Σε µια περιοχή συνυπάρχουν ένα οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, έντασης E καί ένα οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B, των οποίων οι δυνα µικές γραµµές είναι κάθετες. Ένα πρωτόνιο τη χρονική στιγµή t= είναι σε ηρεµία και υπό την επίδραση των δύο πεδίων αρχίζει να κινείται. Nα δείξετε οτι, η κίνησή του είναι επίπεδη καί να βρείτε τις εξισώσεις που καθορίζουν την τροχιά του. ΛYΣH: Eξετάζουµε την κίνηση του πρωτονίου ως πρός το τρισορθογώνιο σύστη µα αξόνων Oxyz, όπου ο άξονας Oz έχει την κατεύθυνση του πεδίου B και ο άξονας Ox την κατεύθυνση του πεδίου E (σχήµα α). Kατά τη διεύθυνση του άξονα Ox το πρωτόνιο δεν δέχεται ούτε ηλεκτρική ούτε µαγνητική δύναµη καί επειδή η αρχική του ταχύτητα κατά τη διεύθυνση αυτή είναι µηδενική το πρω τόνιο δεν µετατοπίζεται κατά την διεύθυνση Ox, δηλαδή κάθε στιγµή η x-συν τεταγµένη του πρωτονίου ικανοποιεί τη σχέση x=. Aυτό σηµαίνει ότι, το πρω τόνιο κινείται στο επίπεδο Oyz. Σχήµα α Έστω v y v z οι συνιστώσες της ταχύτητας v του πρωτονίου κατά µία τυχαία χρονική στιγµή t. Σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο της κίνησης του Nεύτωνα η διαφορική εξίσωση της κίνησης τoυ πρωτονίου σε διανυσµατική µορφή είναι: a = q E + q( v B ) ( i + a y j + az k ) = qe k + q (a y j + az k ) = qe k + q(bv z j - Bvy k ) a y j + az k = Bv z qe j + - Bv y & k i j k v z B a y = qbv z / a z = (qe - B )/ όπου a y, a z οι συνιστώσες της επιτάχυνσης a του πρωτονίου κατά τις διευθύν (1)
σεις των αξόνων Oy και Oz αντιστοίχως. Η δεύτερη εκ των εξισώσεων (1) παίρ νει τη µορφή: dv z = qe - qb () Παραγωγίζοντας την σχέση () ως πρός το χρόνο t παίρνουµε: d v z = - qb d & η οποία λόγω της πρώτης εκ των σχέσεων (1) γράφεται: d v z = - qb & v z d v z + qb & v z = d v z + v z = (3) µε ω=qb/. H (3) αποτελεί µία οµογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, και δέχεται λύση της µορφής: v z = C 1 µt + C t (4) όπου οι σταθερές C 1 καί C θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνη σης του πρωτονίου. Eπειδή γιά t= ισχύει v z =, η (4) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει C =, οπότε η (4) γράφεται: v z = C 1 ηµωt (5) Παραγωγίζοντας την σχέση (5) ως πρός το χρόνο έχουµε: dv z = C 1 t (6) H (6) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει: dv z & t= οπότε η σχέση (5) γράφεται: = C 1 qe = C 1 C 1 = qe v z = qe dz µt = qe qe µt dz = µt (7) Oλοκληρώνοντας την (7) παίρνουµε τη σχέση:
z = qe (µt) + C z = - qe t + C (8) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι z=, οπότε η (7) δίνει: = - qe + C C = qe Έτσι η σχέση (8) παίρνει τη µορφή: z = qe (1 -t) (9) Eξάλλου η πρώτη εκ των σχέσεων (1) µε βάση την (5) γράφεται d = C 1µt = qe µt d = qeµt = qe qe t µt + C' = - + C' (1) H σταθερά ολοκλήρωσης C' θα υπολογιστεί από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι =, οπότε η (9) δίνει: = - qe Έτσι η (1) γράφεται: = - + C' C'= qe qe t + qe dy = - qe t + qe dy = - qet + qe (11) Oλοκληρώνοντας την (11) παίρνουµε τη σχέση: y = - qe (t) + qet qe µt + C''= - + qet + C'' (1) H σταθερά ολοκλήρωσης C'' θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι y=, οπότε η (1) δίνει C''=. Έτσι η σχέση (1) τελικά παίρνει τη µορφή: y = - qe µt + qet y = qe (t -µt) (13) Oι σχέσεις (9) καί (13) αποτελούν τις εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου µέσα στο συνδυασµένο ηλεκτρικό καί µαγνητικό πεδίο. H τροχιά του πρωτονίου που
αντιστοιχεί στις σχέσεις αυτές ονοµάζεται κυκλοειδής καµπύλη και αποδί δεται στο σχήµα (α). ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Μπορούµε να αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα κίνησης του πρωτονίου στο συνδυ ασµένο ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο παρακάµτοντας την λύση των δύο δια φορικών εξισώσεων µε τον εξής τρόπο: Εάν v είναι η ταχύτητα του πρωτονίου σε τυχαίο σηµείο M της επίπεδης τρο χιάς του (σχήµα β) την αναλύουµε σε µια συνιστώσα v 1 οµόρροπη προς την θετική κατεύθυνση του άξονα Oy µε µέτρο v 1 =E/B (δηλαδή v 1 = E j /B) και στην v, η οποία είναι µεταβλητή. Eξ αιτίας της v 1 το πρωτόνιο δέχεται από το µαγ Σχήµα β νητικό πεδίο δύναµη Lorentz F 1 µε φορέα κάθετο στην v 1 και µέτρο: F 1 = Bqv 1 = BqE/B = qe δηλαδή F 1 = -qe k (1) Eξ αιτίας της v το πρωτόνιο δέχεται δύναµη Lorentz F κάθετη στην v µε µέτρο: F = Bqv () H ηλεκτρική δύναµη F είναι οµόρροπη της έντασης E, δηλαδή ισχύει: F = qe k F = - F 1 F + F 1 = (3) H συνισταµένη δύναµη επί του πρωτονίου στη θέση M είναι: F = F 1 + F + F (3) F = F Eξ αιτίας της F µεταβάλλεται µόνο η διεύθυνση της v, το δε µέτρο της είναι σταθερό και ίσο µε εκείνο που αντιστοιχεί τη στιγµή της εκκινησής του πρω τονίου στο σηµείο O. Όµως στο σηµείο O ισχύει: v 1 + v = v 1 = - v δηλαδή v 1 = v = E/B
