3.. ΚΑΜΨΗ ΣΕ ΚΥΜΑΤΙΙΣΜΟ Κατά την πρόσπτωση κυματισμών σε ένα πλοίο η καμπτική φόρτιση που δέχεται η γάστρα του και οι επαγόμενες κατανομές των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών, διαφέρουν σε σχέση με τα αντίστοιχα μεγέθη σε ήρεμο νερό. Στην περίπτωση αυτή για τον υπολογισμό της καμπτικής απόκρισης απαιτείται: η χρήση των εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας, και ο υπολογισμός της δυναμικής φόρτισης που ασκεί η θάλασσα στη γάστρα. w(x) mx,t qx,t q x,t qx,t dx x mx,t mx,t x dx x b(x)+f(x,t) v, a AE FE Σχήμα 3-1: Κάμψη σε κυματισμό Αν στην κατάσταση αυτή, η συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη που ασκείται σε ένα στοιχείο του πλοίου-δοκαριού μήκους dx ισούται με p x,t w x b x f x,t, όπου w(x) η καμπύλη βάρους, b(x) η καμπύλη της άντωσης κατά την πλεύση σε ήρεμο νερό και b(x)+f(x,t) η καμπύλη κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που δέχεται το στοιχείο, και αγνοηθεί η περιστροφική αδράνεια, ισχύει: 1
q x,t w x v x,t w x px,t a x,t x g t g m x,t qx,t 0 x Εξ. 3-1 οπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, q(x,t) και m(x,t) η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή αντίστοιχα, και v(x,t) και a x,t v x,t t η κατακόρυφη μετατόπιση και επιτάχυνση του στοιχείου αντίστοιχα. Η σύμβαση για τα πρόσημα φαίνεται Σχήμα 3-1. Λόγω της γραμμικότητας των σχέσεων Εξ. 3-1, και δεχόμενοι ότι η ίσαλος είναι σταθερή στην καθ ύψος περιοχή της γάστρας που συνορεύει με την διαταραγμένη ελεύθερη επιφάνεια, ο υπολογισμός των κατανομών των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών, που προκαλούνται από τη φόρτιση σε κατάσταση κυματισμού, μπορεί να προκύψει από την επαλληλία των κατανομών που προκύπτουν από α) τη φόρτιση σε ήρεμο νερό p sw (x) = w(x) - b(x), και β) τη διαφορά της φόρτισης σε κυματισμό από τη φόρτιση σε ήρεμο νερό p w (x,t) = p(x,t) - p sw (x) = -f(x,t). Στις παραπάνω σχέσεις συμβολίζεται με p sw (x) η φόρτιση που οφείλεται σε ήρεμο νερό, και f(x,t) η φόρτιση από τη θάλασσα που οφείλεται στη διαταραχή της ελεύθερης επιφάνειας λόγω του κυματισμού. Λαμβάνοντα υπόψη τα όσα εκτέθηκαν ισχύει ότι: m(x,t)=m sw (x)+m w (x,t) q(x,t)=q sw (x)+q w (x,t) όπου οι πρώτοι όροι του β μέλους των εξισώσεων (οι όροι με δείκτη sw) είναι οι κατανομές σε ήρεμο νερό ως προκύπτουν από τις εξισώσεις του προηγούμενου κεφαλαίου και οι όροι με δείκτη w οφείλονται στη φόρτιση f(x,t) και υπολογίζονται απο τις:
Qw x,t w x v x,t w x fx,t a x,t x g t g Mw x,t Qw x,t 0 x Εξ. 3- Οι δύο παραπάνω εξισώσεις δεν επαρκούν για τον υπολογισμό των ζητούμενων κατανομών, επειδή σε αυτές εμπλέκονται τρείς άγνωστες συναρτήσεις, οι διαμτητικές δυνάμεις Q w (x,t), οι καμπτικές ροπές M w (x,t) και οι κατακόρυφες μετακινήσεις v(x,t). Επιπλέον η διέγερση f(x,t) δε προσδιορίζεται μόνο από τα χαραστηριστικά του κύματος μορφή, μήκος, πλάτος, περίοδος αλλά και από τις κινήσεις του πλοίου που το κύμα προκαλεί. Στατική ισορροπία σε κύμα Για κύματα μεγάλου μήκος με περίοδο της τάξης μερικών δευτερολέπτων, ο υπολογισμός των κατανομών M w (x,t) και Q w (x,t) μπορεί να γίνει: α) αγνοώντας τις αδρανειακές δυνάμεις, και β) δεχόμενοι ότι η φόρτιση f(x,t) ισούται με τη μεταβολή της άντωσης λόγω της διαταραχής της ελεύθερης επιφάνειας, και υπολογίζεται θεωρώντας το πλοίο στη θέση ισορροπίας, δηλαδή f(x,t)=f(x)=-ρ g B(x) ζ(χ), όπου ρ η πυκνότητα του νερού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, B(x) το πλάτος της ισάλου ισορροπίας στη θέση x και ζ(x) η μεταβολή της ελεύθερης επιφάνειας στη θέση x θετική όταν η ελεύθερη επιφάνεια ανυψούται. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι Qw x,t -gbxx- 0 x Mw x,t Qw x,t- 0 x Εξ. 3-3 Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτουν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών που οφείλονται στη διαταραχή της ελεύθερης επιφάνειας λόγω των 3
κυματισμών, σύμφωνα με τα όσα ισχύουν και για τις κατανομές σε ήρεμο νερό. Η χρήση των εξισώσεων στατικής ισορροπίας για τον υπολογισμό των διατμητικών δυνάμεων και καμπτκών ροπών σε κυματισμό αποτέλεσε μία αποδεκτή μέθοδο στην οποία στηρίχθηκε η σχεδίαση πλοίων για πολλές δεκαετίες. Ροπή σχεδίασης Κατά τη σχεδίαση και προσδιορισμό των στοιχείων της κατασκευής ενός πλοίου βασική απαίτηση είναι οι διατομές του να μπορούν να φέρουν ασφαλώς τις διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές που προβλέπεται ότι θα εμφανιστούν στη διάρκεια της ζωής του. Οσον αφορά τις δυνάμεις και ροπές σε ήρεμο νερό, ο υπολογισμός δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες, και όταν η κατάσταση φόρτωσης είναι δεδομένη, είναι δυνατόν να γίνουν οι σχετικοί υπολογισμοί. Ο υπολογισμός της ροπής λόγω κυματισμού είναι πιό πολύπλοκος και απαιτείται α) ο προσδιορισμός του κύματος που μπορεί να προκαλέσει ακραίες καταστάσεις φόρτισης, και β) η ανάπτυξη ενός ρεαλιστικού μοντέλου για την υπολογισμό της απόκρισης του πλοίου υπό την επίδραση του κύματος αυτού. Για το προσδιορισμό της ροπής βάσει της οποίας γίνεται ο υπολογισμός της κατασκευής του πλοίου -ροπή σχεδίασης, design bending moment- προστίθονται α) η μέγιστη ροπή σε ήρεμο νερό, και β) η μέγιστη επιπλέον ροπή λόγω του κυματισμού, που αναμένεται να αντιμετωπίσει το πλοίο στη διάρκεια της ζωής του. Η ροπή σε κυματισμό υπολογίζεται σε δύο ακραίες καταστάσεις: η κατάσταση hogging, που προκαλεί εφελκυσμό του καταστρώματος και θλίψη του πυθμένα και η κατάσταση sagging, που προκαλεί θλίψη του καταστρώματος και εφελκυσμό του πυθμένα Σχήμα 3-). 4
