ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 08// 03 ΘΕΜΑ Ο γ, α, 3 β, 4 γ, 5 δ, 6 δ, 7 β, 8 δ, 9 γ, 0: α διεγέπηηρ εναλλαζζόμενηρ, β βαπςηική έλξη ηαλάνηωζη, γ γπαμμικά επιθανειακά ζθαιπικά (σώπος), δ αςξάνεηαι, ε ιδιόηηηερ ιζσςπή. ΘΕΜΑ Ο. A. Σωστή επιλογή η (β). B. Για την ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: λ λ uδ = => T = () T uδ Για την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων είναι: π π uτ, max = ω Α =>uτ, max = Α =>*λόγω της ()] => uτ, max = T λ Α => uτ, max = π Α u δ λ u δ. A. Σωστή επιλογή η (α). B. Για την κυκλική συχνότητα ω της αμείωτης ηλεκτρικής ταλάντωσης που εκτελεί το ιδανικό κύκλωμα L C» είναι: ω = LC => ω = Για το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα ισχύει: q di di E EAYT = - L => = - ΑΥΤ di V di => [ΕΑΥΤ = Vc] => = - => = - C di q => = - dt dt L dt Lc dt L dt L C di => *λόγω της ()+ => = - ω q dt 3. A. Σωστό το (β) B. Εφόσον το σημείο Γ είναι σημείο ενίσχυσης ισχύει: (ΠΓ) (ΠΓ) = k λ () Εφόσον και το σημείο Δ είναι σημείο ενίσχυσης ισχύει: (ΠΔ) (ΠΔ) = k λ () Εφόσον η υπερβολή ενίσχυσης που περνάει από το Δ είναι διαδοχική αυτής που περνάει από το Γ, ισχύει: k = k + (3) Από () και (3) είναι: (ΠΔ) (ΠΔ) = (k + ) λ => (ΠΔ) (ΠΔ) = k λ + λ (4) Αφαιρούμε κατά μέλη (4) (), οπότε είναι: (ΠΔ) (ΠΔ) (ΠΓ) + (ΠΓ) = k λ + λ k λ => *(ΠΔ) (ΠΓ)+ + *(ΠΓ) (ΠΔ)+ = λ => (ΓΔ) + (ΓΔ)+ = λ => (ΓΔ) = λ => (ΓΔ) = λ / L C ()
4. A. Σωστό το (γ) Β. Η γραφική παράσταση x = f(t) είναι: x 0msec 0 t t t Στη γραφική αυτή παράσταση φαίνονται οι τιμές t και t. Ισχύει: Τδ = t t => Τδ = 5 0 msec => Τδ = 50 msec => Τδ = 5 0 - sec Αλλά: fδ = => fδ = => fδ = 0 Ηz Τ - δ 5 0 sec Όμως: Τδ = => fδ = f f => [ω > ω => f > f] => f f = 0 Hz () f -f Επίσης από τη γραφική αυτή παράσταση φαίνεται ότι σε χρόνο 0 msec πραγματοποιούνται πλήρεις ταλαντώσεις. Οπότε: ΤΤΑΛ = 5 msec => ΤΤΑΛ = 5 0-3 sec Αλλά: fταλ = => fταλ = => fταλ = 00 Ηz Τ - 3 ΤΑΛ 5 0 sec Για την εξίσωση απομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης ισχύει: Δηλαδή: ω + ω ωταλ = => π fταλ = Από τις σχέσεις () + () είναι: Από τη σχέση () είναι: ΘΕΜΑ 3 Ο ω - ω ω + ω x = Α συν( t) ημ( πf + πf f + f => fταλ = f = 40 Hz => f = 0 Hz f = 90 Hz Α. α. Η γενική εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα θετικά είναι: t x y = A ημ π ( - ), (S.I) () T λ t) => f + f = 400 Hz () Η εξίσωση του κύματος που δίνεται είναι: y = 0,4 ημ π ( t 0,5 x), (S.I) () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει: t π A = 0,4 m, = t => T = 0,5 sec, ω = = 4 π rad/sec, T T Για την ταχύτητα διάδοσης του κύματος ισχύει: x = 0,5 x => λ = m λ
