- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης Συνάρτησης του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Αν ισχύει f ( 5) για κάθε να αποδειχθεί ότι lim f f ( 5) 5 =. Έχουμε ότι f ( 5) (). Για κάθε 5 απο την () παίρνουμε: ( 5) f ( 5). Άρα: 5 f lim 5 = lim + 5 = 0. Αλλά lim f = 0. Τότε λόγω κριτηρίου παρεμβολής Από την () για 5 5 = θα πάρουμε: f Όμως, επειδή ισχύει f ( 5) 0 0, έχουμε: f (5) 0 = 0 f ( 5) 0 = 0 f ( 5) = 0. Συνεπώς, lim f f ( 5) 5 =.

2 Μεθοδολογία Αν έχουμε ανισωτική σχέση που το ένα μέλος της περικλείεται σε απόλυτη τιμή, δημιουργούμε διπλή ανισότητα και εφαρμόζουμε κριτήριο παρεμβολής.

3 Παράδειγμα. Να υπολογιστούν τα όρια: ηµ α) lim β) ηµ lim ηµ α) Έστω f = 3 + ορίου κοντά στο 0 και με πεδίο ορισμού {0}. Τότε για 0 έχει νόημα η αναζήτηση του ηµ ηµ ηµ lim = lim = lim lim = = ( + ) β) Έστω f = ηµ + 4 με πεδίο ορισμού {0}. Τότε για 0 έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου κοντά στο 0 και ηµ + + ηµ + + ηµ 4 4 lim = lim = lim = ηµ + 4+ ηµ lim = lim lim ( ) = 4 =

4 Παράδειγμα 3. Να βρείτε το όριο ( 6) ηµ lim ( 6) ηµ Έστω lim στο 3. με πεδίο ορισμού {3}, άρα έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου κοντά lim ηµ 6 = lim 3 9 = 0, άρα έχουμε απροσδιόριστη μορφή Είναι: Για {3} έχουμε = lim ( ) ηµ 6 ηµ [ 3 ] lim () Θέτουμε 3 u = και lim 3 = 0. 3 Άρα, όταν το 3, το u 0. Τότε το όριο () γίνεται: ηµ u ηµ u ηµ u lim = lim = lim () u 0 3u u 0 3 u 3 u 0 u Θέτουμε u = ω και lim u = 0, άρα το όριο () γίνεται u 0 ηµω lim = =. 3 ω 0 ω 3 3 Μεθοδολογία Για τον υπολογισμό σύνθετων τριγωνομετρικών συναρτήσεων της μορφής f συν ( f ) θέτουμε f() u αντίστοιχη θεωρία. ηµ ή = και μετασχηματίζουμε το όριο όπως έχει αναφερθεί στην 4

5 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο { } A= κπ, κ. συν f() = και πεδίο ορισμού ημ Να υπολογίσετε το όριο lim f (). 0 Επειδή lim ηµ = 0, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου. Παρατηρούμε 0 όμως ότι για = 0 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, άρα έχουμε απροσδιοριστία 0 της μορφής. Οπότε για τα 0 τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο 0, 0 διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με και έχουμε: -συν ημ Είναι: -συν = ημ -συν lim = 0 και 0 ημ lim = 0 οπότε -συν -συν 0 lim = lim = = 0 0 ημ 0 ημ Μεθοδολογία 0 Σε τριγωνομετρικά όρια της μορφής, για να αρθεί η απροσδιοριστία θέτουμε ως στόχο να 0 ημ -συν εμφανίσουμε τα γνωστά όρια lim = και lim = 0. Για να επιτευχθεί ο στόχος 0 0 κάνουμε τις κατάλληλες ενέργειες (διαιρούμε με χ, ή πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση, ή κάνουμε παραγοντοποίηση ή σε σύνθετες συναρτήσεις θέτουμε συνάρτηση κ.λ.π.). 5

6 Παράδειγμα 5. Έστω συνάρτηση f : τέτοια, ώστε: f () + 3 για κάθε (). Να βρείτε τα όρια: i. lim f (). 0 f() ii. lim. 0 iii. f() lim. 0 lim = lim + 3 = 0, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε i. Είναι 0 0 ότι: lim f () = 0. 0 ii. Διαιρούμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με, ώστε να προκύψει η συνάρτηση της οποίας αναζητούμε το όριο. Έτσι για 0 έχουμε: f() f() lim = lim + 3 = 0, 3 4 Είναι 0 0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: f() lim = 0. 0 iii. Διαιρούμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με, ώστε να προκύψει η συνάρτηση της οποίας αναζητούμε το όριο. Έτσι για >0 έχουμε: f() + 3 6

