ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Παξαηεξήζεηο. Σπληνκνγξαθίεο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζην θείκελν γηα επθνιία:

Σ Α Λ Α Ν Σ Ω Ε Ι Μεξηθέο παξαηεξήζεηο ζηε ιύζε ησλ αζθήζεσλ Παξαδείγκαηα Εθαξκνγέο Σπληνκνγξαθίεο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζην θείκελν γηα επθνιία: Γξακκηθή Αξκνληθή Σαιάλησζε Απιή Αξκνληθή Σαιάλησζε Θέζε Ιζνξξνπίαο ηεο ΓΑΤ ΓΑΣ ΑΑΣ ΘΙ Θεηηθή αθξαία ζέζε ηεο ΓΑΤ +Α Αξλεηηθή αθξαία ζέζε ηεο ΓΑΤ Α Αξρή Δηαηήξεζεο νιηθήο Ελέξγεηαο Σαιάλησζεο (γηα ζώκα πνπ εθηειεί ΑΑΤ ή γηα θύθισκα LC) Αξρή Δηαηήξεζεο Μεραληθήο Ελέξγεηαο (γηα ζύζηεκα πνπ αζθνύληαη ζπληεξεηηθέο δπλάκεηο) Θεώξεκα Μεηαβνιήο ηεο Κηλεηηθήο Ελέξγεηαο (γηα ζώκα πνπ θηλείηαη) Αξρή Δηαηήξεζεο Οξκήο (γηα κνλσκέλν ζύζηεκα) ΑΔΕΣ ΑΔΜΕ ΘΜΚΕ ΑΔΟ Υπνθαηεγνξίεο Παξαδείγκαηα Γηα ιύζε 1

1. Αλαθεθαιαίσζε ησλ κεγεζώλ θαη ησλ εμηζώζεσλ ηεο ΑΑΣ 1-Α. Υαξαθηεξηζηηθά ηδηόηεηεο ηνπ ζπζηήκαηνο Ιδηόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο Φπζηθό κέγεζνο πνπ ηελ εθθξάδεη 1. Αδξάλεηα ηνπ θηλνύκελνπ ζώκαηνο. Μάδα: m. «Ειαζηηθόηεηα» ηνπ ζπζηήκαηνο, ε ηθαλόηεηά ηνπ δειαδή λα επαλέξρεηαη ζηε ΘΗ. 3. Επθνιία επαλάιεςεο ηεο θίλεζεο, ην «πόζν γξήγνξα» δειαδή επαλαιακβάλεηαη ε θίλεζε. ηαζεξά επαλαθνξάο: Οπνηνδήπνηε από απηά: Πεξίνδνο: πρλόηεηα: Κπθιηθή ζπρλόηεηα: Σ f σ D f = 1/Σ π σ Σ σ πf 4. Θέζε ηζνξξνπίαο Σ απηήλ ηζρύνπλ: U = θαη F = Ζ βαζηθή ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηηο ηξεηο πξώηεο ηδηόηεηεο είλαη ε: _D = m σ _ Η «ειαζηηθόηεηα» D θαη ε αδξάλεηα m ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη πνπ θαζνξίδνπλ θαη ηε ζπρλόηεηα ηεο θίλεζεο: σ D m Σ π m D f 1 π D m Αξθεί επνκέλσο λα γλσξίδνπκε δύν από ηηο ηξεηο βαζηθέο ηδηόηεηεο ηνπ ζπζηήκαηνο, αθνύ από ηε ζρέζε D = m σ κπνξνύκε λα βξνύκε θαη ηελ ηξίηε. Τνλίδεηαη, όηη νη ηηκέο ησλ m, D, σ εμαξηώληαη κόλν από ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ κειεηάκε θαη δελ εμαξηώληαη από ηελ ελέξγεηα, ην πιάηνο ή νπνηνδήπνηε άιιν κέγηζην ηεο ΑΑΤ πνπ κπνξεί λα εθηειεί ην ζύζηεκα απηό. Παξαηεξήζεηο ζρεηηθά κε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο D ηνπ ζπζηήκαηνο: i) Ζ ζηαζεξά D κπνξεί λα ζπκπίπηεη κε θάπνην άιιν θπζηθό κέγεζνο (όπσο π.ρ. ζηηο ηαιαληώζεηο κε ειαηήξηα όπνπ D = k), ή κπνξεί λα είλαη ζπλδπαζκόο θάπνησλ θπζηθώλ κεγεζώλ (π.ρ. ζην εθθξεκέο είλαη D = m g / L, ζε ζώκα πνπ επηπιέεη ζε πγξό είλαη D = d πγξνύ g S, θιπ.). ii) Ζ ζηαζεξά επαλαθνξάο πξνθύπηεη θαη από ηε δηαδηθαζία πνπ αθνινπζνύκε γηα λα απνδείμνπκε όηη έλα ζώκα εθηειεί ΑΑΤ: Απνδεηθλύνληαο όηη ή ζπληζηακέλε δύλακε F είλαη αλάινγε κε ηελ απνκάθξπλζε, όηη ηζρύεη δειαδή ε ζρέζε F = D, ππνινγίδνπκε ηαπηόρξνλα θαη ηε ηηκή ηεο ζηαζεξάο D. iii) Ζ ζηαζεξά D είλαη ην κόλν κέγεζνο πνπ ζρεηίδεηαη κε ηελ πξαγκαηηθή θύζε ηνπ ηαιαληνύκελνπ ζπζηήκαηνο. Όηαλ δίλεηαη ζε κηα άζθεζε όηη «Σώκα κάδαο m= εθηειεί ΓΑΤ ζηαζεξάο D= θιπ.» ηόηε κπνξνύκε λα βξνύκε νηηδήπνηε καο δεηεζεί γηα ηελ ηαιάλησζε απηή, αδηαθνξώληαο γηα πνην ζύζηεκα πξόθεηηαη ή πνηεο δπλάκεηο αζθνύληαη.

