3+ a 3+ a A A A A 3 4 3 3 /3 3

Αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε να έχει το σύστηµα λύση είναι ([, ]) ( ) rak A B = rak A 3+ a= a= 3 3 Να επιλυθεί το σύστηµα παραµέτρου a R x x x3 = x+ x x3 = a 3x x + x3 = για τις διάφορες τιµές της Λύση: Σχηµατίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος και εφαρµόζουµε τη µέθοδο Gauss: A A A A, B = a ~ 5 a A3 A3 3 A + 3 5 5 3 [ ] /5 ~ /5 ( a )/5 ~ /5 ( a )/5 5 5 3 4 ( a + ) A A3 A3 5 A A 3 A3 ~ /4 /5 ( a )/5 ( a + )/4 A Aρα έχουµε µοναδική λύση που προκύπτει άµεσα από τον τελευταία πίνακα ως εξής: x x x3 = x = (5a+ )/ x + x3/5 = ( a )/5 x = (5a 7)/ x3 ( a )/4 = + x3 = ( + a)/4 4 Να εξεταστεί για ποιες τιµές των ab R, το σύστηµα x+ x + ax3 = x x + x3 = b x x + x3 = a 33

έχει (a) µοναδική λύση, (b) άπειρες λύσεις, (c) καµιά λύση Λύση: Εχουµε: a a A A+ A AB, = b ~ a b A3 A3 A + + a a+ a [ ] a ~ a b + + (3) 3a+ 4 a+ b+ 3 A A + A 3 3 η περίπτωση: Eστω 3a+ 4 a 4/3 Τότε 3 3 /3 ( 4 ) a A A a+ AB, ~ a b + + ( a+ b+ 3)/(3a+ 4) [ ] οπότε παίρνουµε µε προς τα πίσω αντικατάσταση x = ( a ab b+ a )/(3a+ 4) x = ( a ab+ b a+ 5)/(3a+ 4) x3 = ( a+ b+ 3)/(3a+ 4) Αρα για κάθε a 4/3 και για κάθε b το σύστηµα έχει την ανωτέρω µοναδική λύση η περίπτωση: Eστω 3a+ 4= a= 4/3 Τότε η (3) γίνεται 4/3 [ AB, ] 5/3 b + (4) b + 5/3 Eστω 5/3+ b b 5/6 Τότε το σύστηµα είναι αδύνατο διότι ο επαυξηµένος πίνακας έχει γραµµή της µορφής ( c) για κάποιο c 34

Eστω 5/3+ b= b= 5/6 Τότε το σύστηµα (4) γίνεται: 4/3 [ AB, ] 5/3 7/6 Aρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις διότι Τελικά: ([ ]) ( ) rak A, B = rak A = < = 3 a 4/3, b µοναδικη λυση a = 4/3, b 5/6, αδυνατη a = 4/3, b = 5/6 απειρες λυσεις 5 Να υπολογισθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 3 3 Λύση: Θεωρούµε τον πίνακα, 3 = 3 3 [ AI] Θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο Gauss ώστε να µετασχηµατίσουµε τον, I B Τότε B = A Εχουµε: πίνακα [ A I ] στη µορφή [ ] [ AI] 3 3, 3 A A, 3 = 3 ~ 3 3 35

/ 3/ / / 3/ / A A A ~ ~ 3 5/ 9/ 3/ A A + / 3 3 3 A A A / A A 5 A / 3 3 5/ / / 5/ / / A3 A3/9 9/ 5/ 3/ 5/9 3/9 /9 ~ ~ A A 5 A / ~ 3 A A + A 3 Τελικά: 3/9 /9 5/9 9/9 6/9 4/9 5/9 3/9 /9 3/9 /9 5/9 3 5 = 9/9 6/9 4/9 = 9 6 4 9 5/9 3/9 /9 5 3 A 6 Να επιλυθεί το σύστηµα x+ x x3 + 3x4 = 4 x+ 3x + 3x3 x4 = 3 5x+ 7x + 4x3 + x4 = 5 Λύση: Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι 3 4 3 4 A A A, = 3 3 3 ~ 7 7 5 A3 A3 5 A 5 7 4 5 4 4 5 [ AB] 3 4 ~ 7 7 5 Aρα το σύστηµα είναι αδύνατο 5 A A A 3 3 36

