. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 6 6 A OΜΑ ΑΣ. Αν ηµ και π < <π, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ad. π συν ± ηµ και επειδή < <π θα είναι συν < 0, άρα συν ηµ ηµ εϕ συν συν σϕ ηµ 6
. π Αν συν και π< <, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ad. π ηµ ± συν και επειδή π< < θα είναι ηµ < 0, άρα ηµ συν ηµ εϕ συν σϕ εϕ
. Αν εφ και π < < π, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ad. συν εϕ Άρα συν ± Επειδή π < < π θα είναι συν > 0. Άρα συν ηµ εϕ εϕ Άρα ηµ ± Επειδή π < < π θα είναι ηµ < 0. Άρα ηµ σφ εϕ
. Αν σφ π και 0< <, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ad. εφ. εφ ηµ συν ηµ εϕ συν ηµ ηµ ηµ ηµ συν ηµ π επειδή 0< < θα είναι ηµ > 0, οπότε ηµ συν συν ± ηµ και επειδή 0 ηµ ηµ ηµ ηµ π < < θα είναι συν > 0, άρα ± και
. Αν σφ και Π ηµ συν συν σφ π < < π, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης συν ηµ συν ηµ () ηµ συν ηµ ( ηµ ) ηµ ηµ ηµ ± ± ηµ ηµ και επειδή π < < π θα είναι ηµ < 0, οπότε ηµ Η () συν. Π ( ) 0 8 0 ( ) ( ) 6. Να εξετάσετε, αν υπάρχουν τιµές του για τις οποίες : i) Να ισχύει συγχρόνως ηµ 0 και συν 0 ii) Να ισχύει συγχρόνως ην και συν iii) Να ισχύει συγχρόνως ηµ και συν i) Επειδή ii) Επειδή iii) Επειδή άτοπο ηµ συν, θα ήταν ηµ συν, θα ήταν ηµ συν, θα ήταν 0 0 δηλαδή 0 που είναι άτοπο δηλαδή που είναι άτοπο, δηλαδή που είναι
6 7. Να αποδείξετε ότι, τα σηµεία Μ(,y) του επιπέδου µε συνθ και y ηµθ, είναι σηµεία κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ. y συνθ ηµθ συν θ ηµ θ (ΟΜ) ( ) ( ) ( συν θηµ θ ). Το Μ, λοιπόν, απέχει από το Ο απόσταση, άρα ανήκει στον κύκλο (Ο,) 8. Αν ισχύει συνθ και y ηµθ, να δείξετε ότι y ( συνθ ) ( ηµθ ) 6 ( συν θ ηµ θ ) 6 6 συν θ y 6. ηµ θ. Αν είναι ηµθ συνφ, y ηµθ ηµφ και z συνθ, να δείξετε ότι y z y z ( ηµθ συνφ ) ( ηµθ ηµφ ) ( συνθ ) ( ηµ θ ηµ θ ( ηµ θ ( ηµ θ συν φ συν φ ηµ θ ηµ φ) συν θ συν θ ) ηµ φ) συν θ συν θ 0.i) Να αποδείξετε ότι ηµα συνα συνα ηµα ηµα συνα συνα ηµα ηµαηµα. ( συνα)( συνα ) ηµ α συν α ηµ ασυν α που ισχύει
7 0.ii) Να αποδείξετε ότι συν αηµ α συν αηµ α ( ) ( ) συν α συν α ηµ α ( συν α ( συν α συν α ηµ α ) συν α συν α ( συν α ηµ α ) ( συν α συν α ) ηµ α ).i) ηµθ συνθ Να αποδείξετε ότι συνθ ηµθ ηµθ ηµθ συνθ ηµ θ συνθ συνθ συνθ ηµθ ηµθ ( ) ( ) ηµ θ συνθσυν θ συνθ ηµ θσυν θ που ισχύει.ii) συν συν Να αποδείξετε ότι ηµ ηµ συν συν συν συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν ( )( ) συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν που ισχύει.i) εϕασϕβ εϕα Να αποδείξετε ότι εϕβσϕα εϕβ εϕαεϕβ. εϕα εϕασϕβ εϕβ εϕβ εϕβσϕα εϕαεϕβ. εϕβεϕα εϕα εϕα εϕβ
8.ii) Να αποδείξετε ότι εϕ αηµ α εϕ αηµ α εϕ α ηµ α εϕ α ηµ α ηµ α ηµ α ηµ α ηµ α συν α συν α συν α ηµ α συν α συν α ηµ α συν α ηµ α που ισχύει..i) Να αποδείξετε ότι συν ηµ εϕ σϕ συν ηµ εϕ σϕ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συνηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συνηµ συνηµ συν ηµ συνηµ ( συν ηµ )( συν ηµ ) συνην συν ηµ.ii) Να αποδείξετε ότι ( ) συν ηµ εϕ συν ( συν ) συν ( ) συν συν συν ηµ συν συν συν ηµ ηµ ηµ εϕ συν
.iii) Να αποδείξετε ότι εϕ σϕ εϕ σϕ ηµ συν συν ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ. συν ηµ. συν ηµ συν.iv) Να αποδείξετε ότι ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµ συν ηµ συν Β. OΜΑ ΑΣ.i) Αν ηµ συν α, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του α, την παράσταση ηµ συν ηµ συν α (ηµ συν ) α ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν α α α ηµ συν α
0.ii) Αν ηµ συν α, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του α, την παράσταση ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµ συν α (i) α α α µε τον περιορισµό α και.iii) Αν ηµ συν α, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του α, την παράσταση εϕ σϕ. ηµ εϕ σϕ συν (i) συν ηµ συν ηµ συν. ηµ α µε τον α περιορισµό α και.iv) Αν ηµ συν α, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του α, την παράσταση ηµ συν Σύµφωνα µε την ταυτότητα α β ( αβ)( α αββ ) θα έχουµε ηµ συν ( ηµ συν)( ηµ ηµ συν συν ) (i) α α α α α α.i) Να αποδείξετε ότι ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ( ηµ συν ) ηµ συν ηµ συν
.ii) 6 6 Να αποδείξετε ότι ηµ συν 6 6 ηµ συν ( ηµ ) ( συν ) ( ηµ συν ) ( ηµ ηµ συν ηµ συν συν ) (i) ( ηµ συν ηµ συν ) ηµ συν.iii) 6 6 Να αποδείξετε ότι η παράσταση Π ( ηµ συν ) ( ηµ συν ) έχει τιµή ανεξάρτητη του, δηλαδή είναι σταθερή. Π (i),(ii) ( ηµ συν ) ( ηµ συν ) 6 ηµ συν 6 ηµ συν
. π π Αν < <, να δείξετε ότι ηµ (ηµ )(ηµ ) ηµ (ηµ )(ηµ ) ηµ ηµ ηµ ηµ (ηµ ) ηµ εϕ (ηµ ) συν ηµ συν ηµ συν () Επειδή ηµ ηµ 0 ηµ ηµ Επειδή π π < < συν > 0 συν συν () Οµοίως ηµ ηµ ηµ συν ηµ ηµ ηµ συν () () () () ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν εϕ
. π συν συν Αν 0 <, να δείξετε ότι συν συν ηµ συν συν ηµ συν συν ( συν συν ) συν συν ( συν συν )( συν συν συν συν συν συν συν συν ( )( ) ( ) συν συν συν συν συν συν συν ηµ συν ηµ συν (ηµ ) συν ηµ συν Για τη δεύτερη ισότητα, αρκεί να δειχθεί ότι ηµ συν συν ηµ ( ηµ )( ) ηµ συν ηµ συν ηµ συν που ισχύει.