Αλ όκσο δεηείηαη λα απνδείμνπκε όηη εθηειεί ΑΑΤ θαη λα βξνύκε θαη ηε ζηαζεξά D, ηόηε κειεηάκε ηηο πξαγκαηηθέο δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα. iv) Γεληθόηεξα, αλ ζε έλα ζύζηεκα ηθαλνπνηείηαη ε ζπλζήθε F = D ηόηε απηό είλαη ηθαλό λα εθηειέζεη ΓΑΤ, αιιά γηα λα ηε ραξαθηεξίζνπκε ΑΑΤ θαη λα ηζρύεη θαη ε ΑΓΜΔ, ζα πξέπεη πξώηα λα εμαζθαιίζνπκε όηη νη δπλάκεηο πνπ απαξηίδνπλ ηε δύλακε επαλαθνξάο είλαη ζπληεξεηηθέο. 1-Β. Μέγηζηεο ηηκέο κεγεζώλ ζηελ ΑΑΣ Δίδνο κέγηζηνπ Σρέζε ηνπ κε ην πιάηνο Α Μέγηζηε απνκάθξπλζε (πιάηνο) Α Μέγηζηε ηαρύηεηα π ma π ma = σ Α Μέγηζηε επηηάρπλζε α ma α ma = σ Α Μέγηζηε δύλακε επαλαθνξάο F ma F ma = m σ Α Μέγηζηε δπλακηθή ελέξγεηα U ma U ma = K ma = Ε όπνπ: Μέγηζηε θηλεηηθή ελέγεηα K ma Ε = ½ D Α = ½ m σ Α Οη ηηκέο όισλ ησλ κέγηζησλ θαζνξίδνληαη από ηελ νιηθή ελέξγεηα Ε πνπ πξνζθέξζεθε ζην ζύζηεκα θαηά ηε δηέγεξζή ηνπ ώζηε απηό λα εθηειέζεη ΑΑΤ. Ζ νιηθή ελέξγεηα Ε θαζνξίδεη θαη ην πιάηνο Α ηεο ηαιάλησζεο (Ε = ½ D Α ). Γεδνκέλνπ όηη όια ηα κέγηζηα ζπλδένληαη κε ην πιάηνο Α, αξθεί λα γλσξίδνπκε έλα νπνηνδήπνηε κέγηζην, γηα λα βξνύκε θαη όια ηα ππόινηπα. Παξαηήξεζε: Όηαλ ζώκα εθηξέπεηαη θαηά d από ηελ ΘΗ θαη αθήλεηαη ειεύζεξν λα εθηειέζεη ΓΑΤ, ηόηε π αξρ =, δει. μεθηλάεη από αθξαία ζέζε. Άξα ην πιάηνο ηεο ΓΑΤ είλαη Α = d. Ζ αξρηθή ηνπ απνκάθξπλζε είλαη ηόηε αξρ = + d ή αξρ = d, αλάινγα κε ηελ επηινγή ηεο ζεηηθήο θνξάο. 3

1-Γ. ηηγκηαίεο ηηκέο κεγεζώλ ζηε ΑΑΣ Ζ ζέζε ηνπ ζώκαηνο (απνκάθξπλζε), ε ηαρύηεηα, ε επηηάρπλζε, θιπ. ζε κηα ΑΑΤ κεηαβάιινληαη ζπλερώο κε ην ρξόλν. Δίλαη δειαδή ρξνληθέο ζπλαξηήζεηο θαη ηηο νλνκάδνπκε γεληθά εμηζώζεηο ηεο ΑΑΤ. Από απηέο θαζνξίδεηαη πιήξσο ε ρξνληθή εμέιημε ηεο θίλεζεο: Φπζηθό κέγεζνο Χξνληθή ζπλάξηεζε ηνπ κεγέζνπο Απνκάθξπλζε: = Α εκ(σ + θ ν ) Ταρύηεηα: π π = π ma ζπλ(σ + θ ν ) Δπηηάρπλζε: α α = α ma εκ(σ + θ ν ) Γύλακε επαλαθνξάο (F): F F = F ma εκ(σ + θ ν ) Γπλακηθή ελέξγεηα: U U = U ma εκ (σ + θ ν ) Κηλεηηθή ελέξγεηα: Κ Κ = K ma ζπλ (σ + θ ν ) Δίλαη αμηνζεκείσην, όηη παξόιν πνπ νη εμηζώζεηο ηεο ΑΑΤ θαίλνληαη πνιιέο θαη πνιύπινθεο αξθνύλ γη απηέο πνιύ ιίγα δεδνκέλα: Γύν από ηηο ηξεηο ηδηόηεηεο (m, D, σ) ηνπ ζπζηήκαηνο. Έλα νπνηνδήπνηε από ηα κέγηζηα (E, Α, π ma, ). Πιεξνθνξίεο γηα ηελ αξρηθή θάζε θ ν (δει. πώο άξρηζε ε ΑΑΤ, βιέπε πην θάησ). Παξαηήξεζε: Όηαλ δίλνληαη ζπλαξηήζεηο κε αξηζκεηηθέο ηηκέο όπσο γηα παξάδεηγκα =5 εκ(4π ), π= ζπλ(1 +π/6), F νι = 1, U=,5εκ (π ) θιπ., ηόηε ζπγθξίλνπκε κε ηηο αληίζηνηρεο από ηε ζεσξία θαη βξίζθνπκε έηζη ηηκέο ηδηνηήησλ ηνπ ζπζηήκαηνο ή κέγηζηα (σ, Α, π ma, D, Ε, θιπ.). [ Τη βξίζθνπκε από ην θάζε παξάδεηγκα; ] 1-Γ. Τπνινγηζκόο ηεο αξρηθήο θάζεο θ ν ζηελ ΑΑΣ θαη γεληθόηεξα ζηε ΓΑΣ Θα πξέπεη λα γλσξίδνπκε κε πνηνλ ηξόπν μεθίλεζε ηελ ρξνληθή ζηηγκή = ε ΓΑΤ, δειαδή από πνηα ζέζε (απνκάθξπλζε αξρ ) θαη πξνο πνηα θαηεύζπλζε (ηαρύηεηα π αξρ ). Από ηελ εμίζσζε = Α εκ(σ + θ ν ) γηα = έρνπκε: εκ(θ ν ) = αξρ / Α. Από ηελ ηηκή ηνπ εκηηόλνπ βξίζθνκε δύν γσλίεο θ ν,1 θαη θ ν, θαη ζηε ζπλέρεηα επηιέγνπκε ηελ κία κε ηε βνήζεηα ηεο π αξρ (βιέπε πην θάησ, παξαηήξεζε ii). 4