7 Eστω abcλ,,, Να επιλυθεί ως προς x,y,z το σύστηµα x+ y+ z= ax + by + cz = λ ax+ by+ cz= λ Λύση: Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι A A aa A, B = a b c λ ~ b a c a λ a A3 A3 a A a b c λ b a c a λ a [ ] Περίπτωση Α: Eστω b a b a Τότε από την παραπάνω έχουµε A A b a A, B ~ ( c a)/( b a) ( a)/( b a) b a c a λ a [ ] /( ) λ ~ ( c a)/( b a) ( λ a)/( b a) ( c a)( c b) ( λ a)( λ b) 3 3+ ( ) A A a b A Υποπερίπτωση Α : Eστω ( c a)( c b) c a και c b από την παραπάνω έχουµε Τότε A [ ] 3 A3 /(( c a )( c b )) λ AB, ~ ( c a)/( b a) ( a)/( b a) ( λ a)( λ b)/(( c a)( c b)) Τότε προκύπτει µε προς τα πίσω αντικατάσταση µοναδική λύση η 37

( λ b)( λ c) x = ( b a)/( c a) ( λ a)( c λ) y = ( b a)/( c b) ( λ a)( λ b) z = ( c a)( c b) Υποπερίπτωση Α : Eστω ( c a)( c b) = c= a ή c= b Τότε A, B ( c a)/( b a) ( λ a)/( b a), ( λ a)( λ b) [ ] οπότε αν ( λ a)( λ b) λ a και λ b, το σύστηµα είναι αδύνατο ενώ αν λ = a ή λ = b τότε το σύστηµα είναι αόριστο Ειδικότερα: αν c= a και λ = a, τότε έχουµε: συνεπώς, [ AB] x + y+ z = x= z, y= y= άρα ( ) ( ) ( ) ( ) xyz,, = z,, z =,, + z,,, z αν c= a και λ = b, τότε έχουµε: συνεπώς: A, B ( λ a)/( b a), [ ] 38

άρα: λ a x+ y+ z = x = z b a λ a, y = λ a b a y = b a xyz,, λ a λ a λ a λ a = z,, z=,,+ z b a b a b a b a,,, z ( ) ( ) αν c = b και λ = a τότε έχουµε: συνεπώς: άρα: AB, ( c a)/( b a) [ ] c b x+ y+ z = x = z b a c a y+ z = c a b a y= z b a c b c a c b c a xyz,, = z, z, z=,, + z,,, z b a b a b a b a ( ) ( ) αν c = b και λ = b τότε έχουµε: συνεπώς: A, B ( c a)/( b a) ( λ a)/( b a), [ ] λ a c a b λ c b x+ y+ z = x = + z z x= + z b a b a b a b a c a λ a, y+ z = λ a c a λ a c a b a b a y= z y= z b a b a b a b a άρα: 39

b λ c b λ a c a x, yz, = + z, z, z b a b a b a b a ( ) b λ λ a c b c a =,, + z,,, z b a b a b a b a Περίπτωση B: Eστω b a= b= a Tότε: A, B c a λ a c a λ a [ ] Υποπερίπτωση B : Eστω c a c a Τότε: A A c a A, B ( a)/( c a) c a λ a [ ] /( ) λ + ( λ a)/( c a), ( λ a)( λ c) 3 3 ( ) A A a c A οπότε αν ( λ a)( λ c) λ a και λ c, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο, ενώ αν λ = a ή λ = c τότε το σύστηµα είναι αόριστο Ειδικότερα: αν λ = a τότε: συνεπώς: άρα:,, [ AB] x + y+ z = x= y, z = z = ( ) ( ) ( ) ( ) xyz,, = yy,, =,, + y,,, y 4

αν λ = c τότε: συνεπώς: άρα: A, B ( λ a)/( c a), [ ] c λ x+ y+ z = x= y+ c a λ a, z = λ a c a z = c a c λ λ a c λ λ a xyz,, = y+, y, =,, + y,,, y c a c a c a c a ( ) ( ) Υποπερίπτωση B : Eστω c a= c= a Τότε:, λ a λ a [ A B] οπότε αν ( λ a) = λ = a τότε το σύστηµα είναι αόριστο µε λύση ( x, y, z) ( y z, y, z) ( y, y, ) ( z,, z) y(,,) z(,,) = = + = +, ενώ αν λ a τότε το σύστηµα είναι αδύνατο 4

Αλυτες Ασκήσεις Nα επιλυθούν µε τη µέθοδο Gauss τα γραµµικά συστήµατα: ( A ) 3x 3x 6x3 x4 =, x x x3 + 5x4 = 6 ( B ) 4x 3x x3 = x + 3x + 4x3 = 3x x x3 = 3x x + x3 =, 6x3 x4 = ( C ) x x x3 + 5x4 = 6, x + x x = 4 x+ x x3 + x4 x5 = ( D ) x3 + 4x4 + x5 = x+ x3 x4 = Aπάντ Αόριστο x, x, x, x =,,, + x,,, + x,,,, x, x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 3 Μοναδική λύση (,, ) (,,) Απειρες λύσεις x x x = 3 ( ) ( ) ( ) x, x, x, x = 38/9, 3/ 5, / 6, + x / 9,9/9, /3,, x 3 4 4 4 Απειρες λύσεις ( x, x, x, x, x ) = ( 8, 6,,, ) + x ( 7,8, 4,,) + x ( 8,9, 5,,) 3 4 5 4 5 x + y+ az = a Να διερευνηθεί το σύστηµα x + ay + z = a για όλες τις τιµές της ax + y + z = παραµέτρου a R και να υπολογισθούν οι λύσεις αυτού (όταν υπάρχουν) Απάντ Για a {,} µοναδική λύση Για a = αδύνατο και για a = αόριστο 4