Λόγω λοιπόν της F το πρωτόνιο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση ακτίνας: R = v Bq = E B q η δε γωνιακή του ταχύτητα έχει κατεύθυνση αντίθετη προς τον θετικό άξονα Ox, το δε µέτρο της υπολογίζεται από τη σχέση: v = R E B = E B q = qb δηλαδή = - qb i Aπό τα παραπάνω προκύπτει ότι το πρωτόνιο κινείται µε τον ίδιο τρόπο που κι νείται ένα ορίσµενο σηµείο µιας κυκλικής στεφάνης, η οποία κυλίεται ισοτα χώς σε οριζόντιο επίπεδο, ώστε το κέντρο της να µετατοπίζεται στον άξονα Oy µε σταθερή ταχύτητα. H κίνηση αυτή είναι γνωστη ως κυκλοειδής κίνηση. P.M. fysikos Σ ένα χώρο υπάρχει οµογενές ηλεκτρικό και οµογενές µαγνητικό πε δίο των οποίων οι αντίστοιχες εντάσεις έχουν την µορφή: E = E k και B = B k όπου E, B θετικές και σταθερές ποσότητες και k το µοναδιαίο διά νυσµα του άξονα Oz. Ένα πρωτόνιο µάζας και φορτίου q εκτοξεύε ται από την αρχή O των αξόνων µε ταχύτητα v = v j, όπου v θετική και σταθερή ποσότητα και j το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Oy. i) Nα βρεθούν οι εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου. ii) Ποιά µορφή θα λάβουν οι εξισώσεις αυτές, όταν το µέτρο της v εί ναι πολύ µεγάλο; Στην περίπτωση αυτή να βρείτε την εξίσωση της τρο χιάς του σωµατιδίου και να δείξετε ότι η τοµή αυτής µε επίπεδο κάθε το στον άξονα Oy είναι µια παραβολική καµπύλη. ΛYΣH: H διαφορική εξίσωση της κίνησης του πρωτονίου σε διανυσµατική µορ φή, θα προκύψει εάν εφαρµόσουµε για το πρωτόνιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, είναι δε της µορφής: a = q E + q( v B ) (a x i + a y j + az k ) = qe k + q a x i + a y j + az k = qe k + qbv y i - qbv x j i j k v x v z B
a x = qb / a y = - qbv x / a z = qe/ dv x /= d /= -v x dv z /= qe/ µε ω=qb/ (1) Aπό την τρίτη εκ των εξισώσεων (1) προκύπτει ότι, η κίνηση του πρωτονίου κα τά την διεύθυνση του άξονα Oz είναι οµαλά επιταχυνόµενη, µε επιτάχυνση µέτρου qe/, οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις: v z = qet/ και z = qet / () Παραγωγίζοντας την πρώτη εκ των εξισώσεων (1) ως προς το χρόνο t, παίρνου µε: d v x = d (1) d v x =- v x d v x + v x = (3) Σχήµα α H λύση της διαφορικής εξίσωσης (3) έχει την µορφή: v x = C 1 µt + C t (4) όπου οι σταθερές C 1 καί C θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνη σης του πρωτονίου. Όµως γιά t= ισχύει v x = και η (4) εφαρµοζόµενη τη χρονι κή στιγµή t= δίνει C =, οπότε η (4) γράφεται: v x = C 1 µt dv x / = C 1 t t= v = C 1 C 1 = v οπότε: v x = v µt (5) H (5) γράφεται: dx = v µt dx= v µt d(t) (6) Oλοκληρώνοντας την (6) παίρνουµε την σχέση: x = - v t+ C' (7)
H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι x= oπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: = -v / + C' C'= v / και η (7) γράφεται: x = - v t+ v x = v (1-t) (8) Eξάλλου συνδυάζοντας τη δεύτερη εκ των εξισώσεων () και την (5) έχουµε: d / = - v µt dv = -v µtd(t) (9) Oλοκληρώνοντας την (9) παίρνουµε: = v t + C'' (1) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι = oπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: v = v + C'' C''= Έτσι η σχέση (1) γράφεται: = v t dy / = v t dy = (v /)t d(t) (11) Oλοκληρώνοντας την (11) παίρνουµε: y = (v /)µt + C''' (1) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης που θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι y = oπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: = (v /) + C''' C'''= και η (1) παίρνει τη µορφή: y = (v /)µt (13) Oι παραµετρικές εξίσώσεις λοιπόν της τροχιάς του πρωτονίου έχουν την µορ φή: x = (v /)(1 -t) y = (v /)µt µε ω=qb/ (14) z = qet / Oι εξισώσεις αυτές παριστάνουν κυκλική έλικα αυξανόµενου βήµατος, η οποία
προχωρεί προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Oz, η δε προβολή της στο επίπεδο xy είναι κύκλος που έχει το κέντρο του στον άξονα Ox σε απόσταση R=v /ω=v /qb από το O και η ακτίνα της είναι v /qb (σχήµα α). ii) Aπαλοίφοντας το χρόνο t µεταξύ των δύο πρώτων εξισώσεων, παίρνουµε τη σχέση: x - v & +y = v x + v - xv + y = v y = x v - x & (15) Mπορούµε να ισχυριστούµε ότι, όταν το µέτρο της v είναι πολύ µεγάλο, κατά το πρώτο στάδιο της κίνησης του πρωτονίου ισχύει (v /ω)>>x. Kατά το στά διο λοιπόν αυτό η (15) προσεγγιστικά γράφεται: y = v x x = y v = qby v (16) Σχήµα β H (16) δηλώνει ότι, όταν το µέτρο της v είναι πολύ µεγάλο, η προβολή της τρο χιάς του πρωτονίου στο επίπεδο xy είναι κατά το πρώτο στάδιο της κίνησής του περίπου παραβολικό τόξο. Aυτό µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι, η κίνηση του πρωτονίου κατά το στάδιο αυτό είναι κατά µεν τον άξονα Oy οµα λή µε ταχύτητα v κατά δε τον άξονα Ox οµαλά επιταχυνοµένη χωρίς αρχική ταχύτητα µε επιτάχυνση µετρού qbv /. Άρα κατά το πρώτο στάδιο της κίνη σης οι εξίσωσεις της κίνησης του πρωτονίου στο επίπεδο xy έχουν κατά προσέγ γιση τη µορφή: y = v t x = qbv t / (17) Eάν απαλοίψουµε τον χρόνο t και την v µεταξύ των (17) και της δεύτερης εκ των σχέσεων (), θα λάβουµε την εξίσωση της τροχιάς του πρωτονίου ως προς το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxyz. Έτσι θα έχουµε:
