Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Τρίτη, 22 Δεκεμβρίου, 2015, 8:30-11:30πμ, ΧΩΔ02-Β211 Οδηγίες: Η εξέταση απαρτίζεται από 15 ανεξάρτητες ασκήσεις για σύνολο 100 μονάδων. Η κάθε ά- σκηση αξίζει διαφορετικές μονάδες και έχει διαφορετικό βαθμό δυσκολίας (οι μονάδες της κάθε άσκησης κατανέμονται ισόποσα εκτός αν αναφέρονται οι μονάδες του κάθε μέρους ξεχωριστά). Στις απαντήσεις σας, ακολουθείστε την σειρά που σας βολεύει πιο πολύ ανάλογα με τις δυνατότητές σας και τον περιορισμό χρόνου. Οι απαντήσεις σας πρέπει να περιέχουν ξεκάθαρες επεξηγήσεις (ειδικά όταν αυτές ζητούνται), διαφορετικά κινδυνεύετε να χάσετε μονάδες. ΔΕΝ επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ούτε και κινητού τηλέφωνου. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! Ονομα Φοιτητή: Αρ. Ταυτότητας: Βαθμός: 1 (6) 9 (6) 2 (3) 10 (9) 3 (6) 11 (6) 4 (8) 12 (6) 5 (6) 13 (8) 6 (5) 14 (6) 7 (6) 15 (11) 8 (8) Ολικό 1
Πρόβλημα 1 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει τρία ανεξάρτητα μέρη. (α) Είναι οι προτάσεις (p ( p q)) και p q λογικά ισοδύναμες; (β) Είναι η πρόταση (p q) (p q) ταυτολογία; (γ) Αν S 1 είναι το σύνολο όλων των μαθητών, S 2 το σύνολο όλων των μαθημάτων και M(x, y) το κατηγόρημα «ο μαθητής x έχει εγγραφεί στο μάθημα y», τότε μεταφράστε την πρόταση x ym(x, y) σε Ελληνικά. Πρόβλημα 2 (3 μονάδες): Για σύνολα A, B, και C, ισχύει η σχέση A (B C) (A C) (A B); Δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη (αν ισχύει) ή με αντιπαράδειγμα (αν δεν ισχύει). Πρόβλημα 3 (6 μονάδες): Η συναρτήσεις f : A B και g : B A, όπου A = {1, 2, 3, 4} και B = {a, b, c}, ορίζονται ως εξής: Για την f έχουμε: f(1) = a, f(2) = c, f(3) = b, και f(4) = a. Για την g έχουμε: g(a) = 2, g(b) = 1, g(c) = 3. Τα πιο κάτω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν ανεξάρτητα. (α) Είναι η συνάρτηση f απεικόνιση (επί); Είναι η συνάρτηση g ένα προς ένα; Είναι κάποια από τις συναρτήσεις f και g αντιστοιχία; (β) Ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f; Αν ναι, περιγράψετε τα πεδία ορισμού και τιμών τους, και τις αντίστοιχες τιμές που παίρνουν. (γ) Μπορείτε να ορίσετε συνάρτηση h : A B ώστε η h g να έχει αντίστροφη συνάρτηση; Αν ναι, ορίστε μια τέτοια συνάρτηση h, διαφορετικά εξηγείστε γιατί τέτοια συνάρτηση h δε μπορεί να οριστεί. Πρόβλημα 4 (8 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει τέσσερα ανεξάρτητα μέρη. Οι σχέσεις R και S ορίζονται στο σύνολο {1, 2, 3, 4} ως εξής. R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (4, 4)} S = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} (α) Είναι η σχέση R αυτοπαθής (reflexive); Είναι η σχέση R συμμετρική (symmetric); Είναι η σχέση R μεταβατική (transitive); (β) Είναι η σχέση S αυτοπαθής (reflexive); Είναι η σχέση S συμμετρική (symmetric);είναι η σχέση S μεταβατική (transitive); 2