3 Για ποιες τιµές των ab, το σύστηµα x+ x + x3 = x x + ax3 = 3x+ x + bx3 = x x + x3 = 4 είναι αδύνατο; Απάντ Για a=, b ή για a και 5a 3b+ 4 Να υπολογίσετε τον αντίστροφο του πίνακα Απάντ A /6 9/6 7 /6 /6 5/8 /4 3/8 /4 = / /6 / /6 /4 / /4 / A = 3 5 6 5 Για ποιες τιµές του a ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος; A = a 3 3 6 a Απάντ ± 3 a 3 43

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ορίζουσες Στο Κεφάλαιο αυτό ασχολούµαστε αποκλειστικά µε τετραγωνικούς πίνακες 3 Ορισµοί Ορισµός 3 Εστω A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Στο εξής θα συµβολίζουµε µε πίνακα που προκύπτει από τον M έναν ( ) ( ) ij A αν διαγράψουµε την i γραµµή και j στήλη του Κάθε τέτοιος πίνακας καλείται ελάσσων πίνακας του πίνακα A Ορισµός 3 Εστω A = ( A ij ) είναι ένας πίνακας και M ij είναι ένας ελάσσων πίνακας του A όπως παραπάνω, µε i, j =,, Καλούµε D A ή A ) ή ορίζουσα του πίνακα A, συµβολικά Det ( A ) (ή ( ) τον αριθµό ( ) Det A = a a m a a m, i + j ( ) = ( ) i ( ), j i, j Det A a Det M j= ( ) ( ) ( ) = ( ) a Det M + ( ) a Det M + + ( ) a Det M i+ i+ i+ i, i, i, i, i, i, όπου ο δείκτης i µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών,, Τότε λέµε ότι υπολογίζουµε το ανάπτυγµα της ορίζουσας ως προς την i γραµµή του πίνακα A Ισοδύναµα καλούµε ορίζουσα Det ( A ) του πίνακα A τον αριθµό i+ j ( ) = ( ) i, j ( ) i, j Det A a Det M i= ( ) ( ) ( ) = ( ) a Det M + ( ) a Det M + + ( ) a Det M j+ j+ j+, j, j, j, j, j, j 44

όπου ο δείκτης j µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών,, Τότε λέµε ότι υπολογίζουµε το ανάπτυγµα της ορίζουσας ως προς την j στήλη του πίνακα A Παρατηρήσεις: (α) Η ορίζουσα Det A πίνακα ( ) ( ) A = A = A ορίζεται ως (β) Η ορίζουσα πίνακα A A A = A A είναι ο αριθµός Det ( A ) = A A A A (γ) Η τιµή Det ( A ) δεν εξαρτάται από την τιµή του δείκτη i (ή από την τιµή του δείκτη j ) που επιλέγουµε για να την υπολογίσουµε Η επιλογή του δείκτη i ή j βασίζεται συνήθως (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο) στο πλήθος των µηδενικών στοιχείων που περιέχει η εκάστοτε γραµµή ή στήλη Συνήθως επιλέγουµε ως τιµή για το δείκτη i (ή j ) εκείνη τη γραµµή (ή στήλη) του πίνακα A που περιέχει τα περισσότερα µηδενικά Για παράδειγµα έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα A = 3 Το πρώτο πράγµα που κάνουµε είναι να επιλέξουµε µία γραµµή ή στήλη ώστε να εφαρµόσουµε κάποια από τις δύο ισοδύναµες ισότητες του ορισµού 3 Είναι εύκολο να δούµε ότι η δεύτερη στήλη του A περιέχει τα περισσότερα µηδενικά στοιχεία σε σχέση µε όλες τις υπόλοιπες στήλες και γραµµές του A Θα υπολογίσουµε λοιπόν την ορίζουσα του πίνακα A κατά τη η στήλη εφαρµόζοντας τη δεύτερη ισότητα του ορισµού για j = Eχουµε λοιπόν: 3 ( ) ( ) i + = j i, j ( ) i, j Det A a Det M i= ( ) ( ) ( ) = ( ) a Det M + ( ) a Det M + ( ) a Det M + + + 3 3 3 45