και x = qby v v = qby x z = qey v (18) z = qe y 4 x q B y 4 = E x qb y x z = qb y E (18) (19) Eάν προβάλλουµε την τροχιά σε επίπεδο κάθετο στον άξονα Oy, που απέχει από το O σχετικά µικρή απόσταση y, η (19) γράφεται: x = y qb E z x = B E q & z = pz µε x = B q & E Δηλαδή η προβολή της τροχιάς του πρωτονίου στο επίπεδο y=y είναι µια πα ραβολή (σχήµα β). Eπί της παρατηρήσεως αυτής στηρίζεται η λειτουργία των πρώτων φασµατογράφων µάζας, που χρησιµοποιήθηκαν για τη µέτρηση του λόγου q/ σωµατιδίων. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Μπορούµε να αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα κίνησης του πρωτονίου στο συνδυ ασµένο ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο παρακάµτοντας την λύση των διαφορι κών εξισώσεων κίνησης µε τον εξής τρόπο: Α Το πρωτόνιο δέχεται κατά τον άξονα Οz δύναµη µόνο από το ηλεκτρικό πεδίο που είναι σταθερή και κατευθύνεται προς το θετικό µέρος του άξονα, η δε αντίστοιχη αρχική του ταχύτητα είναι µηδενική. Αυτό σηµαίνει ότι το πρωτό νιο έχει κατά τον άξονα Οz κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη η δε µετατόπισή του z κατά τον άξονα αυτόν σε χρόνο t θα δίνεται από τη σχέση: z = a z t / = F t / z = qet / (i) Σχήµα γ B H κίνηση του πρωτονίου στο επίπεδο Οxy επηρεάζεται µόνο από το µαγνη τικό πεδίο, µέσω της δύναµης Lorentz F L που του εξασκεί, δηλαδή η κίνηση αυτή είναι οµαλή κυκλική της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται στον άξονα Οx (σχήµα γ) σε απόσταση R από το Ο για την οποία ισχύει η σχέση: R = v /qb (ii)
Eάν x, y είναι οι συντεταγµένες του πρωτονίου επί της τροχιάς αυτής κατά την χρονική στιγµή t, θα έχουµε τις σχέσεις: x = R - Rt& ' y = Rµt ( x = (v /qb)(1 - t)& ' y = (v /qb)µt ( (iii) όπου ω το σταθερό µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της κυκλικής κίνησης ίσο µε qb/. Oι σχέσεις (i) και (iii) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οxyz. Η τροχιά αυτή είναι µη επίπεδη και µπορούµε να την περιγράψουµε µε µια διανυσµατική συνάρτηση του χρόνου, θεωρώντας το διάνυσµα θέσεως r του πρωτονίου ως προς το Ο κατά την τυχαία χρονική στιγµή t. Για το διάνυσµα αυτό ισχύει η σχέση: r = x i +y j + z k (i),(iii) r = (v /qb)[(1 - t) i + µt j ] + qet k / H διανυσµατική σχέση (iv) αποτελεί την εξίσωση της τροχιάς του πρωτονίου στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οxyx, είναι δε η τροχιά αυτή µια κυλινδρι κή έλικα που προχωρεί προς την θετική κατεύθυνση του άξονα Οz και προβάλ λεται στο επίπεδο Oxy κατά τον κύκλο (K,R). Είναι φανερό ότι η διανυσµατική σχέση (iv) είναι ισοδύναµη µε τις εξισώσεις (14) που προέκυψαν από τη λύση των διαφορικών εξισώσεων (1). P.M. fysikos (iv) Ένα πρωτόνιο εκτοξεύεται κάποια στιγµή µε ταχύτητα v σε χώρο όπου συνυπάρχουν οµογενές µαγνητικό και οµογενές ηλεκτρικό πε δίο, των οποίων τα χαρακτηριστικά διανύσµατα B και E είναι κάθετα µεταξύ τους αλλά και κάθετα προς την διεύθυνση της ταχύτητας v. Nα µελετηθεί αναλυτικά η κίνηση του σωµατιδίου, δηλαδή να βρεθούν οι εξισώσεις της τροχιάς του. ΛYΣH: Eξετάζουµε την κίνηση του πρωτονίου ως πρός το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxyz, όπου ο άξονας Oz έχει την κατεύθυνση του πεδίου E ο άξονας Ox κατευθύνεται προς το πεδίο B και ο άξονας Οy έχει την κατέυθυνση της ταχύτητας v (σχήµα α). Kατά τον άξονα Ox το πρωτόνιο δεν δέχεται ούτε ηλεκτρική ούτε µαγνητική δύναµη καί επειδή η αρχική του ταχύτητα κατά τη διεύθυνση αυτή είναι µηδενική το πρωτόνιο δεν µετατοπίζεται κατά τη διεύθυνση Ox, δηλαδή κάθε στιγµή η x-συντεταγ µένη του πρωτονίου ικανοποιεί τη σχέση x=. Aυτό σηµαίνει ότι, το πρωτόνιο κινείται στο επίπεδο Oyz. Eάν v y, v z είναι οι συνιστώσες της ταχύ τητας v του πρωτονίου κατά µία τυχαία χρονική στιγµή t, η διαφορική εξίσωση της κίνησης
τoυ πρωτονίου σε διανυσµατική µορφή, σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, είναι: Σχήµα α a = q E + q( v B ) ( i + a y j + az k ) = qe k + q (a y j + az k ) = qe k + q(bv z j - Bvy k ) i j k v z B a y = qbv z a z = q(e - B ) (dv /)= qbv z (dv z /)= q(e - Bv ) d / = (q/)bv z (1) dv z /= (q/)(e - B ) όπου i j k οι διανυσµατικές µονάδες των αξόνων Ox Oy και Oz αντιστοί χως. Η δεύτερη εξίσωση παίρνει τη µορφή: dv z = qe - qb () Παραγωγίζοντας τη σχέση () ως πρός το χρόνο t παίρνουµε: d v z = - qb d & η οποία λόγω της πρώτης εκ των σχέσεων (1) γράφεται: d v z = - qb & v z d v z + qb & v z = d v z + v z = (3) µε ω=qb/. H (3) αποτελεί µία οµογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: v z = C 1 µt + C t (4)
όπου οι σταθερές C 1 καί C θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του πρωτονίου. Όµως γιά t= ισχύει v z = και η (4) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει C =, οπότε η (4) γράφεται: v z = C 1 ηµωt (5) Παραγωγίζοντας τη σχέση (5) ως πρός το χρόνο έχουµε: dv z = C 1 t (6) H () εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει: dv z & t= = Eq - qbv (6) Eq - qbv = C 1 q ( E - Bv ) = C qb 1 C 1 = E - Bv C 1 = E B - v Έτσι η σχέση (5) γράφεται: v z = E B - v & µt dz = E B - v & µt dz = E B - v & µt z = - 1 E B - v & '()t + C (7) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι z= οπότε η (7) δίνει: = - 1 E B - v & + C C = 1 E B - v & µε αποτέλεσµα η (7) να παίρνει τη µορφή: z = 1 E B - v & 1 -t ( ) (8) Eπανερχόµενοι στην πρώτη διαφορική εξίσωση εκ των (1), παίρνουµε τη σχέ ση: d = E B - v & µt dv = E y B - v & µt E = - B - v & '()*t + C' (9)