(γ) Είναι η σχέση R S σχέση ισοδυναμίας (equivalence relation); (δ) Ποια είναι η σχέση R S; Είναι η σχέση R S μεταβατική (transitive); Πρόβλημα 5 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή αποτελείται από δύο ανεξάρτητα μέρη. Αν n είναι θετικός ακέραιος, δείξτε ότι τα ακόλουθα ισχύουν ή δεν ισχύουν. Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας με απόδειξη ή με αντιπαράδειγμα. (α) 3 n 3 + 2n (β) 7 n 5 + n 3 2n Πρόβλημα 6 (5 μονάδες): Βρείτε όλες τις λύσεις x, όπου x είναι μη αρνητικός ακέραιος μικρότερος του 140, για το πιο κάτω σύστημα εξισώσεων. Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας. x 1 mod 4 x 2 4 mod 5 x 2 mod 7 Πρόβλημα 7 (6 μονάδες): Με χρήση μαθηματικής επαγωγής αποδείξτε ότι (1 2) + (2 3) + (3 4) +... + (n (n + 1)) = Δηλώστε κατά πόσο χρησιμοποιείτε ισχυρή επαγωγή ή όχι. n(n + 1)(n + 2), n 1. 3 Πρόβλημα 8 (8 μονάδες): Η συνάρτηση f ορίζεται αναδρομικά ως f(0) = a, f(1) = b, f(n) = f(n 1) + 2f(n 2), n = 2, 3, 4,... όπου a και b είναι σταθερές. Τα πιο κάτω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν ανεξάρτητα. (α) (2 μονάδες) Αν a = b = 3, βρείτε τις τιμές f(n) για n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. (β) (3 μονάδες) Αν a = 1, b = 2, αποδείξτε ότι f(n) = ( 2) n για n = 0, 1, 2,.... (γ) (3 μονάδες) Βρείτε τιμές του a και b, έτσι ώστε f(n) = ( 2) n + 1 για n = 0, 1, 2,.... Δικαιολογείστε την απάντησή σας (ειδικά ότι για όλα τα n 0 ισχύει f(n) = ( 2) n + 1). 3
Πρόβλημα 9 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή αποτελείται από δύο ανεξάρτητα μέρη. (α) Ποιος ο συντελεστής του x 100 y 101 στο (2x + 5y) 201 ; (β) Αν n, k είναι θετικοί ακέραιοι, 1 k < n, δείξτε ότι ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n n + 1 n 1 n = k 1 k + 1 k k k 1 ) ( n + 1 k + 1 ) Πρόβλημα 10 (9 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει δύο ανεξάρτητα μέρη. (α) (5 μονάδες) Πόσα bit strings μήκους 10 ξεκινούν είτε με 010 (στις θέσεις 1, 2, και 3), ή έχουν 00 στο μέσο (στις θέσεις 5 και 6), ή τελειώνουν με 111 (στις θέσεις 8, 9, και 10); (β) (4 μονάδες) Πόσοι συνδυασμοί των γραμμάτων A, B, C, D, E, F και G δεν περιέχουν τις γραμματοσειρές (strings) AB, CD, και EF ; Πρόβλημα 11 (6 μονάδες): Εστω G = (V, E) ένα συνδεδεμένο, μη κατευθυνόμενο απλό γράφημα (connected undirected simple graph) με n > 4 κορυφές V = {v 1, v 2,..., v n } και ακμές E. Η σχέση R ορίζεται πάνω στο σύνολο V των κορυφών ως v i Rv j αν υπάρχει ένα μονοπάτι από τη v i στη v j ή από τη v j στη v i με μήκος 1, 2, ή 3. Είναι η σχέση R αυτοπαθής; Είναι η σχέση R συμμετρική; Είναι η σχέση R μεταβατική; Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας με αποδείξεις (αν ισχύουν) ή με αντιπαραδείγματα (αν δεν ισχύουν). Πρόβλημα 12 (6 μονάδες): Ο μη κατευθυνόμενος απλός γράφος (undirected simple graph) G = (V, E) έχει κορυφές V = {v 1, v 2,..., v 10 } και ακμές E = {(v i, v j ) v i v j, i j 0 mod 5 ή i j 1 mod 5}. Τα πιο κάτω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν ανεξάρτητα. (α) Ποιός είναι ο αριθμός των ακμών του γράφου G; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (β) Είναι ο γράφος G συνδεδεμένος; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (γ) Ποιός είναι ο αριθμός των επαγόμενων υπογραφημάτων (induced subgraphs) του G; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 13 (8 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει δύο ανεξάρτητα μέρη. Για το κάθε μέρος, αποφασίστε αν τα γραφήματα G 1 = (V 1, E 1 ) και G 2 = (V 2, E 2 ) με τους δεδομένους πίνακες γειτνίασης είναι ισομορφικά (isomorphic). Αν ναι, υποδείξτε την ένα προς ένα και επί συνάρτηση f : V 1 V 2 με τις απαραίτητες ιδιότητες. Αν δεν είναι ισομορφικά, εξηγείστε γιατί. [Θεωρείστε ότι V 1 = {A, B, C, D} με σειρά από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς δεξιά στον πίνακα γειτνίασης του G 1, και ότι V 2 = {a, b, c, d} με σειρά από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς δεξιά στον πίνακα γειτνίασης του G 2.] 4
(α) Πίνακας γειτνίασης G 1 : 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0, πίνακας γειτνίασης G 2: 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 Τα γραφήματα σε αυτή την περίπτωση είναι μη κατευθυνόμενα (undirected). 0 0 1 1 0 1 0 1 (β) Πίνακας γειτνίασης G 1 : 1 0 1 0 1 1 0 0, πίνακας γειτνίασης G 2: 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 Τα γραφήματα σε αυτή την περίπτωση είναι κατευθυνόμενα (directed)... Πρόβλημα 14 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει δύο ανεξάρτητα μέρη. Καθορίστε κατά πόσο τα δύο πιο κάτω γραφήματα έχουν Euler circuit ή/και Euler path. Δημιουργήστε τα αν αυτά υπάρχουν, διαφορετικά εξηγείστε γιατί δεν υπάρχουν. Πρόβλημα 15 (11 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει τέσσερα ανεξάρτητα μέρη. (Α) (2 μονάδες) Διαλέξετε τη σωστή απάντηση: ο αριθμός των σχέσεων S πάνω στο σύνολο {1, 2, 3} που περιέχουν τη σχέση R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} (δηλαδή R S) είναι (α) 3. (β) 15. (γ) 64. (δ) 256. (ε) Κανένα από τα πιο πάνω. (Β) (4 μονάδες) Απαντήστε ορθό (Ο) ή λάθος (Λ) για την καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις. 5
(α) 5 201 2(mod7), Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (β) 2 543 3(mod5), Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (Γ) (3 μονάδες) Το κατηγόρημα P (n) ισχύει για P (0), P (1) και P (2). Επίσης, για κάθε μη αρνητικό ακέραιο n, έχουμε ότι αν το P (n) ισχύει, τότε το P (n + 4) και το P (n + 5) ισχύουν. Απαντήστε ορθό (Ο) ή λάθος (Λ) για τη καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις. (α) P (n) ισχύει για n = 4k, όπου k μη αρνητικός ακέραιος, Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (β) P (n) ισχύει για n = 2 mod 5, Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (γ) P (n) ισχύει για n 25, Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (Δ) (2 μονάδες) Εστω G(V, E) ένα κατευθυνόμενο απλό γράφημα (directed simple graph). Το γράφημα G (V, E ) έχει τις ίδιες κορυφές με το G και E = {(v i, v j ) (v j, v i ) E} (δηλαδή οι ακμές του G έχουν αντίστροφη φορά). Απαντήστε ορθό (Ο) ή λάθος (Λ) για την πιο κάτω προτάση και σύντομα δικαιολογείστε την απάντησή σας. (α) Αν το G είναι συνδεδεμένο (connected), τότε και το G είναι συνδεδεμένο (connected), Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (β) Αν το G δεν είναι ισχυρά συνδεδεμένο (strongly connected), τότε και το G δεν είναι ισχυρά συνδεδεμένο (strongly connected), Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); 6