Σχήμα 3-: Το πλοίο στη κορυφή και στη κοιλάδα κύματος μήκους περίπου ίσου με το μήκος του. Ηδη από το 1866 ο Rankine πρότεινε την παρακάτω σχέση για τον υπολογισμό της ροπής σχεδίασης της μέσης τομής: M tonsft d tonslft K. Το 19 (Champness) η σχέση αυτή εξειδικεύθηκε και προτάθηκε το K να ισούται με 35 ή 9 για τη κατάσταση hogging και sagging αντίστοιχα 1. Ο Barbanov τέλος, εξειδίκευσε ακόμη περισσότερο τη σχέση αυτή και πρότεινε να χρησιμοποιούνται διαφορετικές τιμές για το K, ανάλογα με την κατάσταση (hog ή sag) και τον τύπο του πλοίου. Αλλη μέθοδος για τον υπολογισμό της ροπής σε κυματισμό γίνεται με χρήση της υπόθεσης της "στατικής ισορροπίας" του πλοίου πάνω σε ένα κύμα. Για τον υπολογισμό της ροπής σχεδίασης η μορφή του κύματος θεωρείται τροχοειδής ή ημιτονοειδής και το μήκος του κύματος λαμβάνεται ίσο με το μήκος του πλοίου. Οσον 5
αφορά το ύψος του κύματος έχουν προταθεί περισσότερες από μία σχέσεις, τέσερρεις από τις οποίες παρουσιάζονται στο Σχήμα 3-3. Στην περίπτωση αυτή ο προσδιορισμός της ροπής σχεδίασης σε κυματισμό γίνεται με το πλοίο να ισορροπεί στην κορυφή και το κοίλο του κύματος. ΥΨΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ 18 16 14 ΥΨΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ [m] 1 10 8 6 L/0 Biles (1908) 1.1 L[ft] +L[m]/30 Barabanov (1966) L/10 Clarke (1985) 4 0 0 50 100 150 00 50 300 350 ΜΗΚΟΣ ΠΛΟΙΟΥ [m] Σχήμα 3-3: Ύψος κύματος σχεδίασης Το 1990 οι νηογνώμονες συμφώνησαν στις ελάχιστες τιμές της ροπής σχεδίασης λόγω κυματισμού, που προτάθηκαν από τον IACS (International Association of Classification Societies) 1, για πλοία με μήκος μεγαλύτερο από 90 m. Για τα πλοία αυτά η ροπή σχεδίασης της μέσης τομής λόγω κυματισμού δεν μπορεί να είναι μικρότερη από τη ροπή που δίνεται από τις σχέσεις: 3 ws 1 1 b M k C L B c 0.7 10 3 wh 1 b M k C L B c 10 όπου Εξ. 3-4 1 IACS, Unified Requirements Strength URS11, Revision, November 001. 6
L είναι το μήκος του πλοίου σε m, B, είναι το μέγιστο πλάτος σε m, C b ο συντελεστής γάστρας, k 1 =110, k =190 και 300 L 10,75 100 90m L 300m C 10,75 300m L 350m 1 1,5 1,5 L 350 10,75 350m L 500m 150 και Mws και M wh η ροπή κάμψης σε κατάσταση sagging και hogging αντίστοιχα σε KN-m. Η σύμβαση προβλέπει θετικές τιμές για ροπές hogging και αρνητικές για sagging. Η ροπή αυτή αντιστοιχεί σε κύμα στην περιοχή του Βορείου Ατλαντικού που θα εμφανιστεί με πιθανότητα 10-8 ανά εναλλαγή ή μία φορά στην αναμενόμενη ζωή του πλοίου. Επίσης ο IACS δίνει την κατανομή των ροπών κατα μήκος του πλοίου, που φαίνεται στο Σχήμα 3-4. M/M w =1 AE 40%L 65%L FE Σχήμα 3-4: Κατανομή καμπτικής ροπής λόγω κυματισμού σύμφωνα με τον IACS Σύμφωνα με τους κανονισμούς για πλοία με μήκος μεγαλύτερο των 500 m, με σχέση μήκους προς πλάτος μικρότερο του 5, με σχέση πλάτους προς κοίλο μεγαλύτερο από.5, 7
