ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητή η ανάγκη της εύρεσης της αποδοτικότερης λύσης στα προβλήματα μιας επιχείρησης με χρήση κατάλληλων αλγορίθμων 4
Περιεχόμενα ενότητας Ακέραιος Προγραμματισμός Μέθοδος Διακλάδωσης και Αποκοπής Εφαρμογές του Ακέραιου Προγραμματισμού 5
Βιβλιογραφία Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, 1995. Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 1991. Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, 1991. Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1998. F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, 1985. 6
Αναφορές Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 1991. Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, 1991. Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1998. R. E. Gomory. Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs. Bul letin ofamerican Mathematical Society, 64:275 278, 1958. 1. 7
Άσκηση Max (60x + 50 y) υ.π. 12x + 19y 120 8x + 3y 48 x, y μη αρνητικοί ακέραιοι Να λυθεί η άσκηση (Εργασία 1) ποσοστό 10% στην Τελική Βαθμολογία 8
Πρόβλημα Μια εκτυπωτική εταιρεία σκοπεύει να επεκτείνει τις δραστηριότητες της με την προμήθεια δύο νέων τύπων μηχανημάτων εκτύπωσης (Α και Β). Για την επένδυση διαθέτει 140.000. Τα μηχανήματα τύπου Α αναμένεται να αυξήσουν το ημερήσιο κέρδος κατά 100 και τα μηχανήματα τύπου Β κατά 150. Τα μηχανήματα τύπου Α κοστίζουν 8000 και απαιτούν 15 τ.μ. χώρο και τα μηχανήματα τύπου Β κοστίζουν 4000 και απαιτουν 30 τ.μ. χώρο. Με δεδομένο ότι στις εγκαταστάσεις της η εταιρεία έχει διαθέσιμα 200 τ.μ. Χώρο να υπολογισθεί πόσα μηχανήματα Α και Β πρέπει να προμηθευθεί ώστε να μεγιστοποιησει το κέρδος. Επίλυση στο excel/solver Επίλυση στο εργαστήριο του Μαθήματος 9
Ενδεικτική Μορφή στο EXCEL 10
Εφαρμογή (1) Μια αεροπορική εταιρεία διαθέτει τριών τύπων αεροσκάφη, τα Α, Β και Γ, για να εκτελεί ναυλωμένες πτήσεις σε συγκεκριμένες αεροπορικές διαδρομές με αντίστοιχους κωδικούς αριθμούς Π1, Π2 και Π3. Τα αεροσκάφη τύπου Α δεν πραγματοποιούν τη διαδρομή Π3, ενώ τα αεροσκάφη τύπου Γ δεν πραγματοποιούν τη διαδρομή Π1. Όσον αφορά στον προγραμματισμό των πτήσεων της επόμενης εβδομάδας, η εταιρεία έχει προβλέψει την ελάχιστη ζήτηση (αριθμό επιβατών) για κάθε μια από τις τρεις διαδρομές. Τα στοιχεία αυτά καθώς και το αντίτιμο του εισιτηρίου κάθε διαδρομής περιέχονται στον πίνακα που ακολουθεί Το κόστος μεταφοράς ενός επιβάτη για κάθε διαδρομή και για τα αεροσκάφη που μπορούν να τις καλύψουν δίνονται στον δεύτερο πίνακα που ακολουθεί. 11
Εφαρμογή (2) Ζήτηση θέσεων και τιμές εισιτηρίων Διαδρομή Ελάχιστος αριθμός επιβατών Τιμή εισιτηρίου ( ) 001 320 45 002 170 45 003 190 24 Κόστη Μεταφοράς Διαδρομή Μοναδιαίο κόστος μεταφοράς ( ) Α Β Γ 001 36 39-002 36 39 45 003-33 42 12
Εφαρμογή (3) Το κάθε αεροσκάφος μπορεί να εκτελέσει το πολύ 3 πτήσεις την εβδομάδα και έχει διαφορετική χωρητικότητα ανάλογα με τη διαδρομή στην οποία θα χρησιμοποιηθεί. Τα τεχνικά αυτά δεδομένα καθώς και ο διαθέσιμος αριθμός αεροσκαφών κάθε τύπου φαίνονται στον πίνακα. Διαδρομή Χωρητικότητα αεροσκάφους ( αριθμός επιβατών) Α Β Γ 001 20 15-002 18 13 10 003-14 8 Διαθέσιμα Αεροσκάφη 15 14 18 Ζητούμενο: το εβδομαδιαίο Πρόγραμμα πτήσεων ώστε να μεγιστοποιηθεί το αποτέλεσμα. 13
Διάγραμμα Branch and Bound Προσδιορίστε τη Βέλτιστη λύση x=7,18, y=8.8 ω=9,34, Ζ = 1200 x 7 χ 8 Χ=7, y=9, ω=9 Ζ = 1100 y 8 Χ=8, y=8,2, ω=9 Ζ = 1150 y 9 Χ=8, y=8, ω=9.3 Ζ = 1125 Χ=8,1, y=9, ω=9.2 Ζ = 1120 ω 9 ω 10 Χ=8, y=8, ω=9 Ζ = 1090 Χ=8, y=8,1, ω=10 Ζ = 1113 14
Τέλος Ενότητας