7 4 f() lim = lim + 3 = 0, Είναι οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: f() lim = 0 (). + 0 Ενώ για <0 έχουμε: f() f() lim = lim + 3 = 0, Είναι 0 0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: f() lim = 0 (3). 0 Από τις () και (3) συμπεραίνουμε ότι: f() lim = 0. 0 Μεθοδολογία Όταν δίνεται ανισότητα της μορφής h() S() g() και ζητείται το όριο lim f () μιας o συνάρτησης f, κάνουμε τις κατάλληλες ενέργειες, ώστε η ανισότητα να πάρει τη μορφή p() f() q(), προσδοκώντας να πληρούνται οι προϋποθέσεις του κριτηρίου παρεμβολής, δηλαδή οι συναρτήσεις p και q να έχουν το ίδιο όριο στο o. 7

8 Παράδειγμα 6. Να βρείτε, αν υπάρχει, το lim f () 0 όταν: α) β), 0 f() = -συν, > 0 ημ f() =. α) Για <0 έχουμε lim f () lim = =, ενώ για >0 έχουμε -συν - συν - συν f() = = =, οπότε -συν lim f () = lim = 0 0 = Επομένως lim f () =0, αφού τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα. 0 β) Περιοριζόμαστε σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης για να προσδιορίσουμε το πρόσημο του ημ και να απαλείψουμε την απόλυτη τιμή. Ένα τέτοιο π π σύνολο είναι το, 0 0,. π Έτσι για,0 έχουμε: π ενώ για 0, έχουμε: ηµ lim f () = lim =, 0 0 8

9 ηµ lim f () = lim = Επομένως δεν υπάρχει το lim f () =0, αφού τα δύο πλευρικά όρια είναι άνισα. 0 Μεθοδολογία Για τον υπολογισμό ενός ορίου μιας συνάρτησης στο ο μπορούμε να περιορίζουμε τη συνάρτηση σε κατάλληλο υποσύνολο του πεδίου ορισμού της κοντά στο ο. 9

10 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Αν + f + 3, για κάθε να υπολογίσετε τα όρια: α) lim f. β) γ) f lim. + f 8 lim α) Για + f + 3. έχουμε Έχουμε: lim + = = και lim + 3 = + 3 =. lim f = Άρα, λόγω κριτηρίου παρεμβολής: Μεθοδολογία Αν έχουμε διπλή ανισωτική σχέση της μορφής h() f() g() εφαρμόζουμε το κριτήριο παρεμβολής. και θέλουμε το lim f 0 β) Έχουμε + f f f + Για > το + > 0, άρα: + f f και + + 0

11 ( + ) (( + ) ) + lim = lim = lim = ( + ) lim = lim ( + ) ( + + ) + + και lim = Άρα, λόγω κριτηρίου παρεμβολής, + f lim =. + Για < < το + < 0, άρα: + f f + + και ( + ) (( + ) ) + lim = lim = lim = ( + ) lim = lim = και + + ( + )( + + ) lim =. Άρα, λόγω κριτηρίου παρεμβολής, f lim =. + Δηλαδή f f lim = lim =, άρα f lim =. + Μεθοδολογία Αν έχουμε διπλή ανισωτική σχέση της μορφής h() f() g() και θέλουμε το lim 0 κάποιας συνάρτησης που μέρος της είναι η f( ), εκτελούμε κατάλληλες πράξεις και στα τρία μέλη της σχέσης ώστε στο μεσαίο μέρος της, να εμφανιστεί η συνάρτηση της οποίας ζητάμε το όριο.

12 γ) ( ) ( f ) ( f + ) f 8 f 4 lim = lim = lim = f f + lim lim = 4 = 8 + +

13 Παράδειγμα. α + 3αηµ Έστω f = και g Να βρείτε το α ώστε lim f lim g 0 0 συν + =. =. Για 0 είναι f α + 3αηµ 3αηµ. Τότε: = =α + α + 3αηµ 3αηµ ηµ lim f = lim =α + lim =α + 3α lim =α α () Για 0 είναι ( συν ) συν + g = =. Τότε: συν + συν lim g = lim = lim = συν lim = 0 = () 0 Πρέπει lim f lim g 0 0 =. Τότε από (), (): α + α= 3 α + 3α+ = 0 Άρα α= ή α=. Μεθοδολογία Στον υπολογισμό τριγωνομετρικών ορίων προσπαθούμε να εμφανίσουμε τις μορφές συν. ηµ και 3