με συντελεστή γάστρας μικρότερο από 0.6, που μεταφέρουν θερμαινόμενα φορτία, με μεγάλα ανοίγματα στο κατάστρωμα, και μη συνήθους τύπου ή κατασκευής, απαιτούνται ιδιαίτερες μελέτες. Λόγω της μορφής της γάστρας οι Εξ. 3-4 δίνουν διαφορετικές τιμές των ροπών για τις καταστάσεις hogging και sagging. Στα παρουσιάζονται οι διαφορές αυτές. ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΛΟΓΩ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΥ - ΠΛΟΙΑ ΜΑΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ ΧΥ ΗΝ 10.000.000 9.000.000 8.000.000 7.000.000 sagging hogging Expon. (hogging) Expon. (sagging) ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ 6.000.000 5.000.000 4.000.000 3.000.000.000.000 1.000.000 ΜΗΚΟΣ ΠΛΟΙΟΥ 0 100 10 140 160 180 00 0 40 60 80 300 Σχήμα 3-5: Ροπές κάμψης λόγω κυματισμού κατά IACS α) αριστερά: σχέση ροπών hog και sag β) ροπές για πλοία μεταφοράς φορτίων χύδην 3 Σε ότι αφορά τις διατμητικές δυνάμεις λόγω κάμψης σε κυματισμό, οι κανονισμοί προδιαγράφουν ότι δε πρέπει να είναι μικρότερες κατ απόλυτο τιμή από τις τιμές που δίνονται από τις σχέσεις: w 1 b w 1 b F (kn) 30FC LB c 0.7 10 F (kn) 30FC LB c 0.7 10 Οι συντελεστές F` και F`` σχετίζονται με την κατανομή των διατμητικών δυνάμεων κατά μήκος του πλοίου και δίνονται ως συνάρτηση της θέσης της διατομής από το Σχήμα 3-6. G. Soares, Marine Structures, 199 3 Τα στοιχεία των πλοίων από Διπλωματική εργασία, ΕΜΠ 8
1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, F' F'' Σχήμα 3-6: Κατανομή διατμητικών δυνάμεων κατά μήκος του πλοίου Σύγκριση ημιτονοειδούς και τροχοειδούς κύματος Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο υπολογισμός των αναπτυσσόμενων ροπών και διατμητικών δυνάμεων στο μέσοι φορτηγίδας ορθογωνικής διατομής που ισορροπεί πάνω σε ημιτονοειδές και τροχοειδές κύμα, ουτως ώστε να φανούν οι διαφορές μεταξύ των δύο προσεγγίσεων. Η μορφή του τροxοειδούς κύματος περιφράφεται απο τις σxέσεις x=rθ-rsinθ και y=rcosθ, οπου το μήκος κύματος ισούται με L=Rπ και το ύψος κύματος με H=r. Από τη σxέση y=rcosθ συνάγεται οτι η κορυφή του κύματος παρουσιάζεται οταν θ=0. Η αρxή των αξόνων τοποθετείται στη μέση τομή (κατάσταση hogging). Η μεταβολή του βυθίσματος στη θέση x=rθ-rsinθ ισούται με rcosθ - θετική μεταβολή για αύξηση του βυθίσματος και αρνητική για μείωση - και η αντίστοιxη μεταβολή της άντωσης ισούται με Bγrcosθ, οπου γ το ειδικό βάρος του νερού. Η φόρτιση λόγω 9
κυματισμού ισούται με Bγrcosθ και αν Q η διατμητική δύναμη που προκαλείται απο τη φόρτιση αυτή, ισxύει οτι x x Q dq Bγ r cosθ dx B γ r cosθ Rdθ rdsinθ AE AE π sinθ θ π Bγr R sinθ B γ r 4 Απο την πιο πάνω σxέση συνάγεται οτι στο πρωραίο άκρο αναπτύσσεται διατμητική δύναμη ίση με R. Η ύπαρξη της δύναμης αυτής, που έxει τιμή θετική, Q B γ r π δηλώνει οτι η επιπλέον άντωση λόγω κυματισμού είναι μικρότερη της ελλάτωσης της άντωσης, και για την ισορροπία της φορτηγίδας στο κύμα απαιτείται η ύπαρξη της στο πρωραίο άκρο του πλοίου. Επειδή