= +Α A φ ο υ υ A φ ο = Α ρήκα Σώμα που αρχίζει να κάνει Γ.Α.Τ. ρήκα 1 = +Α A φ ο υ υ φ ο A ρήκα 3 = Α ρήκα 4 Παξαηεξήζεηο ζρεηηθά κε ηελ αξρηθή θάζε θ ν i) Ζ αξρηθή θάζε κπνξεί λα πάξεη ηηκέο ζην δηάζηεκα από έσο π, ώζηε λα θαιύπηεη όινπο ηνπο ηξόπνπο έλαξμεο κηαο Γ.Α.Τ.: _ θ ν < π_ Γη απηό, όηαλ δεηάκε ηελ θ ν δελ ρξεζηκνπνηνύκε θ π ζηηο ιύζεηο εκηηόλνπ ζπλεκηηόλνπ. ii) Τεηαξηεκόξην ζην νπνίν αλήθεη ε θ ν : iii) iv) αξρ > (ζεηηθό εκίηνλν) 1 ν ή ν ηεηαξηεκόξην (επάλω) αξρ < (αξλεηηθό εκίηνλν) 3 ν ή 4 ν ηεηαξηεκόξην (θάηω) π αξρ > (ζεηηθό ζπλεκίηνλν) 1 ν ή 4 ν ηεηαξηεκόξην (δεμηά) π αξρ > (αξλεηηθό ζπλεκίηνλν) ν ή 3 ν ηεηαξηεκόξην (αξηζηεξά) Δηδηθά γηα ηηο ηηκέο π/, π θαη 3π/ έρνπκε: Τηκή ηεο θ ν Τξόπνο εθίλεζεο ηεο Γ.Α.Τ. θ ν = π/ αξρ = +Α π αξρ = Από ζεηηθή αθξαία ζέζε θ ν = π αξρ = π αξρ = π ma Από ζέζε ηζνξξνπίαο, κε αξλεηηθή θαηεύζπλζε θ ν = 3π/ αξρ = Α π αξρ = Από αξλεηηθή αθξαία ζέζε Σπλεζηζκέλεο ηηκέο αξρηθήο θάζεο: εκ(θ ν ) = = αξρ /A 1 (,5) (,77) 3 (,866) 1 1 (,5) (,77) 3 (,866) 1 θ ν π> π< π π/6 5π/6 π/4 3π/4 π/3 π/3 π/ (π=) 11π/6 7π/6 7π/4 5π/4 5π/3 4π/3 3π/ (π=) 5

1. Σώκα εθηειεί Γ.Α.Τ. κε εμίζσζε =, εκ(σ + θ ν ) ζην S.I. Να ππνινγίζεηε ηελ αξρηθή θάζε θ ν αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή = είλαη: α) = +,1m κε π > ή κε π < β) =,1m κε π > ή κε π < Απάληεζε ζην (α): Γηα = έρνπκε +,1 =, εκ(θ ν ) εκ(θ ν ) = + 1 / θαη ηειηθά: Αλ π > θ ν = π/6 (Σρήκα 1) Αλ π < θ ν = 5π/6 (Σρήκα ) Απάληεζε ζην (β): Γηα = έρνπκε,1 =, εκ(θ ν ) εκ(θ ν ) = 1 / θαη ηειηθά: Αλ π > θ ν = 11π/6 (Σρήκα 4) Αλ π < θ ν = 7π/6 (Σρήκα 3). Σώκα εθηειεί Γ.Α.Τ. κε εμίζσζε = Α εκ(π /3 + θ ν ) ζην S.I. Ζ ηαιάλησζε μεθίλεζε ηε ρξνληθή ζηηγκή ν = κε ηέηνην ηξόπν ώζηε ζε ρξόλν Δ = s λα πεξάζεη από ηε Θ.Η. θηλνύκελν πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε. Να ππνινγίζεηε ηελ αξρηθή θάζε θ ν. Απάληεζε: Από ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο βξίζθνπκε ηελ πεξίνδν Σ: σ = π /3 π/σ = π/3 Σ = 6s. Δπνκέλσο Σ/4 = 1,5s θαη Σ/ = 3s. Σπγθξίλνπκε κε ηνλ ρξόλν θίλεζεο πνπ έρεη δνζεί (Δ = s) θαη βιέπνπκε όηη απηόο είλαη κεηαμύ ησλ ηηκώλ Σ/4 θαη Σ/. Δπνκέλσο ην ζώκα έθαλε ηελ εμήο δηαδξνκή (βιέπε θαη ζρήκα): Τε ζηηγκή: ν = Τε ζηηγκή: 1 = Δ Σ/4 =,5s Τε ζηηγκή: = Δ = s αξρ > π αξρ > Αξρίδεη λα θηλείηαη πξνο ηε ζεηηθή αθξαία ζέζε 1 = + A Φηάλεη ζηελ ζεηηθή αθξαία ζέζε = π < Φηάλεη ζηελ Θ.Ι. κε αξλεηηθή θνξά ( 1) ( o) Πξνθαλώο: σ = π /3 = π/3 rad θαη: θ ν = π π/3 θ ν = π/3 rad ( ) ω αρχ A φ ο 6

1-E. ρέζεηο αλάκεζα ζηηο ζηηγκηαίεο ηηκέο ησλ κεγεζώλ Αο ππνζέζνπκε ζε κηα ηαιάλησζε όηη δεηάκε ηελ ηαρύηεηα π ηνπ ζώκαηνο ηε ζηηγκή πνπ απηό βξίζθεηαη ζε απνκάθξπλζε. Τα κεγέζε απηά είλαη ζπλαξηήζεηο ηνπ ρξόλνπ, π() θαη (). Δπνκέλσο κπνξνύκε από ηελ () λα ππνινγίζνπκε ηνλ ρξόλν θαη λα αληηθαηαζηήζνπκε ζηελ π(), πνπ είλαη όκσο πεξίπινθν ιόγσ ηξηγσλνκεηξίαο. Αλ δελ καο ρξεηάδεηαη ν ππνινγηζκόο ηνπ ρξόλνπ κπνξνύκε λα βξνύκε απεπζείαο ζρέζεηο κεηαμύ ησλ δηαθόξσλ κεγεζώλ, π.ρ. π(), F(), α(π), θιπ. Τν πξώην βήκα είλαη ε ζρέζε όισλ ησλ κεγεζώλ ηεο ΑΑΤ κε ηελ απνκάθξπλζε : Ταρύηεηα π: Ξεθηλάκε από ηελ ΑΓΔΤ: _Κ + U = Ε_ ½ m π + ½ D = ½ D Α Δπηηάρπλζε α: π σ A Σπλδπάδνληαο ηηο ζρέζεηο F = D θαη F = m α ή ηηο ζρέζεηο α = σ Α εκ(σ) θαη = Α εκ(σ) παίξλνπκε: Γύλακε επαλαθνξάο F νι : Υπάξρεη ήδε ε ζρέζε: Γπλακηθή ελέξγεηα U: Υπάξρεη ήδε ε ζρέζε: Κηλεηηθή ελέξγεηα Κ: _α = σ F νι = D U = ½ D _ Πάιη από ηελ ΑΓΔΤ: _Κ + U = Ε_ Κ = Ε U _K = E ½ D _ Από ηηο πην πάλσ ζρέζεηο, κε απαινηθή ηεο απνκάθξπλζεο κπνξνύκε λα βξνύκε ζρέζε αλάκεζα ζε νπνηαδήπνηε κεγέζε. [ Δνθηκάζηε λα βξείηε ηηο U(π) θαη U(α). ] Παξαηεξήζεηο ζρεηηθά κε ηηο ζρέζεηο ζηηγκηαίωλ ηηκώλ: Πξνζέμηε όηη ε ΑΓΔΤ είλαη ζεκαληηθή ζρέζε ζε ηέηνηα πξνβιήκαηα (θαη όρη κόλν). Με ηε βνήζεηα ηεο ΑΓΔΤ αιιά θαη γεληθόηεξα όισλ ησλ πην πάλσ ζρέζεσλ κπνξνύκε εύθνια λα απαληήζνπκε ζε εξσηήκαηα ηνπ είδνπο: «Σε πνηα ζέζε είλαη ε Κ ίζε κε ηε U;» θιπ. Γηα παξάδεηγκα, από ηελ ΑΓΔΤ πξνθύπηεη όηη ζπκκεηξηθέο ζέζεηο ( 1 = ), αληηζηνηρνύλ ζε ίζεο ή αληίζεηεο ηαρύηεηεο (π 1 = ±π ), ίζεο δπλακηθέο θαη ίζεο θηλεηηθέο ελέξγεηεο (U 1 = U θαη Κ 1 = Κ ). Αλ γλσξίδνπκε ζηελ ίδηα ζέζε (δει. ηελ ίδηα ζηηγκή) ηηο ηηκέο δύν ηέηνησλ κεγεζώλ, κπνξνύκε λα βξνύκε έλα κέγηζην ηεο ΓΑΤ, ή κηα ηδηόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. 7