3 3 = ( ) + = ( ) 3 ( ( ) ) ( ) = ( ) 3 = 6 = 6 Στο ίδιο αποτέλεσµα θα καταλήξουµε αν επιλέξουµε j = ή j = 3 Επίσης στο ίδιο αποτέλεσµα θα καταλήξουµε αν επιλέξουµε i = ή i = ή i = 3 και εργασθούµε µε την η σχέση του ορισµού (δ) Ειδικά για τον υπολογισµό της ορίζουσας ενός 3 3 πίνακα A µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον λεγόµενο κανόνα Sarrus: + + + ( ) Det A = A A A A A3 A3 A 3 A 3 A 33 A A A 3 A A A 3 = AA A33 + AA3A3 + A3 AA3 A3 AA3 A3A3A A33AA 3 Ιδιότητες οριζουσών Εστω A, B είναι πίνακες Αν ο A έχει µια µηδενική γραµµή (ή στήλη) τότε Det ( A ) = Αν ο A έχει δύο ανάλογες γραµµές (ή στήλες) τότε Det ( A ) = 3 Αν B είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον A µε αντιµετάθεση δύο οποιονδήποτε γραµµών (ή στηλών) του A τότε Det B ( ) Det ( A) = 3 Αν B είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον A πολλαπλασιάζοντας µια γραµµή (ή µια στήλη) του A µε πραγµατικό αριθµό k, τότε Det B ( ) k Det ( A) = Αµεση συνέπεια αυτού είναι η Det ( ka) k Det ( A) = 46

5 Αν B είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον A αντικαθιστώντας µια γραµµή Γ (ή µια στήλη Σ ) του A µε τη γραµµή Γ + kγ (ή µε τη στήλη i Σ + λσ ), τότε j j j Det B ( ) Det ( A) = i i 6 A A A A B B A + B A + B = A A + B B i i i i i i i i A A A A B B Ανάλογη ιδιότητα ισχύει και για τις στήλες του πίνακα Προσοχή: Γενικά Det ( A ± B) Det ( A) ± Det ( B) 7 Det ( A B) = Det ( A) Det ( B) 8 Αν ο A είναι άνω (ή κάτω) τριγωνικός πίνακας τότε η ορίζουσα του A ισούται µε το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων του 9 Η ορίζουσα ορθοκανονικού πίνακα ισούται µε ± Αν T A είναι ο ανάστροφος πίνακας του A τότε = Det ( A) Det ( A) Det A T ( ) Det ( A) = * Det ( A ) Det ( A) = Επειδή ο απευθείας υπολογισµός της ορίζουσας είναι αρκετά πολύπλοκος (ειδικά για πίνακες µεγάλων διαστάσεων) οι παραπάνω ιδιότητες µας επιτρέπουν να εξάγουµε γρήγορα την τιµή µιας ορίζουσας για κάποιες µορφές πινάκων Για παράδειγµα παρατηρούµε ότι η ορίζουσα 47

a b c x y z a b c ισούται µε µηδέν διότι η η και η 3 η γραµµή είναι ανάλογες Επίσης x a = x a c, b c διότι η παραπάνω είναι ορίζουσα ενός κάτω τριγωνικού πίνακα 48

33 Εφαρµογές ορίζουσας Θεώρηµα 3 Έστω A είναι ένας πίνακας και M ij είναι οι ελάσσονες πίνακες αυτού όπως στον ορισµό Τότε A αντιστρέψιµος Det ( A) και ο A υπολογίζεται από την ισότητα ( ) ( ) A = adj A Det A, όπου adj( A ) είναι ο προσαρτηµένος πίνακας του A που ορίζεται ως ( ) i+ j ( ) ( ji ) adj A = ( ) Det M, ( i, j =,, ) Μια άλλη εφαρµογή των οριζουσών εµφανίζεται στην επίλυση γραµµικών συστηµάτων εξισώσεων µε αγνώστους Θεώρηµα 3 (Κανόνας Cramer) Εστω A x + A x + + A x = B, A x + A x + + A x = B είναι ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους Όπως είπαµε στο Κεφ το παραπάνω σύστηµα µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή AX = B, όπου A είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, X είναι ο πίνακας στήλη των αγνώστων και B είναι ο πίνακας στήλη των σταθερών όρων Eστω Di ( A) i=,, είναι οι ορίζουσες που προκύπτουν από τον πίνακα των συντελεστών A αν αντικαταστήσουµε την i στήλη αυτού µε τη στήλη των σταθερών όρων Τότε: To σύστηµα έχει µοναδική λύση αν και µόνον αν Det ( A) Στην περίπτωση αυτή η µοναδική λύση δίνεται από τις ισότητες 49