14 Παράδειγμα 3. Να βρείτε το ( ) ηµ +. lim 4 5 Έστω f = ( ) ηµ με πεδίο ορισμού D (, 5) ( 5,) (, ) f = +. Άρα έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου κοντά στο. Είναι: ( ) ( ) ηµ ηµ lim f = lim = lim = ηµ ηµ lim lim = lim (). Αλλά για τον υπολογισμό του ( ) ( ) ηµ lim θέτουμε u = () και lim = 0 (3). Άρα όταν το, το u 0. Η () βάσει των (),(3) γίνεται ( u) ηµ lim = 6 u 0 u 6 4

15 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο π A= κ, κ. 7 ημ συνημ f() = ημ7 και πεδίο ορισμού Να υπολογίσετε το όριο lim f (). 0 Επειδή lim ηµ 7 = 0, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου. Παρατηρούμε 0 όμως ότι για = 0 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, άρα έχουμε απροσδιοριστία 0 της μορφής. Οπότε για τα 0 τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο 0, 0 διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με και έχουμε: ( συν ) ημ συνημ ημ f() = = = ημ7 ημ7 ημ7 Για να υπολογίσουμε το lim 0 έχουμε: ημ7 ημω 7ημω lim = lim = lim = 7 = 7. 0 ω 0 ω ω 0 ω 7 Έτσι έχουμε: συν ημ συν ημ = (). ημ7 ημ7, θέτουμε ω = 7. Όταν το 0 και το ω 0, οπότε συν ημ 0 lim 0 0 ημ7 = =, 7 και λόγω της σχέσης () παίρνουμε: ημ συν-ημ lim = 0. 0 ημ7 5

16 Μεθοδολογία 0 Σε τριγωνομετρικά όρια της μορφής, για να αρθεί η απροσδιοριστία θέτουμε ως στόχο να 0 ημ -συν εμφανίσουμε τα γνωστά όρια lim = και lim = 0. Για να επιτευχθεί ο στόχος 0 0 κάνουμε τις κατάλληλες ενέργειες (διαιρούμε με χ, ή πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση, ή κάνουμε παραγοντοποίηση ή σε σύνθετες συναρτήσεις θέτουμε συνάρτηση κ.λ.π.). 6

17 Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = ( + ) συν + και πεδίο ορισμού Α= (, + ). Να βρείτε το lim f (). Για (, + ) έχουμε: οπότε συν, + συν ( + ) συν Είναι lim + = lim + = 0, συνεπώς από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι, lim f () = lim ( + ) συν = 0 + Μεθοδολογία Τα όρια της μορφής lim f () o ηµ g(), με lim f () = lim g() = 0 αντιμετωπίζονται με το o o κριτήριο παρεμβολής ξεκινώντας από τη γνωστή ανίσωση ημ g() ή συν g() αντίστοιχα και πολλαπλασιάζοντας με f( ). 7

18 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το όριο 0 ηµ lim συν. 0 Έστω 0 ηµ f = συν με πεδίο ορισμού {0}. Άρα, έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου κοντά στο 0. Ισχύει ότι συν. Τότε: ηµ συν ηµ 0 0 ηµ ηµ ηµ συν Έχουμε ηµ ηµ ηµ ηµ = = =, lim lim lim lim lim όπου 00 lim 0 0 = και 0 ηµ lim =. 0 0 Άρα 0 ηµ lim = 0 = ηµ Ομοίως και το lim = 0. 0 Άρα λόγω του κριτηρίου παρεμβολής 0 ηµ lim συν = 0. 0 Μεθοδολογία Χρησιμοποιούμε τις ανισότητες ηµ και συν, δημιουργούμε την συνάρτηση της οποίας το όριο αναζητούμε και αφού δημιουργήσουμε διπλή ανίσωση, εφαρμόζουμε το κριτήριο παρεμβολής. 8

19 Παράδειγμα. Αν f ηµ συν να βρείτε το f lim 0. Έχουμε f ηµ συν () και συν, άρα συν 0. Η () γίνεται συν f ηµ συν συν + ηµ f συν + ηµ Για >0: συν + ηµ f συν + ηµ συν ηµ f συν ηµ + + Αλλά lim + 0 ηµ = και το ( συν ) συν lim = lim Θέτουμε = u. Τότε lim = 0, άρα 0 συν συνu lim = lim = 0 = 0. u u 0 Άρα συν ηµ lim + = 0 + =. + 0 Και ομοίως αποδεικνύεται συν + ηµ lim =. + 0 Άρα λόγω κριτηρίου παρεμβολής 0 f lim =. + 0 f lim = ομοίως για < 0 αποδεικνύεται ότι Άρα + 0 f lim =. 9