Γηα παξάδεηγκα: ½ m π + ½ D = ½ D Α Α = α = σ σ = F = D D = θιπ. Να δείμεηε όηη ε επηηάρπλζε α θαη ε ηαρύηεηα π ζε κηα ΑΑΤ ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε ηε ζρέζε: α = σ (π ma π ) Απάληεζε: Ηζρύεη: α = σ _α = σ 4 (Ι)_ Δπίζεο: Κ + U = Ε ½ m π + ½ m σ = ½ m π ma _ = (π ma π ) / σ (ΙΙ)_ Ζ ζρέζε (Ι) κε ηε ρξήζε ηεο (ΙΙ) γίλεηαη: _α = σ (π ma π )_ Σώκα κάδαο m=1kg θξέκεηαη από θαηαθόξπθν ειαηήξην ζηαζεξάο k=1n/m θαη ηζνξξνπεί. Τν εθηξέπνπκε πξνο ηα πάλσ θαηά d=,m θαη ηε ζηηγκή = ην αθήλνπκε ειεύζεξν λα εθηειέζεη ΑΑΤ. Εεηνύληαη: α) Ζ θπθιηθή ζπρλόηεηα σ. β) Τν πιάηνο Α θαη ε αξρηθή θάζε θ ν ηεο ΑΑΤ (κε ζεηηθή θνξά πξνο ηα πάλσ). γ) Οη εμηζώζεηο ηεο απνκάθξπλζεο, ηεο νξκήο p ηνπ ζώκαηνο, ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο U θαη ηεο νιηθήο ελέξγεηαο Ε ζε ζρέζε κε ην ρξόλν. δ) Πνύ βξίζθεηαη ην ζώκα ηε ζηηγκή πνπ αζθείηαη πάλσ ηνπ δύλακε F νι =+1Ν θαη πνηα είλαη ε ηαρύηεηά ηνπ εθείλε ηε ζηηγκή; [ 1r/s,m π/ =,εκ(1+π/)m p=ζπλ(1+π/)kgm/s ] [ U=εκ (1+π/)J Ε=J =,1m π=±1,6m/s ] 8

. Πξνβιήκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε ρξνληθέο ζηηγκέο (), ρξνληθή δηάξθεηα (Δ = 1 ), θάζε (Φ = σ ή Φ = σ + θ ν ) θαη κεηαβνιή θάζεο (ΔΦ = σ Δ) -A. Όηαλ έρνπκε κηα κόλν ΓΑΣ Ο γεληθόο θαλόλαο είλαη όηη δνπιεύνπκε κε ηηο ρξνληθέο εκηηνλνεηδείο ζπλαξηήζεηο ησλ δηαθόξσλ κεγεζώλ (απνκάθξπλζεο, ηαρύηεηαο, θιπ.), θαη ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή ηεο θάζεο Φ πνπ αληηζηνηρεί ζηα δεδνκέλα καο. Γειαδή ππνινγίδνπκε ηελ γσλία σ + θ ν ή κόλν ηελ σ αλ δελ έρνπκε αξρηθή θάζε, κε ηε βνήζεηα ησλ γεληθώλ ιύζεσλ (κε θπ) ησλ εμηζώζεσλ εκηηόλνπ θαη ζπλεκηηόλνπ, π.ρ.: εκ(σ + θ ν ) =,5 σ + θ ν = θπ + π/6 ή σ + θ ν = θπ + (π π/6) ζπλ(σ + θ ν ) =,5 σ + θ ν = θπ + π/3 ή σ + θ ν = θπ π/3 Σηε ζπλέρεηα, ρξεζηκνπνηώληαο θαη ηνλ βνεζεηηθό θύθιν, βξίζθνπκε πνηεο ηηκέο ηνπ αθεξαίνπ θ ηθαλνπνηνύλ ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο. Δδώ ζα παίμνπλ ξόιν πιεξνθνξίεο ηνπ ηύπνπ «πεξλάεη γηα δεύηεξε, ηξίηε, θιπ. θνξά», «πεξλάεη από ηελ ίδηα ζέζε αιιά κε αληίζεηε θαηεύζπλζε» θαη άιιεο παξόκνηεο. Τέινο, ιύλνπκε, αλ ρξεηάδεηαη, σο πξνο ην ρξόλν. Παξαηεξήζεηο ζηα πξνβιήκαηα ρξόλνπ θαη θάζεο i) Σε ρξόλν κηαο πεξηόδνπ Σ ην ζώκα πεξλάεη: Γύν θνξέο από ηε ΘΗ, κε αληίζεηεο ηαρύηεηεο. Μία θνξά από θάζε κία από ηηο αθξαίεο ζέζεηο +Α θαη Α. Ζ δπλακηθή ελέξγεηα U θαη ε θηλεηηθή ελέξγεηα Κ γίλνληαη κέγηζηεο δύν θνξέο, κεδελίδνληαη δύν θνξέο (όρη ηαπηόρξνλα βέβαηα) θαη γίλνληαη ίζεο ηέζζεξεηο θνξέο, ζηηο ζέζεηο = ±,77A). ii) iii) Να αλαδεηήζεηε ηα πην πάλω ζηα δηαγξάκκαηα (), π(), U(), Κ() θαη ζηνλ βνεζεηηθό θύθιν. Όηαλ καο δεηνύλ ην ρξόλν Δ (ρξνληθή δηάξθεηα) γηα λα κεηαβεί ην ζώκα από κία ζέζε 1 ζε άιιε ζέζε, εξγαδόκαζηε σο εμήο: Υπνινγίδνπκε πξώηα ηελ θάζε πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε ζέζε: 1 = Α εκ(σ 1 + θ ν ) σ 1 + θ ν =... θαη = Α εκ(σ + θ ν ) σ + θ ν =... Σηε ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο 1, θαη αθαηξνύκε: Δ = 1. Δπεηδή ή κεηαβνιή ηεο θάζεο ΔΦ ζηε ΓΑΤ είλαη αλάινγε κε ην ρξόλν Δ, κπνξνύκε ζην πξνεγνύκελν δήηεκα, αθνύ πξώηα βξνύκε ηηο δύν θάζεηο, λα βξνύκε ζηε ζπλέρεηα ηε κεηαβνιή θάζεο ΔΦ θαη ηειηθά ηνλ δεηνύκελν ρξόλν: 9

