ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 86 Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α δ Α4 α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ΘΕΜΑ Β Β Η f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (,) πολυωνυμική, με ( ) = και ( ) 6 f f = ως Η f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) ως πράξεις συνεχών και δύο φορές παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με f ( ) = αηµ και f ( ) = ασυν Πρέπει η f να είναι συνεχής στο : lim f( ) = lim f( ) = f() α = β () + Πρέπει η f να είναι παραγωγίσιμη στο : () f( ) f() α + β lim = lim = lim = f( ) f() + ασυν β α + β αηm lim = lim = lim = + + DLH + Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη στο, με f () = Πρέπει η f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο :

2 f ( ) f () lim = lim = f ( ) f () αηm ασυν lim = lim = lim = α + + DLH + Πρέπει να είναι α = α = και από την () έχουμε α= β =, < Β Είναι f () = ημ, Για κάθε < είναι f ( ) = > Για κάθε > είναι f ( ) = ημ = ( ημ ) >, γιατί για κάθε ισχύει ηµ και η ισότητα ισχύει για = Επίσης η f είναι συνεχής στο Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο, επομένως είναι - και αντιστρέφεται lim f( ) = lim ( ) = lim f( ) lim ( συν ) + + = + = +, γιατί: για κάθε ισχύει συν συν 4 συν 4 + συν lim 4 = lim = + Οπότε από κριτήριο παρεμβολής Επίσης ( ) ( ) + + lim ( + συν ) = + + Η f είναι συνεχής στο, οπότε f ( ) =, επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f, δηλαδή το Β Το πεδίο ορισμού της f ( συν + ) προφανώς είναι το, οπότε η εξίσωση έχει νόημα για κάθε f συν + = f ( ) = συν + () ( ) Για < : () = συν + Η εξίσωση είναι αδύνατη γιατί και συν + = ( συν + ) Για : () + συν = συν + = 4 = < ΘΕΜΑ Γ 6 f = f = 9f = = = Άρα η Γ ( ) ( ) ( ) εξίσωση f ( ) = έχει στο μοναδική ρίζα την = Η f στο ( ), είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, οπότε στο διάστημα αυτό διατηρεί πρόσημο

3 Από υπόθεση f ( ) >, άρα f ( ) > για κάθε (,) 6 Για (,) έχουμε: f ( ) = f ( ) = (αφού < ) 9 Επειδή f ( ) =, είναι: f ( ) = για κάθε (,] Γ Είναι f ( ) =, οπότε f ( ) =, f ( ) = 9 και f ( ) = 9 Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη = είναι: y 9= 9( + ) y= 9 8 Το χωρίο που περικλείεται από y τη γραφική παράσταση της f, 9 την ευθεία y= 9 8 και τον άξονα φαίνεται στο διπλανό σχήμα Επομένως ( ) E = f ( ) ( 9 8) d + f ( ) d = d + d = = τμ 4 Γ Είναι yt ( ) = ( t) οπότε ( ) ( ) ( () t= t () ) y t = () t t = ( t) Τη χρονική στιγμή t o που ισχύει t ( o ) = θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) y to = to = = 7 Γ4 Η F έχει πεδίο ορισμού το οπότε για κάθε DF ισχύει ότι ( ) D F Επίσης F( ) = = = F( ), άρα η F είναι περιττή Dg F = { DF/ F( ) Dg} = R/ = οπότε για κάθε D g F ισχύει ότι Dg F ( )( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )( ) g F = g F = g F = g F = g F, άρα η g F είναι περιττή 48 ( )( 9) - - O I = g F d Θέτουμε u = 9 οπότε du = dκαι για =, u = 9 και για = 48, u = 9 Οπότε

4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 9 I = g F u du = g F u du + g F u du = ( )( ) ( )( ) g F u du + g F u du =, γιατί: Θέτουμε t = u u = t οπότε dt = du και για u = 9, t = 9 και για u =, t =, οπότε : ( )( ) = ( )( ) = ( )( ) 9 g F u du g F t dt g F t dt 9 9 ΘΕΜΑ Δ Δ f ( ) α για κάθε [ α, α], οπότε a a a f ( ) d ( a) d [ f ( ) ] a a a a a f f f f () Επίσης η f είναι γνησίως μονότονη στο [ α, α ], οπότε είναι - και είναι α α, αφού α > Επομένως f f () Από τις σχέσεις () και () έχουμε f < f Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ α, α ], τότε: f α > α f > f ΑΤΟΠΟ Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ α, α ] Άρα η f είναι κοίλη στο [ α, α ] Δ Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ( α, f ) Β α, f f f έχει κλίση λαβ = () α Προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την f στο [ α, α ], οπότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον ( α, α) τέτοιο ώστε f f f ( ) = α Επίσης η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ α, α ], επομένως υπάρχει f f μοναδικό [ α, α] τέτοιο ώστε f ( ) = (4) α Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε λ ΑΒ = f ( ) a Α και ( )

5 Άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f( )) Μ είναι παράλληλη με την ευθεία ΑΒ και το Μ είναι μοναδικό Δ Η ευθεία ΑΒ έχει κλίση λ ΑΒ = f ( ) και διέρχεται από το σημείο Α ( α, f ), οπότε η εξίσωσή της είναι y f = λ ( α) y= λ α λ + f ΑΒ ΑΒ ΑΒ y= f ( ) α f ( ) + f Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ( α, α) ισχύει f( ) > y f( ) f ( ) + α f ( ) f > Θέτουμε g( ) = f( ) f ( ) + α f ( ) f, [ α, α] H g είναι συνεχής στο [ α, α ] και παραγωγίσιμη στο ( α, α ) ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με g ( ) = f ( ) f ( ) Είναι g ( ) f ( ) f ( ) f, οπότε έχουμε: α α g () + g() Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο α και στο α, ίσο με g = g = Άρα για κάθε ( α, α) ισχύει g> ( ) Η κατακόρυφη απόσταση της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ΑΒ δίνεται από την διαφορά f( ) y, [ α, α] δηλαδή από τη συνάρτηση g και όπως έχουμε ήδη δείξει η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο για = [ ος τρόπος λύσης της ανισότητας f( ) > y : Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f στα [α,] και [,α] και χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της f ] Δ4 Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ (, f( ) ) είναι: y f( ) = f ( )( ) y = f ( ) f ( ) + f( ) Η f είναι κοίλη στο [ α, α ], οπότε η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη, δηλαδή ισχύει f( ) f ( ) f ( ) + f( ) για κάθε [ α, α] και η ισότητα ισχύει μόνο για = Επομένως

6 α α α ( ) f ( ) d < f ( ) f ( ) + f ( ) d = α α α α f ( ) f ( ) [ ] + f( ) [ ] = = α α α f ( )( α ) + α f( ) [ ος τρόπος λύσης : Από το Δ έχουμε g ( ) g ( ) και ολοκληρώνουμε] α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΛΑΥΔΙΑΝΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΓΙΟΥΛΗ ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΗΛΙΟΥΡΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