όμως η συγκεντρωμένη αυτή δύναμη δεν υπάρxει, προκύπτει οτι η θεωρηθείσα θέση "ισορροπίας" της φορτηγίδας στο κύμα είναι λανθασμένη, και για να ισορροπήσει η φορτηγίδα στο κύμα πρέπει να υποστεί παράλληλη βύθιση ίση με Q A γ r R R L. Η φόρτιση που προκαλεί η παράλληλη βύθιση ισούται με -Bγr /R και η προκύπτουσα διατμητική δύναμη με θ B γ r Bγ r Q Rdθ' rdsinθ' Rθ π rsinθ R R π Αρα η διατμητική δύναμη στη θέση ισορροπίας ισούται με sinθ θ π B γ r Q BγrRsinθBγr Rθπrsinθ 4 R 1 r Bγ r B γ r R 1 sinθ sinθ R 4 Η καμπτική ροπή στη θέση x=rθ-rsinθ ισούται με το ολοκλήρωμα της Q απο το πρυμναίο άκρο, οπου η καμπτική ροπή είναι ίση με μηδέν, εως τη θέση x: 10
x x 1 r Bγ r M dm Qdx Bγ rr1 RI ri RI ri R 4 AE AE 1 3 4 οπου 1 3 θ I sinθ'dθ' cosθ 1 π 1 I sinθ 'sinθ' sin θ π I sinθ 'dθ' sin θ π 3 I4 sinθ'dθ ' cos θ 1 3 π Η μέγιστη ροπή Mmax εμφανίζεται στη θέση που μηδενίζεται η διατμητική δύναμη. Στην περίπτωση που εξετάζεται αυτή συμπίπτει με την αρxή των αξόνων. Αυτό είναι άλλωστε αναμενόμενο λόγω συμμετρίας. 0 BγHL π H Mmax M(x 0) M(θ 0) dm 1 4π 3 L π Στη σxέση αυτή έxει ληφθεί υπ' όψη οτι H=r και L=πR. Η αντίστοιxη ανάλυση ημιτονοειδούς κύματος μορφής y=(h/)cos(πx/l) με τη αρxή των αξόνων στο μέσο νομέα δίνει τις πιο κάτω κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών: x BγH π x BγHL π x Q(x) cos dx sin L 4π L L/ 11
x BγHL π x BγHL π x M(x) sin dx 1 cos 4π L 8π L L/ BγHL Mmax M(x 0) 4π Αν Mms και Mmt οι μέγιστες καμπτικές ροπές που προκαλούνται απο ημιτονοειδές και τροxοειδές κύμα αντίστοιxα, τότε (Mms-Mmt)/Mms=(π /3)(H/L). Η διαφορά αυτή αν και είναι μικρή μηδενίζεται μόνο οταν ο λόγος H/L μηδενίζεται, δηλ. απουσία κύματος. παράδειγμα Δίνεται η φορτηγίδα με τη σταθερή καθ' ύψος ίσαλο, που φαίνεται πιό κάτω. Να υπολογιστεί η κατανομή των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών, οφείλεται σε ημιτονοειδές κύμα μήκους ίσου με το μήκος της και ύψους 5ft, όταν βρίσκεται η φορτηγίδα βρίσκεται στην κορυφή του. 100 ft 80 ft 0 ft 0 18 16 14 1 10 8 6 4 0 Ολοι οι υπολογισμοί φαίνονται στους πίνακες που ακολουθούν. Στον πίνακα Α έχει θεωρηθεί οτι η ίσαλος περί την οποία διαταράσσεται η ελεύθερη επιφάνεια λόγω του κυματισμού είναι η ίσαλος πλεύσης σε ήρεμο νερό. Γνωρίζοντας την καμπύλη της φόρτισης, που οφείλεται αποκλειστικά στη μεταβολή της άντωσης, οι καμπύλες των 1
διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών θα υπολογιστούν από τις σχέσεις (-6) και (-7). Παρατηρείται ότι όταν εφαρμοστεί η αρχική συνθήκη στο πρυμναίο άκρο που υπαγορεύει ότι η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή στο σημείο αυτό ισούται με 0, προκύπτουν αντίστοιχες μη μηδενικές δυνάμεις στο πρωραίο άκρο. Οι εναπομένουσες δυνάμεις είναι η μεν διατμητική δυναμη ίση με το 47% (σύγκριση απόλυτων τιμών) της μέγιστης, η δε καμπτική ροπή παρουσιάζει