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D A D A D A x x x Det A Det A Det A =,, i =,, = To σύστηµα είναι αδύνατο αν και µόνον αν Det ( A ) = και υπάρχει τουλάχιστον ένας δείκτης i =,, τέτοιος ώστε D A i ( ) To σύστηµα είναι αόριστο αν και µόνον αν ( ) ( ) ( ) Det A = D A = = D A = Αµεση συνέπεια είναι το ακόλουθο Θεώρηµα για οµογενή συστήµατα: Θεώρηµα 33 Εστω ax+ ax+ + ax=, a x + a x + + a x = είναι ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους To σύστηµα έχει µοναδική λύση (τη µηδενική) αν και µόνον αν Det ( A) To σύστηµα είναι αόριστο αν και µόνον αν Det ( A ) = 5

Λυµένες ασκήσεις Υπολογίστε τις κάτωθι ορίζουσες 4 i 3 4, 3, 4 3+ i 4 Λύση: (α) Εχουµε: i 4 3+ i ( )( ) = i 3+ i 4 = 3 i (β) Aναπτύσσουµε την ορίζουσα κατά την η γραµµή και έχουµε: 4 3 3 3 =+ 4 + = ( + ) 4 ( 3 ) = 4= 5 (γ) Aναπτύσσουµε την ορίζουσα κατά την η πολλά µηδενικά) και έχουµε: στήλη (επειδή έχουµε 3 4 4 3 = 4 + 4 4 Αλλά: + 3 + 3 4 5

3 4 4 4 = 3 ( ) + Eπίσης: = 3 + ( 8+ ) + ( 8+ ) = 3 4 4 4 = ( ) + Τελικά: = + ( 8+ ) + ( 8+ ) = 3 4 4 = 3 + 4 = Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα 3 4 5 6 7 A = 8 9 3 4 5 Λύση: Προφανώς µπορούµε να αναπτύξουµε την ορίζουσα ως προς µια γραµµή ή στήλη σύµφωνα µε τον ορισµό (µε κόστος πολλές πράξεις) Χρησιµοποιώντας στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών οι οποίοι αφήνουν αναλλοίωτη την ορίζουσα (βλέπε ιδιότητα 5) έχουµε: 3 3 4 5 6 7 A A A 4 4 4 4 A = = B 8 9 A4 A4 A38 9 3 4 5 4 4 4 4 5

Tότε: Det A ( ) = Det ( B) = διότι πίνακας µε δύο ίσες γραµµές έχει ορίζουσα ίση µε µηδέν (βλέπε ιδιότητα ) 3 Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα 4 A = 3 5 4 Λύση: Λόγω της ιδιότητας 5 αν αντικαταστήσουµε την 3 η γραµµή του πίνακα A µε την γραµµή A3 A4 τότε η ορίζουσα δεν µεταβάλλεται ηλαδή: 4 4 = = ( ) =, 3 5 4 4 διότι ο πίνακας που προκύπτει είναι κάτω τριγωνικός, άρα ισχύει η ιδιότητα 8 4 (α) Αν x y z = 3, να υπολογισθεί η ορίζουσα w 3 x y 6 6z 3 3w 9 (β) Να υπολογισθεί η ορίζουσα a x a+ x b y b+ y c z c+ z Λύση: (α) Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα 4 έχουµε: 53

x y x y x y 6 6z = 6 6z = 6 z 3 3w 9 3 3w 9 3 3w 9 x y = ( 3) z = 36 3 = 8 w 3 (β) Χρησιµοποιώντας πρώτα την ιδιότητα 6 και στη συνέχεια την ιδιότητα παίρνουµε: a x a+ x a x a a x x b y b+ y = b y b + b y y = + = c z c+ z c z c c z z 5 Έστω ο πίνακας Det A ( ) = ( ) ( ) A = Να δείξετε ότι Λύση: Προσθέτουµε στα στοιχεία της πρώτης στήλης τα στοιχεία των υπολοίπων στηλών και βγάζοντας κοινό παράγοντα έχουµε: ( ) = = Αντικαθιστούµε τη η γραµµή από τη γραµµή Γ Γ, την 3 η γραµµή από τη γραµµή Γ3 Γ, κλπ Λόγω της ιδιότητας 5 η ορίζουσα δε µεταβάλλεται, συνεπώς: 54

= ( ) ( ) O τελευταίος πίνακας είναι άνω τριγωνικός οπότε από την ιδιότητα 8 παίρνουµε: = ( ) = ( )( ) 6 Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα 3 A = 3 4 5 3 4 Λύση: Θα φέρουµε τον πίνακα σε τριγωνική µορφή Αντικαθιστούµε την πρώτη στήλη Σ µε τη στήλη Σ Σ, τη δεύτερη στήλη Σ µε τη στήλη Σ Σ 3, κλπ και την προτελευταία στήλη Σ µε τη στήλη Σ Σ, οπότε έχουµε ( ) Det A = 3 55