ΔΦ = (σ + θ ν ) (σ 1 + θ ν ) = σ ( 1 ) ΔΦ = σ Δ θαη ηειηθά: Δ =ΔΦ / σ Να δείμεηε όηη γηα λα κεηαβεί έλα ζώκα πνπ εθηειεί ΓΑΤ από ηε ζέζε +,866 Α κε π> κέρξη ηε ζέζε,77 Α κε π< ρξεηάδεηαη ρξόλνο 11 Τ / 4. iv) Τν δηάζηεκα S (κήθνο ηξνρηάο) πνπ δηαλύεη ην ζώκα ζε θάζε κηα από ηηο πην θάησ πεξηπηώζεηο, θαζώο θαη ν αληίζηνηρνο ρξόλνο Δ, είλαη: Από Έωο Μήθνο ηξνρηάο, S Χξόλνο, Γ ΘΗ ±Α Α Τ/4 ΘΗ ΘΗ κε αληίζεηε θνξά Α Τ/ ΘΗ ΘΗ κε ίδηα θνξά 4 Α Τ +Α Α Α Τ/ +Α +Α ή Α Α 4 Α Τ κε ίδηα θνξά 4 Α Τ κε αληίζεηε θνξά Α Τ/ (ζέζεηο ζπκκεηξηθέο ωο πξνο ΘΙ) Να επαιεζεύζεηε ηα πην πάλω ζην βνεζεηηθό θύθιν. v) Γύν δηαδξνκέο S 1 θαη S πνπ είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηε ΘΗ αληηζηνηρνύλ ζε ίζεο κεηαβνιέο ηεο θάζεο ΔΦ (ίζα ηόμα ζηνλ βνεζεηηθό θύθιν) θαη θαιύπηνληαη ζηνλ ίδην ρξόλν Δ είηε πξνο ηελ κία είηε πξνο ηελ άιιε θαηεύζπλζε (ΔΦ = ω Δ). Σώκα πνπ εθηειεί ΓΑΤ ρξεηάδεηαη s γηα λα κεηαβεί από έλα ζεκείν Σ απεπζείαο ζην ζπκκεηξηθό Σ ωο πξνο ηε ΘΙ. Σηε ζπλέρεηα ρξεηάδεηαη άιια 4s γηα λα πεξάζεη πάιη από ην Σ κε αληίζεηε θνξά. α) Να ππνινγίδεηε ηελ πεξίνδν Τ ηεο ΓΑΤ. β) Αλ ηα Σ, Σ απέρνπλ 1cm, λα ππνινγίζεηε ην πιάηνο Α ηεο ΓΑΤ. (Εμππεξεηεί λα ρξεζηκνπνηήζεηε ηνλ βνεζεηηθό θύθιν.) [ 1s 1cm ] 1. Έλα εθθξεκέο θάλεη Ν πιήξεηο αησξήζεηο ζε ρξόλν Δ=1s. Να βξείηε ηελ πεξίνδν Τ ηεο ηαιάλησζεο, αλ κέζα ζην ρξόλν απηό έρεη πεξάζεη: α) 5 θνξέο από ηελ ΘΗ. β) 5 θνξέο από ηελ αθξαία ζέζε +Α. γ) 5 θνξέο από αθξαία ζέζε (είηε +Α είηε Α). Απάληεζε: (α) Έρεη θάλεη N=5 πιήξεηο αησξήζεηο θαη Σ= Δ / N = 4s. (β) Έρεη θάλεη N=5 πιήξεηο αησξήζεηο θαη Σ= Δ / N = s. (γ) Έρεη θάλεη N=5 πιήξεηο αησξήζεηο θαη Σ= Δ / N = 4s.. Σώκα εθηειεί Γ.Α.Τ. κε εμίζσζε = εκ(σ ) cm θαη κε πεξίνδν Σ = 6s. 1

α) Να βξείηε ζε πόζν ρξόλν Δ κεηά από ηε ζηηγκή o = πνπ μεθίλεζε ζα πεξάζεη από ηε ζέζε = 1 cm γηα 7 ε θνξά. β) Να βξείηε επίζεο πόζεο θνξέο πέξαζε από ηε ζέζε απηή, θηλνύκελν πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. A Απάληεζε ζην (α): ω Βξίζθνπκε πξώηα από ηηο γεληθέο ιύζεηο ηνπ εκηηόλνπ ηηο ηηκέο ηεο θάζεο σ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηε ζέζε = 1cm: 1 = εκ(σ ) εκ(σ ) = -,5 σ = θπ π/6 (Ι) ή σ = θπ + 7π/6 (ΙΙ) Οη ηηκέο ηεο θάζεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (Ι) αλήθνπλ ζην 4 ν ηεηαξηεκόξην, ελώ απηέο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (ΙΙ) αλήθνπλ ζην 3 ν ηεηαξηεκόξην. Οη ιύζεηο ηεο (Ι) αληηζηνηρνύλ ζε π >, ελώ ηεο (ΙΙ) ζε π <. ω 1 ε θνξά ε θνξά A Αλαιπηηθά, έρνπκε: Τηκή ηνπ θ (Ι) σ =θπ π/6, (4 ν ηεηαξηεκ. **) (ΙΙ) σ =θπ+7π/6, (3 ν ηεηαξηεκ.) θ αξλεηηθόο απνξξίπηεηαη * απνξξίπηεηαη * θ = απνξξίπηεηαη * σ = 7π/6 (1 ε θνξά, π<) θ = 1 σ = 11π/6 ( ε θνξά, π>) σ = π + 7π/6 (3 ε θνξά, π<) θ = σ = π + 11π/6 (4 ε θνξά, π>) σ = 4π + 7π/6 (5 ε θνξά, π<) θ = 3 σ = 4π + 11π/6 (6 ε θνξά, π>) σ = 6π + 7π/6 (7 ε θνξά, π<) θιπ... * Η θάζε ΔΕΝ παίξλεη αξλεηηθέο ηηκέο ** Η (Ι) κπνξεί λα γξαθηεί θαη: σ = θπ + 11π/6, νπόηε νη ιύζεηο ζα μεθηλνύζαλ από θ= θαη γηα ηηο δύν: Τηκή ηνπ θ (Ι) σ = θπ + 11π/6, (4 ν ηεηαξηεκ.) (ΙΙ) σ =θπ+7π/6, (3 ν ηεηαξηεκ.) θ αξλεηηθόο απνξξίπηεηαη απνξξίπηεηαη θ = σ = 11π/6 ( ε θνξά) σ = 7π/6 (1 ε θνξά) θ = 1 σ = π + 11π/6 (4 ε θνξά) σ = π + 7π/6 (3 ε θνξά) θ = σ = 4π + 11π/6 (6 ε θνξά) σ = 4π + 7π/6 (5 ε θνξά) θ = 3. σ = 6π + 7π/6 (7 ε θνξά) Έηζη, ε δεηνύκελε ηηκή είλαη ε σ =6π+7π/6 (7 ε θνξά): σ = 6π + 7π/6 σ = 43π/6 (π/σ) = 43 π/6 = 43 /1 11