H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι =v, οπότε η (9) δίνει: E v = - B - v & + C' C'= v + E B - v & µε αποτέλεσµα η (9) τελικώς να γράφεται: = E B - v & ( 1 - '()*t) + v dy dy= E B - v & ( 1 - '()*t) + v = E B - v & ( 1 - '()*t) + v y= E B - v & t + v t - 1 E ' B - v & (µ't + C'' H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι y=, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει C = µε αποτέλεσµα να γράφεται: y = 1 E B - v & (t -µt) + v t (1) Oι σχέσεις (8) και (1) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου. Παρατηρήσεις: A. Έστω E/B>v i) Kατα τις χρονικές στιγµές που ικανοποιούν τη σχέση: συνωt=-1 ωt=kπ+π t=π(k+1)/ω µε k=,1,, δηλαδή κατά τις χρονικές στιγµές π/qb, 3π/qB, 5π/qB, η συντεταγ µένη z παίρνει µέγιστη τιµή z ax =(E/B-v )/ω οι δε αντίστοιχες τιµές της συντεταγµένης y είναι y, 3y, 5y, µε y =πe/bω. Oι αντίστοιχες τιµές της ταχύτητας v z είναι µηδενικές της δε ταχύτητας v y είναι (E/B-v ) j όπως προκύπτει από τη συνάρτηση = (t). ii) Kατα τις χρονικές στιγµές που ικανοποιούν τη σχέση: συνωt=1 ωt=kπ t=kπ/ω µε k=,1,, δηλαδή κατά τις χρονικές στιγµές, π/qb, 4π/qB, 6π/qB, η συντε ταγµένη z παίρνει ελαχιστη τιµή z in = οι δε αντίστοιχες τιµές της συντε ταγµένης y είναι, y, 4y, 6y, µε y =πe/bω. Oι αντίστοιχες τιµές της
ταχύτητας v z είναι µηδενικές της δε ταχύτητας v y είναι v j όπως προκύπ τει από την συνάρτηση = (t). iii) Kατα τις χρονικές στιγµές που η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας v z γί νεται µέγιστη ή ελάχιστη (ηµωt=1 ή ηµωt=-1) ισχύει (dv z /)= δηλαδή (d z/ )=, ενώ τις στιγµές αυτές είναι (d y/ ), δηλαδή τις στιγµές αυτές η δευτερη παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) µηδενίζεται, που σηµαίνει ότι η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει σηµεία καµπής, όπως φαίνεται στο σχήµα (α). B. Έστω E/B=v Tότε οι εξισώσεις κίνησης του πρωτονίου παίρνουν τη µορφή z= και y=v t δηλαδή το πρωτόνιο κιννείται µε σταθερή ταχύτητα v πάνω στον άξονα Oy. Γ. Έστω E/B<v Eργαζόµενοι όπως στην περίπτωση A βρίσκουµε ότι οι παραµετρικές εξισώ σεις της τροχιάς έχουν την µορφή: z = - 1 v - E & 1 - t B ( ) και y = - 1 v - E B & (t -µt) + v t Σχήµα β H µορφή της τροχιάς αυτής φαίνεται στο σχήµα (β) είναι δε συµµετρική εκείνης του σχήµατος (α), ως προς τον άξονα Oy. Δ. Έστω v j Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις της ταχύτητας και οι εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου προκύπτουν από της αντίστοιχες εξισώσεις όταν η v έχει τη θετική κατεύθυνση του άξονα Oy, θέτοντας όπου v το v. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: = E B - E B + v ' & t) ) ( v z = E B + v ) & µt *) και y = 1 E B + v ' & (t -µt) - v t ) ) ( z = 1 E B + v ) & ( 1 -t) *) Έστω t * η χρονική στιγµή που η µηδενίζεται για πρώτη φορά. [H t * είναι η
µικρότερη θετική ρίζα της εξίσωσης E/B=(E/B+v )συνωt * ] Eπειδή για t<t * είναι dy/<, η συντεταγµένη y ελαττώνεται στο χρονικό αυτό διά στηµα εκ της αρχικής της τιµής, η οποία είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι στο χρονικό αυτό διάστηµα είναι y<. Eξάλλου από την z=z(t) προκύπτει ότι z> για κάθε Σχήµα γ t<+ και µάλιστα κατά τις χρονικές στιγµές που ισχύει συνωt=-1 είναι z=z ax =(E/B+v )/ω, ενώ όταν ισχύει συνωt=1 είναι z=z in =. Oι αντίστοιχες τιµές της συντεταγµένης y είναι y=πe/bω και y=πe/bω. Oι πιο πάνω παρατη ρήσεις απεικονίζονται στην γραφική παράσταση του σχήµατος (γ), η οποία ονοµάζεται τροχοειδής καµπύλη. Tέλος πρέπει να παρατηρήσουµε ότι οι λύσεις της ανισότητας E/B-(E/B+v )συνωt> καθορίζουν τα χρονικά διαστή µατα στα οποία η συντεταγµενη y αυξάνεται. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το θέµα που εξετάστηκε προηγουµένως µπορεί να αντιµετωπιστεί παρακάµ τοντας την λύση των δύο διαφορικών εξισώσεων, αρκεί να εξεταστεί η κίνη ση του πρωτονίου από ένα αδρανειακό σύστηµα αναφορας (K ) Ο x y z που κινείται ως προς το (K) Οxyz µε ταχύτητα V οµόρροπη της v, της οποίας το µέτρο είναι V=E/B και του οποίου οι άξονες την χρονική στιγµή t= συµ πίπτουν µε τους αντίστοιχους άξονες του (K), οπότε η ταχύτητα V θα κατευ θύνεται προς τον άξονα Οy. Εάν v, v ' είναι οι ταχύτητες του πρωτονίου στα συστήµατα αναφοράς (K) και (K ) αντιστοίχως κατα µια τυχαία στιγµή t, θα ισχύει o η σχέση: v = v '+ V * (1) Επειδή κατά την µετάβαση από το σύστηµα αναφοράς (Κ) στο σύστηµα ανα φοράς (Κ ) η δύναµη Lorentz επί του πρωτονίου παραµένει αναλλοίωτη, µπο ρούµε να γράψουµε τη σχέση: F ' = F F ' = q E + q( v B (1) ) F ' = q E + q ( v '+ V ) B [ ] ----------------------------------- F ' = q E + q( v ' B ) + q(v B ) () * H σχέση (1) αποτελεί τον µετασχηµατισµό ταχυτήτων του Γαλιλαίου και ισχύει µε την προυπόθεση ότι το µέτρρο της ταχύτητας V είναι πολύ µικρότερο της τα χύτητας διάδοσης C του φωτός στο κενό (V<<C). Στην αντίθετη περίπτωση η µε τάβαση από το σύστηµα (Κ) στο (Κ ) γίνεται µέσω του µετασχηµατισµού Lorentz.