μέγιστο στο πρωραίο άκρο. Απο την εφαρμογή των σχέσεων (-9) και (-10) προσδιορίζεται η νέα θέση ισορροπίας. Το βύθισμα της νέας είναι ίσο με 0.7ft μικρότερο της αρχικής θεωρηθείσης, ενώ η διαγωγή δεν μεταβάλλεται. Σχετικά με τον υπολογισμό συνοπτικά αναφέρεται, ότι η φορτηγίδα χωρίστηκε σε 0 διαστήματα και στις στήλες (a) και (b) του πίνακα 1, που ακολουθεί, παρατίθενται οι σταθμοί στα άκρα κάθε διαστήματος. Στις στήλες (c)-(h) παρατίθενται οι τιμές από τις καμπύλες βάρους, άντωσης και φόρτισης σε κάθε σταθμό. Στις (i) και (k) υπολογίζοναι οι αυξήσεις της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής κατά μήκος του διαστήματος. Οι προκύπτουσες διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές φαίνονται στις στήλες (j) και (l). Για τον υπολογισμό των διαγραμμάτων στη νέα θέση ισορροπίας υπολογίζονται καταρχήν οι διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές, λόγω της αλλαγής του βυθίσματος αποκλειστικά. Οι υπολογισμοί φαίνονται στον πίνακα Β, που ακολουθεί, και του οποίου οι στήλες (a) έως (l), περιγράφουν τα μεγέθη σύμφωνα με τα προηγούμενα. Στο Πίνακα Γ προστίθενται τα αποτελέσματα των πινάκων Α και Β απο τα οποία προκύπτει η τελική κατανομή των δυνάμεων και ροπών λόγω του κυματισμού. 13
Πίνακας Α: Υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών σε κυματισμό βάρος w άντωση b φόρτιση p=w-b ΔQ i+1 Q i+1 +ΔQ i+1 ΔM i+1 M i+1 +ΔM i+1 a B C d e f g h i j k l st. st. tons/ft tons tons tons-ft tons-ft 0 0,000 0,00 0,00 0 19 0,000 0,000 0,000-0,679 0,000 0,679 1,70 1,70,83,83 19 18 0,000 0,000-0,679-1,156 0,679 1,156 4,59 6,9 18,97 1,80 18 17 0,000 0,000-1,156-0,840 1,156 0,840 4,99 11,7 44,56 66,36 17 16 0,000 0,000-0,840-0,441 0,840 0,441 3,0 14,48 65,1 131,57 16 15 0,000 0,000-0,441 0,000 0,441 0,000 1,10 15,58 76,07 07,63 15 14 0,000 0,000 0,000 0,441 0,000-0,441-1,10 14,48 76,07 83,70 14 13 0,000 0,000 0,441 0,840-0,441-0,840-3,0 11,7 65,1 348,91 13 1 0,000 0,000 0,840 1,156-0,840-1,156-4,99 6,9 44,56 393,47 1 11 0,000 0,000 1,156 1,359-1,156-1,359-6,9 0,00 16,14 409,61 11 10 0,000 0,000 1,359 1,49-1,359-1,49-6,97-6,97-17,7 39,33 10 9 0,000 0,000 1,49 1,359-1,49-1,359-6,97-13,94-5,41 339,93 9 8 0,000 0,000 1,359 1,156-1,359-1,156-6,9-0, -85,8 54,11 8 7 0,000 0,000 1,156 0,840-1,156-0,840-4,99-5,1-114,4 139,87 7 6 0,000 0,000 0,840 0,441-0,840-0,441-3,0-8,41-134,89 4,98 6 5 0,000 0,000 0,441 0,000-0,441 0,000-1,10-9,5-145,75-140,77 5 4 0,000 0,000 0,000-0,441 0,000 0,441 1,10-8,41-145,75-86,5 4 3 0,000 0,000-0,441-0,840 0,441 0,840 3,0-5,1-134,89-41,41 3 0,000 0,000-0,840-1,156 0,840 1,156 4,99-0, -114,4-535,65 1 0,000 0,000-1,156-0,679 1,156 0,679 4,59-15,63-88,65-64,9 1 0 0,000 0,000-0,679 0,000 0,679 0,000 1,70-13,94-7,51-696,81 0 0,000 ΔQ i+1, ΔM i+1 είναι η μεταβολή της διατμητικής δύναμης/ροπής κατα μήκος του διαστήματος i+1 Q i, M i είναι η διατμητική δύναμη/ροπή στο σταθμό i ο δείκτης i αναφέρεται στη στήλη (b) οι στήλες (c), (e) και (f) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (a), και οι στήλες (d), (f) και (h) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (b) Πίνακας Β : Υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών σε κυματισμό (διόρθωση θέσης ισορροπίας) 14
