Δορυφορικές τροχιές Μετατροπές δορυφορικών συντεταγμένων Εξίσωση του Kepler Η Μέση Ανωμαλία Μ, για μη κυκλικές τροχιές δεν τιστοιχεί σε κάποια υλοποιήσιμη γωνία, καθώς δεν αφέρεται στο πραγματικό σώμα, αλλά σε ένα ιδεατό σώμα που περιφέρεται με σταθερή γραμμική ταχύτητα πάνω στην τροχιά του Μ = n t = [G(M E +m sat ) / a 3 ] 1/2 t, M E, m sat = μάζα Γης και δορυφόρου τίστοιχα από 0 έως 2π ακτίνια κατά τη διάρκεια κάθε τροχιάς n = μέση κίνηση (mean motion) Αν η μέση ωμαλία είναι γνωστή για μια δεδομένη στιγμή, τότε μπορεί να υπολογισθεί για οποιαδήποτε μεταγενέστερη (ή προγενέστερη) στιγμή απλώς προσθέτοντας (ή αφαιρώντας) n δt, M(t) = M(to) ± n (t-t o ) Εξίσωση του Κέπλερ: Μ = Ε e sine, Είναι θεμελιώδους σημασίας αφού συνδέει τη γεωμετρία της τροχιάς με την κίνηση του δορυφόρου στο χρόνο Εξίσωση του Kepler Μ = Ε e sine, M E Μέσω επαληπτικών διαδικασιών π.χ. αρχίζοντας με την τιμή Ε 0 = Μ και μέσω μιας από τις ακόλουθες σχέσεις Ei+ 1 = M + esin E i Εξίσωση του Kepler Μ = Ε e sine, M E Μέσω αριθμοσειράς (όπου ε = e, η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς, e 1) E = M + esin Ei E E i i+ 1 = Ei + 1 e cos Ei Εξίσωση του Kepler Μ = Ε e sine, M E M E και θ (= v ή f, αληθής ωμαλία) Μέσω αριθμοσειράς (όπου ε = e, η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς, e 1) E = ή 1
M E και θ (= v ή f, αληθής ωμαλία) Μία από τις πιο διαδεδομένες μεθόδους διάθεσης τροχιακών παραμέτρων είναι τα δεδομένα που παράγονται από τη στρατιωτική Υπηρεσία NORAD (North American Defense Command) και δίνονται σε δύο απλές γραμμές κατάλληλων στοιχείων. Αναπτύχθηκ για χρήση μόνο με ένα συγκεκριμένο αλγόριθμο μετάδοσης των βαρυτικών παρέλξεων ως συνάρτηση του χρόνου, του λεγόμενου MSGP-4 propagator (Merged Simplified General Perturbation). Τα αυτά περιλαμβάνουν τα περισσότερα από τα κλασικά Κεπλέρια της τροχιάς, μαζί με κάποιες επιπλέον παραμέτρους για την εξακρίβωση της ταυτότητας του δορυφόρου και για των υπολογισμό συγκεκριμένων διαταραχών της τροχιάς. Τα TLE περιλαμβάνουν 12 διαφορετικές μεταβλητές παραμέτρους 6 για τα Κεπλέρια τροχιακά 4 πραγματικά Κεπλέρια : e, i, Ω και ω 2 μεταβλητές παράμετροι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη θέση των άλλων Κεπλέριων στοιχείων: Μ, Μέση Ανωμαλία και n, Μέση Κίνηση από τις οποίες μπορούν να υπολογιστούν εύκολα, τίστοιχα η αληθής ωμαλία f και ο μεγάλος ημιάξονας a 3 παραμέτρους για τον υπολογισμό βασικών διαταραχών στην τροχιακή κίνηση, και 2 αγνωριστικούς παραμέτρους του δορυφόρου 1 τιμή για την εποχή αφοράς των τροχιακών στοιχείων Παράδειγμα τροχιακών στοιχείων δύο γραμμών. 1 1 6 6 0 9 U 8 6 0 1 7 A 9 3 3 5 2. 5 3 5 0 2 9 3 4. 0 0 0 0 7 8 8 9 0 0 0 0 0 0 1 0 5 2 9-3 3 4 2 1 6 6 0 9 5 1. 