Η σχέση () γράφεται: F ' = qe k + q( v ' B ) - qvbµ ( / ) k F ' = qe k + q( v ' B ) - q(e / B)B k F ' = q( v ' B ) (3) Από την (3) προκύπτει ότι στο σύστηµα αναφοράς (Κ ) η δύναµη Lorentz F ' επί του πρωτονίου είναι µόνο µαγνητική δύναµη, δηλαδή στο σύστηµα αυτό το ηλεκτρικό πεδιο έχει εξαφανιστεί. Επειδή τη χρονική στιγµή t= η ταχύτητα v ' του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς (Κ ) είναι κάθετη στο πεδίο B, το πρωτόνιο στο σύστηµα αυτό θα εκτελέσει οµαλή κυκλική κίνη ση διαγράφοντας επί του επιπέδου Ο y z περιφέρεια, της οποίας το κέντρο βρίσκεται στον άξονα Ο z και η ακτίνα της R δίνεται από τη σχέση: R = v' / Bq (4) Eξάλλου το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του πρωτονίου είναι: (4) = v' / R Διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: = v' Bq/v' = Bq/ (5) Περίπτωση 1η: Ισχύει E/B>v Tότε η κυκλική τροχιά βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ο y (σχήµα α ) και θα είναι v =E/R-v, οπότε η σχέση (4) γράφεται: R = (5) E Bq B - v & R = 1 E B - v ' (6) & Σχήµα α 1 Σχήµα α Eάν Μ (t) είναι η θέση του πρωτονίου την χρονική στιγµή t, οι συντεταγµένες του y, z θα είναι: και (6) y'= -Rµt (6) z'= R - Rt = R(1 - t) y'= - 1 E B - v ' (µt (7) & z'= 1 E B - v ' (1 - ()*t) (8 &
H αντίστοιχη θέση Μ(t) είναι του πρωτόνιου επί της τροχιάς που διαγράφει στο συστηµα αναφοράς (Κ) (σχήµα α 1 ) έχει συντεταγµένες y, z που δίνονται από τις σχέσεις: (7) y = y'+vt y = - 1 E B - v ' (µt + E & B t και y = 1 E B - v ' t - (µt & (8) z = z' ( ) + v t (9) z = 1 E B - v ' (1 - ()*t) (1) & Οι σχέσεις (9) και (1) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς (Κ) και είναι ακριβώς ίδιες µε εκείνες που προέκυψαν από την λύση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης του πρωτονίου. Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς τον χρόνο t παίρνου µε τις αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών v y και v z της ταχύτητας v του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς (Κ), δηλαδή θα έχουµε: και = dy (9) = E B - v & 1 - '()*t ( ) + v v z = dz (1) v z = E B - v & 'µ(t Περίπτωση η: Ισχύει E/B<v Tότε η κυκλική τροχιά βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ο y (σχήµα β ) και θα είναι v = v -E/R, οπότε η σχέση (4) γράφεται: R = Bq v - E (5) & B R = 1 v - E ' B& Σχήµα β 1 Σχήµα β Εργαζόµενοι επί του σχήµατος (β ) µε τον ίδιο τρόπο, καταλήγουµε στις ακό λουθες παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου στο σύστηµα ανα φοράς (Κ), η µορφή της οποίας φαίνεται στο σχήµα (β 1 ):
y = 1 v - E ' (µt - t B& ' 1 - ()*t & ( ) + v t και z = - 1 v - E ( ) B Παραγωγίζοντας τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τις αντίστοιχες εξισώσεις των αλγεβρικών τιµών των συνιστωσών v y και v z της ταχύτητας v του πρωτονίου, δηλαδή θα έχουµε:. = - v - E & 1 - '()*t B ( ) + v και v z = - v - E B & 'µ(t Περίπτωση 3η: Ισχύει E/B=v Tότε το πρωτόνιο στο σύστηµα αναφοράς (Κ ) ηρεµεί, ενώ στο σύστηµα ανα φοράς (Κ) κινείται πάνω στον άξονα y µε σταθερή ταχύτητα, µέτρου Ε/Β. Παρατηρησεις: Α. Eάν η αρχική ταχύτητα του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς (Κ) είναι µηδενική, τότε χρησιµοποιώντας και πάλι το σύστηµα αναφοράς (Κ ) καταλή γουµε ότι η τροχιά του στο σύστηµα (Κ) είναι µια κυκλοειδής καµπύλη µε παραµετρικές εξισώσεις που προκύπτουν από τις (9) και (1) θέτοντας v =, δη λαδή οι εξισώσεις αυτές έχουν την µορφή: y = 1 E ' t - (µt B& ( ) και z = 1 E ' 1 - ()*t B& ( ) Σχήµα γ 1 Η µορφή της τροχιάς αυτής φαίνεται στο σχήµα (γ 1 ). Β. Αν η ταχύτητα εκτόξευσης v του πρωτονίου κατευθύνεται προς τον αρνη τικό ηµιάξονα Οy, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία βρίσκουµε τελικώς ότι οι παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς (Κ) έχουν την µορφή: y = 1 E B + v ' t - (µt & ( ) - v t και z = 1 E B + v ' 1 - ()*t & ( ) Η τροχιά αυτή ονοµάζεται τροχοειδής καµπύλη και η µορφή της φαίνεται στο σχήµα (γ). P.M. fysikos
Ένα πρωτόνιο εκτοξεύεται κάποια στιγµή µε ταχύτητα v σε χώρο όπου συνυπάρχουν οµογενές µαγνητικό και οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, των οποίων τα χαρακτηριστικά διανύσµατα B και E είναι κάθετα µεταξύ τους. Εάν η ταχύτητα v έχει µέτρο v =E/B και είναι οµόρροπη προς το πεδίο E, να µελετηθεί αναλυτικά η κίνηση του σωµατιδίου, δηλαδή να βρεθούν οι εξισώσεις της τροχιάς του. ΛYΣH: Eξετάζουµε την κίνηση του πρωτονίου ως πρός το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxyz, όπου ο άξονας Oz έχει την κατεύθυνση του πεδίου E ο δε άξονας Ox κατευθύνεται προς το πεδίο B (σχ. α). Kατά τον άξονα Ox το πρωτόνιο δεν δέχεται ούτε ηλεκτρική ούτε µαγνητική δύναµη καί επειδή η αρχική του ταχύτητα κατά τη διεύθυνση αυτή είναι µηδενική το πρωτόνιο δεν µετατοπίζεται κατά τη διεύθυνση Ox, δηλαδή κάθε στιγµή η x-συντε ταγµένη του πρωτονίου ικανοποιεί τη σχέση x=. Aυτό σηµαίνει ότι, το πρωτόνιο κινείται στο επίπεδο Oyz. Eάν v y, v z είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας v του πρωτονίου κατά µία τυχαία χρονική στιγµή t, η διαφορική εξίσωση της κίνησης τoυ πρωτονίου σε διανυσµατική µορφή, σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, είναι: Σχήµα α a = q E + q( v B ) ( i + a y j + az k ) = qe k + q (a y j + az k ) = qe k + q( i + Bv z j - Bv k ) i j k v z B a y = qbv z a z = q(e - B ) (dv /)= qbv y z (dv z /)= q(e - B ) d / = (q/)bv z (1) dv z /= (q/)(e - B ) όπου i j k οι διανυσµατικές µονάδες των αξόνων Ox, Oy και Oz αντιστοί χως. H δεύτερη εκ των εξισώσεων (1) παίρνει τη µορφή:
dv z = qe - qb () Παραγωγίζοντας τη σχέση () ως πρός το χρόνο t παίρνουµε: d v z = - qb d & η οποία λόγω της πρώτης εκ των σχέσεων (1) γράφεται: d v z = - qb & v z d v z + qb & v z = d v z + v z = (3) µε ω=qb/. H (3) αποτελεί µία οµογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: v z = C 1 µt + C t (4) όπου οι σταθερές C 1 καί C θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του πρωτονίου. Όµως γιά t= ισχύει v z =Ε/Β και η (4) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει C =Ε/Β, οπότε η (4) γράφεται: v z = C 1 µt + (E/B)t (5) Παραγωγίζοντας τη σχέση (5) ως πρός το χρόνο έχουµε: dv z = C t - E 1 µt (6) B H () εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει: dv z & t = = Eq - = E B (6) E B = C 1 Έτσι η σχέση (5) γράφεται: v z = E B t + E B µ t v z = E (t +µt) (7) B Όµως η σχέση (7) γράφεται: dz = E t +µ t B ( ) dz = E B (t +µ t)
( ) + C (8) z = E -t +µt B H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι z= οπότε η (7) δίνει: = - E B + C C = E B µε αποτέλεσµα η (8) να παίρνει τη µορφή: z = E µt -t B ( ) + E B (9) Eπανερχόµενοι στην πρώτη διαφορική εξίσωση εκ των (1), παίρνουµε τη σχέ ση: d = E (µt +t) dv B y = E (µt +t) B = E (-t +µ t) + C' (1) B H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι =, οπότε η (9) δίνει: = - E B + C' C' = E B µε αποτέλεσµα η (9) να γράφεται: = E (-t +µ t) + E B B (11) Η σχέση (11) γράφεται: dy = E -t+µ t B ( ) + E B dy = E (-t+µ t)+ E B B y = E (-t - µt) + E B B t + C'' H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t= είναι y=, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: = - E B + C'' C'' = E B
µε αποτέλεσµα να γράφεται: y = E B (t - µ t) + E B 1 - t ( ) (1) Oι σχέσεις (9) και (1) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου. Στο σχήµα (α) φαίνεται η µορφή της καµπύλης τροχιάς που θα διαγ ράψει το πρωτόνιο υπό την επίδραση των δύο πεδίων. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Μπορούµε να παρακάµψουµε την λύση των δύο διαφορικών εξισώσεων αρκεί, να εξετασουµε την κίνηση του πρωτονίου από ένα αδρανειακό σύστηµα αναφορας (K ) Ο x y z που κινείται ως προς το (K) Οxyz µε ταχύ τητα V που κατεύθύνεται προς τον άξονα Οy και έχει το µέτρο V=E/B και του οποίου οι άξονες την χρονική στιγµή t= συµπίπτουν µε τους αντίστοι χους άξονες του (K). Εάν v, v ' είναι οι ταχύτητες του πρωτονίου στα συστήµατα αναφοράς (K) και (K ) αντιστοίχως κατα µια τυχαία στιγµή t, θα ισχύει o η σχέση: v = v '+ V * Επειδή κατά την µετάβαση από το σύστηµα αναφοράς (Κ) στο σύστηµα ανα φοράς (Κ ) η δύναµη Lorentz επί του πρωτονίου παραµένει αναλλοίωτη µπο ρούµε να γράψουµε τη σχέση: (i) F ' = F F ' = q E + q( v B (i) ) F ' = q E + q ( v '+ V ) B [ ] F ' = q E + q( v ' B ) + q(v B ) (ii) Σχήµα β Η σχέση (ii) γράφεται: F ' = qe k + q( v ' B ) - qvbµ ( / ) k F ' = qe k + q( v ' B ) - q(e / B)B k F ' = q( v ' B ) (iii) ----------------------------------- * H σχέση (1) αποτελεί τον µετασχηµατισµό ταχυτήτων του Γαλιλαίου και ισχύει µε την προυπόθεση ότι το µέτρρο της ταχύτητας V είναι πολύ µικρότερο της τα χύτητας διάδοσης C του φωτός στο κενό (V<<C). Στην αντίθετη περίπτωση η µε τάβαση από το σύστηµα (Κ) στο (Κ ) γίνεται µέσω του µετασχηµατισµού Lorentz.
Από την (iii) προκύπτει ότι στο σύστηµα αναφοράς (Κ ) η δύναµη Lorentz F ' επί του πρωτονίου είναι µόνο µαγνητική δύναµη, δηλαδή στο σύστηµα αυτό το ηλεκτρικό πεδιο έχει εξαφανιστεί. Εξάλλου τη χρονική στιγµή t= η ταχύτητα v ' του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς (Κ ) θα προκύπτει, σύµ φωνα µε τη σχέση (1) ως συνισταµένη των διανυσµάτων v = (E/B) k και - V = - (E/B) j, δηλαδή θα ισχύει: v ' = v - V = E k - E E j = B B B k - j ( ) (iv) Από την (iv) προκύπτει ότι το διάνυσµα v ' ανήκει στο επίπεδο Ο y z και µάλιστα στο δεύτερο τεταρτηµόριο, οπότε θα είναι κάθετο στο πεδίο B, το δε µέτρο του θα είναι E / B. Τα παραπάνω εγγυώνται ότι το πρωτόνιο στο σύστηµα αναφοράς (Κ ) θα εκτελέσει οµαλή κυκλική κίνηση διαγράφοντας επί του επιπέδου Ο y z περιφέρεια, της οποίας το κέντρο C βρίσκεται επί ευθείας κάθετης στον φορέα της v ' (σχήµα β) και η ακτίνα της R δίνεται από τη σχέση: R = v' Bq = Bq E B (v) Eξάλλου το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του πρωτονίου εί ναι: (v) =v' /R =v' Bq /v' =Bq / (vi) ii) Eάν Μ (t) είναι η θέση του πρωτονίου επί της κυκλικής του τροχιάς την χρονική στιγµή t, οι συντεταγµένες του y, z θα είναι: και y'= -(O'M') 4 + & ( = -(O'M') ' 4 + t & ( ' z'= (O'M')µ& 4 + ' ) = (O'M')µ ( 4 + t ' & ) ( Όµως το µήκος της χορδής Ο Μ είναι ίσο µε Rηµ(ωt/), οπότε οι δύο προη γούµενες σχέσεις γράφονται: και y'= -R 4 + t ' (µ t ' & & (vii) z'= Rµ 4 + t & ( µ t & ( ' ' (viii) Οι αντίστοιχες συντεταγµένες y, z του πρωτόνιου επί της τροχιάς που διαγράφει στο συστηµα αναφοράς (Κ) (σχήµα α) δίνονται από τις σχέσεις:
και (vii) y = y'+vt (viii) z = z'+v t y = -R 4 + t ' (µ t ' + E & & B t z = Rµ 4 + t & ( µ t & ( + E ' ' B t (ix) Εάν χρησιµοποιήσουµε τις τριγωνοµετρικές ταυτότητες; AµB = µ(a + B) + µ(b - A) µaµb = (A - B) - (B + A) και λάβουµε υπ όψη µας τις σχέσεις (v) και (vi), θα καταλήξουµε στις παραµετ ρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου που είναι ακριβώς ίδιες µε εκείνες που προέκυψαν από την λύση του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων που καθορίζουν την κίνησή του στο συνδυασµένο ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο. Οι εξισώσεις αυτές έχουν την µορφή: και y = E B (t - µ t) + E B 1 - t z = E µt -t B ( ) + E ( ) B Η παραπάνω διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος µε την επιλογή του αδρα νειακού συστήµατος αναφοράς (Κ ), παρουσιάζει ως πλεονέκτηµα την παράκαµ ψη των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση του πρωτονίου, δηλαδή µας επιτρέπει να λύσουµε ένα δύσκολο πρόβληµα µε όρους στοιχειώ δους Φυσικής. P.M. fysikos Ένα πρωτόνιο εκτοξεύεται κάποια στιγµή µε ταχύτητα v σ ένα ση µείο Ο οµογενούς µαγνητικού πεδίου, του οποίου η ένταση B είναι κάθετη στο διάνυσµα της αρχικής ταχύτητας v του πρωτονίου. Το πρωτόνιο στην διάρκεια της κινήσεώς του δέχεται δύναµη τριβής T από το υλικό µέσο εντός του οποίου εκτείνεται το πεδίο, η οποία έχει την µορφή: T = -b v όπου b θετική και σταθερή ποσότητα και v η στιγµιαία ταχύτητα του πρωτονίου.