uδ = λ / T => uδ = ( m) / (0,5 sec) => uδ = 4 m / sec β. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου είναι: uτ, max = ω Α => uτ, max = (4 π rad / sec) (0,4 m) => uτ, max =,6 π m / sec Η μέγιστη επιτάχυνση λόγω της ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου είναι: ατ, max = ω Α => ατ, max = (6 π rad / sec ) (0,4 m) => ατ, max = 64 m / sec γ. Έστω Κ και Λ δύο σημεία της χορδής των οποίων οι ταλαντώσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ και έστω ότι xk > xλ. Τότε για τη διαφορά φάσης ισχύει: t x Δφ = φλ φκ = π ( - Λ t x ) - π ( - Κ ) => Δφ = π ( x Κ x - Λ ) => T λ T λ λ λ d,5 m Δφ = π => Δφ = π => Δφ =,5 π rad λ m Β. α. Θα βρούμε πότε ξεκινάει ταλάντωση το υλικό σημείο με τετμημένη x = + 0 m. Θέτουμε στην εξίσωση της φάσης όπου x = + 0 m και όπου φ = 0. φ = π ( t 0,5 x) => [φ = 0, x = + 0 m] => 0 = π ( t 0,5 0) => t = 5 => t =,5 sec Άρα το μόριο x = + 0 m ξεκινάει ταλάντωση χωρίς αρχική φάση (όπως και η πηγή) τη χρονική στιγμή t =,5 sec. Η εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του υλικού σημείου x = + 0 m σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: ΕΔΥΝ, ΤΑΛ = D y => ΕΔΥΝ, ΤΑΛ = m ω [0,4 ημ π ( t 0,5 x)] => [x = + 0 m] => ΕΔΥΝ, ΤΑΛ = 0,0 (4 π) [0,4 ημ π ( t 5)] => ΕΔΥΝ, ΤΑΛ = 0,8 ημ (4 π t 0 π), (S.I) για t,5 sec (3) (για t =,5 sec: ΕΔΥΝ, ΤΑΛ = 0) Η εξίσωση της κινητικής ενέργειας ταλάντωσης του υλικού σημείου x = + 0 m σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: ΕΚΙΝ, ΤΑΛ = m uτ => ΕΚΙΝ, ΤΑΛ = m [ω Α συν π ( t 0,5 x)] => [x = + 0 m] => ΕΚΙΝ, ΤΑΛ = 0,8 συν (4 π t 0 π), (S.I) για t,5 sec (4) (για t =,5 sec: ΕΚΙΝ, ΤΑΛ = 0,8 J) Η γραφική παράσταση της σχέσης (4) φαίνεται στο σχήμα. Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης του μορίου είναι σταθερή, οπότε η εξίσωσή της σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: ΕΟΛ, ΤΑΛ = D Α = = σταθερή => ΕΟΛ, ΤΑΛ = 0,8 Joule για t,5 sec (5) Η γραφικές παραστάσεις των σχέσεων (3), (4) και (5) φαίνονται στο σχήμα. E T, U T, K (J) ΕΟΛ, ΤΑΛ Σχήμα 0,8 ΕΚΙΝ, ΤΑΛ 0,064 ΕΔΥΝ, ΤΑΛ 0,5,75 3 t (sec) 3
β. Η εξίσωση που περιγράφει το στιγμιότυπο του κύματος προκύπτει από την εξίσωση () για t = 8 sec. y = 0,4 ημ π ( t 0,5 x) => [t = sec] => y = 0,4 ημ π ( 0,5 x) => 8 8 y = 0,4 ημ( π π x), (S.I), (3) Για να κατασκευάσουμε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 8 sec εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τη θέση (απομάκρυνση) της πηγής (x = 0) τη χρονική στιγμή t = 8 sec, θέτοντας στην εξίσωση (3) όπου x = 0: (3) => y = 0,4 ημ( π) => y = - 0,4 m = - A Βρίσκουμε πόσο μακριά έχει διαδοθεί το κύμα τη χρονική στιγμή t = θέτοντας στην εξίσωση της φάσης του κύματος όπου φ = 0: φ = π π x => *φ = 0+ => xmax = 5,5 m sec, 8 Βρίσκουμε πόσα μήκη κύματος χωρούν στην απόσταση από x = 0 έως x = xmax. Έστω ότι χωρούν Ν μήκη κύματος, τότε: Ν λ = xmax => Ν = xmax / λ => Ν =,75 μ.κ. = λ + (3 λ / 4) Άρα το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 8 sec, φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. y (m) t = (/8) sec Σχήμα 0,4 0 3 4 5 5,5 x (m) - 0,4 4