θαη κε αληηθαηάζηαζε: = 1,5s. Γειαδή ν ρξόλνο πνπ πέξαζε από ηελ έλαξμε ηεο θίλεζεο είλαη: Δ = o = 1,5s Δ = 1,5s Απάληεζε ζην (β): Δίλαη εκθαλέο όηη όηαλ πεξλάεη από ηε ζέζε = 1cm κε θαηεύζπλζε πξνο ηε Θ.Η., ηόηε ε ηαρύηεηά ηνπ είλαη ζεηηθή. Τνύην ζπκβαίλεη ηελ ε, 4 ε θαη 6 ε θνξά (ζην 4 ν ηεηαξηεκόξην), δειαδή ζπλνιηθά ηξεηο θνξέο. 3. Σώκα εθηειεί Γ.Α.Τ. κε εμίζσζε = εκ(σ + 5π/6) cm θαη θηάλεη γηα πξώηε θνξά ζηε ζέζε = +cm ζε ρξόλν Δ = 5s. α) Να ππνινγίζεηε ηελ πεξίνδν Σ ηεο ηαιάλησζεο. β) Να ππνινγίζεηε ην ζπλνιηθό δηάζηεκα S (κήθνο ηξνρηάο) πνπ έρεη δηαλύζεη ην ζώκα ζην ρξόλν απηό. Απάληεζε ζην (α): Τελ ρξνληθή ζηηγκή 1 = ε Γ.Α.Τ. μεθηλάεη από ηελ ζέζε: 1 = εκ(σ 1 + 5π/6) cm 1 = εκ(5π/6) cm 1 = +1cm κε αξλεηηθή θαηεύζπλζε (δει. πξνο ηελ Θ.Η.). Τελ ρξνληθή ζηηγκή ην ζώκα θηάλεη γηα πξώηε θνξά ζηε ζέζε = = +cm (ζεηηθή αθξαία ζέζε) νπόηε, όπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα, ε θάζε ηνπ έρεη γίλεη π + π/. Γειαδή: σ + 5π/6 = π + π/ σ = 5π/3 (π/σ) = 5π/3 θαη ηειηθά: = 5Σ/6 Άξα ην ρξνληθό δηάζηεκα Δ είλαη: Δ = 1 = 5Σ/6 Δ = 5Σ/6 θαη ε δεηνύκελε πεξίνδνο: Σ = 6 Δ/5 ή Σ = 6s Σρόιην: Τε θάζε ζηελ ζέζε κπνξνύκε θαη ηππηθά λα ηε βξνύκε από ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο: = εκ(σ + 5π/6) cm + = εκ(σ + 5π/6) εκ(σ + 5π/6) = 1 άξα: σ + 5π/6 = θπ + π/ θαη γηα θ=1 έρνπκε: σ + 5π/6 = π + π/ ( 1 ) A X 1 5π/6 ( ) X ω 1 Απάληεζε ζην (β): Τν ζώκα έρεη θάλεη ζην ρξόλν Δ ηελ εμήο δηαδξνκή: Από 1 = +1cm = = cm = = +cm. Δπνκέλσο ην ζπλνιηθό δηάζηεκα είλαη: S = (1+++)cm S = 7cm Σώκα θάλεη ΓΑΤ κε πεξίνδν Σ=1s θαη πιάηνο Α. Να ππνινγίζεηε πόζν ρξόλν ρξεηάδεηαη γηα λα δηαλύζεη δηάζηεκα S ίζν κε ην πιάηνο Α ηεο ηαιάλησζεο. [ Φξεηάδεηαη ην ιηγόηεξν s θαη ην πνιύ 4s ]

-Β. Όηαλ έρνπκε δύν ΓΑΣ (πξνβιήκαηα ζπλάληεζεο θιπ.) Αλ δύν ζώκαηα εθηεινύλ ηαπηόρξνλεο ΓΑΤ πάλσ ζηνλ ίδην άμνλα θαη γύξσ από ηελ ίδηα ΘΙ ηόηε, αλαπόθεπθηα, θάπνηα ζηηγκή ζπλαληηνύληαη, δειαδή γηα = θηάλνπλ ζηελ ίδηα ζέζε εμηζώλνληαη νη απνκαθξύλζεηο ηνπο: 1 ( ) = ( ). Αλάινγα κε ηα δεδνκέλα, απηό κπνξεί λα ζεκαίλεη όηη ζπγθξνύνληαη, ή κπνξεί απιώο λα πεξλνύλ ηαπηόρξνλα από ηε ζέζε απηή (αλ νη άμνλεο θίλεζεο δελ ηαπηίδνληαη αθξηβώο αιιά είλαη παξάιιεινη). Σηελ ηειεπηαία πεξίπησζε αθνινπζνύλ θαη άιιεο ζπλαληήζεηο, πνπ κπνξεί θαη λα επαλαιακβάλνληαη πεξηνδηθά. Γεληθά ε ιύζε ηέηνησλ πξνβιεκάησλ είλαη αξθεηά πεξίπινθε ιόγσ ηξηγσλνκεηξηθώλ ζρέζεσλ (θαη δελ ζπλεζίδνληαη ζηηο εμεηάζεηο!). Αλ νη δύν ηαιαληώζεηο έρνπλ ίδηα ζπρλόηεηα ηόηε ε ιύζε είλαη απινύζηεξε (θαη αθόκα πην απιή αλ έρνπλ θαη ην ίδην πιάηνο). Ο βνεζεηηθόο θύθινο είλαη ΠΟΛΤ ΥΡΗΙΜΟ ζε ηέηνηα πξνβιήκαηα. Θα δνύκε κόλν κεξηθά παξαδείγκαηα. 1. Γύν ζώκαηα εθηεινύλ ΓΑΤ πάλσ ζηελ ίδηα επζεία, γύξσ από ηελ ίδηα ΘΗ, κε εμηζώζεηο 1 = A εκ(σ ) θαη = Α εκ(σ + π/), όπνπ Α=cm θαη Σ=8s. Να βξείηε πνηα ζηηγκή θαη ζε πνηα ζέζε θαη πώο ζπλαληηνύληαη γηα πξώηε θνξά. Απάληεζε: Οη δύν ΓΑΤ έρνπλ ίδηα ΘΗ, ίδην πιάηνο θαη γίλνληαη πάλσ ζηελ ίδηα επζεία. Πξνθαλώο έρνπλ ηνλ ίδην βνεζεηηθό θύθιν. Ζ ε πξνεγείηαη ζε θάζε θαηά π/ από ηελ 1 ε, άξα μεθηλνύλ από δηαθνξεηηθέο ζέζεηο. Σπγθεθξηκέλα, ε 1 ε μεθηλά από ηε ΘΗ κε ζεηηθή θνξά, ελώ ε ε από ηελ ζέζε +Α: Σ Σ Ο π/ π/ Σ 1 Ο ω Σ 1 Σηηγκή εθθίλεζεο Λίγν κεηά 13