i) Nα δείξετε ότι η κίνηση του πρωτονίου είναι επίπεδη και ότι η κινητική του ενέργεια µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο. ii) Nα βρεθούν οι παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτο νίου. Δίνεται η µάζα και το ηλεκτρικό φορτίο q του πρωτονίου. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε την κίνηση του πρωτονίου ως πρός το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxyz, του οποίου ο άξονας Oz έχει την κατεύθυνση του πεδίου B και ο άξονας Oy την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας v του πρωτονίου (σχήµα α). Εφαρµόζοντας για το πρωτόνιο τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: a = T + F L a = -b v + q( v B ) (1) Σχήµα α όπου a η επιτάχυνση και v η ταχύτητα του πρωτονίου την στιγµή που το εξετάζουµε και F L η δύναµη Lorentz που δέχεται το πρωτόνιο από το µαγ νητικό πεδίο. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (1) µε το διάνυσµα B, αυτή γράφεται: ( a B ) = -b( v B ) + q [( v B ) B ] ( a B ) = -b( v B ) + q [ v ( B B )] ( a B ) = -b( v B ) + q ( v ) ( a B ) = - b ( v B ) d v B ' = - b & ( v B ) d ( v B ) = - b ( v B ) d = - b d = - b ln = - b t + k όπου k σταθερά ολοκλήρωσης και Γ η τιµή του εσωτερικού γινοµένου ( v B ) κατά την τυχαία χρονική στιγµή t. Εάν Γ είναι η τιµή του εσωτερικού αυ τού γινοµένου όταν t, τότε η προηγούµενη σχέση δίνει lnγ =k, οπότε θα έχουµε:
ln = - b t + ln ln = - b t = e-bt/ () Όµως =( v B )=, οπότε µε βάση την () κάθε στιγµή θα ισχύει =. Eξάλ λου την χρονική στιγµή t ισχύει: ( B a )= - b( v B )/ = - b / ( B a )= δηλαδή το διάνυσµα της επιτάχυνσης a του πρωτονίου είναι συνεχώς κάθε το στο διάνυσµα B, που σηµαίνει ότι η κίνηση του πρωτονίου πραγµατοποι είται στο επίπεδο Οxy. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (1) µε το διάνυσµα v, παίρνουµε την σχέση: ( a v ) = -b( v v ) + q [( v B ) v ] d v v ' = -bv + q [( v ( v ) B ] & d v & = - b v & dk = - b K dk K = - b K = K e- bt / (3) όπου Κ η κινητική ενέργεια του πρωτονίου την χρονική στιγµή t και Κ η κινητική του ενέργεια την στιγµή της εκτόξευσής του. Η σχέση (3) δηλώνει ότι η κινητική ενέργεια του πρωτονίου µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο. ii) Eάν a x, a y, a z είναι οι τρεις συνιστώσες της επιτάχυνσης του πρωτονίου, v x,, v z oι τρεις συνιστώσες της ταχύτητάς του και i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοίχως, η σχέση (1) µπορεί να πάρει την µορφή: i j k (a x i + a y j + az k ) = -b(v x i + j + vz k + q v x v x v x B Επειδή η κίνηση του πρωτονίου εξελλίσεται στο επίπεδο Oxy ισχύει a z = και v z =, οπότε η (4) γράφεται: i j k (a x i + a y j ) = -b(vx i + j ) + q v x B (a x i + a y j ) = -b(vx i + j ) + q(bvy i - Bv x j ) (4) a x a y = -bv x + qb = -b - qbv x
d x d y dx dy = -b + qb dy dx = -b - qb (5) Για την λύση του διαφορικού συστήµατος (5) πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της δεύτερης εκ των διαφορικών εξισώσεων (5) µε την φανταστική µονά δα i και προσθέτουµε κατά µέλη την σχέση που θα προκύψει µε την πρώτη εκ των (5), οπότε θα έχουµε: d x + i d y & = -b dx + qb dy - ib dy - iqb dx d x + i d y & = -b dx + i dy & - iqb dx + i dy & d x + i d y = - b + iqb dx & + i dy & (6) Eκτελώντας τον µετασχηµατισµό Z=x+iy, η (6) παίρνει την µορφή: d Z = - b + iqb & dz d Z + b + iqb & dz = (7) H (7) αποτεγεί µια γραµµική διαφορική εξίσωρη δελυτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: Z = C 1 e 1 t + C e t (8) όπου C 1, C µιγαδικές σταθερές και ρ 1, ρ οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυ ωνύµου της (7), δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης: + b + iqb ' = & Oι ρίζες αυτές είναι: 1 = και = - b + iqb οπότε η σχέση (8) γράφεται: και Z = C 1 + C e b + i qb ' t & (9)
dz = -C b + iqb & e ' b + i qb & t (1) Όµως για t= είναι x=y=, δηλαδή Ζ=, οπότε η (9) την χρονική στιγµή t= δίνει: = C 1 + C C 1 = -C Εξάλλου για t= είναι dx/= και dy/=v, οπότε την στιγµή t= ισχύει Z=v και η (1) την στιγµή αυτή δίνει: b v = -C + iqb v & C = - b + iqb = - v (b - iqb) b + q B µε C 1 = G = bv b + q B - i qbv b + q B C 1 bv b + q B και D = qbv b + q B = G - id Με βάση τους πιο πάνω υπολογισµούς η σχέση (9) γράφεται: Z = G - id - (G - id)e b + i qb ' t & Z = G - id - (G - id)e bt e i qbt (11) Όµως από τον τύπο de Moivre έχουµε: e i qbt = ' qb & t ( ) * - i+µ ' qb & t ( * ) οπότε η (11) παίρνει την µορφή: Z = G - id - (G - id)e bt x + iy = G - id - Ge bt +ide bt, ' qb & t ( ) * - i+µ ' qb & t ( /. * 1 = - ), ' qb & t ( ) * - i+µ ' qb & t ( /. * 1 - ), ' qb & t ( ) * - i+µ ' qb & t ( /. * 1 + - ) = G - Ge bt ' qb & t ( * + De bt +µ ' qb ) & t ( * + )