Αντικαθιστούµε τώρα τη δεύτερη γραµµή Γ µε τη γραµµή Γ +Γ, την τρίτη γραµµή Γ 3 µε τη γραµµή Γ +Γ 3, κλπ και την τελευταία γραµµή Γ µε τη γραµµή Γ+Γ, οπότε έχουµε Det A 3 4 ( ) = = ( )( ) ( ) διότι ο τελευταίος πίνακας είναι άνω τριγωνικός, άρα η ορίζουσά του ισούται µε το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων του 7 Να υπολογισθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 3 Λύση: Ηδη γνωρίζουµε έναν τρόπο υπολογισµού του αντιστρόφου πίνακα µε χρήση του αλγορίθµου Gauss Στην άσκηση αυτή θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 3 Κατ αρχήν υπολογίζουµε την ορίζουσα του πίνακα A και παίρνουµε: ( ) Det A = + = 5 6= 3 3 Tότε A = adj( A) Det ( A), όπου ( ) + πίνακας µε στοιχεία adj( A) adj A είναι ο προσαρτηµένος 3 3 ( ) ( ) i j Det ( M ji ) =, όπου M ij ji είναι οι ελάσσονες πίνακες του A όπως ορίσθηκαν στην αρχή του Κεφαλαίου Αρα: M M M3 adj( A) = M M M 3 M3 M3 M 33, 56

Aλλά: M = =, M = = 5, M3 = = 3 3 3 Oµοίως: M = = 7,, 3 3 3 M = = 3 M = = και M 3 = = 3, 3 3, 33 3 M = = M = = Τελικά: 7 3 7 3 = 5 3 5 3 = 3 3 3 3 3 3 A 8 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του πίνακα A = Λύση: Παρατηρούµε ότι Det ( A ) Det ( A ) Det ( A ) =, = 3, = 4 Εστω 3 ( ),,, Det A = + = Χρησιµοποιώντας το νόµο επαγωγής αρκεί να δείξουµε ότι ( ) Det A + = +, =,, Αναπτύσσοντας ως προς την πρώτη γραµµή βρίσκουµε εύκολα ότι 57

D + = D+ = ( + ) D = + ( + ) = + Αρα η πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό 9 Έστω Α είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε T A = A (α) Να δειχθεί ότι αν ο είναι περιττός τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος (β) Να δειχθεί ότι ο προσαρτηµένος πίνακας ικανοποιεί τη σχέση ( ) ( ) ( ) Det adja = Det A T Λύση: (α) Είναι γνωστό ότι Det ( A ) Det ( A) την υπόθεση T A = A έχουµε =, άρα συνδυάζοντας µε T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Det A = Det A = Det A = Det A = Det A Άρα Det ( A ) = και συνεπώς ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος (β) Eστω Det ( A) Τότε από την ισότητα έχουµε: A ( adja) = I Det A ( ) ( ) ( ) Det A ( adja) = Det I Det A Det ( adja) = Det ( A) Det ( A) Det A Det ( adja) = Det ( adja) = Det A ( ) ( Det ( A) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 58

Έστω τώρα Det ( A ) = Αν A = τότε προφανώς ισχύει η παραπάνω Αν A τότε θα ίσχυε A ( adja) = Αν ο πίνακας adja ήταν αντιστρέψιµος θα είχαµε A =, άτοπο Άρα ο πίνακας adja δεν είναι αντιστρέψιµος, συνεπώς Det ( adja ) = οπότε πάλι ισχύει η ισότητα ( ) (( )) ( ) Det adja = Det A Να επιλυθεί µε τη µέθοδο Cramer το σύστηµα Λύση: Εχουµε: x+ y+ z = x + y + z = 3x y+ z = D = = + = 3+ 8 = 9 3 3 3 Αρα το σύστηµα έχει µοναδική λύση Επειδή D x D y = = + = 6+ 6 8= 4, = = + = + 8 = 3, 3 3 3 D z = = + = 8 8=, έχουµε: D 4 x = x =, D 9 D y y = =, D 3 D z = z = = D 9 59

Αλυτες ασκήσεις 3 Με χρήση ορίζουσας µελετήστε την αντιστρεψιµότητα των κάτωθι πινάκων: + i 3 3i A = 4i + i, 3 B = /, 3 8 4 5 C = 3 3 4 Απάντ Και οι τρεις είναι αντιστρέψιµοι διότι Det ( A) 9 8 Det ( B ) = 5/, Det ( C ) = 35 3 Με χρήση ιδιοτήτων υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα: 33 είξτε ότι + x B = + y + z Απάντ Det ( B) = i, = xyz 3 a b c a+ d x y z x w x a+ 4 y+ b+ z c 4 x w+ a+ d + 8 = 4 34 είξτε ότι Det ( A ) x x x = + + + +, όπου x + x x x + x A = x x + x x x + 6