βάρος w άντωση b φόρτιση p=w-b ΔQ i+1 Q i+1 +ΔQ i+1 ΔM i+1 M i+1 +ΔM i+1 a b C d e f g h i j k l st. st. tons/ft tons tons tons-ft tons-ft 0 0,000 0,00 0,00 0 19 0,000 0,000 0,000-0,077 0,000 0,077 0,19 0,19 0,3 0,3 19 18 0,000 0,000-0,077-0,155 0,077 0,155 0,58 0,77,6,58 18 17 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 1,55 5,81 8,39 17 16 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77,3 9,68 18,07 16 15 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 3,10 13,55 31,61 15 14 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 3,87 17,4 49,03 14 13 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 4,65 1,9 70,33 13 1 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 5,4 5,16 95,49 1 11 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 6,19 9,03 14,5 11 10 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 6,97 3,90 157,43 10 9 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 7,74 36,78 194,0 9 8 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 8,5 40,65 34,85 8 7 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 9,9 44,5 79,37 7 6 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 10,06 48,39 37,76 6 5 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 10,84 5,6 380,0 5 4 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 11,61 56,13 436,15 4 3 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 1,39 60,00 496,15 3 0,000 0,000-0,155-0,155 0,155 0,155 0,77 13,16 63,87 560,03 1 0,000 0,000-0,155-0,077 0,155 0,077 0,58 13,74 67,4 67,45 1 0 0,000 0,000-0,077 0,000 0,077 0,000 0,19 13,94 69,36 696,81 0 0,000 ΔQ i+1, ΔM i+1 είναι η μεταβολή της διατμητικής δύναμης/ροπής κατα μήκος του διαστήματος i+1 Q i, M i είναι η διατμητική δύναμη/ροπή στο σταθμό i ο δείκτης i αναφέρεται στη στήλη (b) οι στήλες (c), (e) και (f) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (a), και οι στήλες (d), (f) και (h) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (b) 15
Πίνακας Γ: Δυνάμεις σε κυματισμό station διατμητική δύναμη (tons) καμπτική ροπή (tons) 0 0,00 0,00 0,0 0,00 0,00 0,0 19 1,70 0,19 1,9,83 0,3 3, 18 6,9 0,77 7,1 1,80,58 4,4 17 11,7 1,55 1,8 66,36 8,39 74,7 16 14,48,3 16,8 131,57 18,07 149,6 15 15,58 3,10 18,7 07,63 31,61 39, 14 14,48 3,87 18,3 83,70 49,03 33,7 13 11,7 4,65 15,9 348,91 70,33 419, 1 6,9 5,4 11,7 393,47 95,49 489,0 11 0,00 6,19 6, 409,61 14,5 534,1 10-6,97 6,97 0,0 39,33 157,43 549,8 9-13,94 7,74-6, 339,93 194,0 534,1 8-0, 8,5-11,7 54,11 34,85 489,0 7-5,1 9,9-15,9 139,87 79,37 419, 6-8,41 10,06-18,3 4,98 37,76 33,7 5-9,5 10,84-18,7-140,77 380,0 39, 4-8,41 11,61-16,8-86,5 436,15 149,6 3-5,1 1,39-1,8-41,41 496,15 74,7-0, 13,16-7,1-535,65 560,03 4,4 1-15,63 13,74-1,9-64,9 67,45 3, 0-13,94 13,94 0,0-696,81 696,81 0,0 16