Σ π/ Ο Παξαηεξήζηε ζηα δύν πξώηα ζρήκαηα ην ηξίγσλν πνπ ζρεκαηίδεηαη από ην θέληξν Ο θαη ηα βνεζεηηθά ζεκεία Σ 1, Σ. Τν ηξίγσλν ΟΣ 1 Σ είλαη ηζνζθειέο, νξζνγώλην (ε δηαθνξά θάζεο ησλ δύν ΓΑΤ είλαη π/) θαη ζηξέθεηαη γύξσ από ηελ θνξπθή Ο. Ζ ζπλάληεζε ζπκβαίλεη όηαλ ε ππνηείλνπζα Σ 1 Σ θηάζεη ζε νξηδόληηα ζέζε (ηξίην ζρήκα). 1) Αιγεβξηθή ιύζε: ii) σ = π (σ + π/) (παξαπιεξσκαηηθέο) δεθηή σ = π/4 θαη ηειηθά: _ = Σ/8 = 1s_ Τε ζηηγκή = ηα δύν ζώκαηα ζπλαληηνύληαη, δειαδή νη απνκαθξύλζεηο ηνπο γίλνληαη ίζεο: 1 = A εκ(σ ) = Α εκ(σ + π/) i) σ = σ + π/ (ίζεο) απνξξίπηεηαη. Ζ απνκάθξπλζε ηόηε είλαη: = A εκ(σ ) = εκ(π/4) cm _ = 14,1 cm_ Τέινο, θαηά ηε ζπλάληεζε, ηα δύν θηλεηά έρνπλ αληίζεηεο ηαρύηεηεο (γηαηί;) ) Γεωκεηξηθή ιύζε: 1 = ω Σ 1 Σηηγκή ζπλάληεζεο Τε ζηηγκή πνπ ζπλαληηνύληαη (ηξίην ζρήκα), ην ηξίγσλν ΟΣ 1 Σ βξίζθεηαη ζε ηέηνηα ζέζε ώζηε ν ς άμνλαο λα δηρνηνκεί ηελ νξζή γσλία Σ 1 ΟΣ. Οπόηε πξνθαλώο είλαη: σ = π/4 θιπ. Παξαηεξώληαο ηα ηξία πξνεγνύκελα ζρήκαηα θαη θπξίσο ηελ πεξηζηξνθή ηνπ ηξηγώλνπ ΟΣ 1 Σ ζε ζρέζε κε ηηο ηαιαληώζεηο ησλ δύν ζσκάησλ, λα πξνζπαζήζεηε λα απαληήζεηε ζηα εμήο: α) Σε πόζν ρξόλν κεηά ηελ πξώηε ηνπο ζπλάληεζε ζπλαληηνύληαη γηα ε θνξά; β) Καζώο ηα δύν ζώκαηα ηαιαληώλνληαη, άιινηε πιεζηάδνπλ θαη άιινηε απνκαθξύλνληαη. Πόζε είλαη ε πην κεγάιε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε; [ Σε 4s κεηά ηελ πξώηε ζπλάληεζε cm ] 14

3. Γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ κεγεζώλ ηεο ΑΑΣ θαη πιεξνθνξίεο πνπ παίξλνπκε από απηέο. 3-Α. ε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν +Α /4 / 3/4 -Α +σα π /4 / 3/4 -σα +σ Α α /4 / 3/4 -σ Α U, K E /4 / 3/4 Σ/1 (π/6) 5Σ/1 (5π/6) Πέξα από ηε καζεκαηηθή κνξθή (εκίηνλν, ζπλεκίηνλν, θιπ), ζα πξέπεη λα γλσξίδνπκε ηελ πεξίνδν Σ, ηε κέγηζηε ηηκή (Α, π ma, ) ηνπ κεγέζνπο θαη ηελ αξρηθή θάζε θ ν. Σηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε αξρηθή θάζε κεηαηνπίδνπκε ηνλ ς άμνλα δεμηά θαηά ην ρξόλν Δ πνπ αληηζηνηρεί ζηε θ ν (Δ=θ ν /σ) ζε όιεο ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο (βιέπε ζρήκα). Έηζη αιιάδεη ε βαζκνινγία ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ (κεηώλνληαη δειαδή νη ηηκέο θαηά Δ), ώζηε ε ηηκή = λα αληηζηνηρεί ζηε λέα ζέζε ηνπ ς άμνλα. 15

Σην πην πάλσ ζρήκα ζεκεηώλεηαη γηα παξάδεηγκα ε λέα ζέζε ηνπ ς άμνλα γηα αξρηθή θάζε π/6 ή 5π/6. Παξαηεξήζεηο: i) Πξνζέμηε όηη ε ζρεηηθή ζέζε ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ δελ αιιάδεη, αθνύ ε κεηαηόπηζε ηνπ άμνλα είλαη ίδηα γηα όιεο. ii) iii) iv) Αληίζηξνθα, αλ καο δίλεηαη κηα εκηηνλνεηδήο απεηθόληζε κπνξνύκε από απηήλ λα βξνύκε ηελ πεξίνδν Σ, ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ κεγέζνπο (π.ρ. Α, π ma,...) θαη ηελ αξρηθή θάζε θ ν ηεο ΓΑΤ. Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο δπλακηθήο U θαη ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο Κ έρνπλ κόλν ζεηηθέο ηηκέο (ή κεδέλ) θαη κεηαβάιινληαη έηζη ώζηε ζε κηα πεξίνδν Σ ηεο ΑΑΤ λα θάλνπλ δύν πιήξεηο επαλαιήςεηο. Τππηθά, έρνπλ δειαδή πεξίνδν Σ/. Πξάγκαηη: U = Ε εκ 1 ζπλ(σ ) E E (σ ) U Ε U ζπλ(σ ) (Κπθιηθή ζπρλόηεηα είλαη ε σ.) Όιεο νη ρξνληθέο ζπλαξηήζεηο ζε κηα ΓΑΤ είλαη εκηηνλνεηδείο, εθηόο από ηε θάζε Φ = σ + θ ν πνπ κεηαβάιιεηαη γξακκηθά κε ην ρξόλν (βιέπε δηπιαλό ζρήκα). Σηελ πεξίπησζε απηή, ραξαθηεξηζηηθά ζηνηρεία είλαη ε ηηκή θ ν από ηελ νπνία μεθηλά ε γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε θιίζε ηεο σ. θ ν Φ=σ v) Αλ ζε θνηλνύο άμνλεο δίλνληαη δύν απεηθνλίζεηο ίδησλ κεγεζώλ, γηα παξάδεηγκα 1 () θαη () γηα δύν δηαθνξεηηθέο ΓΑΤ ηόηε, αθόκε θαη αλ νη άμνλεο δελ έρνπλ ηηκέο, κπνξνύκε λα θάλνπκε ζπγθξίζεηο, π.ρ. όηη Σ 1 > Σ, Α 1 < Α, θιπ. Φ Φ=σ+θ ν Έλα ζώκα κάδαο m = 1kg θάλεη ΓΑΤ κε εμίζσζε =, εκ(1 + 3π/) ζην S.I. Με ηε βνήζεηα θαη ηνπ πξνεγνύκελνπ ζρήκαηνο λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ, π, α, U θαη Κ ηηο ζηηγκέο = θαη =Σ/4. [,m m/s J ] [ +m/s J ] Κάπνηα από ηηο δύν γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο απεηθνλίδεη ηελ ηαρύηεηα π ελόο ζώκαηνο πνπ θάλεη ΑΑΤ, ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Να εμεηάζεηε πνην από ηα κεγέζε, α, U ή Κ ζα κπνξνύζε λα απεηθνλίδεη ή άιιε, δίλνληαο θαη ηηο θαηάιιειεο εμεγήζεηο. [, α ] 16