Υπόδειξη: Εφαρµόστε το νόµο επαγωγής 35 M ε χρήση ιδιοτήτων υπολογίστε τις ορίζουσες + a b c d a + b c d a b + c d a b c + d, x + y x x x x x+ y x x x x+ y x x x x x x+ y Υπόδειξη: Αντικαταστήστε την πρώτη στήλη από το άθροισµα των υπολοίπων, βγάλτε κοινό παράγοντα από την πρώτη στήλη και µετατρέψτε τον πίνακα πίνακα σε τριγωνικό Απάντ + a+ b+ c+ d, ( x+ y) y a 36 ίνεται ο πίνακας A = Υπολογίστε τις τιµές των b παραµέτρων ab, ώστε ο A να είναι αντιστρέψιµος και µε χρήση του προσαρτηµένου πίνακα υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα (για τις τιµές των ab, που βρήκατε Απάντ Πρέπει + b 4a Τότε 4 = 4a b + + b a A b b a a 37 Επιλύστε µε τη µέθοδο Cramer το σύστηµα x y z+ w= x 3z w= x+ y+ 4z+ 6w= y 6z+ w= 3 Απάντ 3 7 x=, y=, z =, w= 4 4 4 38 ιερευνήστε µε τη µέθοδο Cramer σύστηµα 6

x+ λ y+ z = 3 x y+ 3 z = λ, λ 3y λz = Απάντ Εχει µοναδική λύση λ, 3 / αλλιώς είναι αδύνατο 39 Χαρακτηρίστε τις επόµενες προτάσεις ως σωστές ή λάθος: Αν A είναι πίνακας, τότε Det ( 5A) = 5Det ( A) Αν A είναι πίνακας µε ( ) Det A =, τότε ( ) Det A = k Αν για τον πίνακα A ισχύει ( A + I) =, k N*, τότε ο A είναι αντιστρέψιµος Αν 3 A =, τότε Det ( A ) = Αν A είναι T πίνακας, τότε ( ) Det A A Απάντ Λ, Σ, Σ, Λ, Σ 6

KEΦΑΛΑΙΟ 4 Ευκλείδιοι χώροι 4 Ορισµοί Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του ως εξής: ιεύθυνση ή φορέας του AB είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ Φορά του AB είναι ο προσανατολισµός του Μέτρο ενός διανύσµατος AB (συµβολικά AB ) είναι το µήκος του αντίστοιχου ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ Η διεύθυνση και η φορά καλείται κατεύθυνση του AB Ένα διάνυσµα µέτρου καλείται µοναδιαίο διάνυσµα Μηδενικό διάνυσµα (συµβολικά ) είναι ένα διάνυσµα του οποίου η αρχή και το πέρας συµπίπτουν ύο διανύσµατα a, b καλούνται ίσα, συµβολικά a = b όταν βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς, έχουν την ίδια φορά και έχουν ίσα µέτρα ύο διανύσµατα καλούνται αντίθετα όταν βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς, έχουν αντίθετη φορά και έχουν ίσα µέτρα Αν a είναι ένα διάνυσµα, τότε το αντίθετο διάνυσµα του a συµβολίζεται µε a ύο διανύσµατα a, b καλούνται παράλληλα ή συγγραµικά (συµβολικά a // b ) όταν βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς Καλούνται οµόρροπα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση ενώ καλούνται αντίρροπα όταν έχουν αντίθετες κατευθύνσεις Γωνία µεταξύ δύο διανυσµάτων ab, καλούµε την κυρτή γωνία τους ηλαδή ab, 8 ( ) 63

4 Πράξεις µε διανύσµατα Έστω a, b είναι δύο διανύσµατα Αν b = b είναι τέτοιο ώστε το πέρας του a να είναι αρχή του b και αν a= AB, b = ΒΓ τότε ορίζουµε ως άθροισµα a+ b να είναι το διάνυσµα a + b = AΓ Ισοδύναµα αν OA = a, OB = b είναι δύο διανύσµατα µε κοινή αρχή O ορίζουµε ως άθροισµα a+ b να είναι το διάνυσµα: a+ b= ΟΓ, όπου ΟΓ είναι το διάνυσµα της διαγωνίου ΟΓ του παραλληλογράµµου ΟΑΒΓ µε πλευρές τα διανύσµατα a και b Η αφαίρεση a b δύο διανυσµάτων a, b ορίζεται ως το άθροισµα του a b = a + b a µε το αντίθετο διάνυσµα b ηλαδή ( ) Γινόµενο αριθµού µε διάνυσµα Σχήµα : Το διάνυσµα a b * Ορίζουµε ως γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα a να είναι ένα νέο διάνυσµα λ a τέτοιο ώστε: (α) ο µ ορροπο του a, οταν λ > λ a = αντιρροπο του a, οταν λ < (β) λ a = λ a 64