6 1 9 1 3. 3 3 4 0 0 0 0 5 7 7 1 0 2. 5 6 8 0 7. 5 9 5. 5 9 1 1 4 0 8 6 0 0 2 5 0 1 5 7 0 4 4 7 Συγκεκριμένα οι δύο γραμμές περιλαμβάνουν τα ακόλουθα n& n& & Satellite International Element Epoch B-Drag Number Designator Number 2 6 YYDDD. DDDDDDDD 1 1 6 6 0 9 U 8 6 0 1 7 A 9 3 3 5 2. 5 3 5 0 2 9 3 4. 0 0 0 0 7 8 8 9 0 0 0 0 0 0 1 0 5 2 9-3 3 4 Inclination Right Ascension of node Eccentricity Argument of perigee Mean Anomaly Mean Motion 2 1 6 6 0 9 5 1. 6 1 9 0 1 3. 3 3 4 0 0 0 0 5 7 7 0 1 0 2. 5 6 8 0 2 5 7. 5 9 5 0 1 5. 5 9 1 1 4 0 7 0 4 4 7 8 6 2
n=15.5911407 revolutions/day n=15.5911407*2π/ (24*3600) rad/sec 1 radian=57.2957795 degrees μ=gμ=398600.4418 km 3 /s 2 a=[μ/n 2 ] 1/3 = 6768.357 km Satellite Number International Designator Epoch YYDDD. DDDDDDDD 1 1 6 6 0 9 U 8 6 0 1 7 A 9 3 3 5 2. 5 3 5 0 2 9 3 4. 0 0 0 0 7 8 8 9 0 0 0 0 0 0 1 0 5 2 9-3 3 4 n& 2 n& & 6 B-Drag Element Number Η στροφορμή ενός δορυφόρου H στροφορμή είναι ένα φυσικό μέγεθος αλλά και ιδιότητα που χαρακτηρίζει γενικά τα περιστρεφόμενα σώματα, και συνεπώς και την κίνηση κάθε δορυφόρου Συγκεκριμένα ως ιδιότητα χαρακτηρίζει την αδράνεια ως προς την κίνηση ενός σώματος γύρω από ένα άξονα, που μπορεί να διέρχεται, ή όχι, από το σώμα ή το σύστημα τίστοιχα, π.χ. Ένας δορυφόρος που περιστρέφεται γύρω από τη Γη χαρακτηρίζεται από την "στροφορμή περιφοράς«, όπως και η Γη που περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο χαρακτηρίζεται από τίστοιχη «στροφορμή περιφοράς» Inclination Right Ascension of node Eccentricity Argument of perigee Mean Anomaly Mean Motion 2 1 6 6 0 9 5 1. 6 1 9 0 1 3. 3 3 4 0 0 0 0 5 7 7 0 1 0 2. 5 6 8 0 2 5 7. 5 9 5 0 1 5. 5 9 1 1 4 0 7 0 4 4 7 8 6 Διαδικασία υπολογισμού συντεταγμένων από μια εποχή σε μια άλλη Ε, e x, y στην τροχιά Ο 2ος νόμος του Kepler δεν προσφέρεται για πρακτικούς υπολογισμούς Το ζητούμενο είναι να υπολογίσουμε το διάνυσμα θέσης x=x(t) και ταχύτητας y=y(t) Θεωρούμε τη σχέση τους με την εκκεντρική ωμαλία E x=x(e) and y=y(e) Το διάνυσμα της στροφορμής (angular momentum) διαφ. εξίσωση που δίνει τη λύση E=E(t) P(x,y) y orbit f x orbit Ε, e x, y στην τροχιά στροφορμή h και ολοκληρώνοντας ως προς το χρόνο Μέση κίνηση Μέση ωμαλία 3
Το σύστημα αφοράς PQW: Κίνηση στο τροχιακό επίπεδο [x(p), y(q)] Διεύθυνση Περίγειου x Σημείο άβασης Κίνηση στο τροχιακό επίπεδο [x(p), y(q)] P, Q, W (τροχιακό επίπεδο) [Χ,Υ,Ζ] Μοναδιαία διύσματα Διεύθυνση Περίγειου x Σημείο άβασης P, Q, W (τροχιακό επίπεδο) [Χ,Υ,Ζ] Μοναδιαία διύσματα Από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης που αδεικνύονται οι ελλειπτικές τροχιές Px = Qx Wx Py Qy Wy r Pz i r Qz j r Wz k από την οποία σχέση υπολογίζεται το διάνυσμα της εκκεντρότητας (που είναι στη διεύθυνση της γραμμής των αψίδων προς το περίγειο, δηλ. κατά μήκος του διύσματος Ρ) 4