παράδειγμα Πλοίο μήκους 140m και μέγιστου πλάτους 0m, έχει σταθερή καθ' ύψος ελλειπτική ίσαλο. Το πλοίο σχεδιάστηκε έτσι ώστε η μέγιστη ορθή τάση λόγω κάμψης στη μέση τομή να μην υπερβαίνει τα 195N/mm, και βρέθηκε οτι για να ικανοποιείται η συνθήκη αυτή, η ροπή αντίστασης της μέσης τομής πρέπει να ισούται με 3.077 m 3. Κατα τη σχεδίαση η ροπή κάμψης σε ήρεμο νερό υπολογίστηκε ίση με 50 MNm και η ροπή κάμψης λόγω κυματισμού υπολογίστηκε θεωρώντας οτι το σκάφος βρίσκεται σε στατική ισορροπία στην κορυφή κύματος ημιτονοειδούς μορφής. Ποιό είναι το ύψος κύματος που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό; Η ροπή λόγω κυματισμού ισούται με 195 3.077 50 MN m 350MN m Αν η αρχή των αξόνων (μεταβλητή x) τοποθετηθεί στο μέσο του σκάφους το πλάτος B και η ανύψωση λόγω κυματισμού v δίνονται απο τη σχέση. x B B0 1, L H π x v cos L όπου B 0,H το μέγιστο πλάτος και το ύψος του κύματος αντίστοιχα και L το μήκος της φορτηγίδας. Αν θεωρηθεί οτι η διαταραχή της ισάλου λόγω του κυματισμού, πραγματοποιείται γύρω απο την αρχική θέση ισορροπίας, η διατμητική δύναμη στο πρωραίο άκρο ισούται με 17
FE H π x x QFE ρg cos B0 1 dx L L AE όπου ρg το ειδικό βάρος του νερού. Αν γίνει η ολοκλήρωση προκύπτει οτι: FE H π x x QFE ρg cos B0 1 dx L L AE 1 B0 HLρg cos x π 1 x dx 4 1 B0 HLρg 0,84633 4 Απο το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει οτι για να υπάρχει στατική ισορροπία του πλοίου πάνω στο κύμα, πρέπει η ίσαλος γύρω απο την οποία συμβαίνει η διαταραχή να ανυψωθεί κατα B0HLρg 0,84633 v 4 o 0,0906H π B Lρg 0 και τελικά η φόρτιση p(x) λόγω του κυματισμού κατα μήκος του σκάφους δίνεται απο τη σχέση x H π x p(x) ρgb0 1 cos 0,0906H L L. Σημειώνεται οτι η διαγωγή στη θέση ισορροπίας πρέπει να είναι μηδενική λόγω συμμετρίας. Η ζητούμενη ροπή ισούται με M 0 FE 0 p(x)x dx 1 1 0 B0 0,0906HL ρg B HL ρg cos x πx 1 x dx x 1 x dx 8 4 0 0 0 0 B HL ρg B 0.0906HL ρg ( 0,075) 0,33333 8 4 0 0,017B HL ρg σχέση απο την οποία προκύπτει οτι το ζητούμενο ύψος ισούται με 5,4m. 18
Βιβλιογραφία Εκτός των βιβλιογραφικών αναφορών που γίνονται στο κείμενο παρατίθενται σχετικά άρθρα ή βιβλία: J.K. Paik and D. Faulkner, Reassessment of the M.V. Derbyshire Sinking With the Focus on Hull-Girder Collapse, Marine Technology, Vol 40, number 4, October 003 1 D.W. Chalmers, Design of Ships Structures, Ministry of Defence, London, 1993 (page 8) N. Barabanov, Structural design of sea going ships, Peace publishers, Moscow (page 4) 19