43 ιάνυσµα θέσης-καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Ορισµός 4 Έστω Ο είναι ένα σταθερό σηµείο και Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο, τότε το διάνυσµα Ο Μ καλείται διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ ή διανυσµατική ακτίνα του σηµείου Μ Ορισµός 4 Έστω ευθεία x x Εκλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο ως αρχή και ένα σηµείο Ι ώστε το διάνυσµα OI = i να είναι µοναδιαίο Τότε η ευθεία x x καλείται άξονας Με αυτό τον τρόπο υπάρχει µια - αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων της ευθείας x x και του συνόλου των πραγµατικών αριθµών ως εξής: Αν Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο του άξονα x x, τότε υπάρχει x : OM = x i και το x είναι µοναδικό διότι αν υπήρχε x x τέτοιο ώστε OM = x i θα έπρεπε να ισχύει: Τελικά έχουµε: ( x x ) i = O x = x και γράφουµε Μ ή Μ(x) έχοντας στο µυαλό µας ότι το σηµείο Μ έχει διάνυσµα θέσης Ο Μ και τετµηµένη x Ορισµός 43 Στο επίπεδο θεωρούµε κάθετους άξονες µε κοινή µονάδα µέτρησης που τέµνονται σε σηµείο Ο το οποίο θεωρούµε ως κοινή αρχή τους Ένα τέτοιο σύστηµα καλείται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Έστω i και j είναι τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων όπως φαίνονται στο κάτωθι σχήµα: 65

Αν Μ είναι τυχαίο σηµείο του επιπέδου, τότε x, y : ΟΜ = OA + AM = OA + OB = x i + y j, και σε κάθε σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών ( x, y ), διότι αν υπήρχε και άλλο ζεύγος ( x, y ) τέτοιο ώστε ΟΜ = x i + y j θα έπρεπε να ισχύει x x i = y y j, ( ) ( ) το οποίο είναι άτοπο, διότι η παραπάνω ισότητα υπονοεί ότι τα διανύσµατα i και j είναι παράλληλα, το οποίο δεν είναι αληθές Εχουµε λοιπόν µία - αντιστοιχία: Στο εξής θα γράφουµε M = OM = ( x, y) και θα εννοούµε ότι: στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών ( x, y ) το οποίο καλούµε καρτεσιανές συντεταγµένες του σηµείου Μ, στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διάνυσµα, το διάνυσµα θέσης OM 66

44 Ο χώρος Γραµµική ανεξαρτησία/εξάρτηση διανυσµάτων Βάση Ορισµός 44 Συµβολίζουµε µε το σύνολο όλων των διατεταγµένων x, y : x, y ηλαδή ζευγών ( ) {( x, y) : x, y } = Ο παραπάνω ορισµός γενικεύεται και για > : {( x, x) : xi, i,, } = = Εστω και το σύνολο όπως ορίσθηκε παραπάνω Εφοδιάζουµε το σύνολο µε τις ακόλουθες πράξεις: Πρόσθεση: Έστω Α = ( a, a,, a ), B = ( b, b,, b ) είναι δύο στοιχεία του Ορίζουµε το άθροισµα αυτών ως εξής: ( a, a,, a ) ( b, b,, b ) ( a b,, a b ) + = + + Προφανώς ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: A + B = B + A ( A + B) + Γ = A + ( B + Γ ) A + O = A, O = (,,,) µοναδικο σηµ ειο B : A + B = O Η πράξη της πρόσθεσης αντιστοιχεί γεωµετρικά στη συνήθη πρόσθεση των διανυσµάτων OA και OB όπως την περιγράψαµε παραπάνω Γινόµενο πραγµατικού λ µε στοιχείο A = ( a a ) Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: ( a,, a ) ( a,, a ) λ = λ λ,, 67

( λ µ ) A = λ ( µ A) ( λ µ ) λ µ λ ( ) λ λ A = A, = (,,) + A = A + A A + B = A + B Η παραπάνω πράξη αντιστοιχεί γεωµετρικά στο γινόνενο αριθµού µε διάνυσµα λ OA όπως την περιγράψαµε παραπάνω Ορισµός 45 Το σύνολο εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις καλείται διανυσµατικός χώρος και τα στοιχεία του καλούνται διανύσµατα Αν A ( a a a ) =,,,, τότε: (,, ) (,,,) (,,,,) (,,, ) A = a a a = a + a + + a (,,,) (,,,, ) (,,,) = + + + a a a = a e + a e + + a e, όπου e i =,,,, Στο εξής λέµε ότι τα διανύσµατα το οποίο σηµαίνει ότι : i θεση είναι µια βάση του χώρου e,, e (a) τα διανύσµατα,, e e είναι γραµµικώς ανεξάρτητα, δηλαδή ικανοποιείται η σχέση: και λ e + + λ e = λ = = λ = (b) τα διανύσµατα,, e e παράγουν το χώρο, δηλαδή κάθε διάνυσµα (,, OA = a a ) γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του συνόλου {,, } E = e e µέσω της σχέσης 68