+ i -D + Ge bt µ qb t & ( + De bt, )*+ qb ' t & /. ( 1 -. ' 1 (1) Από την (1) προκύπτουν οι σχέσεις: και x= G - e bt y= -D + e bt, G ' qb & t ( ) * - D+µ ' qb & t ( /. * 1 (13) - ), D ' qb & t ( ) * + G+µ ' qb & t ( /. * 1 (14) - ) Οι σχέσεις (13) και (14) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της επίπεδης τροχιάς του πρωτονίου. Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτει ότι για t + είναι: bv x(+) = G = b + q B και y(+) = -D = - qbv b + q B δηλαδή η τροχιά του πρωτονίου θα καταλήξει µετά από θεωρητικά άπειρο χρόνο σε ορισµένο σηµείο του δεύτερου τεταρηµορίου του επιπέδου Οxy. P.M. fysikos Ένα πρωτόνιο µάζας και φορτίου q βρίσκεται κάποια στιγµή ακί νητο σ ένα σηµείο Ο, σε χώρο όπου συνυπάρχουν ένα οµογενές µαγ νητικό πεδίο και ένα χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο, των οποίων τα χαρακτηριστικά διανύσµατα B και E περιγράφονται από τις σχέσεις: B = B k και E = E i C t - j µ C t ( ) όπου Β, Ε σταθερές και θετικές ποσότητες, i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz ενός τρισορθογώνιου συστήµατος αξόνων Οxyz και ω C =qb / η λεγόµενη κυκλοτρονική συχνότητα του πρωτονίου. Να δείξετε ότι οι παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου έχουν την µορφή: και x = qe ( tµ t + t - 1 C C C ) C y = qe ( t t - µ t C C C ) C
Nα σχεδιάσετε κατά προσέγγιση την µορφή της τροχιάς αυτής. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε την κίνηση του πρωτονίου ως πρός το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxyz, του οποίου ο άξονας Oz έχει την κατεύθυνση του πεδίου B δεχόµενοι ότι η κυκλική συχνότητα ω του ηλεκτρικού πεδίου E είναι διάφορη της κυκλοτρονικής συχνότητας ω C του πρωτονίου. Kατά τον άξονα Oz το πρωτόνιο δεν δέχεται ούτε ηλεκτρική ούτε µαγνητική δύναµη καί επειδή η αρχική του ταχύτητα κατά τη διεύθυνση αυτή είναι µηδενική το πρωτόνιο δεν µετατοπίζεται κατά τη διεύθυνση Oz, δηλαδή κάθε στιγµή η z- συντεταγµένη του πρωτονίου ικανοποιεί τη σχέση z=. Aυτό σηµαίνει ότι, το πρωτόνιο κινείται στο επίπεδο Oxy. Eάν v x, v y είναι οι συνιστώσες της ταχύτη Σχήµα α τας v του πρωτονίου κατά µία τυχαία χρονική στιγµή t, η διαφορική εξίσωση της κίνησης τoυ πρωτονίου σε διανυσµατική µορφή, σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, είναι: a = q E + q( v B ) dv x dv x i + d i + dv y qe j = j & = q E x i + E y j ( ) + q t i - µt j i j k v x B i - Bv x ( ) + q ( B j ) και dv x = qe t + qb = qe t + C (1) d = - qe µt - qb v x = - qe µt - C v x () Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d = - qe t - dv x C (1) d = - qe t - qe C t - C
d + C = - qe ( + )t d C µε = qe ( + C )/ Η διαφορική εξίσωση (3) δέχεται µερική λύση της µορφής: + C = -t (3) (1) = Aµt + Bt (4) όπου Α, Β προσδιοριστέοι συντελεστές. Από την (4)προκύπτει: d (1) = At - Bµt d (1) = -A µt - B t Έτσι η (3) δίνει: -A µt - B t + C Aµt + C Bt = -&t A( C - )µt + [B( C - ) + ]&t = (5) Όµως για να ισχύει η (5) κάθε χρονική στιγµή, πρέπει: A( C - ) = B( C - ) = - οπότε η (4) γράφεται: A = B = - /( C - ) (6) v (1) y = -t = -qe ( + )t C C - ( C - ) (1) = -qe t C - (7) Εξάλλου η αντίστοιχη οµογενής διαφορική προς την (1) εξίσωση, δέχεται λύση της µορφής: () = C 1 µ C t + C C t (8) όπου C 1, C σταθερές ολοκλήρωσης που πρέπει να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες κίνησης του πρωτονίου, οπότε η γενική λύση της (3) είναι: = (1) + () (7),(8) = C 1 µ C t + C C t - qe t C - (9) Για t= είναι = και η (9) δίνει: = C - qe ( C - ) C = qe ( C - ) (1) Aκόµη για t= ισχύει d /= και η (9) κατόπιν παραγωγίσεως δίνει:
= C 1 C C 1 = (11) Mε βάση τις (1) και (11) η (9) παίρνει την τελική της µορφή: = qe ( C - ) Ct - qe t C - = qe ( ( C - ) Ct - t) (1) Για ω ω C το δεύτερο µέλος της (1) παίρνει την απροσδιόριστη µορφή / και η άρση της απροσδιοριστίας µε την βοήθεια του κανόνα d Hospital δίνει τελι κώς την σχέση: = - qe H σχέση (13) γράφεται: ( tµ t C ) (13) y = - qe ( tµ t C ) + C = - qe ( t C )µ C t)d( C t) + C C y = qe ( C t)d C t + C C y = qe [ t t - µ t C C C ] + C (14) C H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι y=, οπότε C= και η (14) παίρνει τελικώς τη µορφή: y = qe ( t t - µ t C C C ) (15) C Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t την (13) παίρνουµε: d = - qe () ( µ t + t t C C C ) - qe ( µ t + t t C C C ) = - qe µ t - v C C x v x = qe (t dx Ct) = qe (t t) C dx = qe (t C t) = qe C ( C t C t)d( C t)
x = qe ( C t)µ C t)d( C t) + C' C = qe ( C t)d(& C t) + C' C Με παραγοντική ολοκλήρωση και µε την αρχική συνθήκη ότι για t= είναι x= παιρνουµε τελικώς την σχέση: x = qe ( tµ t + C C Ct - 1) (16) C Στο σχήµα (α) αποδίδεται κατά προσέγγιση η τροχιά που διαγράφει το πρωτό νιο στο επίπεδο Οxy. P.M. fysikos