Υπολογίζεται η εκκεντρότητα e της τροχιάς Στροφορμή Υπολογίζεται ο μεγάλος ημιάξονας a της ελλειπτικής τροχιάς Υπολογίζεται η κλίση i της ελλειπτικής τροχιάς Εξ ορισμού η γωνία του τροχιακού επιπέδου με τον Ισημερινό, ή Η γωνία του διύσματος της στροφορμής h (που είναι στη διεύθυνση του άξονα W επίπεδο της τροχιάς) και του άξονα Ζ Υπολογίζεται η κλίση i της ελλειπτικής τροχιάς Μοναδιαίο διάνυσμα κατά μήκος του άξονα Ζ Μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του διύσματος της στροφορμής που είναι κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς Υπολογίζεται η ορθή αφορά Ω του ιόντος δεσμού Εξ ορισμού η γωνία στον Ισημερινό μετά του άξονα x και της γραμμής των συνδέσμων, ή Η γωνία του διύσματος n (από το κέντρο της Γης προς τον ιόντα δεσμό) με τον άξονα Χ Υπολογίζεται η διεύθυνση του διύσματος n των συνδέσμων iˆ n r = 0 hx ˆj 0 hy = [ hy, hx,0] kˆ 1 hz 5
Υπολογίζεται η ορθή αφορά Ω cos -1 (..) δίνει γωνία μεταξύ 0 και π, και εάν η y- συνιστώσα του διύσματος των συνδέσμων είναι αρνητική, η γωνία πρέπει να είναι μεταξύ π και 2π Μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα x όπου Υπολογίζεται το όρισμα του περίγειου ω ως η γωνία μεταξύ της γραμμής του ιόντος δεσμού και του περίγειου, ή η γωνία μεταξύ του διύσματος n (στη διεύθυνση της γραμμής των συνδέσμων) και e (του διύσματος της εκκεντρότητας) Υπολογίζεται το όρισμα του περίγειου ω Το ω είναι μεταξύ 0 και π, μόνο ότ το διάνυσμα της εκκεντρότητας e είναι στο επάνω (από το επίπεδο το ισημερινού) μέρος της τροχιάς Υπολογίζεται η ορθή ωμαλία θ (ή f, ή v) ως η γωνία μεταξύ της επιβατικής ακτίνας r και του διύσματος της εκκεντρότητας e (που είναι στη διεύθυνση από το κέντρο της Γης προς το περίγειο, δηλ. κατά μήκος του διύσματος Ρ) Υπολογίζεται η ορθή ωμαλία θ (ή f, ή v) Το ω είναι μεταξύ 0 και π, μόνο ότ το διάνυσμα της εκκεντρότητας e είναι στο επάνω (από το επίπεδο το ισημερινού) μέρος της τροχιάς Υπολογίζεται η εκκεντρική ωμαλία Ε ήσε πολικές συντεταγμένες και η μέση ωμαλία Μ 6
Κεπλέρια Διάνυσμα κατάστασης Υπολογίζεται το μοναδιαίο διάνυσμα P = (Ρ x, P y, P z ) Επίλυση της εξίσωσης του Kepler για την εκκεντρική ωμαλία Ε y orbit Εο = Μ P(x,y) f x orbit μέχρι να είναι (ε<10-15 ) Υπολογίζεται το μοναδιαίο διάνυσμα Q = (Q x, Q y, Q z ) Υπολογίζονται το διάνυσμα θέσης r και ταχύτητας v Για το διάνυσμα της ταχύτητας v απαιτείται ο υπολογισμός της μεταβολής Ė της εκκεντρικής ωμαλίας Ε Υπολογίζονται το διάνυσμα θέσης r και ταχύτητας v Για το διάνυσμα της ταχύτητας v απαιτείται ο υπολογισμός της μεταβολής Ė της εκκεντρικής ωμαλίας Ε 7