Έλα ζώκα εθηειεί ΑΑΤ κε εμίζσζε = Α εκ(σ ) θαη νιηθή ελέξγεηα Ε. Να δείμεηε όηη ε ηζρύο P ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο δίλεηαη από ηε ζρέζε P = σ Ε εκ(σ ) θαη λα ηελ απεηθνλίζεηε ζε ζρέζε κε ην ρξόλν. 3-Β. Ταρύηεηα π: ε ζρέζε κε ηελ απόκάθξπλζε +σα π π σ A Α +Α (Μήπωο πξέπεη λα θξεζθάξεηε ηα καζεκαηηθά ζαο;) σα Δπηηάρπλζε α θαη δύλακε επαλαθνξάο F νι : _α = σ F νι = D _ +σ Α α F νι θιίζε: σ θιίζε: D +DΑ Α +Α Α +Α σ Α DΑ Γπλακηθή θαη θηλεηηθή ελέξγεηα U, Κ: _U = ½ D _ E U, K _K = E ½ D _ Α +Α Έλα ζώκα κάδαο m = kg θάλεη ΑΑΤ πιάηνπο Α =,m θαη νιηθήο ελέξγεηαο Ε = 4J. Να ζρεδηάζεηε ζε βαζκνινγεκέλνπο άμνλεο ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο δπλακηθήο θαη ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο U θαη Κ ζε ζπλάξηεζε κε ηελ ηαρύηεηα π ηνπ ζώκαηνο. 17

3-Γ. Ση παξηζηάλνπλ ηα εκβαδά ζε νξηζκέλεο γξαθηθέο παξαζηάζεηο; Τα εκβαδά ζε θάπνηεο γξαθηθέο παξαζηάζεηο εθθξάδνπλ ηελ αξηζκεηηθή ηηκή θάπνηνπ θπζηθνύ κεγέζνπο. Έηζη έρνπλ ελδηαθέξνλ από θπζηθή άπνςε. Αθνινπζνύλ κεξηθά ηέηνηα παξαδείγκαηα: Γηάγξακκα ηαρύηεηαο ρξόλνπ: +Α Σην δηπιαλό ζρήκα βιέπνπκε ηα δηαγξάκκαηα απνκάθξπλζεο θαη ηαρύηεηαο π ελόο ζώκαηνο πνπ θάλεη ΓΑΤ ζε ζρέζε κε ην ρξόλν. Να ζθεθηείηε ηη εθθξάδεη γεληθά ην γηλόκελν ηαρύηεηαο ρξόλνπ θαη ζηε ζπλέρεηα λα εθηηκήζεηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ θαζελόο από ηα ηέζζεξα γξακκνζθηαζκέλα εκβαδά ζην δεύηεξν δηάγξακκα. -Α +σα π /4 /4 / / 3/4 3/4 [ π d = d ] -σα +DΑ -DΑ +σα F π /4 /4 / / 3/4 3/4 Γηάγξακκα ηζρύνο ρξόλνπ: Σην δηπιαλό ζρήκα βιέπνπκε ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο F θαη ηεο ηαρύηεηαο π ελόο ζώκαηνο πνπ θάλεη ΓΑΤ, θαζώο θαη ηεο ζπλνιηθήο ηζρύνο P=F π ησλ δπλάκεσλ πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα απηό, ζε ζρέζε κε ην ρξόλν. -σα P +σε /4 / 3/4 Να ζθεθηείηε ηη εθθξάδεη γεληθά ην γηλόκελν ηζρύνο ρξόλνπ θαη ζηε ζπλέρεηα λα εθηηκήζεηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ θαζελόο από ηα ηέζζεξα γξακκνζθηαζκέλα εκβαδά ζην ηξίην από ηα ηξία δηαγξάκκαηα. [ P d = dw ] -σε 18

Γηάγξακκα δύλακεο ρξόλνπ: +DΑ F Σην δηπιαλό ζρήκα βιέπνπκε ηα δηαγξάκκαηα ζπληζηακέλεο δύλακεο F θαη ηαρύηεηαο π ελόο ζώκαηνο πνπ θάλεη ΓΑΤ ζε ζρέζε κε ην ρξόλν. /4 / 3/4 Να ζθεθηείηε ηη εθθξάδεη γεληθά ην γηλόκελν δύλακεο ρξόλνπ θαη ζηε ζπλέρεηα λα εθηηκήζεηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ θαζελόο από ηα ηέζζεξα γξακκνζθηαζκέλα εκβαδά ζην πξώην δηάγξακκα. -DΑ +σα π /4 / 3/4 [ F d = dp ] -σα Γηάγξακκα δύλακεο απνκάθξπλζεο: F νι Σην δηπιαλό ζρήκα βιέπνπκε ην δηάγξακκα ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο F νι ελόο ζώκαηνο πνπ θάλεη ΓΑΤ ζε ζρέζε κε ηελ απνκάθξπλζε. Να ζθεθηείηε ηη εθθξάδεη γεληθά ην γηλόκελν δύλακεο κεηαηόπηζεο θαη ζηε ζπλέρεηα λα εθηηκήζεηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ θαζελόο από ηα δύν γξακκνζθηαζκέλα εκβαδά. Α +DΑ DΑ +Α [ F d = dw ] 19