20 Παράδειγμα 3. Έστω συνάρτηση f : τέτοια, ώστε : f(), για κάθε (). f() Αν είναι lim =, να βρείτε : i. το lim f ii. το.. i. Έχουμε: lim = lim = 0, οπότε από τη σχέση (), συμπεραίνουμε λόγω του κριτηρίου παρεμβολής, ότι lim f = 0. ii. Για > η σχέση () δίνει: f() f() f() =. Επομένως, f() lim = lim =. + + Επειδή το f() lim υπάρχει, ο υπολογισμός του πλευρικού ορίου f() lim + αρκεί, ώστε να συμπεράνουμε ότι f() lim =. Παρατήρηση: Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το < παίρνουμε : f() lim από τη δοθείσα σχέση γιατί, για f() 0

21 f() ( ) f() και δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του κριτηρίου παρεμβολής. Μεθοδολογία Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει το + o lim f (), ο υπολογισμός ενός μόνο πλευρικού ορίου (π.χ του o lim f () ) είναι αρκετός για τον προσδιορισμό του ορίου lim f (). o

22 Παράδειγμα 4. α. Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g() = και πεδίο ορισμού * A =. Να αποδείξετε ότι lim g() = 0. 0 β. Έστω συνάρτηση f :. Αν η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο να αποδείξετε ότι : lim f () = 0 0. lim 7 = 7 < 0, θα είναι 5 α. Επειδή 0 Τότε κοντά στο 0 έχουμε : 5 7< 0 κοντά στο 0. g() = = = =. Επομένως lim g() 4 lim( ) = =. β. Αφού η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο,έστω το α και ολικό μέγιστο έστω το β, θα ισχύει : α f() β, για κάθε (). Κοντά στο 0 έχουμε : 4 g() = < 0 και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης () με g() παίρνουμε: αg() g()f() β g(). lim α g() = lim β g() = 0, Είναι [ ] [ ] 0 0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι:

23 5 7 7 lim f () = 0 0. Μεθοδολογία Από το πρόσημο του ορίου μιας συνάρτησης f στο o συμπεραίνουμε το πρόσημο της κοντά στο o. 3

24 Παράδειγμα 5. -συν Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = και πεδίο ορισμού ημ - * A=. Να βρείτε τα όρια: i. ii. lim f (). 0 lim f 0. lim ηµ = 0, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του i. Επειδή 0 πηλίκου. Παρατηρούμε όμως ότι για = 0 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, άρα 0 έχουμε απροσδιοριστία της μορφής. Οπότε για τα 0 τα οποία βρίσκονται 0 αρκούντως κοντά στο 0, διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με και έχουμε: -συν -συν -συν -συν f() = = = = ημ - ημ - ημ ημ (). Υπολογίζουμε τα παρακάτω όρια: Για κοντά στο 0 έχουμε: -συν -συν + συν -συν ημ + συν + συν + συν = = = = ημ = + συν οπότε -συν ημ lim = lim 0 = = 0 + συν Θέτουμε = ω. Όταν το 0 και το ω 0, οπότε έχουμε: ημ ημω lim = lim = 0 ω 0 ω Με τη βοήθεια της σχέσης () έχουμε: 4

25 lim f () = =. 0 ii. Για 0 έχουμε: - -συν -συν συν - συν f = = = = ημ - ημ - ημ - ημ - (). Ισχύει συν, άρα - συν και είναι lim( ) = lim = 0, οπότε 0 0 από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι lim συν 0 0 =. Ομοίως ημ, άρα - ημ και είναι από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι Με τη βοήθεια της σχέσης () έχουμε : 0 0 lim f = = lim( ) lim = lim ημ 0 0 = =, οπότε. Μεθοδολογία Για τον υπολογισμό του lim f, αντικαθιστούμε (στον τύπο του f()) το με και έπειτα 0 υπολογίζουμε το όριο. Αν το όριο είναι απροσδιόριστης μορφής, και το f() περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τότε: ηµ συν Είτε εμφανίζουμε τα γνωστά όρια lim ή lim. 0 0 Είτε ξεκινάμε από τις ανισοτικές σχέσεις συν ή ηµ και με κατάλληλους μετασχηματισμούς αφού καταλήξουμε στη μορφή που θέλουμε, στη συνέχεια εφαρμόζουμε το κριτήριο παρεμβολής. Ημερομηνία τροποποίησης: 4/8/0 5