ΘΕΜΑ 4 Ο Το σχήμα περιγράφει το φαινόμενο. F ΕΛ F Σχήμα (+) F Τ.Θ x F F ΕΛ, W (x = 0) Ν. Θ. Ι. Τ ΔL t 0 = 0 F ΕΛ, W Α W W F ΕΛ ΔL Θ. Φ. Μ Θ. Ι. Τ (Α. Θ) (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) (ΙV) (V) (VI) (VII) Α. α. Στην αρχική ισορροπία του σώματος (θέση ΙΙ) ισχύει: ΣFy = 0 => FΕΛ - W = 0 => FΕΛ = W => FΕΛ = m g () και επειδή για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ = k ΔL () από τις σχέσεις () και () προκύπτει: k ΔL = m g (3) Από τη σχέση (3) είναι: ΔL = m g / k => ΔL = 0, m (4) Τη χρονική στιγμή t0 = 0 ασκούμε στο σώμα σταθερή κατακόρυφη δύναμη F με φορά προς τα πάνω (θέση ΙΙΙ). Για να δείξουμε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, αρκεί να δείξουμε ότι σε μια τυχαία απομάκρυνση x από τη νέα θέση ισορροπίας της ταλάντωσής του ισχύει: ΣF = - D x Στη νέα θέση ισορροπίας (θέση IV), στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις του ελατηρίου (FΕΛ,), η εξωτερική σταθερή δύναμη F και το βάρος του σώματος (W). Στον άξονα της ταλάντωσης, θεωρούμε θετικά προς τα πάνω. Στη θέση ισορροπίας (θέση ΙV) είναι: ΣFy = 0 => F FΕΛ, - W = 0 => FΕΛ, = F W => FΕΛ, = F m g (5) και επειδή για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ, = k ΔL (6) από τις σχέσεις (5) και (6) προκύπτει: k ΔL = F m g (7) Από τη σχέση (7) είναι: ΔL = (F m g) / k => ΔL = 0, m (8) Στην τυχαία απομάκρυνση x (θέση V) σημειώνουμε δυνάμεις. Αυτές είναι η δύναμη του ελατηρίου (FΕΛ,), η σταθερή εξωτερική δύναμη F και το βάρος του σώματος (W). ΣFy = F - FΕΛ, W => ΣFy = F - FΕΛ, m g (9) και επειδή για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ, = k (x + ΔL) (0) 5
από τις σχέσεις (9) και (0) προκύπτει: ΣFy = F k (x + ΔL) m g => ΣFy = F k x k ΔL m g => *λόγω της (7)] => ΣFy = F k x F + m g m g => ΣFy = k x () Στον άξονα που είναι κάθετος στη διεύθυνση της ταλάντωσης το σώμα δεν δέχεται δυνάμεις άρα ισχύει: ΣFx = 0 () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει: ΣF = ΣFy => ΣF = - k x Δηλαδή το σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση με D = k = 00 N / m Η περίοδος της ταλάντωσης ισούται με: T = π m => Τ = (π/ 5) sec D Για την κυκλική συχνότητα ω ισχύει: ω = π / T => ω = 0 rad / sec Τη χρονική στιγμή t0 = 0 το σώμα ξεκινάει ταλάντωση από την αρχική θέση ισορροπίας ταλάντωσης διότι εκεί βρίσκεται όταν δέχεται τη δύναμη F. Άρα η αρχική θέση ισορροπίας ταλάντωσης (θέση ΙΙ) είναι και ακραία θέση για την ταλάντωση του σώματος. Οπότε το πλάτος της ταλάντωσης είναι: Α = ΔL + ΔL => [λόγω των σχέσεων (4) και (8)+ => Α = 0,3 m (3) Τη χρονική στιγμή t0 = 0 το σώμα δε διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, άρα η ταλάντωση έχει αρχική φάση φ0. Την αρχική φάση φ0 μπορούμε να την υπολογίσουμε τριγωνομετρικά ως εξής: x = Α ημ(ω t + φ0) => (για t0 = 0 και x = - Α = - 0, m) => - 0, = 0, ημφ0 => ημφ0 = - => φ0 = k π + (3 π/) (4) Πρέπει: 0 φ0 < π => *λόγω της (4] => 0 k π + (3 π/) < π => - 3 π/ k π < π / => - 3 / 4 k / 4 => k = 0 Άρα για k = 0 η (4) γίνεται: φ0 = (3 π / ) rad Επομένως η εξίσωση x = f(t) είναι: x = A ημ(ω t + φ0) => x = 0,3 ημ[0 t + (3 π/)] (S.I.) (5) B. Για να υπολογίσουμε την εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου θα πάμε στην τυχαία θέση του σχήματος (θέση V). Εκεί F ΕΛ (Ν) Σχήμα είναι: FΕΛ = - k (x + ΔL) => 0 FΕΛ = - k x - k ΔL => - 0,3 0, 0 0,3 x (m) FΕΛ = - 00 x - 0, (S.I) Ο πίνακας τιμών για τη γραφική - 0 παράσταση της δύναμης του ελατηρίου φαίνεται παρακάτω και η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα. - 50 x (m) - 0,3-0, 0 0,3 FΕΠ (Ν) + 40 0-0 - 50 6
Γ. Για την ισχύ της δύναμης F είναι: dw P = F Fdx => P = => P = F u (6) dt dt Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση x = + A / για την ταχύτητα, από την αρχή διατήρησης της ενέργειας ταλάντωσης είναι: ΕΤ = Κ + UΤ => D A = D x + m u => D A = D x + m u => m ω A = m ω x + m u => u = ω A - x => [x = + A / ] => u = A 3A ω A - => u = ω 4 4 A => u = ω 3 => u = 0 0,5 3 m / sec => u =,5 3 m / sec Από τη σχέση (6) προκύπτει: P = (30Ν) (+,5 3 m / sec) => P = + 45 3 Joule / sec (όταν το σώμα ανεβαίνει) ή P = (30Ν) (-,5 3 m / sec) => P = - 45 3 Joule / sec (όταν το σώμα κατεβαίνει) Δ. Τη χρονική στιγμή t = (π / 0) sec το σώμα βρίσκεται στη θέση: π 3 3π π x = 0,3 ημ(0 + ) => x = 0,3 ημ(π + ) => x = 0,3 ημ => x = + 0,3 m = + Α 0 π οπότε εκείνη τη στιγμή είναι και u = 0. Εκείνη τη στιγμή καταργείται η δύναμη F. Οπότε θέση ισορροπίας για τη νέα ταλάντωση είναι η αρχική θέση ισορροπίας (θέση ΙΙ). Έτσι τη στιγμή αυτή η απομάκρυνση του σώματος από τη νέα θέση ισορροπίας είναι: x = ΔL = Α = 0,6 m και εφόσον είναι ακραία θέση: Α = 0,6 m Ε. α. Εφόσον ο ανελκυστήρας ανέρχεται με σταθερή ταχύτητα, το σώμα ισορροπεί στη θέση ισορροπίας του σαν να ήταν ο ανελκυστήρας Σχήμα ακίνητος. Άρα το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και έχει την ίδια ταχύτητα με τον ανελκυστήρα, δηλαδή μέγιστη θετική (θετικά προς τα πάνω). Οπότε: (+) u0 = ω Α => Α = u0 / ω => Α = (5 m / sec) / (0 rad / sec) => Α = 0,5 m (εφόσον είναι το ίδιο σύστημα η σταθερά k δεν αλλάζει οπότε δεν αλλάζει η γωνιακή συχνότητα ω) β. Επίσης την χρονική στιγμή t0 = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του κινούμενο με θετική ταχύτητα οπότε: φ0 = 0 Άρα είναι: x = A ημ(ω t + φ0) => x = 0,5 ημ(0 t), S.I u0 u0 Επιμέλεια: ΦΑΡΜΑΚΗ ΠΑΝΣΕΛΗ 7